Tài liệu khảo sát hàm số 2

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

51
Câu 40 :
1) Khảo
sát hàm số:
2
5
2
x x
x
y
 


(C)
 TXĐ:
 
\ 2D R


2
2
'
1
' 0
3
4 3
( 2)
y

x
y
x
x x
x



 



 


 Tiệm cận
đứng: x = 2 vì
2
lim
x
 

Ta có:
1
3
2
y x
x
  


 Tiệm cận xiên: y = x + 3 vì
1
lim 0
2
x
x




 BBT:


 Đồ thò:

Cho
5
0
2
x y  

2) Chứ
ng minh rằng tích khoảng cách từ 1 điểm M bất kỳ trên (C) đến các đường tiệm
cận là 1 hằng số.
Gọi
0 0 0 0
0
1
( , ) (

) 3
2
M x y C
y x
x
    


TCĐ: x –2 =
0
TCX: x – y + 3 = 0
Ta có:
0 0 0
2 3
( , ). ( , ) .
1 2
x x y
d M TCĐ d M TCX
  



Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

52


0
0

1
2
1
2 .
2 2
x
x


  
= hằng số

3) Tìm trên mỗi nhánh của (C) 1 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất:
Gọi
1
(2 ,5 )A a a
a
  
( a > 0) v
à
1
(2 ,5 )B b b
b
  
(b > 0)
là hai điểm thuộc 2 nhánh của
(C).
Ta có:
2
2 2

1 1
( ) ( )AB b a
b a
b a
   
 



2
2 2
2
2
1 2 1 4
( ) ( )
1 4 4 1 8 8
4 4
8 8 8 2 8 . 8 8 2
b a b a ab ab ab
ab ab ab
a b
ab ab
ab ab
   
 
         
   
   
      

khi:
2 2
4 4
4
2 2(1 2)
min( ) 2 2(1 2)
4 1
8
2
1 1
2
2
AB
AB
a b a b
ab
a b
ab
a b a b
  
  
 
 
 

 


 


     

Vậy:
4
4 4
1 1
2 ,5 2
2 2
A
 
  
 
 


4
4 4
1 1
2 ,5 2
2 2
B
 
  
 
 

Câu 41:

1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:

2
x
y (C)
x 1



 TXĐ: D = R\{1}


2
2
x 2x
y'
(x
1)
x 0
y' 0
x 2





 




 Tiệm cận
đứng:
x = 1 vì
1
lim y
x
 


Ta có:
1
y x 1
x 1
  


 Tiệm cận
xiên:
y = x + 1 vì
1
lim 0
x 1
x




Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

53
 BBT:


 Đồ thò:


2)
Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới
(C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 góc 45
0
.
-
Gọi M(a, 4)  đường thẳng y = 4, ta có đường thẳng y = 4 là tiếp tuyến kẻ từ M
đến (C) và song song Ox  tiếp tuyến thứ hai tạo với Ox 1 góc bằng ± 45
0

 Hệ số
góc tiếp tuyến tại M
0
(x
0
, y
0
)  (C) là f’
(x
0
) = ± 1

2
0 0
0
2
0
2
0 0
0
2
0
0
2
0 0
0
0
0
x 2 x
f'(x ) 1 =1 (vô nghiệm)
(x 1)
x 2 x
f'(x ) 1 = 1
(x 1)
2
x 1
2
2x 4x 1 0
2
x 1
2
3 2

y 2
2
3 2
y 2
2

 


   


 


   

 



 




 



Phương
trình tiếp tuyến tại M
0
là:

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

54

0 0
1
2
y (x x
) y
y x 3 2
2 (d )
y x 3 2
2 (d )
   


  


    


(d
1

) qua M(
a, 4) 
4 a 3 2
2 a 1 2 2
   
   

(d
2
) qua M(a, 4) 
4 a 3 2
2 a 1 2 2
   
   

Vậy có 2 điểm M thỏa điều kiện của bài toán.

1 2
M ( 1 2
2,4); M ( 1 2 2,4)
   

Câu42:

1) Khảo
sát hàm số:
y=
3
3x x

(1)
TXĐ: D = R
y’=
2
3 3x 


1
1
y'=0
x
x





y”=6x

y”=0
 x=0 =>y=0
=> điểm uốn O(0, 0)
BBT:




Đồ thò:

2) Chứ
ng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x + 1) + 2 luôn cắt đồ thò (1)
tại 1 điểm cố đònh A:
* Đường thẳng (d): y = m(x + 1) + 2 luôn đi qua điểm cố đònh A(-1, 2).
Thay A(-1, 2) vào (1) thoả =>A

đồ thò (
1).
Vậy: (d) luôn cắt đồ thò (1) tại điểm cố đònh A(-1, 2).

