Bài giảng toán cao cấp c1 đại học th s huỳnh văn hiếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN – TỔ TOÁN

BÀI GIẢNG :

TOÁN CAO CẤP C1
HỆ ĐẠI HỌC

NĂM HỌC 2014 - 2015


9/6/2014

TOÁN CAO CẤP C1
ĐẠI HỌC
Giảng viên: ThS. Huỳnh Văn Hiếu
Tải bài giảng

tailieuhvh.webnode.vn

PHÂN PHỐI CHƢƠNG TRÌNH
SỐ TIẾT : 30
PHẦN I : ÔN TẬP VÀ BỔ TRỢ KIẾN THỨC CƠ BẢN
CHƢƠNG 1 : HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
CHƢƠNG 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
CHƢƠNG 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

PHẦN II : KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
CHƢƠNG 4 : TÍCH PHÂN SUY RỘNG HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
CHƢƠNG 5 : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ - BÀI TOÁN KINH TẾ
CHƢƠNG 6 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN

CHƢƠNG 7 : LÝ THUYẾT CHUỖI

Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1–C1
– ĐH Công nghiệp TP. HCM.
2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2, 3)
– NXB Giáo dục.
3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2
– ĐH Kinh tế TP. HCM.
4. Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao cấp (Giải tích)
– ĐH Kinh tế - Tài chính TP. HCM – NXB Thống kê.
5. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 3, 4)
– NXBĐHQG TP.HCM.
6. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1, 2)
– NXB Giáo dục.

§1.
§2.
§3.
§4.

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số
Bổ túc về hàm số
Giới hạn của hàm số
Đại lƣợng vô cùng bé – vô cùng lớn
Hàm số liên tục
…………………………….

§1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ
1.1. Khái niệm cơ bản

1.1.1. Định nghĩa hàm số
• Cho X ,Y
khác rỗng.
Ánh xạ f : X Y với x
y f (x ) là một hàm số.
Khi đó:
– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X.
– Miền giá trị (MGT) của f là:
G
y f (x ) x X .

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

– Nếu f (x1 ) f (x 2 ) x1 x 2 thì f là đơn ánh.
– Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh.
– Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh.
VD 1.
a) Hàm số f :
thỏa y f (x ) 2x là đơn ánh.
b) Hàm số f :
c) Hsố f : (0;

• Hàm số y
• Hàm số y

[0;
)

) thỏa f (x ) x 2 là toàn ánh.
thỏa f (x ) ln x là song ánh.

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

Nhận xét
– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
– Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

1.1.2. Hàm số hợp
• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện Gg
Khi đó, hàm số h(x ) (f
hàm số hợp của f và g.

f (x ) đƣợc gọi là hàm chẵn nếu:
f ( x ) f (x ), x Df .

Chú ý

f (x ) đƣợc gọi là hàm lẻ nếu:
f ( x)
f (x ), x Df .

VD 2. Hàm số y

(f

f (x )

g )(x )

g )(x )

2(x 2
2x

2

1)2

(g

Df .

f [g(x )] đƣợc gọi là

f )(x ).

x2

x và g(x )

1 là hàm hợp của
x2

1.

1


9/6/2014

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

1.1.3. Hàm số ngƣợc

1.2. Hàm số lƣợng giác ngƣợc

1.2.1. Hàm số y = arcsin x
• Hàm số y sin x có hàm ngƣợc trên

• Hàm số g đƣợc gọi là hàm số ngƣợc của f,
ký hiệu g f 1 , nếu x g(y ), y G f .

Nhận xét
– Đồ thị hàm số y f 1(x )
đối xứng với đồ thị của
hàm số y f (x ) qua
đƣờng thẳng y x .

f

1

: [ 1; 1]

VD 4. arcsin 0

1

(x )

arcsin

log2 x , mọi x > 0.

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

1

: [ 1; 1]

y

VD 5. arccos 0

arccos( 1)

arcsin x

1

f

;

f

arccos x

2

, x

[ 1; 1].

VD 7. arc cot 0
arc cot( 1)

y

arc cot x .

2

là

arc cot 3

………………………………………

3

;

.

2

, arctan

2

.

2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới
hạn là L (hữu hạn) khi x
x 0 [a; b ], ký hiệu
0 cho trƣớc ta tìm đƣợc
0
lim f (x ) L , nếu
x

0, arc cot(

4

Quy ước. arctan

x0

sao cho khi 0

)

;

;

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

;
2
3
;
4

.
6
Quy ước. arc cot(

2

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

(0; )

x

2

arctan 3

cot x có hàm ngƣợc trên (0; ) là

:

.

arctan( 1)

2
.
3

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

1

3

tan x có hàm ngƣợc trên

:

1.2.4. Hàm số y = arccot x

• Hàm số y

3
2

;

2
x
y arctan x .
VD 6. arctan 0 0 ;

;

1
; arccos
6
2

3
arccos
2
Chú ý

• Hàm số y

arccos x .

2

2

1.2.3. Hàm số y = arctan x

[0; ]

x

là

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

1.2.2. Hàm số y = arccos x
• Hàm số y cos x có hàm ngƣợc trên [0; ] là
f

2

0;

arcsin( 1)
f

;

;
2 2
y arcsin x .

x

2x thì

VD 3. Cho f (x )

2

)

.

x

x0

thì f (x )

L

.

Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới
x 0 [a; b ], ký hiệu
hạn là L (hữu hạn) khi x
lim f (x ) L , nếu mọi dãy {xn} trong (a; b) \ {x 0 } mà
x

xn

x0

x 0 thì lim f (xn )
n

L.

2


9/6/2014

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x
,
ký hiệu lim f (x ) L , nếu
0 cho trƣớc ta tìm

• Tƣơng tự, ký hiệu lim f (x )
x

x

đƣợc N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f (x )
• Tƣơng tự, ký hiệu lim f (x )

L , nếu

x

L

.

