BỘ đề đáp án vào 10 các TỈNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Năm học 2010 – 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2,0 điểm)


3

1

 x −9

+
1. Rút gọn biểu thức: A = 
với x > 0, x ≠ 9
÷.
x +3 x
 x −3 x

2. Chứng minh rằng:

1 
 1
5. 
+
÷ = 10

5+2
 5 −2

Bài 2. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (k - 1)x + n và 2 điểm
A(0; 2) và B(-1; 0)
1. Tìm giá trị của k và n để:
a) Đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B.
b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ∆ ): y = x + 2 – k
2. Cho n = 2. Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam
giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.
Bài 3. (2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x2 – 2mx +m – 7 = 0 (1) với m là tham số
1. Giải phương trình với m = -1
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai ngiệm phân biệt với mọi giá trị của
m.
1

1

3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức x + x = 16
1
2
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm
giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng
AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau tại E.
1. Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp và ∆ CAE đồng dạng với ∆CHK
2. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh ∆ NFK
cân.

3. Giả sử KE = KC. Chứng minh: OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2.
Bài 5. (0,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
3
3
3
3
( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ −
4

/>
1


HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Bài 1. (2,0 điểm)
Câu
1

Nội dung

3
1  x−9
A = 
+
.
x + 3 x
 x−3 x

3

1  x −9
+

÷.
x +3 x
 x ( x − 3)
A=
A=

0,25

3 x + 9 + x − 3 x ( x − 3)( x + 3)
.
x ( x − 3)( x + 3)
x
( x + 9).( x − 3)( x + 3)

0,25
0,25

x ( x − 3)( x + 3) x
x+9
A=
x

2

Điểm

0,25

Biến đổi vế trái:
VT = 5 (

1
5−2

+

1
5+2

) = 5

5 +2+ 5 −2
( 5 − 2)( 5 + 2)

2 5
= 5
= 10
5−4

0,5
0,5

Bµi 2. (2,0 ®iÓm)
C©u
Néi dung
1a §êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(0; 2) ⇔ n = 2
Đường thẳng (d) đi qua điểm B (-1; 0) ⇔ 0 = (k -1) (-1) + n

⇔ 0 = - k + 1 +2
⇔ k=3
Vậy với k = 3; n = 2 thì (d) đi qua hai diểm A và B
1b Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ∆ ): y = x + 2 – k
k − 1 = 1
⇔ 
2 − k ≠ n
k = 2
⇔ 
n ≠ 0
k = 2
Vậy với 
thì Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ∆ )
n ≠ 0

2

Với n = 2 phương trình của (d) là: y = (k - 1) x + 2
đường thẳng (d) cắt trục Ox ⇔ k - 1 ≠ 0 ⇔ k ≠ 1
Giao điểm của (d) với Ox là C (

2

2
;0)
1− k

§iÓm
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


các ∆ OAB và OAC vuông tại O

y

1
1
OA.OC ; S OAB = OA.OB
2
2
SOAC = 2SOAB ⇔ OC = 2.OB

S OAC =

( )
A(0;2)

⇔ xc = 2. x B
x

C(

2
1-k

; 0)

B(-1; 0)

O

1

2

2
= 2. − 1
1− k
 2
1 − k = 2 ⇔ k = 0
⇔ 
(thoả mãn)
 2 = −2 ⇔ k = 2
1 − k
⇔

Vậy k = 0 hoặc k = 2 thì SOAC = 2SOAB
Bài 3. (2,0 điểm)
1 Với m = -1 ta có pT: x2 + 2x -8 = 0
∆ ' = 12 - 1(-8) = 9
⇒ x1 = - 1 + 9 = 2; x2 = -1 - 9 = -4
Vậy với m = - 1phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 2; x2= - 4
∆ ' = m2 - m + 7
2

1
27
= (m − ) 2 +
> 0 với mọi m
2
4

3

 x1 + x 2 = 2m
 x1 x 2 = m − 7

nên theo Viet ta có: 
1

1

0,25

x1 + x 2
2m
= 16 ⇔
= 16 ⇔ m = 8
x1 x 2
m−7

O

H

B

O

A

N

E
N

T
K

K

C

h1
/>
H
B

E

F

0,25

M

M

A

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Vậy pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Vì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Theo bài ra x + x = 16 ⇔
1
2
KL: m = 8
Bµi 4. (3,5 ®iÓm)

