Tai lieu khao sat ham

PHẦN TÍCH THUẬT TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2.1 Đặc tả bài toán
Android đã có những bước đi dài kể từ khi thiết bị đầu tiên dùng hệ điều
hành này xuất hiện, chiệc T-Mobile G1. Trong khoảng thời gian ấy, chúng ta đã
chứng kiến sự xuất hiện của rất nhiều phiên bản Android, giúp nó dần biến đổi
thành một nền tảng di động mới mẽ như ngày hôm nay. Đi cùng với sự phát triển
đa phiên bản Android đó là sự phát triển rất nhiều ứng dụng chạy trên hệ điều
hành đó. Mục đích chính giúp cho người dùng giải trí, tìm hiểu và hỗ trợ trong
việc làm hay cuộc sống hằng ngày như xem thông tin, đọc báo, tra cứu từ điển
và một số phục vụ cho học tập.
Trong chương trình toán bậc phổ thông trung học, các bài tập về khảo sát
hàm số rất quan trọng. Trong các kỳ thi tốt nghiệp hay thi đại học, phần khảo sát
hàm cũng chiếm ít nhất 2/10 điểm.
Một trong những ứng dụng nổi bật giúp cho học sinh trung học và phổ
thổng dễ dàng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đó là phần mềm khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số sơ cấp trên hệ điều hành Android. Đây là một phần mềm rất tiện ích
để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cơ bản như : Hàm số bậc nhất, hàm bậc hai,
hàm bậc ba, hàm số trùng phương và hàm số nhất biến. Đầy là các các loại hàm
số cơ bản mà học sinh trung học và phổ thông thường gặp khi làm bài tập.
Phần mềm sẽ khảo sát đây đủ các thông tin liên quan đến hàm số như : tập
xác đinh, sự biến thiên, tính đạo hàm, các điểm cực trị, điểm uốn và một số
thông tin khác. Đồ thị được vẽ toàn màn hình giúp cho người dùng dễ quan sát
các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số gồm có vị trí tọa độ, trục tung , trục
hoành và màu vẽ phù hợp.
Kết luận bài toán đặt ra cho chúng ta là : Xây dựng một phần mềm cho
phép người sử dụng điện thoại Android khảo sát và vẽ đồ thị hàm số một cách
đầy đủ, chi tiết và dễ dàng.


2.2 Đặc tả chức năng.

2.2.1 Hàm số bâc nhất
* Chức năng: Khảo sát hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0):
* Mô tả hoạt động:
-

TXĐ : D = R.

-

Tính biến thiên :
• a > 0 hàm số đồng biến trên R.
•

-

a < 0 hàm số nghịch biến trên R.

Bảng biến thiên :
• a>0
x

-∞

+

∞
y

-∞
+∞

• a<0
x

-∞
∞

y

-∞
+∞

-

Đồ thị :
• Bảng giá trị :

+


x
y

0
b

-b/a
0

• Đồ thị hàm số y =ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm A(0, b)

và B(-b/a; 0)
2.2.2 Hàm số bậc hai
* Chức năng: Khảo sát hàm số bậc nhất y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):
* Mô tả hoạt động:
- TXĐ : D = R.
- Tọa độ đỉnh I (-b/2a; f(-b/2a)),f(-b/2a) = -Δ/4a
- Trục đối xứng : x = -b/2a
- Tính biến thiên :
• a > 0 hàm số nghịch biến trên (-∞; -b/2a) và đồng biến trên khoảng (b/2a; +∞)
• a < 0 hàm số đồng biến trên (-∞; -b/2a) và nghịch biến trên khoảng (b/2a; +∞)
-

Bảng biến thiên :

• a>0

x

-∞

-b/2a

+∞
y

-∞

f(-b/2a)

+∞

• a<0

x

-∞

-b/2a

+∞
y

-∞
+∞

f(-b/2a)