0 cho

trƣớc ta tìm đƣợc N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho

khi x < N thì f (x ) L
.

x

x0

f (x )

x

0 sao cho khi 0

tìm đƣợc

x0

thì

Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x
x0
với x
x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu
hạn), ký hiệu lim f (x ) L hoặc lim f (x ) L .

x

x

x0

x

1) lim [C .f (x )]
x

x

x0

g(x )]

3) lim [ f (x )g(x )]
x

a

b.

2) Xét L

ab ;

x0

a) L

f (x ) a
4) lim

, b 0;
x x 0 g(x )
b
5) Nếu f (x ) g(x ), x (x 0
; x0
) thì a b .
6) Nếu f (x ) h(x ) g(x ), x (x 0
; x0
) và
lim f (x )
lim g(x ) L thì lim h(x ) L .
x

x0

x

x0

x

b) L

3) lim

x0

x

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

x

x0

a

0, lim v(x )
x

lim [u(x )]v(x )

x

VD 1. Tìm giới hạn L
A. L

B. L

9;

VD 2. Tìm giới hạn L
A. L

;

B. L

lim

x

4;

x

e3;

3

C. L

lim 1

x

A. L

2x
x 1

2x

C. L

x

x

0

lim f (x )
x

0

x

L.

0

lim

x

0

an x n
bm x

an 1x n

m

bm 1x

1

m 1

...

a0

...

b0

, ta có:

an

nếu n m ;
bn
0 nếu n m ;
nếu n

sin x
x

m.

lim
x

0

tan x
x

1.

;

B. L

lim 1
x

1;

tan2 x

0

C. L

4

e;

1
4x

.

D. L

e.

.

1;
3x

2x 2

x

VD 3. Tìm giới hạn L

ab .

x0

lim f (x )

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

b thì:

x0

0

Các kết quả cần nhớ
1
.
, lim

x 0 x

c) L

Định lý
Nếu lim u(x )

x

x

L

x0

1
1) lim
x 0 x

C .a (C là hằng số).

x0

2) lim [ f (x )

x0

x

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

b . Khi đó:

a và lim g(x )

0

x0 0

Chú ý. lim f (x )

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

2.2. Tính chất
Cho lim f (x )

x0

• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x
x0
với x x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu
hạn), ký hiệu lim f (x ) L hoặc lim f (x ) L .
x

M.

0 có trị
0 sao cho

tuyệt đối lớn tùy ý cho trƣớc ta tìm đƣợc

khi 0
thì f (x ) M .
x x0

x

Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là
khi x
x 0 , ký hiệu
, nếu M 0 lớn tùy ý cho trƣớc ta
lim f (x )

M

, nếu

x0

2x

1
e2;

D. L

0.

.
D. L

1.

………………………………………

3


9/6/2014

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

§3. ĐẠI LƢỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
3.1. Đại lƣợng vô cùng bé

1) Nếu (x ), (x ) là các VCB khi x
x 0 thì
(x )
(x ) và (x ). (x ) là VCB khi x
x0.

a) Định nghĩa
Hàm số (x ) đƣợc gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB)
x 0 nếu lim (x ) 0 (x 0 có thể là vô cùng).
khi x
x

x0

tan3 sin 1

VD 1. (x )

1

(x )

2

ln x

b) Tính chất của VCB

x là VCB khi x

là VCB khi x

2) Nếu (x ) là VCB và (x ) bị chận trong lân cận x 0
x0.
thì (x ). (x ) là VCB khi x

3) lim f (x )

1 ;

x

VCB khi x

.

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

c) So sánh các VCB
• Định nghĩa
Cho (x ), (x ) là các VCB khi x
Khi đó:

x0

k.

– Nếu k 0 , ta nói (x ) là VCB cấp cao hơn (x ),
ký hiệu (x ) 0( (x )) .
– Nếu k

(x ), trong đó (x ) là

a

x0.

VD 2.
• 1 cos x là VCB cùng cấp với x 2 khi x
x
2 sin2
1 cos x
2

lim
lim
2
x 0
x 0
x2
x
4
2

0 vì:

1
.
2

, ta nói (x ) là VCB cấp thấp hơn (x ).

– Nếu 0 k
, ta nói (x ) và (x ) là các VCB
cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu k 1, ta nói (x ) và (x ) là các VCB
(x ) .
tương đương, ký hiệu (x )

• sin2 3(x

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

1) (x )

(x )

2) Nếu (x )
1

(x )

4) Nếu (x )

(x )
(x ), (x )

(x )

0( (x ))

(x ) thì (x )

0( (x )).
(x ).

(x ), 2(x )
(x ) thì
2
(x ) 2(x )
(x ) 2(x ).
1
1

(x )

1)2 khi x

9(x

1.

• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

1

0( (x )) thì (x )

1)

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

• Tính chất của VCB tƣơng đƣơng khi x → x0

3) Nếu

f (x )

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

(x )
(x )

x 0 , lim

x

a

x0

(x ).

Cho (x ), (x ) là tổng các VCB khác cấp khi x
x0
(x )
thì lim
bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp
x x 0 (x )
nhất của tử và mẫu.

VD 3. Tìm giới hạn L
Giải. L

lim

x

0

x3

(1
x

4

lim

x

x3

0

cos x )
x

2

cos x
x

4

x

lim

x

0

1

2

1

.

cos x
x

2

1
.
2

4


9/6/2014

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

• Các VCB tƣơng đƣơng cần nhớ khi x → 0

1) sin x

x)

7) ln(1

x;

4) arctan x

x;
x2
;
2

cos x

5) 1

2) tan x

x;

3) arcsin x

VD 4. Tính giới hạn L

x;

lim

x

2x sin2 x )

ln(1

sin x 2 . tan x

0

.

x

6) e x

1

x;

8) n 1

x

1

x
.
n

VD 5. Tính L

lim

x

x

sin

1

x2

1

sin x 3

0

3 tan2 x

.