0,25

C

h2
3


1

Ta cã ∠ AKE = 900 (….)
0,25
0,25
vµ ∠ AHE = 90o (v× MN ⊥ AB)
0,25
⇒ ∠ AKE + ∠ AHE = 1800
0,25
⇒ AHEK lµ tø gi¸c näi tiÕp
Xét ∆ CAE và ∆ CHK có:
∠ C là góc chung
∠ CAE = ∠ CHK (cùng chắn cung KE)
0,25
⇒ ∆ CAE ∞ ∆ CHK (gg)
0,25
2 ta có NF ⊥ AC; KB ⊥ AC ⇒ NF // KB
0,25
⇒ ∠ MKB = ∠ KFN (1)(đồng vị)
và ∠ BKN = ∠ KNF (2) (slt)
0,25
mà MN ⊥ AB ⇒ Cung MB = cung NB ⇒ ∠ MKB = ∠ BKN (3)
Từ 1,2,3 ⇒ ∠ KFN = ∠ KNF
0,25
⇒ ∆ NFK cân tại K
0,25
⇒
∆ KEC vuông cân tại K
3 Nếu KE = KC
⇒ ∠ KEC = 450
0,25

⇒ ∠ ABK = 450 ⇒ Sđ cung AK = 900
⇒ K là điểm chính giữa cung AB
0,25
⇒ KO ⊥ AB
mà MN ⊥ AB nªn OK // MN
KÎ ®êng kÝnh MT
chøng minh KT = KN
0,25
2
2
2
mà ∆ MKT vuông tại K nên KM + KT = MT
hay KM2 + KN2 = (2R)2
hay KM2 + KN2 = 4R2
0,25
Bài 5. (0,5 điểm)
Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
3
3
3
3
( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ −
4
Câu
Nội dung
Điểm
Đặt x = a - 1; y = b - 1; z = c - 1
Đ/K x ≥ -1; y ≥ - 1; z ≥ - 1
⇒ x+y+z=0
và VT = x3 + y3 +z3 = 3xyz

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
4


KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn thi: TOÁN (chung) – Sáng ngày 30/6/2010
Đề chính thức
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (2 điểm)
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức: A =
b) Cho biểu thức: B =

12 − 2 48 + 3 75

 x −2
x + 2  x x − x − x +1
−

÷×
x − 2 x +1
x
 x −1

Với những giá trị nào của x thì biểu thức trên xác định? Hãy rút gọn biểu thức B.
Câu 2. (2 điểm)
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) x 2 − 2 2.x − 7 = 0
 2 x − 3 y = 13

 x + 2 y = −4

b) 

Câu 3. (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = 2 x 2 và đường thẳng (d) có
phương trình y = 2( m − 1) x − m + 1 , trong đó m là tham số.
a) Vẽ parabol (P).
b) Xác định m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm
điểm cố định đó.
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng ( ∆ ) không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và
B. Từ một điểm M trên ( ∆ ) (M nằm ngoài đường tròn (O) và A nằm giữa B và M), vẽ hai tiếp
tuyến MC, MD của đường tròn (O) (C, D ∈ (O)). Gọi I là trung điểm của AB, tia IO cắt tia MD tại
K.
a) Chứng minh 5 điểm M, C, I, O, D cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: KD.KM = KO.KI
c) Một đường thẳng đi qua O và song song với CD cắt các tia MC và MD lần lượt tại E và F.
Xác định vị trí của M trên ( ∆ ) sao cho diện tích tam giác MEF đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5. (1 điểm)
S
Một hình nón đỉnh S có chiều cao 90cm được đặt úp trên một hình trụ có
thể tích bằng 9420cm3 và bán kính đáy hình trụ bằng 10cm, sao cho đường
tròn đáy trên của hình trụ tiếp xúc (khít) với mặt xung quanh hình nón và đáy
dưới của hình trụ nằm trên mặt đáy của hình nón. Một mặt phẳng qua tâm O
và đỉnh của hình nón cắt hình nón và hình trụ như hình vẽ.
Tính thể tích của hình nón. Lấy π = 3,14 .
-HẾTSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN

