CHUYÊN đề bài tập NGUYÊN hàm và TÍCH PHÂN HAY

Phần A. NGUYÊN HÀM
Bài 1. Nguyên hàm cơ bản
9
a. ∫ (2x − 3) dx

e.

∫

2
(2x − 1)

3

dx

1

b.

∫ (4 − 3x)

f.

∫ 1 − 2x dx

3

4

dx

c.

∫

g.

∫ (3x − 4)

5x − 17dx
12

2

dx

d.

∫

6

10 − 7xdx

7 − 6x
h. ∫ e dx

9
4
2 + 3e3x −2

2
)dx
j. ∫ cos(5x − 8)dx
k. ∫ sin (3x − 1)dx
ℓ. ∫ ( 2 +
∫ e2x −3 dx
sin 3x cos 2 2x
Bài 2. Nguyên hàm các hàm hữu tỉ có mẫu là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai
2
5
x −3
2x 2 − 5
dx d. ∫
dx
dx
a. ∫
b. ∫
c. ∫
dx
(x − 1)(x + 1)
(2x − 3)(4 − x)
x+2
x−2
4
−4
2x + 1
x −5
dx
dx
dx

dx
e. ∫
f. ∫ 2
g. ∫ 2
h. ∫ 2
2
25 − 4x
4x − 5x + 1
x +x−2
x + 2x + 1
4x − 9
3
4x 2 − 4x
8x 2
dx
dx
i. ∫ 2
j. ∫ 2
k. ∫ 2
dx
dx ℓ. ∫ 2
2x − 3x + 1
x − 4x + 7
x − 2x − 3
4x − 4x + 1
2x + 3
x 2 + 6x + 7
x3
dx n. ∫ 2
m. ∫ 2

p. ∫ 2
dx
dx
x − 6x + 12
x + 2x + 5
x + x +1
Bài 3. Nguyên hàm các hàm hữu tỉ với đa thức bậc cao
dx
4
2x
2x 3
dx
dx
a. ∫ 3
b. ∫ 4
c.
d.
∫ x 4 + 2x 2 + 1
∫ x 4 − 4x 2 + 3 dx
x +8
x − 5x 2 + 4
2
16
2xdx
x2 + 7
dx
dx
e. ∫
f.
g.

h.
∫ x(1 − x 9 )
∫ x4 + 4
∫ (x + 1)3 − 8 dx
x(x 2 + 1)
Bài 4. Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
3
2
3
5
x2 +2
2
a. ∫ 9x (x − 6) dx b. ∫ x 3 3 16 − x 4 dx
c. ∫ 2 xdx
d. ∫ (log 3 x) dx
x
3
2
1
ln x
3
4
dx
e. ∫ 2 sin( )dx
f. ∫
g. ∫ sin 2x cos 2xdx h. ∫ sin 2x cos xdx
x
x
x(ln x + 1)
(cos x − sin x)dx

2e 2x
ex − e− x
i. ∫
j. ∫ sin 2x 4 cos x − 3dx
k. ∫
ℓ.
dx
2
∫ ex + e− x dx
(sin x + cos x)
1 + ex
dx
2
4
m. ∫ 4 tan 2xdx
n. ∫ (1 + tan x)dx
p. ∫
q. ∫ tan xdx
4
cos x
dx
dx
ln(2x + 4x 2 + 1)
3
sin
xdx
dx
r. ∫
s.
t.

u.
∫
∫ x ln 2 x
∫
1 + 2x
4x 2 + 1
Bài 5. Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
sin 2x
x5
2
1+ x3
dx
a. ∫ x 3 − 2xdx
b. ∫
c. ∫ 6
d.
dx
∫ x dx
x − x3 − 2
x
dx
(2sin x − 3) cos x
2
5
2
dx
e. ∫ x (1 − x) dx
f. ∫
g. ∫ sin x tan xdx
h. ∫

1+ x
2 + sin x
sin 2xdx
x5
dx
1
dx
dx
i. ∫
j.
k. ∫
ℓ. ∫
3 2
∫
2
(1 + x )
cos x
sin x cos x
1 + 3cos x
1
1
1
dx
dx
dx
m. ∫
n. ∫
o. ∫
1 + cos x
1 + 2 cos 2x

3 − sin 2x
Bài 6. Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
x −1
2
a. ∫ (2x + 3)e dx
b. ∫ (x + 1) cos xdx
c. ∫ x ln xdx
d. ∫ x ln(x + 2)dx
i.

e.

