Phương pháp sai phân giải bài toán ô nhiễm khí quyển

M CL C

M
CH

U ......................................................................................................................... 1
NG 1: CÁC KI N TH C C B N C A L

1.1 L

I VÀ CỄC B

CL

C

SAI PHÂN ....................3

I: ............................................................................3

1.2 X P X SAI PHÂN CÁC TOÁN T

VI PHỂN

N GI N ............................ 6

1.4 THI T L P M T BÀI TOÁN SAI PHÂN ....................................................... 14
1.5 V S H I T VÀ
1.6. PH

CHÍNH XÁC C A CỄC L

C

SAI PHÂN........17

NG PHỄP X P X CỄC I U KI N BIểN VÀ I U KI N BAN

U ........................................................................................................................... 19
1.7 CÁC VÍ D V L

C

SAI PHÂN N

1.8 V KHÁI NI M TệNH ÚNG
CH

NG 2: PH

NH VÀ KHÔNG N

NH ........21

N C A BÀI TOÁN SAI PHÂN ................23

NG PHỄP SAI PHỂN GI I BÀI TOỄN Ọ NHI M KHệ

QUY N ......................................................................................................................... 25
2.1 MÔ HÌNH TOÁN H C C A QUÁ TRÌNH LAN TRUY N KHÍ TH I (V T
CH T) TRONG MỌI TR

NG KHệ (N

C)....................................................... 25

2.2 GI I THI U BÀI TOÁN ....................................................................................25
2.3 GI I THI U HÀM DELTA DIRACT ................................................................ 27
2.4 PH

NG PHỄP SAI PHỂN GI I BÀI TOÁN Ô NHI M KHÍ QUY N ...........27

2.4.1 XỂY D NG L

C

SAI PHỂN ....................................................... 28

2.4.2 NGHIÊN C U L

C

SAI PHÂN (3.2.12)-(3.2.15) ............................ 30

2.4.3 M T VÀI K T QU B TR ....................................................................30
2.4.4 TÍNH GI I
2.4.5 TÍNH N
2.4.6 PH
CH

C ........................................................................................ 33

NH ............................................................................................ 34

NG PHỄP GI I CHO H (3.2.12)-(3.2.15) ......................................34

NG 3: K T QU TÍNH TOÁN TH

NGHI M ..............................................37

K T LU N ...................................................................................................................41
TÀI LI U THAM KH O ............................................................................................. 42
PH L C ...................................................................................................................... 43


L I CAM OAN
Tôi xin cam đoan : Lu n v n nƠy lƠ công trình nghiên c u th c s c a cá
nhơn, đ

c th c hi n d

is h

ng d n khoa h c c a Ti n s Nguy n Công

i u. Tôi xin ch u trách nhi m v nghiên c u c a mình.
H c viên

L u Xuơn Tr

ng

Thang Long University Libraty


DANH M C CÁC HÌNH V
Hình 1: Form chính c a ch

ng trình. ..........................................................................38

Hình 2: Form d li u c a ch

ng trình. .......................................................................38

Hình 3: Form nghi m c a ch

ng trình. .......................................................................39

Hình 4: Form v đ th c a hàm m t đ  theo tr c x. ................................................39
Hình 5: Form v đ th c a hàm m t đ  theo tr c z. ................................................40


M

U

Nhi u bài toán th c ti n d n đ n vi c nghiên c u nh ng bài toán biên c a
ph

ng trình v t lý toán, gi i các bƠi toán đó đ n đáp s b ng s là m t yêu c u

quan tr ng c a th c ti n.