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

55
Đònh m để (
d) cắt đồ thò (1) tại 3 điểm A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến tại B và
C vuông góc với nhau.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

3
3x x
= m(x + 1) + 2

(x+1)(
2
x
- x – 2 - m)
= 0
(d) cắt (1) tại 3 điểm phân biệt.

1
2
2 0
(2)
x
x x m




 
   



(2) có 2 ngh
iệm phân biệt khác –1.

0
( 1) 0g

 
 


1 4(2
) 0
0
m
m


  


9
4
0
m
m









Khi đó (2) co
ù 2 nghiệm
B
x
,
C
x
=> hệ
số tiếp tuyến tại B và C là: f’(
B
x
), f’(

C
x
)
Tiếp tuyến tại B
và C vuông góc nhau

f’(
B
x
).f’(
C
x
) = -1

(3
2
B
x
-3)(3
2
C
x
- 3) = -1

9
2
B
x
2
C

x
- 9(
2
B
x
+
2
C
x
) + 9 = -1

9
2
P
-9(
2
S
- 2P) +1
0 = 0
Mà:
1
2
b
S
a
P m

  




  


=> 9
2
( 2 )m 
- 9(1
+ 4 + 2m) +10 = 0
=> 9
2
m
+18m –
9 = 0
=>
2
m
+2m-1=0
1 2
1 2
m
m




 
 
(loại)
So

với điều kiện: m > -
9
4
và m

-1+
2
.


Câu43:

Cho hàm số: y=
2 2
2
2
x x m
x
 


1) Tìm g
iá trò của m sao cho
y


2 với mo
ïi x

-2

Ta có:
y


2

y

-2

y

2



2 2
maxy 2 min 2
x x
y
 
    

Mà: y’=
2 2
2
4 4
( 2)
x x m
x

  


y’= 0
2 2
4 4 0x x m    


( 0)
1 2
2 2
m
x m
x m
 
 
 


Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

56
( 0)
'( )
1
2 2
Ð
'
( )

1
'( )
2
2 2
'( )
2
m
u x
y m
C
v x
u x
y m
CT
v
x



 




  
 


Ta có:
max 2

2
min 2
2
y
x
y
x









2 2 2
2 2 2
m
m




  
  

0
2 2
m

m m





  
2 2m m   


Vậy:
2, 2 2
2
y x kh
i m m
   
   

2) Khảo
sát hàm số với m = 1:
2
2 1 1
2 2
x x
y x
x x
 
  
 

 TXĐ: D = R\{-2
}
2
2
4 3
'
( 2)
x x
y
x
 



' 0
3
1
y
x
x

 





 Tiệm cận
đứng:
x = -2 vì

2
lim
x
y

 

 Tiệm cận
xiên:
y = x vì
1
lim 0
2
x
x




 BBT:


 Đồ thò:
Cho x
=0, y =
1
2


Cï §øc Hoµ

Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

57

Câu 44:
Cho hà
m số: y =
2
8
8( )
x x
x m


(1)
1)
Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (1) với m = 1:
y=
2
8
8( 1)
x x
x



 TXĐ: D = R\{-1
}
y’=
2

2
8 16 64
64( 1)
x x
x
 

=
2
2
2 8
8( 1)
x x
x
 


y’= 0
4
2
x
x







 Tiệm cận đứng:

x = -1 vì
1
lim
x
y

 

 Ta có: y=
1
8
x -
9
8
+
9
8( 1)x 

 Tiệm cận
xiên:
y=
1
8
x-
9
8
vì
9
lim 0
8( 1)

x
x




 BBT:


 Đồ thò:

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

58



2) Tìm m
sao cho hàm số (1) đồng biến trên [1,

)
Ta có:
2
8
(1)
8( )
x x
y
x

m




D =
R\{-m}

2 2
8 16 64 2
8
'
2 2
64( ) 8(
)
x mx m x
mx m
y
x m x m
   
 
 

Hàm số (1)
đồng biến trên [1,

)
' 0, [1
; )
y x   




2
2 8 0,
[1; )
x mx m
x
   
  



2
' 0 8 0
1 0
1 1
m m
m
m m


  

   


  



Hay

' 0
1
' 0
'(1) 0 0
1
6
1 2
1 0
2
af m
x x
S


 