∫ xe

−x

dx

2
2
f. ∫ (3x + 1) ln(x + 1)dx

2
g. ∫ 2x sin xdx

h.

xdx
2
x

∫ cos


i. ∫ 2 ln(x + x 2 + 4)dx
x
m. ∫ sin 2xe dx

j.

1+ x

∫ x ln 1 − x dx

n. ∫ sin(ln x)dx

2
k. ∫ x sin 2xdx

ℓ.

2
o. ∫ ln xdx

p.

∫x e

3 x2

∫

dx

x ln(x + 1 + x 2 )
1+ x2

dx

1 + 2x 2
cos x
1
ln 2 x
x
(
−
)e
dx
r.
s.
dx
∫ 1 + x 2 dx
∫ sin 2 x sin x
∫ x2
Bài 7. Tìm hàm số f(x) biết f′(x) = 2sin x – 3cos x và f(π/2) = 0
Bài 8. Tìm hàm số f(x) biết f′(x) = x + 1/x² và f(–1) = 1/2
Bài 9. Tìm hàm số f(x) thỏa mãn f″(x) = 12x² + 6x – 4; f(0) = 4; f(1) = 1.
Bài 10. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = x sin x biết F(0) = 0.
Bài 11. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = x 3 x 2 + 8 biết F(0) = 1
Bài 12. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = 1 – 2/x + m/x² biết rằng F(x) đạt cực trị tại x = 2 và F(2) = 3.

Phần B. TÍCH PHÂN
Bài 1. Tích phân cơ bản
5
1
1
3
1
1
1
2
x
dx
(3x
+
2x)dx
(
+
e
)dx
[
−
x
+
1]dx
a. ∫
b. ∫
c. ∫
d. ∫
3
x

+
1
x
+
1
(x
+
4)
0
0
0
0
q.

π/2

∫ (2sin

e.

π/2
2

x − sin 2x)dx

π/4

∫ sin 2x cos xdx

f.

0

g.

0

2

3
i. ∫ ( x − 1 + 2x)dx
1

1

2
j. ∫ x(2x − 1) dx
0

π/12

1

∫ sin 2x sin

2

2 2
2
k. ∫ x (3 − ) dx

x
1

3

4−x
dx
x

∫

e.

0

π/2

∫

i.

0

π/3

2

1
dx
1 + sin x

f.

2

2

dx

g.

0

j.

∫x

p.

8 − 2xdx

k.

∫x

∫ (1 − tan

e x − 1dx

π/2

d.

∫ sin

4

x cos xdx

0

h.

1

∫ sin x cos

π/4
1

4x + 5dx

5

3

ℓ.

−1

∫
0

π/6

x
)dx
2

2

0

1

0

e3

0

π/2

π/3
2x

2xdx

2x −1
− e − x )dx

ℓ. ∫ (e

2 2

∫e

2

1

0

4

∫ cos

h.

0

ln 2

∫ cos x
3

xdx

0

1

(2e + 1)
(3 − 2x )
dx
dx
dx
n. ∫
o. ∫
2
x −1
cos 3x
e
x3
0
0
1
Bài 2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
2
1
3
x
2
4
x
4
−
x
dx
x(2x
−
1)

dx
dx
a. ∫
b. ∫
c. ∫
x2 +1
0
0
0

∫

m.

x

π/4
2

14x
3

π/2

7x 2 + 1

3

dx

x

dx

64

1
1 + ln x ln x
3
dx
dx n. ∫ (cos x − cos x)dx
o. ∫ 2 + 2 cos xdx p. ∫
∫1
x + 23 x
x
0
0
1
Bài 3. Tính tích phân bằng phương pháp đặt hàm lượng giác
4
1
1
3
dx
1
2
2
16
−
x

dx
dx
a. ∫
b. ∫
c. ∫
d. ∫ x 2x − x dx
2
2
3
+
x
4−x
0
0
0
0
m.