/>
O
5


KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn: TOÁN (chung)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Bản hướng dẫn chấm này gồm có 04 trang)
I. Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách giải nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng
phần như hướng dẫn quy định.
2) Điểm toàn bài không làm tròn số.
II. Đáp án và biểu điểm:
Câu
Đáp án
điểm
Câu 1 (2điểm)
a)
Rút gọn biểu thức: A = 12 − 2 48 + 3 75
0,75đ A= 4 × 3 − 2 16 × 3 + 3 25 × 3
0,25
0,25
A= 2 3 − 8 3 + 15 3
0,25
A= 9 3
b)
 x −2
x + 2  x x − x − x +1
−

÷×
1,25đ Rút gọn biểu thức: B = 
 x −1
B xác định khi x > 0 và x ≠ 1

x − 2 x +1

x

0,25

 x −2
x + 2  x ( x − 1) − ( x − 1)
−
×
2 ÷
x
 x − 1 ( x − 1) 

0,25

 x −2
x + 2  ( x − 1)( x − 1) ( x − 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1)
−
×
−
=
2 ÷
x
−

1
(
x
−
1)
x
x
( x − 1) x



0,25

B=

x − 3 x + 2 ( x + 2)( x + 1)
−
x
x

0,25

B=

x−3 x +2 x+3 x +2
−
=
x
x

B= 
B =

Câu 2
a) 1đ

x 2 − 2 2.x − 7 = 0
∆' = 2+7 = 9
 2 x − 3 y = 13 2 x − 3 y = 13
⇔

 x + 2 y = −4
−2 x − 4 y = 8
2 x − 3 y = 13
⇔
−7 y = 21
 2 x − 3(−3) = 13
⇔
 y = −3
x = 2
⇔
 y = −3

Câu 3
6

0,25

(2 điểm)

x1 = 2 + 3; x2 = 2 − 3

b) 1đ

x −3 x + 2− x −3 x −2
= −6
x

(2,5điểm)

0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25


a) 1đ

b)
0,75đ

Vẽ parabol (P)
- Lập bảng:
x
-2 -1 0 1 2
y
8
2 0 2 8

- Vẽ đồ thị (P) có đỉnh tại O, nhận trục tung làm trục đối xứng và đi qua các điểm (2;8), (-1;2), (1;2), (2,8)
(giám khảo tự vẽ)
Ghi chú:- Nếu thí sinh vẽ chính xác đồ thị (P) có đỉnh tại O và ghi được tọa độ hai
điểm trên đồ thị thì vẫn cho điểm tối đa.
- Nếu thí sinh chỉ vẽ dạng parabol (P)có đỉnh tại O và không ghi các điểm
nào khác trên đồ thị thì chỉ cho 0,25đ.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) với parabol (P) là:
2x2 - 2(m -1)x + m -1 = 0
∆ ' = (m − 1) − 2(m − 1) = ( m − 1)(m − 3)
2

c)
0,75đ

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi ∆ ' > 0
Khi đó: (m -1)(m - 3) > 0 ⇔ m < 1 hoặc m > 3
Vậy khi m < 1 hoặc m > 3 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Gọi A( x0 ; yo ) là điểm cố định trên đường thẳng (d). Ta có: y0 = 2(m − 1) x0 − m + 1
⇔ (2 x0 − 1)m − 2 x0 − y0 + 1 = 0 đúng với mọi m
đúng với mọi m
2 x0 − 1 = 0
⇔
−2 x0 − y0 + 1 = 0
1

1
 x0 =
⇔
2 Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định ( ;0)
2

 y0 = 0

Ghi chú: thí sinh có thể trình bày:
Pt đt (d): y = 2(m -1)x - m +1 đưa về dạng: (2x - 1)m –2x – y + 1 = 0 (*)
Các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định khi và chỉ khi phương trình (*) đúng
2 x − 1 = 0
 −2 x − y + 1 = 0