-

Đồ thị :
Đồ thị hàm số ax2 + bx + c là một đường parabol (P) có:

• Đỉnh I (-b/2a; f(-b/2a)).
• Trục đối xứng : x = -b/2a.
• Parabol (P) quay bề lõm lên trên nếu a > 0, parabol (P) quay bề lõm xuống
dưới nếu a < 0.
2.2.3 Hàm số bậc ba
* Chức năng: Khảo sát hàm số bậc nhất y = ax3 + bx2 + cx +d (a ≠ 0)
* Mô tả hoạt động:
- Tập xác định. D=R

- Sự biến thiên
• Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm:

y ' = 0 ⇔ 3ax 2 +2bx+c=0

+
∆; ∆ '

y ' = 3ax 2 +2bx+c

(Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải

nếu nghiệm lẻ- không được ghi nghiệm gần đúng)
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

-

Tìm cực trị.

-

Tìm các giới hạn tại vô cực (

x → ±∞

)

(Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có TCĐ và TCN.)
-

Lập bảng biến thiên. Y=ax3+bx2+cx+d
• a < 0 và ∆ < 0
x
y’
y

+∞
+

∞


• a > 0 và ∆ < 0
x
y’

-

∞

+∞
-

y

• a > 0 và ∆ = 0
x

- ∞

-b/3a

+∞

y’

+

0

+

y
• a < 0 và ∆ = 0
x

- ∞

-b/3a

+∞

y’

-

0

-

y

• ∆ > 0 và a > 0
x
y’
y

- ∞

x1

x2

+∞
+

0
CD

-

0
CT

+


• ∆ > 0 và a < 0
x

-∞

x1

x2

+∞

y’

-

0

y

0
CD

CT

- Đồ thị:
• Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)
• Giao của đồ thị với trục Ox:

y = 0 ⇔ ax 3 +bx 2 +cx+d = 0 ⇔ x = ?

• Các điểm CĐ; CT nếu có.
Chú ý: Nếu nghiệm bấm máy tính được 3 nghiệm thì OK, còn nếu được 1

nghiệm nguyên thì phải đưa về tích của một hàm bậc nhất và một hàm bậc hai
để giải nghiệm. Trường hợp cả ba nghiệm đều lẻ thì chỉ ghi ra ở giấy nháp để
phục vụ cho việc vẽ đồ thị.
- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình
dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện
mất thời gian.)
- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị:
+ Hàm bậc ba nhận điểm

I ( x0 ; y0 )

làm tâm đối xứng:

+ Trong đó: x0 là nghiệm của phương trình y’’ = 0 (đạo hàm cấp hai bằng
0)
+ Điểm I được gọi là ‘điểm uốn’ của đồ thị hàm số.


* Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

a>0

a

a<0

y’=0
Phương trình

2

2

y’= 0 có hai
O

nghiệm phân
biệt.

Phương trình

-2

-2

2

2

y’ = 0 có
nghiệm kép

4

Phương trình
y’ = 0 vô

2

2

nghiệm

2.2.4 Hàm số trùng phương
* Chức năng : Khảo sát hàm số trùng phương : y = ax4+bx2+c (a#0)
* Mô tả hoạt động :
- Tập xác định: D=R


- Sự biến thiên
• Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm

y ' = 4ax 3 +2bx

y ' = 0 ⇔ 4ax 3 +2bx=0 ⇔ 2x(2ax 2 +b)=0

+ Ta có:

x = 0
x = 0

⇔
⇔
−b ⇔ ...
2
2

x
=

2ax
+b=0

2a


+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
-

Tìm cực trị

-

Tìm các giới hạn tại vô cực (

x → ±∞

). (Hàm trùng phương không có TCĐ

và TCN.)
-

Lập bảng biến thiên.
• Phương trinh có một nghiệm duy nhất:
o a>0
-∞

X

-b/2a

+
o a<0

∞

Y

-∞

-∞f(x)

x

+∞

-b/2a

+∞
Y

•

-∞

f(-b/2a)