1

e.

∫x

3

0

∫x

2

4

2

1 − x dx
2

f.

0

1
2

1+ x2
dx

3

dx

g.

2−x
dx
2+x

∫

0

1

0

1

2
b. ∫ x ln(x + 1)dx

e.

∫x
0

ln(x + 1)dx

f.

∫e
0

π

ℓ.

cos xdx

g.

∫x
0

(16 + x 2 )3
x sin x

∫ 1 + cos

2

x

d.

2

ln x
dx
x2
1

∫

e2

sin 2xdx

h.

∫(
0

dx

dx

e

x sin 2xdx

π/2
2x

1

0

0

π/2
2

∫

∫
0

π/2

c.

0

1

h.

3

1
dx
dx
i. ∫ 2
j. ∫
k. ∫ 2
2
x − 2x + 2
−5 + 6x − x
x − 4x + 5
3
1
2
Bài 4. Tính các tích phân bằng phương pháp từng phần
x
a. ∫ (x + 1)e dx

4

x ln x)dx

1

3

i. ∫ ln(2x + 1)dx
0

1

π/3

2

x −1
dx
j. ∫ x ln
x +1
2

1 + x ln x x
e dx
k. ∫
x
1

ln(sin x)
dx
cos 2 x

π/6

∫

ℓ.

1

xe x
1 x +1/ x
dx
n. ∫ (1 + x − ).e
∫0 (x + 1)2 dx
x
1/2
Bài 5. Tính các tích phân
m.

1

a. ∫ (2 + x )e dx
x

0

1

1

π/4

b. ∫ ln (x + 1)dx
2

∫ x tan

c.

0

x
2
2
f. ∫ 3x ln(4 + 2x + x )dx
∫0 ex dx
−2
Bài 6. Tính các tích phân
π/3

ln(1 + x)
dx
1. ∫
x2
1

π
4

dx
5.

∫0 cos4 x
π/2

9.

∫

2

10.

π/4

∫
0

π
2

17.

∫
0

ln x
dx
21. ∫
2
x(ln
x

+
1)
1
4

25.

∫x
2

16 − x 2
ln 2

29.

30.

∫
0

2 3

34.

∫

5

0

26.

dx
x x2 + 4

38. sin 2x dx
∫0 1 + cos x

0

3

39.

2

x
dx
49. ∫
x −1
1 1+

∫

53.

∫
0

27.

36.

20.

2

ex − 1

32.

1

24.

∫

3

dx
2

4 − x2

3

1
ex + 1

dx

33.

∫
0

3− x
dx
x +1

1

dx

37.

1 + x3

∫

(1 − x 2 )3 dx

0

40. ( 3 cos x − 3 sin x )dx
∫
0

π
2

50. ∫ ln(x − x)dx
2

47.

0

∫ cos(ln x)dx
1
4

51.

∫

−1

2

x +1
dx
x

44. sin x sin 3xdx
∫

eπ

3

1

∫x

π
2

dx

ln(1 + x)
dx
46. ∫ 2
x +1
0

∫

x x2 − 9

ln x 3 2 + ln 2 x
dx
∫1
x

0

1

54.

dx

e

28.

x7
dx
43. ∫
1 − 2x 4 + x 8
2

dx

∫

2 3

ln 3

1

0

6

dx
∫0 cos x

∫x

5
2
16. ∫ x 1 + x dx

0

π
3

2

1

3
2
15. ∫ x 1 − x dx

0

1+ x

8 3

sin xdx

1

3

e 2x

π 2 /4

4 − x 2 dx

−1

3
2
23. ∫ (x − 3) x − 6x + 8dx

1

−1

ln 2

2

2

x2 +1
dx
x2

∫ 1+ x +

ln 5

∫x

12.

e 2x dx
19. ∫ x
e +1
0

1
dx
3 − 2x

1

x
dx
2+x + 2−x

0

∫
1

sin x
41.
∫0 sin x + cos x dx 42.