Trong m t s ít tr
vào nghi m t

ng h p, th t đ n gi n vi c đó có th lƠm đ

ng minh c a bƠi toán d

c nh

i d ng các công th c s c p, các tích

phân ho c các chu i hƠm. Còn trong đ i đa s tr

ng h p khác, đ c bi t là các bài

toán có h s bi n thiên, các bài toán phi tuy n, các bài toán trên mi n b t k thì
nghi m t

ng minh c a bài toán không có, ho c n u có nh ng r t ph c t p. Trong

nh ng tr

ng h p đó vi c tính nghi m ph i d a vƠo các ph

Th gi i đang ph i đ i m t v i vi c môi tr

ng pháp g n đúng.

ng đang b ô nhi m ngày

càng nghiêm tr ng. Trên th gi i đư x y ra r t nhi u tr n m a axit, khí h u nóng
lên lƠm cho b ng tan d n đ n m c n
b ng ven bi n, hi n t

ng n

c bi n dơng lên đe d a các vùng đ ng

c m n xâm nh p sơu vƠo đ t li nầ

V i vi c công nghi p hóa và hi n đ i hóa v i t c đ ngày càng nhanh, các
nhà máy m c lên không ch là
xây d ng
ng

nh ng khu công nghi p xa dơn c mƠ còn đ

c

nh ng vùng đông dơn. Khói đ c t các nhà máy th i ra gây h i cho

i dân s ng xung quanh.
Lu n v n này t p trung vào gi i quy t bài hoán ô nhi m khí quy n do nhà

máy th i ra b ng ắph
đ

c nh h

ng pháp sai phơn” nh m m c đích có th d đoán tr

c

ng và m t đ c a các ch t gây ô nhi m đ h n ch tác h i c a nó.

Lu n v n g m ph n m đ u vƠ ba ch
ph n ph l c. Ch

ng, sau cùng lƠ tƠi li u d n và

ng m t trình bày các ki n th c c b n c a l

nh m ph c v cho ch

ng hai. Ch

ng hai lƠ ph n chính c a khóa lu n, trong

đó trình bƠy bài toán ô nhi m khí quy n do các nhà máy th i ra t
xây d ng thu t toán đ gi i nó. Ch

c đ sai phân
ng khói và

ng ba đ a ra k t qu tính toán th nghi m

c a m t bài toán th c ti n nh m minh h a cho thu t toán đư xơy d ng
hai. Ph n ph l c lƠ toƠn v n ch

ng trình đ

ch

ng

c l p trình trên ngôn ng C++.

1

Thang Long University Libraty


Em xin chân thành c m n TS Nguy n Công
Thông tin đư t n tình h

i u ậ Vi n Công ngh

ng d n em trong th i gian em làm khóa lu n, đ ng th i

em xin c m n các th y cô giáo trong khoa Toán và các b n cùng l p đư nhi t
tình giúp đ em làm khóa lu n này.
Do th i gian và ki n th c c a b n thân em còn h n ch nên ch c ch n
lu n v n còn nh ng thi u sót, r t mong đ
và các b n.

2

c s đóng góp Ủ ki n c a các th y cô

CH

CÁC KI N TH C C
Trong ch
ch

B NC AL

C

SAI PHÂN

ng nƠy s trình bày các ki n th c c s c n thi t đ

ng hai đ nghiên c u l

1.1 L

NG 1

I VÀ CỄC B
vi t đ

c a m t ph

cl

c s d ng trong

c đ sai phân n c a bài toán ô nhi m khí quy n.

CL

I:

c đ sai phân tìm nghi m s x p x cho m t bài toán v t lý

ng trình vi phơn đư cho c n th c hi n hai b

c:

Thay mi n bi n thiên liên t c c a bi n s b i mi n bi n thiên r i r c c a nó,
toán t vi phân b i m t toán t sai phơn nƠo đó, xác đ nh các bi u th c sai phân
đ i v i đi u ki n biên vƠ đi u ki n ban đ u.
Sau đó s nh n đ

c m t h các ph

đ nh nghi m c a bài toán đ i v i m t ph
tìm nghi m c a m t h ph

ng trình đ i s d n đ n vi c xác

ng trình vi phơn đư cho đ

ng trình đ i s nh n đ

cđ av

c. Khi gi i m t s bài toán

nƠo đó, ta không th xác l p l i các giá tr c a nghi m sai phân khi bi n s bi n
đ i liên t c trong m t mi n nƠo đó c a không gian Euclid. Vì v y ta c n ch n
trong mi n này m t t p h p h u h n các đi m nƠo đó vƠ ch tìm nghi m t i các
đi m này. T p h p nh ng đi m này g i lƠ l
l

iđ

c g i lƠ hƠm l

i. HƠm đ

c xác đ nh t i các nút

i.