+∞

3

Phương trình có
nghiệm

phân

biệt:
o a>0
X
y’
Y

-∞

x1

x3

x2

+∞
-

0
CT

0
CD

0

CT


o a<
o a<0
-∞

X

x3

x2

+∞

y’

-

Y
-

x1
0
CD

0

0
CD

CT

Đồ thị
• Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c)
• Giao của đồ thị với trục Ox:

y = 0 ⇔ ax 4 +bx 2 +c = 0 ⇔ x = ? ⇒ (?;0)

• Các điểm CĐ; CT nếu có.
Chú ý: giải phương trình trùng phương- các bạn bấm máy tính như giải
phương trình bậc hai nhưng chỉ lấy nghiệm không âm, sau đó giải để tìm ra x.
- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình
dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện
mất thời gian.)
- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Ta có:
y (− x) = a(-x) 4 +b(-x) 2 +c=ax 4 +bx 2 +c=y(x)

.

 Nên đồ thị hàm số đã cho là hàm số chẵn. Đồ thị của nó nhận Oy làm
trục đối xứng.


* Các dạng đồ thị hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
a

a>0

a<0

y’=0
Phương trình
2

y’ = 0 có ba
nghiệm phân
-2

biệt

Phương trình

2

y’ = 0 có một
nghiệm
-2

2.2.5 Hàm số nhất biến

* Chức năng : Khảo sát hàm số nhất biến : y =
* Mô tả hoạt động :

- Tập xác định:

 −d 
D = R\ 
 c 

- Sự biến thiên
• Xét chiều biến thiên của hàm số

ax + b
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
cx + d


+ Tính đạo hàm

ad-bc
 ax + b 
y' = 
÷' =
2
 cx + d  (cx+d)

x=

+ y’ không xác định khi

−d
c

x≠

; y’ luôn âm (hoặc dương) với mọi

+ Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng

d
(−∞; − )
c

và

d
( ; +∞)
c

- Tìm cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị
- Tiệm cận:
ax+b a
=
x →±∞ cx+d
c

lim y = lim

x →±∞

Ta có:

lim − y = lim −

x→

−d
c

x=

Do đó

x→

−d
c

y=

nên

ax+b
= ( ± )∞
cx+d

a
c

là TCN

lim + y = lim +

x→

;

−d
c

x→

−d
c

ax+b
= ( ± )∞
cx+d

−d
c

Lập bảng biến thiên.

-

o D = ad – bc > 0
x

- ∞

- d / c

+∞

y’

+

+
+∞

y

a/c

a/c
-∞

o D = ad – bc < 0
x

- ∞

- d / c

+∞

y’

-

-

a/c
y

+∞
-∞

/c

−d
c

a


-

Đồ thị

• Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y=

b
d

=> (0;

b
d

)

• Giao của đồ thị với trục Ox:
y=0⇔

ax+b
−b

−b
= 0 ⇒ ax + b = 0 ⇔ x =
⇒ ( ;0)
cx+d
a
a

• Lấy thêm một số điểm (nếu cần) - (điều này làm sau khi hình dung
hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó,
không lấy tùy tiện mất thời gian.)
I(

 Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Đồ thị nhận điểm
hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

* Các dạng đồ thị hàm số: y =
D = ad – bc > 0

ax + b
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
cx + d

D = ad – bc < 0
4

2

4

2

-2

−d a
; )
c c

là giao


2.2.6 Hàm số hữu tỉ

* Chức năng : Khảo sát hàm số nhất biến : y =
* Mô tả hoạt động :

