DE THI MINH HOA DAC BIET TINH QUANG BINH

Khóa học LUYỆN ĐỀ TỐN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

SỞ GD & ĐT QUẢNG BÌNH
TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ

Facebook: LyHung95

KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y =

2x − 3
.
x−2

Câu 2 (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 2 tại điểm có hồnh độ
bằng x0 thỏa mãn phương trình y '' ( x0 ) = −12.

Câu 3 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z + 2iz = 5 + 3i. Tìm mơđun của số phức w = 2 ( z + 1) − z.
b) Giải phương trình log 3 ( 9 x + 18 ) = x + 2.
2

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫
0

(

)

2 x 2 + 1 − 3 x xdx.

Câu 5 (1,0 điểm).
4
3π
tan α − 1
và
< α < 2π . Tính giá trị của biểu thức A =
.
5
2
2 − cos 2α
b) Trường THPT X tổ chức hội thảo GDQP – AN. Trung đội 10A chọn một tiểu đội, trong đó có 6 chiến sĩ
nam và 5 chiến sĩ nữ tham gia các nội dung: hiểu biết chung về GDQP – AN, điều lệnh từng người khơng có
súng, băng bó cứu thương và đội ngũ đơn vị. Tiểu đội trưởng chọn ngẫu nhiên 3 chiến sĩ tham gia nội dung
băng bó cứu thương. Tính xác suất để 3 chiến sĩ được chọn có cả nam và nữ.
x y −1 z − 2
Câu 6 (1,0 điểm). Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : =
=
và mặt phẳng
1
2
3

a) Cho góc α thỏa mãn cos α =

( P ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua gốc tọa độ O và vng góc với d . Tìm

tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến ( P ) bằng 3.

Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với cạnh AB = 2a 3, BC = 2a.
Hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm H của đoạn thẳng OD. Góc
hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ( ABCD ) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm A thuộc đường
thẳng d1 : 2 x − y + 2 = 0, điểm D thuộc đường thẳng d 2 : x − y − 5 = 0. Gọi H là hình chiếu vng góc của

9 2
A trên BD. Điểm M  ;  , N ( 9; 2 ) lần lượt là trung điểm của BH và CD. Xác định tọa độ các đỉnh của
5 5
hình chữ nhật ABCD, biết điểm D có tung độ dương.

4 1 + 2 x 2 y − 1 = 3 x + 2 1 − 2 x 2 y + 1 − x 2
Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 
2 x 3 y − x 2 = x 4 + x 2 − 2 x3 y 4 y 2 + 1

( x, y ∈ ℝ).

Câu 10 (1,0 điểm). Xét x, y, z là các số thực dương thỏa mãn y + z = x ( y 2 + z 2 ) .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1

(1 + x )

2

+

1

(1 + y )

2

+

1

(1 + z )

2

+

4
.
(1 + x )(1 + y )(1 + z )

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: />

Khóa học LUYỆN ĐỀ TỐN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

SỞ GD & ĐT QUẢNG BÌNH

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ CÂU

TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ

KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2016
Thực hiện Anh Vũ Văn Bắc

Câu 2 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 2 tại điểm có hồnh độ
bằng x0 thỏa mãn phương trình y '' ( x0 ) = −12.
Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: />Ta có y ' = 3x 2 − 12 x + 9 ⇒ y '' = 6 x − 12 ⇒ y '' ( x0 ) = 6 x0 − 12.
Bài ra y '' ( x0 ) = −12 ⇒ 6 x0 − 12 = −12 ⇔ x0 = 0 ⇒ y0 = −2.
Phương trình tiếp tuyến có dạng d : y = y ' ( 0 ) . ( x − 0 ) − 2 = 9 x − 2.
Đ/s: d : y = 9 x − 2
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z + 2iz = 5 + 3i. Tìm mơđun của số phức w = 2 ( z + 1) − z.
b) Giải phương trình log 3 ( 9 x + 18 ) = x + 2.

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: />a) Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi.
Bài ra có (1 − i ) z + 2i.z = 5 + 3i nên (1 − i )( a + bi ) + 2i ( a − bi ) = 5 + 3i

⇔ a + bi − ai + b + 2ai + 2b = 5 + 3i ⇔ a + 3b + ( a + b ) i = 5 + 3i
a + 3b = 5
a = 2
⇔
⇔
⇒ z = 2+i ⇒ z = 2−i
a + b = 3
b = 1

⇒ w = 2 ( z + 1) − z = 2 ( 3 + i ) − ( 2 − i ) = 4 + 3i ⇒ w = 42 + 32 = 5.

Đ/s: w = 5
b) ĐK: 9 x + 18 > 0 ⇔ x ∈ ℝ (*)

Khi đó log 3 ( 9 x + 18 ) = x + 2 ⇔ 9 x + 18 = 3x + 2 = 9.3x

⇔ (3

)

x 2

3 x = 3
x = 1
thỏa mãn (*)
− 9.3 + 18 = 0 ⇔  x
⇔
6
 x = log 3
3 = 6
x

x = 1
Đ/s: 
6
 x = log 3
2

Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫
0

(

)

2 x 2 + 1 − 3 x xdx.