Nh v y mi n bi n thiên liên t c c a đ i s đ

c thay b i l

i, t c là

mi n bi n thiên r i r c c a đ i s . VƠ nh v y, chúng ta x p x không gian
nghi m c a các ph

ng trình vi phơn b i không gian các hƠm l

i.

Các tính ch t c a nghi m sai phơn vƠ đ c bi t là x p x c a nó đ i v i
nghi m chính xác ph thu c vào vi c ch n l
Ta xét m t vài ví d v l

i.

i.

3

Thang Long University Libraty


Ví d 1: L

i đ u trên m t đo n th ng.

Chia đo n đ n v

[0,1]

ra N ph n b ng nhau, kho ng các gi a các nút lân

c n b ng x1i  i1.h1 , i1  1, 2,... đ

c g i lƠ b

cl

i, các đi m chia Xi=ih (i = 0,1,...,N)

i, t p t t c các nút l

i: h  xi  ih : i  1,..., N1 l p

1

đ

c g i lƠ các nút l

thành m t l

i.

Có th xem x 0 = 0 , x N = 1 là nh ng nút l

i.

KỦ hi u:
 h  xi  ih : i  0,1...., N

Trên đo n [0,1], thay cho hƠm c a bi n s liên t c y(x) đ
bi n s r i r c yh  xi  , giá tr c a hƠm nƠy đ
thơn hƠm ph thu c b
Ví d 2: L

cl

c xét hƠm c a

c tính t các nút l

i. Còn b n

i h nh ph thu c vƠo m t tham s .

i đ u trên m t ph ng. Xét t p các hƠm hai bi n u(x,t).

đ n

gi n xét mi n xác đ nh là hình ch nh t:
G  0  x  1,0  t  T

Chia các đo n [0,1] và [0,T] l n l

h

t thành N1,N2 ph n b ng nhau. Gi s

1
1
, 
N1
N2

Qua các đi m chia ta v ch ra các đ

ng song song v i tr c t a đ t

các đ

i:

ng th ng này là nh ng nút l



 hr   xi , t j  : xi  ih, t j  j , i  0,...., N1 ; j  0,...., N2 ; h 



Ta có các b

cl

i h và  t

nút cùng n m trên m t đ
Ví d 3: L

ng ng. Giao c a

1
T 
, 

N1
N2 

ng ng v i hai tr c x và t . Các nút lơn c n lƠ các

ng th ng vƠ có kho ng cách lƠ các b

cl

i h ho c  .

i trong mi n hai chi u

Gi s trên m t ph ng x = (x1,x2), cho mi n G d ng tùy Ủ v i biên G .
Ta v ch ra các đ

ng th ng:
x1i1  i1.h1 , i1  0, 1, 2,...

x2i2  i2 .h 2 , i2  0, 1, 2,...

trong đó hi  0, i  1, 2 . Do đó trên m t ph ng  x1 , x2  ta có m t l
4

i v i các nút


 i1h1 , i2h2  , i1 , i2  0, 1, 2,...
L i nƠy đ u theo m i h ng riêng bi t (Oxì,Ox2). Ta ch c n chú ý các nút
thu c mi n G  G  G . Các nút n m trong mi n G đ
thƠnh l

i

c g i lƠ các nút trong, l p

. Nh ng đi m giao c a các đ

h

x2i2  i2 .h 2 , i2  0, 1, 2,... v i biên G đ

ng

x1i1  i1.h1 , i1

và

c g i lƠ nh ng nút biên. KỦ hi u t p h p

các nút biên là yh . Ta th y có nh ng nút biên mƠ kho ng cách đ n các nút trong
g n nh t nh h n h hay h2 . Nh v y, l
nh ng l

i trên m t ph ng đ u theo các h

ng x1 , x1

i  h  h   h đ i v i mi n G không đ u lơn c n biên.