1. Tập xác định:

ax 2 + bx + c
(ad ≠ 0)
dx + e

 e
D = R \ − 
 d

2. Sự biến thiên.
a. Chiều biến thiên:
y=

Ta có: y’=

ax 2 + bx + c
C
= Ax + B +
dx + e
dx + e

Cd
A(dx + e) 2 − Cd
A−
=
( dx + e ) 2
( dx + e ) 2

y’= 0 <=> A(dx+e)2 - Cd = 0
=> Tìm nghiệm và xét dấu của hàm số y’ dựa vào dấu của ACd
b. Cực trị
c. Giới hạn: limx->-e/d ( f(x) )= +∞, limx->-e/d (f(x))= - ∞
d. Bảng biến thiên
- Trường hợp y’ vô nghiệm:
+ y’ > 0
- ∞
x
+∞
y’
+

- e / d
+
+∞

+ y’ < 0

y
x

+∞
-- ∞∞

-∞

- e / d

+∞
y’

+∞

y

+∞
- ∞

-∞


* Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
+ a*d>0
-∞
x1

x
+∞
y’
+
0
f(x1)
y

-e/d
-

x2

+

- ∞

0
f(x2)

- ∞

- ∞

-∞
+ a*d < 0
-∞

x

x1

-e/d

x2

+∞

y’

-

0

+

+ ∞
y

-

0
+ ∞

+∞
f(x1)

f(x2)

3. Đồ thị

- Tiệm cận đứng: -e/d
- Tiệm cận xiên: y = Ax+B
- Tâm đối xứng: Giao giữa 2 đường tiệm cận
* Các dạng đồ thị hàm số: y =
ad
y’= 0

ax 2 + bx + c
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
dx + e

ad > 0

ad < 0

+
+ ∞


Phương trình
y’ = 0 có 2
nghiệm phân
biệt

y’< 0

y’ > 0

Phương trình
y’ = 0 vô

nghiệm

2.3 Khảo sát một số thư viện vẽ đồ thị trên Android
2.3.1 Achrtengine
Thư viện biểu đồ cho các ứng dụng Android, hỗ trợ các loại biểu đồ : biểu
đồ đường thẳng, biểu đồ thời gian, biểu đồ tròn, biểu đồ cột, … với đồ họa tương
đối đẹp và dễ cài đặt, sử dụng trong lập trình. Mỗi loại biểu đồ có nhiều tùy chỉnh
như : biểu đồ cột có 2 loại là default và stacked, biểu đồ đường thẳng cũng gồm
2 loại khác nhau… Tuy nhiên nhược điểm của thư viện này là biểu đồ được sinh
ra gắn với một intent, text view,… vào giao diện biểu đồ để thực hiện ý tưởng


riêng của người lập trình. Ví dụ như thêm các radio button để thực hiện các chức
năng hiện thị biểu đồ theo tuần, tháng, năm.
2.3.2 Graphview
Là một view tùy chỉnh dễ dàng tạo ra các biểu đồ bằng cách cung cấp một
mảng giá trị, biểu đồ tự động hiển thị ra một cách đầy đủ. Tuy nhiên đồ họa
không được đầu tư nhiều so với các thư viện biểu đồ khác, quá đơn gian, sơ sài,
không đáp ứng được các yêu cầu ứng dụng hướng tới xây dựng biểu đồ có đồ
họa dễ nhìn.
2.3.3 Aicharts
Thư viện được thiết kế và tối ưu cho Android, hỗ trợ các môi trường phát
triển Android, dễ dàng cài đặt, cung cấp đầy đủ tài liệu cần thiết kế và có các ví
dụ mẫu về cách sử dụng thư viện. Liên kết dễ dàng, nhanh chóng, cho phép lấy
dữ liệu từ một số định dạng phổ biến như : XML, database,… Tuy nhiên, đây là
thư viện có bản quyền với giá khá cao nên khó có điều kiện để sử dụng thư viện
này vào việc xây dựng ứng dụng.
2.3.4 Flot
Là thư viện Javascript cho jQuery. Nó tạo ra biểu đồ dựa trên dữ liệu từ
phía máy khách (client). Trọng tâm của thư viện là dễ sử dụng, tất cả các tùy