2x

Chú ý
0 thì ta có thể thay x bởi
Nếu u(x ) là VCB khi x
u(x ) trong 8 công thức trên.

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

VD 6. Cho hàm số y
Khi x

f (x ) thỏa:

2t

t2

y

t2

3t 4

x
;
4
x
;
2

C. f (x )

Giải. Khi x
t

0

Chú ý

.

0 , chọn đáp án đúng?
2

A. f (x )

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

x

B. f (x )
D. f (x )
t
t

0 thì

x

0
2(loaïi vì y

2t, y

t2

x2
;

2

VD. lim
x

3x 2 .
0)

lim

x
4

A.

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

cos x
3

2x
x3

x2

1

x0

là VCL khi x

sin x
x 1

cos 4x

3

2

2

lim

x

x

0

x3
tan x x

1)
x
( x)

0

x

x2

0

lim
x

(e x

0

(e

0;

là VCL khi x

Nhận xét. Hàm số f (x ) là VCL khi x
1
là VCB khi x
f (x )

.
x 0 thì
x0.

1)

2

0 (Sai!).

x3
x

x

(Sai!).

x

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

b) So sánh các VCL
• Định nghĩa

Hàm số f (x ) đƣợc gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL)
x 0 nếu lim f (x )
khi x
(x 0 có thể là vô cùng).

VD 7.

x

0

x

e

lim

3.2. Đại lƣợng vô cùng lớn
a) Định nghĩa

x

ex

x

2

f (x )

Quy tắc VCB tƣơng đƣơng không áp dụng được cho
hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử
hoặc mẫu của phân thức.

Cho f (x ), g(x ) là các VCL khi x

x 0 , lim
x

x0

f (x )
g(x )

k.

Khi đó:
– Nếu k

0 , ta nói f (x ) là VCL cấp thấp hơn g(x ).

– Nếu k

, ta nói f (x ) là VCL cấp cao hơn g(x ).

– Nếu 0 k
cùng cấp.

, ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL

– Đặc biệt, nếu k 1, ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL
tương đương. Ký hiệu f (x ) g(x ) .

5


9/6/2014

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

VD 8.
•

3
x

là VCL khác cấp với

3

lim

x

0

3
1
:
x 3 2x 3 x

• 2 x3

x

1
2x

3 lim

x

3

x

2x

khi x

3

x

x

2 x 3 khi x

1

3 lim

x3

0

0 vì:

0

x

.

x3

Cho f (x ) và g(x ) là tổng các VCL khác cấp khi x
x0
f (x )
thì lim
bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất
x x 0 g(x )
của tử và mẫu.

.

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

VD 9. Tính các giới hạn:
x 3 cos x 1
;B
A
lim
x
3x 3 2x

Giải.

A

B

lim

x

x

lim

x

3

3x

3

x

2 x

2x
7

2

1
2

.

sin x

1
.
3

§4. HÀM SỐ LIÊN TỤC
4.1. Định nghĩa
• Số x 0 Df đƣợc gọi là điểm cô lập của f (x ) nếu

0: x

(x 0

; x0

) \ {x 0 } thì x

• Hàm số f (x ) liên tục tại x 0 nếu lim f (x )
x

x3
2 x7

x

lim

3

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

x

lim

1
2 x

0.

…………………………………………………………

f (x 0 ).

• Hàm số f (x ) liên tục trên tập X nếu f (x ) liên tục tại
mọi điểm x 0 X .
Chú ý. Hàm f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ] thì có đồ thị là
một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó.
Quy ước. Hàm f (x ) liên tục tại mọi điểm cô lập của nó.

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

4.2. Định lý
• Tổng, hiệu, tích và thƣơng của các hàm số liên tục tại
x 0 là hàm số liên tục tại x 0 .
• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó.
• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất trên đoạn đó.

x0

Df .

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

4.3. Hàm số liên tục một phía
• Định nghĩa
Hàm số f (x ) đƣợc gọi là liên tục trái (phải) tại x 0 nếu
lim f (x ) f (x 0 ) ( lim f (x ) f (x 0 )).
x

x0

x

x0

• Định lý
Hàm số f (x ) liên tục tại x 0 nếu
lim f (x )
x

x0

lim f (x )
x

x0

f (x 0 ).

6


9/6/2014

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

3 tan2 x

VD 1. Cho hàm số f (x )

sin2 x
2x

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

,x

0

,x

0

để hàm số liên tục tại x 0 là:
1

1;
B.
;
C.
D.
2

ln(cos x )

.

VD 2. Cho hàm số f (x )

A.

0;

 Chƣơng 1. Hàm số một biến số

x0

x

(C )

x

f (x 0 )

x0

Ngƣợc lại, x 0 là điểm gián đoạn loại hai.

……………………………………………………………………………

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

x

x

f (x 0 )

x 0 nên:
lim

x

f (x )

x0

x

f (x 0 )
x0

.

b) Đạo hàm một phía

Cho hàm số y f (x ) xác định trong lân cận phải
f (x ) f (x 0 )
(nếu có)
(x 0 ; b) của x 0 . Giới hạn lim
x x0
x x0
đƣợc gọi là đạo hàm bên phải của y f (x ) tại x 0 .
Ký hiệu là f (x 0 ). Tƣơng tự, f (x 0 ).
Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi

f (x 0 )

f (x 0 )

A.

3
.
2

………………………………………………………

O x0

nhƣng f (x 0 ), f (x 0 ) và f (x 0 ) không đồng thời bằng
nhau thì ta nói x 0 là điểm gián đoạn loại một.

Nhận xét. Do

.