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: />2

2

0

0

Ta có I = ∫ x 2 x 2 + 1dx − ∫ 3 x 2 dx = A − B.

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: />

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
2

•

B = ∫ 3x dx = x
2

0

Facebook: LyHung95

2

= 8.

3
0

3

2
1
1 ( 2 x + 1) 2
2
2
2
• A = ∫ x 2 x + 1dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) = .
3
4
4
0
0
2
13
11
Do đó I = A − B = − 8 = − .
3
3
11
Đ/s: I = −
3

2

2

1
2

2

0

=

13
.
3

Câu 5 (1,0 điểm)
4
3π
tan α − 1
và
< α < 2π . Tính giá trị của biểu thức A =
.
5
2
2 − cos 2α
b) Trường THPT X tổ chức hội thảo GDQP – AN. Trung đội 10A chọn một tiểu đội, trong đó có 6 chiến
sĩ nam và 5 chiến sĩ nữ tham gia các nội dung: hiểu biết chung về GDQP – AN, điều lệnh từng người không
có súng, băng bó cứu thương và đội ngũ đơn vị. Tiểu đội trưởng chọn ngẫu nhiên 3 chiến sĩ tham gia nội

dung băng bó cứu thương. Tính xác suất để 3 chiến sĩ được chọn có cả nam và nữ.
a) Cho góc α thỏa mãn cos α =

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: />2

7
4
a) Ta có cos 2α = 2 cos 2 α − 1 = 2.   − 1 = .
25
5
1
1
25
9
3
tan 2 α + 1 =
=
=
⇔ tan 2 α =
⇔ tan α = ± .
2
2
cos α  4 
16
16
4
 
5
3π
3

Bài ra
< α < 2π ⇒ tan α < 0 ⇒ tan α = − .
2
4
3
− −1
tan α − 1
175
Do đó A =
= 4
=−
.
2 − cos 2α 2 − 7
172
25
175
Đ/s: A = −
172
b) Chọn 3 chiến sĩ từ 11 chiến sĩ của tiểu đội có C113 = 165 cách chọn ⇒ Ω = 165.
Gọi K là biến cố: “ 3 chiến sĩ được chọn có cả nam và nữ ”.
Ta có số kết quả thuận lợi cho K là Ω K = C51.C62 + C52 .C61 = 135.
Do đó P ( K ) =

Đ/s: P ( K ) =

ΩK
Ω

=

135 9
= .
165 11

9
11

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: />

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

( P ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0.

Facebook: LyHung95

x y −1 z − 2
=
=
và mặt phẳng
1
2
3

Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với d . Tìm

tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến ( P ) bằng 3.

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: />Đường thẳng d co một VTCP là u = (1; 2;3) .

Bài ra ( Q ) ⊥ d ⇒ ( Q ) sẽ nhận u = (1; 2;3) là một VTPT.
Mà ( Q ) qua O ( 0; 0; 0 ) ⇒ ( Q ) :1. ( x − 0 ) + 2. ( y − 0 ) + 3. ( y − 0 ) = 0 ⇒ ( Q ) : x + 2 y + 3z = 0.

x = t

Phương trình tham số của d là d :  y = 1 + 2t
 z = 2 + 3t


(t ∈ ℝ).

Mà M ∈ d ⇒ M ( t ;1 + 2t ; 2 + 3t ) .
Ta có d ( M ; ( P ) ) =

t + 2 (1 + 2t ) − 2 ( 2 + 3t ) + 3
12 + 22 + ( −2 )

2

=

−t + 1
=3
3

t = −8 ⇒ M ( −8; −15; −22 )
1 − t = 9
⇔
⇔
1 − t = −9

t = 10 ⇒ M (10; 21;32 )
 M ( −8; −15; −22 )
Đ/s: ( Q ) : x + 2 y + 3z = 0 và 
 M (10; 21;32 )
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với cạnh AB = 2a 3, BC = 2a.
Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm H của đoạn thẳng OD. Góc
hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ( ABCD ) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: />•

Ta có SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SB; ( ABCD ) ) = SBH = 600.

HB =

3
3
BD =
AB 2 + AD 2 = 3a ⇒ SH = HB.tan 600 = 3 3a.
4
4

⇒ S ABCD = AB.BC = 2a 3.2a = 4 3a 2
1
1
⇒ VS . ABCD = SH .S ABCD = 3a 3.4 3a 2 = 12a 3 (đvtt)
3
3

•

Do AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD; SC ) = d ( AD; ( SBC ) )

= d ( D; ( SBC ) ) =

4
d ( H ; ( SBC ) ) .
3

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: />

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Kẻ HM ⊥ BC ( M ∈ BC ) , HK ⊥ SM
Ta có

Facebook: LyHung95

( K ∈ SM ) ⇒ d ( H ; ( SBC ) ) = HK .