chọn đều mở rộng, giao diện đẹp và các tính năng tương tác với biểu đồ như
zoom in, zoom out, theo dõi chuột,… Do mọi công việc từ nhập dữ liệu đến vẽ
biều đồ đều được thực hiện trong file html nên việc sử dụng rất dễ dàng, chỉ cần
một webview trong Android với đường link đến file html để hiển thị ra màn hình.
2.3.5 Droidcharts
Là công cụ hỗ trợ vẻ biểu đồ cho điện thoại sử dụng hệ điều hành Android,
sử dụng đồ họa của Android. Đây là một nhánh của thư viện biểu đồ java
JfreeChart được phát triển cho nền tảng Android. Việc cài đặt và sử dụng thư
viện này khá dễ dàng trong lập trình. Việc thêm dự liệu cho biểu đồ tương đối dễ
dàng với các hàm được tích hợp sẵn trong thư viện, tuy nhiên đồ họa đơn giản,
đặc biệt các nhãn hiện thị theo các trục x,y không tự động căn chỉnh khi dữ liệu


hiển thị quá nhiều, ví dụ như khi hiển thị biểu đồ 1 tuần, do dữ liệu ít nên các
nhãn sẽ hiện thị ngày tháng năm đầy đủ, nhưng khi chuyển sang biểu đồ 1
tháng, hay 1 năm, dữ liệu sẽ nhiều, các nhãn do không tùy chỉnh được sẽ hiển
thị đè lên nhau.
2.4 Thuật toán vẽ đồ thị hàm số
Bước 1: Xác định đoạn cần vẽ [Min, Max].
Bước 2: Đặt gốc tọa độ lên màn hình (x0, y0).
Chia tỉ lệ vẽ trên màn hình theo hệ sô k.
Chọn số gia dx trên đoạn cần vẽ.
Bước 3: Chọn điểm xuất phát: x = Min, tính f(x).
Đổi qua tọa độ màn hình và làm tròn:
x1=x0 + Round(x*k);
y1=y0 – Round (f(x)*k);
Di chuyển đến (x1, y1): moveto(x1, y1);
Bước 4: Tăng x lên: x=x + dx;
Đổi qua tọa độ màn hình và làm tròn:
x2=x0 + Round(x*k);

y2=y0 – Round (f(x)*k);
Vẽ đến (x2, y2): lineto(x2, y2);
Bước 5: Lặp lại bước 4 cho đến khi x ≥ Max thì dừng.
Code vẽ đồ thị hàm bậc 3 viết trên Turbo C:
#include<conio.h>
#include<graphics.h>
float a,b,c,d,e,min,max;
int round(float x)
{
if (x>0) return int (x+0.5);
else
return int (x-0.5);
}


void khoitaodohoa()
{
int gd=0,gm=0;
initgraph(&gd,&gm,"d:\\tc\\bgi");
}
float f(float x)
{
return(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d);
}
void vedothi(float min,float max)
{
int x0,y0,x1,y1,x2,y2;
float x,dx,k;
x0=getmaxx()/2;
y0=getmaxy()/2;

k=(float)getmaxx()/15;
dx=0.0001;
setcolor(12);
line(0,y0,2*x0,y0);
line(x0,0,x0,2*y0);
x=min;
setcolor(1);
x1=x0+round(x*k);
y1=y0-round(f(x)*k);
moveto(x1,y1);
while (x{
x=x+dx;
x2=x0+round(x*k);
y2=y0-round(f(x)*k);
lineto(x2,y2);
}
}
void main()
{
khoitaodohoa();
min=-10;max=10;
setbkcolor(15);
a=1;b=-3;c=-1;d=2,e=-2;
vedothi(min,max);
getch();
closegraph();
}

Giao diện hàm số bậc ba
1. Nhập hàm số bậc ba


2. Kết quả khảo sát hàm số ba

3. Vẽ đồ thị hàm số bậc ba