0

§1. Đạo hàm
§2. Vi phân
§3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị
§4. Quy tắc L’Hospital

y

• Nếu tồn tại các giới hạn:
lim f (x ) f (x 0 ), lim f (x )
x

0

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

4.4. Phân loại điểm gián đoạn

• Nếu hàm f (x ) không liên tục
tại x 0 thì x 0 đƣợc gọi là
điểm gián đoạn của f (x ).

,x
2x 2
2
3, x

Giá trị của để hàm số liên tục tại x 0 là:

17
17
3
; B.
; C.
; D.
12
12
2

Giá trị của

3
.
2

arctan2 x

f (x 0 ).

§1. ĐẠO HÀM
1.1. Các định nghĩa
a) Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y f (x ) xác định trong lân cận (a; b) của
x0

(a; b). Giới hạn:
f (x 0
x)
y

lim
lim
x 0
x 0
x
x
(nếu có) đƣợc gọi là đạo hàm của y
Ký hiệu là f (x 0 ) hay y (x 0 ).

f (x 0 )

f (x ) tại x 0 .

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

c) Đạo hàm vô cùng
y
• Nếu tỉ số
khi x
x
đạo hàm vô cùng tại x 0 .

0 thì ta nói y

f (x ) có

• Tƣơng tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng
một phía.

VD 1. Cho f (x )

f (x )

3

x

f (0)

x

f (0 )

,
.

Chú ý
Nếu f (x ) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x 0 thì tiếp
tuyến tại x 0 của đồ thị y f (x ) song song với trục Oy .

7


9/6/2014

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

1.2. Các quy tắc tính đạo hàm

Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thƣơng của hai hàm số:
(u v ) u v ;
(uv ) u v uv ;

k
v

kv
v

2

,k

u
v

;

uv
v

2) Đạo hàm của hàm số hợp f (x )
f (x )

uv
2

.x

3) sin x

cos x ;

y (u ).u (x ).

5) tan x

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

8) a x

1
;
x

9) ln x

1
x

1

2

4) cos x

1
x2

1

1

13) arctan x

x2

1

1

14) arc cot x

;

x2

1

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

x

VD 3. Tính yx (1) của hàm số cho bởi

Giải. Ta có: yx

x

1

(t 2

2t )

2t

t

(e )

et

1

e

t

0

;

sin x ;

y

2
t

e
t

t

2

2t

cos x
1 tan2 x ;

2.

sin2 x

;

;

và hàm số ngƣợc này có đạo hàm thì:
yt
y (t )
y (x )
hay yx
.

x (t )
xt

.

(4t 3 )

Giải. Ta có: y (x )

(2t 2

1)

x

2t 2

y

3

12t 2
4t

4t

1

,t

0.

3t .

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

1.4. Đạo hàm cấp cao
• Giả sử f (x ) có đạo hàm f (x ) và f (x ) có đạo hàm thì

f (x ) là đạo hàm cấp hai của f (x ).

f (x )

.

yx (1)

.

1

6) cot x

2

VD 2. Tính y (x ) của hàm số cho bởi

1

2 x

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

1
;
x .ln a

12) arccos x =

;

1

x

1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phƣơng trình tham số
Cho hàm số y f (x ) có phƣơng trình dạng tham số
x x (t ), y y(t ). Giả sử x x (t ) có hàm số ngƣợc

a x .ln a ;

10) loga x

11) arcsin x =

2)

y[u(x )]:

y (u ).u (x ) hay y (x )

ex ;

;

.

3) Đạo hàm hàm số ngƣợc của y y(x ):
1
.
x (y )
y (x )

7) e x

1

1) x

• Tƣơng tự ta có:
f (n )(x )

f (n

1)

(x ) là đạo hàm cấp n của f (x ).

8

9/6/2014

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

VD 4. Cho hàm số f (x )
A. f (6)(0)

sin x . Tính đạo hàm f

B. f (6)(0)

32 ;

C. f (6)(0)

VD 5. Tính f

2

(n )

(x ) của hàm số f (x )

Giải. Ta có f (x )

(n

1)(1

x )n

f (x )

n(n

1)(1

x )n

0.
n 1

x)

(1

( 1)n .(n

.

1)!(1

Df nếu

f (x 0 ) có thể biểu diễn dƣới

f (x 0 ) A. x 0( x )
dạng:
0.

với A là hằng số và 0( x ) là VCB khi x
Khi đó, đại lƣợng A. x đƣợc gọi là vi phân của hàm
số y f (x ) tại x 0 . Ký hiệu df (x 0 ) hay dy(x 0 ).

Nhận xét
•

f (x 0 )

A. x

0( x )

f (x 0 )
x

0( x )
x

A

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

VD 2. Tính vi phân cấp 1 của y

( 1)n n !
5
(x

4

1

.
1

4)n

1

(x

1)n

.

1

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

f (x 0 )

2.1. Vi phân cấp một
Hàm số y f (x ) đƣợc gọi là khả vi tại x 0
x)

Vậy y (n )

3x

x ).

§2. VI PHÂN

f (x 0

x

2

2

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

f (x 0 )

1

VD 6. Tính y (n ) của hàm số y

1

f (x )
(n 1)n(n 1)(1 x )n
…………………………………

Vậy f (n )(x )

(0).

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

32 ;

D. f (6)(0)

16 ;

(6)

arctan(x

2

1).

x 0
A
f (x 0 ) A .
x
df (x 0 ) f (x 0 ). x hay df (x ) f (x ). x .
df (x )
x
dx
x.
• Chọn f (x ) x

Vậy df (x )

f (x )dx hay dy

VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f (x )
Giải. Ta có f (x )

2ln(arcsin x ) .

f ( 1)

e

1.
3

e 3dx .