 
     

 


 



ĐS:
1
1
6
m  

Câu 45:

1) Khảo
sát hàm số :

2
( 1) (
2)
y x x  
(C
)

3
3 2y x x  


Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

59
 TXĐ: D = R
2
' 3 3y x 

y’=0
1
1
x
x







y”=6x
y”= 0

x= 0

x = 0

y=

2

điểm uố
n I(0, -2)
 BBT:

 Đồ thò: Cho x =

2 , y =


4
x = 2, y = 0



2) Xác đònh k đ
ể đường thẳng (

) qua M
(2, 0) và có hệ số góc k cắt đồ thò hàm số sau
tại 4 điểm phân biệt:

3
3 2
1
y x x  
(
1
C
)
Ta có:
 
1
y f x

Đây là h
àm số chẵn nên đồ thò (
1
C

) nhận
Oy làm trục đối xứng.
Đồ thò (
1
C
) suy từ ( C)
như sau:

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

60



- Phần của (C) bê
n phải Oy giữ nguyên, bỏ phần của (C) bên trái Oy và lấy phần đối
xứng của phần bên phải của (C) qua Oy.
Xét đưòng thẳng
( )
1
d
qua 2 điể
m M(2, 0) và I(0, -2)

Hệ số góc
2
1
1
2

M I
M I
y y
k
x x

  


Xét đường
thẳng
2
( )d
qua 2 điể
m M(2, 0) và A(-1, -4):

Hệ số góc
2
4
3
M A
M A
y y
k
x x

 


Nếu

( )
qua M và nằ
m giữa
( )
1
d
và
2
( )d
thì
( )
cắt
1
( )C
tại 4 điểm p
hân biệt.
4
1
3
k  

Câu 46:

1) Khảo
sát và vẽ đồ thò hàm số :

3 1
3
x
y

x



(1)
 TXĐ: D
= R \{3}

2
10
' 0
( 3)
y
x

 




Hàm số giảm
trên từng khoảng xác đònh .
 Tiệm cận đứng :
x = 3 vì
3
lim
x
y

 

 TCN:
y
= 3 vì
lim 3
x
y



 BBT:



Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

61
 Điểm đặ
c biệt:





2) Tìm hàm số mà đồ thò của nó đối xứng của (C) qua đường thẳng x + y – 3 = 0.
Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C)
 I(3, 3)
Gọi () : x + y –3 = 0
Ta có: I và O đối xứng qua ().

Đổi trục bằng tònh tiến theo vectơ
(3,3
)
OI 




3
3
x X
y Y



 

 

Thay vào p
hương trình của (C):

3 10 10
3
X
Y Y
X X

   

Ta có:
TCĐ của (C) đối xứng qua () là trục Ox.
TCN của (C) đối xứng qua () là trục Oy.

Hai Đường tie
äm cận của (C
1
) đôi xứng của
(C) qua () là 2 trục Ox, Oy nên phương
trình của (C
1
) là :


10
y
x


3) C(a,b)
là 1 điểm tuỳ ý trên (C). Tiếp tuyến tại C cắt 2 đường tiệm cận tại A và B.
Chứng minh rằng C là trung điểm của AB và diện tích
IAB
không đổi.
Ta co
ù đối với hệ trục mới:

'
2
10 10

Y= (C
) Y = -
X
X



Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

62
10
( , )C a
b C b
a
  

Tiếp tuyến tại C
có phương trình:

2
2
2
10
'( )( ) '
( )
10 10 10
1
0 20
a

a
a
Y f X X
X Y Y X a b
c c c
Y X
a
a
Y X
a
   
   
   

   

Tiếp tuyến cắt TCĐ tại A
20
0 ,A
a
 

 
 

Tiếp tuyến cắt TCN tại B
C là trung
điểm AB
(2 , 0)
2

10
2
B a
X X
A B
a X
C
Y Y
A B
Y
C
a









 


 


Mặt khác:

1 1 20
. 2 . 20
2 2
S X Y a
B
IAB A
a
  
(đvdt)
Vậy: C là trung điểm đoạn AB và S
IAB
= 20 (kh
ông đổi).