1
1
1
5
3 3
4
4 3 3
3
=
+

=
a ⇒ d ( AD; SC ) = HK = .
a = 4a .
⇒ HK =
2
2
2
2
HK
SH
HM
27 a
3
3 5
5
5

Đ/s: VS . ABCD = 12a 3 (đvtt) và d ( AD; SC ) = 4a

3
5

Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm A thuộc đường
thẳng d1 : 2 x − y + 2 = 0, điểm D thuộc đường thẳng d 2 : x − y − 5 = 0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của
9 2
A trên BD. Điểm M  ;  , N ( 9; 2 ) lần lượt là trung điểm của BH và CD. Xác định tọa độ các đỉnh của
5 5
hình chữ nhật ABCD, biết điểm D có tung độ dương.

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: />+) Gọi E là trung điểm của AH , ta có ME ⊥ AD

⇒ E là trực tâm của tam giác ∆ADM ⇒ DE ⊥ AM .
+) Tứ giác EMND là hình bình hành ⇒ DE / / MN ⇒ AM ⊥ MN
Đường thẳng AM qua M và vuông góc với MN
⇒ AM : 9 x + 2 y − 17 = 0.

+) A = d1 ∩ AM ⇒ A (1; 4 ) .
+) D ∈ d 2 ⇒ d ( d ; d − 5 ) .
 d = 9 ⇒ D ( 9; 4 )
Do AD ⊥ DN ⇒ DA.DN = 0 ⇒ 
 d = 4 ⇒ D ( 4; −1)
Mà yD > 0 ⇒ D ( 9; 4 ) ⇒ C ( 9;0 ) .
+) Phương trình AH : 2 x + y − 6 = 0; DM : x − 2 y − 1 = 0.
 13 4 
Do H = AH ∩ DM ⇒ H  ;  ⇒ B (1; 0 ) .
 5 5

Đ/s: A (1; 4 ) , B (1;0 ) , C ( 9;0 ) , D ( 9; 4 )
4 1 + 2 x 2 y − 1 = 3 x + 2 1 − 2 x 2 y + 1 − x 2
Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
2 x 3 y − x 2 = x 4 + x 2 − 2 x3 y 4 y 2 + 1

( x, y ∈ ℝ).

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: /> −1 ≤ x ≤ 1

ĐK: 1 + 2 x 2 y ≥ 0
(*)

2
1 − 2 x y ≥ 0

Với x = 0 thì ta dễ dàng thấy được hệ có nghiệm với mọi y ∈ ℝ.
2

1 1 1
1
1
Với x ≠ 0 có ( 2 ) ⇔ 2 y + 2 y ( 2 y ) + 1 = +
  +1 ⇔ f (2 y ) = f   → 2 y = .
x x x
x
x
2

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: />

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Thế vào (1) ta được 4 1 + x − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2 .
a = 1 + x ≥ 0 2a 2 = 2 + 2 x
Đặt 
⇒ 2
⇒ 1 + 3 x = 2a 2 − b 2
b = 1 − x ≥ 0 b = 1 − x
a + b = 2
⇒ 4a − 1 = 2a − b − 1 + 2b + ab ⇔ 2a + ( b − 4 ) a + 2b − b = 0 ⇔ 
a = b
2


b
3
5
Mà a, b ≥ 0 nên a = ⇒ 2 1 + x = 1 − x ⇔ x = − ⇒ y = − thỏa mãn hệ đã cho.
2
5
6
2

2

2

2


 3 5 
Đ/s: ( x; y ) = ( 0; y ) ,  − ; −   ( ∀y ∈ ℝ )
 5 6 


Câu 10 (1,0 điểm) Xét x, y, z là các số thực dương thỏa mãn y + z = x ( y 2 + z 2 ) .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1

(1 + x )

+

2

1

(1 + y )

2

+

1

(1 + z )

2

+

4
.
(1 + x )(1 + y )(1 + z )

Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: />2
2
Ta có 2 ( y + z ) = 2 x ( y 2 + z 2 ) ≥ x ( y + z ) ⇒ y + z ≤ .
x
Lại có P ≥

1

(1 + x )

Mà (1 + y )(1 + z )

2

+

2

(1 + y )(1 + z )

(1 + y + 1 + z )
≤
4

⇒P≤

Xét hàm số

+

2 x3 + 6 x 2 + x + 1

(1 + x )

3

f '( x) =

2

4
.
(1 + x )(1 + y )(1 + z )

1
2  (1 + x )
≤ 2+  =
4
x
x2
2

1

(1 + x )

2

+

2 x2

(1 + x )

2

+

2

4 x2

(1 + x )

3

=

2 x3 + 6 x 2 + x + 1

(1 + x )

3

.

với x ∈ ( 0; +∞ ) có

10 x − 2
= 0;
(1 + x)4

1
 x ∈ ( 0; +∞ )
 1  91
⇔ x = ⇒ P ≥ f ( x) ≥ f   =
.


5
 5  108
 f ' ( x ) = 0

1

x =
Dấu " = " xảy ra ⇔ 
5
 y = z = 5
Vậy Pmin =

91
108

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: />