Bài 4.
a)
1đ

0,5
0,5

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

với mọi m, khi đó hệ phương trình sau đây được thỏa mãn: 

0,25

1


1
x =
⇔
2 Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định ( ;0)
2
 y = 0

0,25

(2,5 điểm)
E

C

M

A

I

B

O

D
F
K

Vì MC, MD là các tiếp tuyến của (O) nên: OC ⊥ MC; OD ⊥ MD

/>
0,25
7


b)
0,75
đ

I là trung điểm của dây AB nên OI ⊥ AB
·
·
·
Do đó: MCO
= MDO
= MIO
= 900
Vậy: M, C, I, O, D cùng nằm trên đường tròn đường kính MO
Trong hai tam giác vuông ODK và MIK ta có:
µ =
Cos K

KD KI
=
KO KM

0,25
0,25
0,25
0,5

Ghi chú: thí sinh có thể chứng minh ∆ODK : ∆MIK : 0,25đ
⇒

KD KO
=
KI KM

: 0,25đ

⇔ KD. KM = KO.KI (đpcm)

c)
0,75đ

0,25

Vì tam giác MCD cân tại M và EF//CD nên tam giác MEF cân tại M.
Do đó đường cao MO cũng là trung tuyến.
1
2

1
2

Ta có: S MEF = MO.EF= MO(2OE ) = MO.OE = OC.ME (vì ∆MOE vuông)
S MEF = OC ( MC + CE ) ≥ 2OC MC.CE = 2OC. OC 2 = 2OC 2 = 2 R 2
SMEF đạt giá trị nhỏ nhất khi dấu “=” xảy ra ⇔ MC = CE ⇔ ∆MOE vuông cân tại

0,25

0,25

O

⇔ OM = OC 2 = R 2 ⇔ M là giao điểm của ( ∆ ) và đường tròn (O;R 2 )

0.25

Câu 5. (1 điểm)
S

C

I

A

D

O

B

Gọi V1, R1, h1 lần lượt là thể tích, bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
V2, R2, h2 lần lượt là thể tích, bán kính đáy và chiều cao của hình nón.
2
Ta có: V1 = π R1 h1 ⇒ h1 =

Ta có: ID // OB nên

V1
9420
=
= 30 (cm)
2
π R1 3,14 ×100

ID SI
R h − h 90 − 30 2
=
⇔ 1 = 2 1=
=
OB SO
R2
h2
90
3

3
3
R1 = ×10 = 15 (cm)
2
2
1
1
Vậy: V2 = π R22 h2 = × 3,14 × 152 × 90 = 21195 (cm3)
3
3
⇒ R2 =

Kết luận: Thể tích của hình nón là 21195cm
SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH
8

3

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011

0,25
0,25
0,25
0,25


Đề chính thức

ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP CHẤT LƯỢNG CAO TRƯỜNG PT DTNT TỈNH
Ngày thi: 21 tháng 7 năm 2010
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)


Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức: A = 1

2
x- 2

+

2  x- 6
÷: 2
x+ 2 ÷
 x -2

a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa;
b) Rút gọn biểu thức A.
Câu 2 (2 điểm) Cho phương trình: x 2 - mx - x - m - 3 = 0 (1), (m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 với mọi
giá trị của m;
b) Tìm giá trị của m để biểu thức P = x12 + x 2 2 - x1x 2 + 3x1 + 3x 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 (2 điểm) Một canô đi xuôi dòng sông từ bến A đến bến B hết 6 giờ, đi ngược dòng
sông từ bến B về bến A hết 8 giờ. (Vận tốc dòng nước không thay đổi)
a) Hỏi vận tốc của canô khi nước yên lặng gấp mấy lần vận tốc dòng nước chảy ?
b) Nếu thả trôi một bè nứa từ bến A đến bến B thì hết bao nhiêu thời gian ?
Câu 4 (3 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 10cm. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A
xuống BC. Biết rằng HB = 6cm, tính độ dài cạnh huyền BC.
2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác, AH cắt
đường tròn (O) tại D (D khác A). Chứng minh rằng tam giác HBD cân.
3. Hãy nêu cách vẽ hình vuông ABCD khi biết tâm I của hình vuông và các điểm M,
N lần lượt thuộc các đường thẳng AB, CD. (Ba điểm M, I, N không thẳng hàng).
 x 2 y 2 - xy - 2 = 0
Câu 5 (1 điểm) Giải hệ phương trình:  2 2
2 2
 x + y = x y