Câu 47:
Cho hà
m số: y = x
4
– 4x
2
+ m (C)
1) Khảo
sát hàm số với m = 3:
y = x
4
– 4x
2
+ 3
 TC

Đ: D = R
3 2
2
4 8 4 (
2)
0
0
2
12 8
2 7
0
3 9
'
'
''
''
   





 

 
   
 
y x x x
x
x

y
x
y x
y x y


Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

63
Điểm uốn:
2 7 2 7
, , ,
3 9 3 9
   
   

   
   

 BBT:


 Đồ thò (học
sinh hãy tự vẽ)
Cho
1
0
3
x

y
x
 

 

 


2) Giả sử (
C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Xác đònh m sao cho diện tích hình phẳng giới
hạn bởi (C) và trục Ox có diện tích phía trên và phía dưới Ox bằng nhau.
(C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
4 2
4 0 (1
)
x x m 
 

có 4 nghiệm phân biệt
2
4 0 (2)t t m 
 

(với
2
0t x 
) có 2 nghiệm
phân biệt.

0 4 0
0 0 0 4
0 4 0
m
P m m
S

  

 
 
   
  
 
 
 
 




Khi đó, do
tính đối xứng, theo đề bài ta có : S
1
= S
2
.


0

( ) ( )
( ) (0)
( ) ( )
( ) (0)
a b
a
f x dx f
x dx
F a F F
b F a
F b F
 

    
 
 



Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

64
mà:
5 3
5 3
4 2
4
( )
5 3

4
0
5 3
4
0 ( 0) (
1)
5 3
  
 
 
    
x x
F x mx
b b
mb
b b
m b


Mà điểm
4 2
2 4
( , 0) ( ) 4 0 (2)
4
    
  
b C b b m
m b b

Thay vào
(1)
4 2
2 4
2 4
2
4
4 0
5 3
8 4 10 40 100 2
0
0
3 5 3 3 9 9
   

        
b b
b b
b b
b m



Vậy
20
9
m 

CÂU 48:
Cho hà

m số :
1
3 2
1
3
y x mx x
m
   


1) Khảo
sát và vẽ đồ thò hàm số ứng với m = 0

1
3
1 ( )
3
y x x C  

 TXĐ : D = R


2
' 1
1
' 0
1
'' 2
'' 0 0 1
y x

x
y
x
y x
y x y
 
 

 




    

điểm uốn
I(0, 1)
 BBT:



Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

65

 Đồ thò:
Cho

1

2 ,
3
x y  


5
2 ,
3
x y 


2) Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Ta có :
1
3
1
3
y x x  


2
' 1
'' 2
y x
y x
 


BXD:

min ' 1y
R
  
tại x = 0, y =
1  I(0, 1)
Vậy : Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I là nhỏ nhất.
Phương trình tiếp tuyến tại I là:

2
2
' 2 1
' 0 2 1
0 (1)
y x mx
y x mx
  
    


2
' 1 0 ,
(1)
m m  
  
có hai nghiệm phân biệt.
 Hàm luôn luôn có CĐ, CT.
- Tìm m sao cho khoảng cách giữa điểm CĐ và điểm CT là nhỏ nhất.
Gọi M
1

(x
1
, y
1
) và M
2
(x
2
, y
2
) là điểm CĐ và
CT của đồ thò, ta có:

2 2 2
1 2 2 1
2 1
(x x ) (
y y )
M M   


Để tìm y
1
, y
2
ta chia f(
x) cho f ’(x) :

2
1 1 2 2

f '( )
. ( 1) 1
3 3 3 3
y
x x m m x m
 
   
 
 
 

Vì f ’(
x
1
) = 0, f ’(
x
2
) = 0

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

66

2
1
2
2
2 2 2 2 2
1 2 2 1 2

1
2 2 2
2 1
2 2
1
1
2 2
( 1)
1
3 3
2 2
( 1) 1
3 3
4
( ) ( 1
)( )
9
4
( ) ( 1
) 1
9
2 ' 4
( 1) 1
9
y m x m
y m x m
M M x x
m x x
x x m
m

a

   


   
     
 
   
 
 
 

 
  
 
 
 
 
 


2
1 2
52
min
9
M M 
khi m = 0

1 2
2 3
min
3
M M 
khi m = 0
Câu 49
:

1. Khảo sát v
à vẽ đồ thò hàm số :

3 2
6 9
y
x x x

 
(C)
 TXĐ : D = R

2
' 3 12 9
1
' 0
3
" 6 12
y
x x

x
y
x
y x
  


 



 


" 0 2 2y x y   
 
điểm uốn (2,2)
 BBT :


 Đồ thò :

4
3
2
1
O
X
Y
2

4
(C)

2.a.Từ đồ th
ò (C) hãy suy ra đồ thò
1
( )C
của hà
m số :

3
2
1
6 9y x x x  