Vậy df ( 1)

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

2.2. Vi phân cấp cao
Giả sử y f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì:

d ny

VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y

x 2e 3x tại x 0

3x 2 )e 3x

(2x

y dx .

d(d n 1y )

y (n )dx n

đƣợc gọi là vi phân cấp n của hàm y
VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số y

Giải. Ta có y

Vậy d 2y

cos x
sin x
dx 2
sin2 x

y

1
sin2 x

f (x ).

ln(sin x ).

.

.

9


9/6/2014

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số y

Giải. Ta có y
...

2e 2x
y

(n )

y
2 e

n 2x

22e 2x
d ny

VD 6. Tính vi phân cấp 3 của f (x )
f

4

16HD d 3 f

4

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

e 2x .

§3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
3.1. Các định lý

2n e 2xdx n .

tan x tại x 0

4

.

16dx 3 .

3.1.1. Bổ đề Fermat
Cho hàm số f (x ) xác định trong (a;b) và có đạo hàm tại
x 0 (a;b). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất)
tại x 0 trong (a;b) thì f (x 0 ) 0 .
3.1.2. Định lý Rolle

Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a;b ] và khả vi trong
(a;b). Nếu f (a ) f (b) thì c (a;b) sao cho f (c ) 0 .

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

3.1.3. Định lý Cauchy
Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục trong [a;b ], khả vi
trong (a;b) và g (x ) 0, x (a;b).
Khi đó, c (a;b) sao cho:
f (b) f (a ) f (c)
.
g(b) g(a ) g (c)
3.1.4. Định lý Lagrange
Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a;b ], khả vi trong (a;b).
Khi đó, c (a;b) sao cho:
f (b) f (a )
f (c).
b a

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

3.2. Cực trị của hàm số
3.2.1. Hàm số đơn điệu
a) Định nghĩa
Cho hàm số f (x ) liên tục trong trong (a;b).
Khi đó:
• f (x ) đƣợc gọi là tăng ngặt trong (a;b) nếu
f (x1 ) f (x 2 )
0 , x1, x 2 (a;b) và x1
x1 x 2

• f (x ) đƣợc gọi là giảm ngặt trong (a;b) nếu
f (x1 ) f (x 2 )
0 , x1, x 2 (a;b) và x1
x1 x 2

x2 .

x2 .

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

• f (x ) đƣợc gọi là tăng hay giảm không ngặt trong (a;b)
f (x1 ) f (x 2 )
f (x1 ) f (x 2 )
nếu
0 hay
0,
x1 x 2
x1 x 2
x1, x 2 (a;b) và x1 x 2 .

b) Định lý 1
Cho hàm số f (x ) khả vi trong trong (a;b). Khi đó:
• Nếu f (x ) 0, x (a;b) thì f (x ) tăng ngặt trong (a;b).
• Nếu f (x ) 0, x (a;b) thì f (x ) giảm ngặt trong (a;b).
• Nếu f (x ) 0, x (a;b) hay f (x ) 0, x (a;b) thì
f (x ) tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong (a;b).

• f (x ) đƣợc gọi là đơn điệu trong (a;b) nếu
f (x ) tăng ngặt hay giảm ngặt trong (a;b).
• f (x ) đơn điệu trong (a;b) và liên tục trong (a;b ] thì
f (x ) đơn điệu trong (a;b ] (trƣờng hợp khác tƣơng tự).

c) Định lý 2
• Nếu f (x ) tăng ngặt trong (a;b) thì f (x ) 0 trong (a;b)
và không tồn tại ( ; ) (a;b) sao cho f (x ) 0 .
• Nếu f (x ) giảm ngặt trong (a;b) thì f (x ) 0 trong
(a;b) và không tồn tại ( ; ) (a;b) sao cho f (x ) 0 .

10


9/6/2014

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

3.2.2. Cực trị
a) Định nghĩa
• Nếu f (x ) liên tục trong (a;b) chứa x 0 và f (x 0 )
x (a;b) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 .
• Nếu f (x ) liên tục trong (a;b) chứa x 0 và f (x 0 )
x (a;b) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 .

f (x ),
f (x ),

b) Định lý
Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n trong (a;b) chứa x 0

thỏa f (x 0 )
• Nếu f (2n )(x 0 )
• Nếu f

f (2n

...

(2n )

(x 0 )

1)

(x 0 )

0 và f (2n )(x 0 )

0.

0 thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 .

D.

• Số M đƣợc gọi là giá trị lớn nhất của f (x ) trên X nếu:
x 0 X : f (x 0 ) M và f (x ) M , x X .

Ký hiệu là: M

max f (x ).

x X

• Số m đƣợc gọi là giá trị nhỏ nhất của f (x ) trên X nếu:
x 0 X : f (x 0 ) m và f (x ) m, x X .
Ký hiệu là: m min f (x ).
x X

0 thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 .

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

b) Phƣơng pháp tìm max – min

Chú ý
• Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X
• Nếu M

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
a) Định nghĩa
Cho hàm số y f (x ) có MXĐ D và X

max f (x ) và m
x X

m

f (x )

D.

min f (x ) thì:
x X

M, x

X.

 Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
Cho hàm số y

f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ].

Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bƣớc sau:
x [a ;b ]

x [a ;b ]

• Bƣớc 1. Giải phƣơng trình f (x ) 0 . Giả sử có n
nghiệm x1,..., x n [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]).
• Bƣớc 2. Tính f (a ), f (x 1 ),..., f (x n ), f (b).

• Bƣớc 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã
tính ở trên là các giá trị max, min tƣơng ứng cần tìm.