∫

2

1
∫π/4 sin 4 x dx

2

x +1
dx
3
3x + 2

1 − sin xdx

3

0

x2 +1
ln xdx
31. ∫
x
1
35.

∫ sin 2x

8.

e

π
2

45.

∫

1 − ex
dx
1 + ex

π
2

2

∫

0

π/2

3
14. 4sin x dx
∫0 1 + cos x

0

22.

4. sin 2 x cos 2 xdx
∫

3

π
2

18. I = tan 3 xdx
∫

1

dx

11.

π
4

2

π
2

π/2

cos3 x

dx
cos x + 1

4

e

0

0

0

x
dx
2x + 1

1+ x2

2
2
h. ∫ x 1 + x dx

dx

7. sin xdx
∫

13. cos 2x(sin x + cos x)dx
∫

4

∫

1

2

1 − cos x
dx
1 + cos x

π
2

0

esin x sin 2xdx

1

0

4

π/2

∫

3.

6. cos xdx
∫

x

0

π/2

dx
2. ∫
4
sin x cos x
π/6

π
4

g.

x

∫ 1 + cos 2x dx

d.

0

1

e.

2

xdx

0

0

2

π/4
2

3

55.

∫

2

dx
x+5 +4
1
x −1
2

1

3
48. ∫ x 1 − xdx
0
1

52.

ln(1 + x)
dx
1+ x2
0

∫

π/6

dx

56.

∫ x cos
0

2

xdx

x sin x
dx
58. ∫
1 + cos 2 x
0

1
dx
57. ∫ 2
(x + 1)(4 x + 1)
−1
π

61. ∫ e sin xdx
2x

2

0

π/2

65.

∫
0

π/2

69.

∫
0

3

73.

∫
1

dx
77. ∫ 2
x (x + 1)
1
2

dx
81. ∫
(4 + x 2 ) 2
0
84.

∫
0

1 + sin x
dx
1 + 3cos x

1
dx
70. ∫
2 − cos 2x
0

0

78.

71.

0

π
2
π/3

79.

∫
0

1

4x
∫0 (x 3 + 1) dx

89.

∫
0

x2 + 4

90.

0

dx
x + 1+ x

1

1+ x2

x 2e x
dx
72. ∫
(x + 2) 2
0

dx
π

sin 2 x
dx
76. ∫ x
3 +1
−π

π/3

80.

∫ sin x tan xdx
0

2
83. ∫ (3x + 4x + 1) ln(x + 1)dx
0

π/6

86.

∫
0

π/2

dx

∫

1

cos x
dx
sin x + cos x + 1
x2

68.

3

1

2

dx
82. ∫
2
sin x + 9 cos 2 x
− π/3
85.

x

sin 2x
75.
∫0 1 + cos4 x dx

−

π/2

∫x+

π
2

sin 2xdx

∫ (2 + sin x)

0

1
1

∫

sin 4 x − cos 4 x
dx
sin x − cos x + 1

1

2
67. ∫ (x − 1) ln xdx

π

sin x
74.
∫0 cos2 x + 3 dx

64.

4

x
dx
+ 1)3

x4
∫ 1 + 2x dx
−1
π/2

ln x
dx
63. ∫
(x + 1) 2
1/e

2

π
2

2

1 − x5
dx
88. ∫
x(1 + x 5 )
1

∫ (x

60.

0

3

0

sin x
dx
cos x + sin x

4

π/2

66.

1

x cos xdx

e

dx
62. ∫
2 cos x + sin x + 3
− π/2
1

∫

59.

π/2

(sin x + 1) cos x
dx
sin x + 2

dx
6
x (1 + x 2 )

π 2 /4

π

1

∫
0

sin 3 x
dx
1 + cos 2x

cos 4 x
dx

cos 4 x + sin 4 x

3

87.

∫
1

dx
4x − x 2