HƯỚNG DẪN CHẤM DTNT Chất lượng cao
/>
9

(Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tơng ứng)
Cõu

1

ý
1a x 2, x 2, x 6

im
1
0.5

x2 2 x 2 2 + x 2 2 x 6
: 2
x2 2
x 2
1
2
2
b
x 6 x 2
= 2
.
= x+ 6
x 2 x 6
Viết (1) x 2 (m + 1) x (m + 3) = 0
2a Ta có = (m + 1)2 + 4(m + 3) = m 2 + 6m + 13 = (m + 3) 2 + 4 > 0 m
Vì > 0 m nên phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

A=

0.5
0.5
0.5

x1 + x2 = m + 1

2
2
b

3

Hng dn chm

0.5

+ Theo nh lý Viet ta cú:
x1 x2 = (m + 3)
+ Lỳc ú: P = (m + 1)2 + 3(m + 3) + 3(m + 1) = m 2 + 8m + 13 = (m + 4)2 3 3

0.5

+ Vy vi m = - 4 thỡ P t giỏ tr nh nht bng -3.
+ Gọi x, y lần lợt là vận tốc tht của canô và vận tốc dòng nc chảy, từ
3a giả thiết ta có phơng trình: 6( x + y ) = 8( x y ) 2 x = 14 y x = 7 y .
+ Vậy vận tốc của canô khi nc yờn lng gấp 7 lần vận tốc dòng nớc.
+ Gọi khoảng cách giữa hai bến A, B là S, ta có: 6( x + y ) = S 48 y = S .
3

S
b + Vậy th trụi bè nứa xuôi từ A đến B ht s thi gian là y = 48 (giờ).

0.5
0.5

0.5
0.5

áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông ABC,

4a

4
b

4

1

BH
3
50
Vậy độ dài cạnh huyền là: (cm)
3

+ BH cắt AC tại E. Chứng minh đợc
(1)
ã
ã

BHI : AHE HAC
= HBC

4

I

2
ta có: BA2 = BH .BC BC = BA = 50 .

ã
ã
+ Lại có: HAC=DBC
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra: BC là phân giác
ã
của DBH
(3)
+ Kết hợp (3) với giả thiết BC HD
suy ra tam giác DBH cân tại B.

A

0.5
0.5

10

B

6

C

H

4c + Gi M v N ln lt l im i xng ca M v N qua tõm I ca hỡnh
vuụng ABCD. Suy ra MN // MN
+ Gi H, K ln lt l chõn cỏc ng vuụng gúc h t I xung cỏc
ng thng MN v MN. V ng trũn tõm H, bỏn kớnh HI ct MN ti
hai im A v B; v ng trũn tõm K, bỏn kớnh KI ct MN ti hai im
C v D.
+ Ni 4 im A, B, C, D theo th t ta c hỡnh vuụng ABCD.
A

E

H

10

B

O

C

D

0.5

0.5


M

N'

H

A

B

I

D

N

K

C

M'

(ThÝ sinh kh«ng cÇn ph©n tÝch, chøng minh c¸ch dùng)
 xy = −1

+ Cã x 2 y 2 − xy − 2 = 0 ⇔ 
 xy = 2

5


x ≠ 0

 xy = −1
1
+ Gi¶i hÖ  2 2 ⇔  y = −
, V« nghiÖm
x
x + y = 1 
 2 1
 x + x 2 = 1

x ≠ 0

 xy = 2
2

⇔ y =
⇔x= y=± 2
+ Gi¶i hÖ  2 2
x
x + y = 4

 2 4
 x + x 2 = 4

0.5

0.25
0.25

KÕt luËn hÖ cã hai nghiÖm: { ( 2 ; 2);(− 2 ; − 2)}

/>
11