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
f (x ) x 4
x
x 3 trên đoạn [0; 2].
2

Giải. Ta có: hàm số f (x ) liên tục trên đoạn [0; 2].
1
f (x ) 4x 3 3x 1 0
x
x 1.
2
1
[0; 2] nên ta loại.
Do x
2
3
, f (2) 11.
Mặt khác: f (0) 3, f (1)
2
3
Vậy max f (x ) 11 tại x 2 , min f (x )
tại x 1.
x [0;2]
x [0;2]
2

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

Chú ý
• Nếu đề bài chƣa cho đoạn [a; b ] thì ta phải tìm MXĐ
của hàm số trƣớc khi làm bƣớc 1.

• Có thể đổi biến số t t(x ) và viết y f (x ) g(t(x )).
Gọi T là miền giá trị của hàm t(x ) (ta thƣờng gọi là
điều kiện của t đối với x ) thì:

max f (x )
x X

max g(t ), min f (x )
t T

x X

min g(t ).
t T

11


9/6/2014

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

 Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

§4. QUY TẮC L’HOSPITAL

VD 1. Tìm giới hạn L

Định lý (quy tắc L’Hospital)
Cho hai hàm số f (x ), g(x ) khả vi trong lân cận của điểm
x 0 và g (x ) 0 trong lân cận của x 0 (có thể g (x 0 ) 0 ).
Nếu lim f (x )
x

lim g(x )

x0

x

x0

f (x )
lim
x x 0 g (x )

k

0 (hoặc

lim

x

VD 2. Tìm giới hạn L

f (x )
thì lim
x x 0 g (x )

A. L

x2

0x

x

B. L

0;

x

;

k.

2

x

e

0

lim

) và

ex

2

.

2

sin2 x

.
.arctan2 x
1
C. L
; D. L
2

1
.
3

Chú ý
 Chiều ngƣợc lại trong định lý là không đúng.

 Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1.1. Định nghĩa
• Hàm số F (x ) đƣợc gọi là một nguyên hàm của f (x ) trên
khoảng (a; b) nếu F (x ) f (x ), x (a; b).

Nhận xét
• Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x ) C cũng là
nguyên hàm của f (x ).

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

1)

MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
a.dx ax C , a

2)

x dx

3)

dx
x

5)

e xdx

7)

cos xdx

9)

dx
cos2 x

x

1
dx

2 x

ln x

C;

4)

ex

C;

6)

a xdx

8)

sin xdx

sin x
tan x

C;

C ; 10)

x

dx
sin2 x

f (x ) C

13)

C

ax
ln a

14)

C

cos x
cot x

C
C

f (x )dx

g(x )dx .

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

12)

C,

f (x )dx

f (x )dx , k

d
f (x )dx f (x )
dx
4) [ f (x ) g(x )]dx

11)

1

1

2)

k

3)

f (x )dx (đọc là tích phân).

Ký hiệu

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

Tính chất
1) k .f (x )dx

15)
16)

dx

x

2

a
dx

2

a2 x 2
dx

1
x
arctan
a
a
x
arcsin
a

1
x a
ln
2a
x a
x 2 a2
dx
x
ln tan
C
sin x
2
dx
cos x

ln tan

dx

x2

ln x

x
2

4
x2

C

C, a

0

C

C
a

C

a

12


9/6/2014

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

dx

VD 1. Tính I

4 x2
x
C;
x
2
C;
2

1 2
ln
4
2
1 x
ln
2 x

A. I
C. I

x

2

B. I

D. I

1
ln
4
1
ln
2

1
x
ln
4 x

2

2

x
x
2
2

2
2
x
x

2
2

C

C;
C.

A.

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

1.2. Phƣơng pháp đổi biến
a) Định lý
Nếu

f ( (t )) (t )dt

dt

I

t

3

2

C.

cot x

2 sin 4 x

C

arcsin

ln x
3

3

2 sin 4 x

Đặt t
I

sin 3 x cos xdx

1
4

dt
t(t

3)

1
t 3
ln
12

t

sin 4 x (2 sin 4 x

3)

8 sin3 x cos xdx .

dt

3
1
12
C

1
1
5
x 3
1
ln x 3
5

1
t

3

1 1
5 x 3

3)

1
x

.

2

ln x

1
x

2

.

dx
C

2

1 x
ln
5 x

3
2

C.

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

dx

x3

x (x 3

3

3)

.

3x 2dx
x 2dx

dt

x 3 (x 3

3)

.

C

1
x3
ln
9 x3 3

C.

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

c) Tích phân hàm lƣợng giác
I
R(sin x, cos x )dx .

dx .

cos xdx
sin x (2 sin 4 x

1
2)(x

(x

6

6

C.

Giải. Biến đổi:

I

Vậy I

x

Giải. Biến đổi I

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

VD 5. Tính I

x

2

x

1 t 3
ln
9
t

ln x
dx
dt
x
t
arcsin

3

ln x

Giải. Biến đổi:
1

Đặt t

.

2

x 3

Giải. Đặt t

F ( (t ))

dx

VD 3. Tính I

x2

VD 4. Tính I

F (x ) C với (t ) khả vi thì:

f (x )dx

dx

VD 2. Tính I

.

dx

Giải. I

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

Cách giải
• Nếu R( sin x, cos x )
của sin lẻ) thì ta đặt t
• Nếu R(sin x, cos x )

1
dt
t

1
2 sin 4 x
ln
12 2 sin 4 x 3

.
3)

của cosin lẻ) thì ta đặt t
• Nếu R( sin x, cos x )

C.

R(sin x, cos x ) (nghĩa là bậc
cos x .

R(sin x, cos x ) (nghĩa là bậc
sin x .

R(sin x, cos x ) (nghĩa là bậc

của sin và cosin chẵn) thì ta đặt t

tan x hoặc hạ bậc.

13


9/6/2014

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

• Nếu R(sin x , cos x )
x
tan
2

t

1
b cos x

a sin x

2t

sin x

, cos x

t2

1

c

thì ta đặt:
1

t2

1

t2

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

sin3 2x cos2 x dx .

VD 13.
6 Tính I
VD

Giải. Biến đổi I

Đặt t

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

1.3. Phƣơng pháp tích phân từng phần
a) Công thức
u(x )v (x )dx u(x )v(x )
u (x )v(x )dx

uv

4 6
t
3

x2
2

du

4
cos6 x
3

cos8 x

C

x

2x

C.

I

u

x
2 x dx

dv

dx .

x .2 x dx .

Giải. Biến đổi I

vdu.

dx
,v

x

sin x dx .

1)dt

VD
VD 817.
: Tính I

x ln x dx .

u ln x
Giải. Đặt
dv xdx

dt

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

Đặt

VD
VD 16.
7 : Tính I

cos x

8 t 5 (t 2
t8

udv

cos2 x )(sin x dx ).

.

Vậy I

hay

cos5 x (1

8

x .2 x
ln 2

1
ln 2

du

2 x
ln 2

dx , v
x .2 x
ln 2

2 x dx

2

x

ln2 2

C.

C.

Chú ý
• Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trƣớc khi
lấy từng phần.

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

1 2
x ln x
2

I

1
2

xdx

3

VD
VD 918.
: Tính I

cos x e

Giải. Biến đổi I

(1

Đặt t

Đặt
I

u
dv

2

2

du

2tdt

et (1

t2)

et (1

t2)
1)2

Giải. Đặt t

2tetdt

2tet
C

3

x

x

t3

3t 2dt

dx

t

t )e dt .

I

et

v

cos 3 x dx .

VD
19.: Tính I
VD10

sin2 x )e sin x cos x dx .
(1

e dt

1 2
x
4

dx .

I

t

et (t

sin x

sin x

t

1

1 2
x ln x
2

et (1

t2)

2t(det )

6 td(cos t )

3t 2 sin t

6t cos t

3

1)2

3 t 2 d(sin t )

3t 2 sin t

3 x2

2etdt
e sin x (sin x

3 t 2 cos t dt

6 sin 3 x

6 sin t

C

6 3 x cos 3 x

C.

C.

14


9/6/2014

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

b) Các dạng tích phân từng phần thƣờng gặp

P(x )e

• Đối với dạng tích phân

x

dx , P (x ) là đa thức,

thì ta đặt:
u

e xdx .

P (x ), dv

Ta chia đoạn [a; b ] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
x 0 a x1 ... xn 1 xn b .
[xk 1; xk ] tùy ý (k

k

k 1

f ( k )(x k

Giới hạn hữu hạn (nếu có) I

ln x, dv

1, n ).

n

Lập tổng tích phân:

P (x ) là đa thức, thì ta đặt:
u

§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f (x ) xác định trên [a; b ].

Lấy điểm

P(x )ln x dx ,

• Đối với dạng tích phân

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

x k 1 ).

lim

max(xk xk
k

P(x )dx .

1

đƣợc gọi

) 0

là tích phân xác định của f (x ) trên đoạn [a; b ].
b

………………………………………………………………………

Ký hiệu là I

f (x )dx .
a

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số
b

k

a
b

g(x )]dx

a

b

f (x )dx , c

a

[a ; b ]

b

f (x )dx

b

8) m

f (x )dx

f (x )

g(x )dx
a

b

f (x ) dx

a

b

f (x )dx

0

a

7) a

f (x )dx

a

[a; b ]

b

a

c

a

g(x ), x

g(x )dx

f (x )dx

0;

f (x )dx

4)

f (x )dx

b

a
b

f (x )dx
b

6) f (x )

b

a

f (x )dx

3)

[a; b ]
a

b

a
a

0, x

f (x )dx , k
a

[ f (x )

2)

5) f (x )

b

k .f (x )dx

1)

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số
b

Tính chất

a

M, x

[a; b ]
b

c

m(b

a)

f (x )dx

M (b

a)

a

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số
1

9) Nếu f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ] thì

VD 1. Tích phân

b

c

[a; b ] :

0

f (x )dx

f (c )(b

a ).

a

Khi đó, đại lƣợng f (c)

b

1
b

a

f (x )dx đƣợc gọi là
a

giá trị trung bình của f (x ) trên đoạn [a; b].

hàm số f (x )

x2

dx
2

cos2 x

x
1

cos2 x

bị chặn (hữu hạn) vì

liên tục trên đoạn [0; 1].

VD 2. Giá trị trung bình của hàm số f (x )
là

e

1
e

1

1

dx
x

1
e

1

1

trên [1; e ]
x

.

15


9/6/2014

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

a) Tích phân với cận trên thay đổi (tham khảo)

Cho hàm f (x ) khả tích trên [a; b ], với mỗi x

[a; b ] thì

x

f (t )dt liên tục tại mọi x 0

hàm số (x )

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số
x2

2.2. Công thức Newton – Leibnitz

[a; b ]

VD2
:
VD 4.

1

Giải. Đặt t u
dt 2udu ,
t 1 u 1, t x 2
x

VD 3. Xét (x )

u

2

2u 7 ln u 2du

1

t2

e dt, x

0.

x.

x

t 3 ln tdt

(x )

f (x ).
x

(x ).

0 . Tìm

2

a

(x )

và

t 3 ln tdt, x

Cho (x )

1

2x 7 ln x 2 .

(x )

0
2

et và

Ta có: f (t )

(x )

f (x )

2

ex .

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

Nếu f (x ) liên tục trên [a; b ] và F (x ) là một nguyên hàm
x

tùy ý của f (x ) thì (x )

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

Nhận xét

b) Công thức Newton – Leibnitz

f (t )dt và F (x )

(x )+C

1) Có hai phƣơng pháp tính tích phân nhƣ §1.

2) Hàm số f (x ) liên tục và lẻ trên [

a

f (x )dx

là nguyên hàm của f (x ) trên [a; b ].

b

f (x )dx
a

F (x )

b
a

F (b)

f (x )dx

F (a ).

] thì:

f (x )dx .

2

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số
3

b

f (x ) dx , ta dùng bảng xét dấu của f (x ) để

VD35.: Tính
VD

dx

I
1

a

tách f (x ) thành tổng của các hàm trên mỗi đoạn nhỏ.

e

VD 6.
VD4
:

Đặc biệt
b

;

0

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

4) Để tính

] thì:

0.

3) Hàm số f (x ) liên tục và chẵn trên [

Vậy ta có:

Tính I

.

x2

2x

(x 2

1)ln x

dx .
x

1

5

b

f (x ) dx
a

;

f (x )dx nếu f (x )
a

0, x

(a;b).

3

VD 8.
VD5
:

Tính I

x

3

4 x dx .

3

16


9/6/2014

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
3.1. Tính diện tích S của hình phẳng
a) Biên hình phẳng cho bởi phƣơng trình tổng quát

S

S

b

S

Giải. Hoành độ giao điểm:
x2 x4
x
1, x 0

0

d

f2 (x )

f1(x ) dx

S

g 2 (y )

a

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đƣờng y x 2 và y x 4 .
1
2
A. S
; B. S
15
15
4
8
C. S
; D. S
.
15

15

g1(y ) dy

Cách khác
Hoành độ giao điểm x 2

x4

1

x

1, x

x2

x 4 dx

x2

2

1

0

(x 2

2

4
15

x 4 )dx

0

C.

0

x

y2

y

x

2

x

y2

x

y

Tung độ giao điểm:
y2 y 2
y
1, y
2

(y

y 2 dy

2)

1

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đƣờng y e x 1 , y e 2x 3 và x 0.
1
ln 4 1
1 ln 2
A. ln 4
; B.
; C.
; D. ln 2
2
2
2

ln 2

(e 2x

S

ex

2)dx

0

1
2

ln 4

ln 4

1
2

e 2x 3
2
x ln 2.

1 2x
e
2
A.

ln 2

ex

C.

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

S

Giải. Hoành độ giao điểm: e x 1
e 2x e x 2 0 e x

4
15

x 4 )dx

Giải. Biến đổi:

x 4 dx

0
1

(x 2

VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đƣờng x y 2 và y x 2 .

1

S

x 4 )dx

1

c

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

1

(x 2

S

2x
0

2

.

2
1 2
y
2

1 3
y
3

2y

2

1

27
.
6

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

b) Biên hình phẳng cho bởi phƣơng trình tham số
1
2

Hình phẳng giới hạn bởi đƣờng cong có phƣơng trình
x x(t ), y y(t ) với t [ ; ] thì:

S

y(t ).x (t ) dt .

VD 4. Tính diện tích hình elip S :

x2

2

y2

a
b2
Giải. Phƣơng trình tham số của elip là:
x a cos t
, t [0; 2 ].
y b sin t

1.

17


9/6/2014

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số
2

S

2

b sin t .( a sin t ) dt
0

3.2. Tính độ dài l của đƣờng cong

sin2 t dt

ab

a) Đƣờng cong có phƣơng trình tổng quát

0

2

1

ab
0

cos 2t
dt
2

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

Cho cung AB có phƣơng trình y

ab .

f (x ), x

[a; b ] thì:

b

l

[ f (x )]2 dx .

1

AB

a

x2
từ gốc tọa độ
2

VD 5. Tính độ dài cung parabol y
O(0; 0) đến điểm M 1;

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

Giải. Ta có:

1
.
2

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

b) Đƣờng cong có phƣơng trình tham số
1

l

1

(y )2 dx

1
0

Cho cung AB có phƣơng trình tham số
x x (t )
, t [ ; ] thì:
y y(t )

0
1

1
x 1
2
2
2

x 2 dx

1

x2

ln x

1

x2
0

1
ln 1
2

l

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

t2

y

ln t

1
t2

1

,t

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay
a) Vật thể quay quanh Ox

0; 1 .

Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
y f (x ), y 0 , x a , x b quay quanh Ox là:
b

Giải. Ta có:

[x (t )]2

[y (t )]2 dt

a

VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi
y
ln x , y 0 , x 1, x e quay xung quanh Ox.

0
1

0

[ f (x )]2dx .

V

1

l

[y (t )]2 dt.

2 .

VD 6. Tính độ dài cung C có phƣơng trình:
x

[x (t )]2

AB

2

t
t

2

2

1
1

t

2

dt
1

1.

e

Giải. V

ln x dx
1

(x ln x

x)

e
1

.

18


9/6/2014

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

VD 8. Tính V do (E ) :

Giải. Ta có:
x2

y2

2

2

a

b

x2

y2

a2

b2

1 quay quanh Ox.

b2

y2

1

a

2

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

b) Vật thể quay quanh Oy

Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
x g(y ), x 0, y c và y d quay quanh Oy là:

a2

d

x2 .

[g(y )]2dy.

V
c

b

Vậy V

a

2 a

a2

2

x 2 dx

a

4
ab 2 .
3

VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi
y 2x x 2, y 0 quay xung quanh Oy.

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số
2

Giải. Parabol y 2x x
đƣợc viết lại:
y 2x x 2
(x 1)2 1
x

1

1

y, x

1

x

1

1

y, x

1

 Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

Chú ý
Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
y f (x ), y 0 , x a và x b quay xung quanh Oy
còn đƣợc tính theo công thức:

y

b

.

V

xf (x )dx (*).

2

a

1

Vậy V

1

1

y

2

1

1

y

2

VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9.

dy

2

0
1

4

1
0

y dy

8
3

(1

y )3

1
0

8
.
3

Giải. V

x (2x

2
0

2

x )dx

2

2x 3
3

x4
4

………………………………………………………………………

2

0

8
.
3

19