Nh v y mi n G c a bi n x đ

c thay b i l

i h , t c là m t t p h u h n các

đi m xi  ( xi 1 , xi 2 )  G . Thay cho hàm u(x) c a bi n liên t c x  G ta s xét hàm
1

l

2

i y( xi ) , ngh a lƠ hƠm c a các nút l

i xi  . HƠm l

i y( xi ) có th vi t d

i

d ng vecto. N u đánh s l i nút theo m t th t nƠo đó: x1 , x2 ,..., xN thì giá tr c a
hƠm l

i t i các nút này có th xem nh các thƠnh ph n c a m t vecto c t:
yT  ( y1 , y2 ,..., yN )

N u mi n G h u h n, thì chi u N c a vecto y c ng h u h n. N u G vô h n, thì
l

i có vô s nút l

Ng

i ta th

i, và s chi u c a vecto y c ng vô h n.

ng xét t p h p các l

N u l

cl

i h nh m t

i yh ( x) c ng ph thu c vào tham s h (ho c vào s

tham s . Vì v y, các hƠm l
nút l

i h  ph thu c vƠo b

i đ u ).
i h không đ u thì ph i xem h nh m t vecto h  (h1 , h2 ,..., hN ) v i các

ph n t h1 , h2 ,..., hN . C ng t

ng t nh v y, v i tr

x = (x,,x2,...,xp), khi đó h  (h1 , h2 ,..., hp ) , n u l

ng h p mi n G nhi u chi u:

i h đ u theo m i h

ng

xi (i  1,..., p) .

Hàm u(x) c a bi n s liên t c x  G là các ph n t c a m t không gian
hàm H 0 nƠo đó. T p các hƠm l
khi s d ng ph

i yh(x) l p thành m t không gian H h . Nh v y,

ng pháp sai phơn h u h n, ng

không gian H h c a các hƠm l

i ta đư thay không gian H 0 b i

i yh(x).
5

Thang Long University Libraty


Khi xét t p h p các l
hƠm l

i h  ta có t p h p H h  c a các không gian các

i ph thu c vào tham s h . Trong không gian tuy n tính H h đ a vƠo

chu n ||.|| lƠ t

ng t l

i c a || .||0 chu n trong không gian xu t phát H 0 .

Gi s u(x) là nghi m c a bài toán liên t c đang xét u  H 0 , yh là nghi m
c a bài toán sai phân ( x p x ), yh  H h .
i u chính y u trong gi i g n đúng lƠ đánh giá đ x p x c a yh so v i u .
Gi s || .||0 là chu n trong H 0 , đ

ng nhiên đòi h i || . ||h x p x || . ||0 theo ngh a

sau:
lim || uh ||h || u ||0
h 0

V i m i vecto u trong H 0 .

1.2 X P X SAI PHÂN CÁC TOÁN T

VI PHỂN

N GI N

Gi s cho m t toán t vi phân L tác đ ng lên m t hàm v= v(x). Khi
nghiên c u s x p x sai phân m t toán t L th
đ a ph

ng ng

i ta ch xét m t cách

ng t c là t i m t lân c n nƠo đó c a đi m X c đ nh b t k c a không

gian và n u v(x) liên t c thì xem vh (x) = v(x). T ng quát:
vh  Ph v  H , v  H 0 , Ph : H 0  H h

Sau đó c n ch n khuôn l
mà t i đó các giá tr c a hƠm l
đ

i, t c là ch rõ t p các nút lân c n v i các nút x
i v(x) và các h s khác c a toán t L có th

c dùng đ x p x toán t L .
Thay các đ o hàm c a v vƠ các đ i l

th c sai phân Lh vh , thay cho toán t Lv.
c a hƠm l

i vk trên khuôn l

ng khác c a toán t b i các bi u

ó lƠ m t t h p tuy n tính các giá tr

i:
Lh vh ( x) 



Ah ( x,  )vh ( )



Ah ( xi , x j )vh (x j )

 U h ( xi )

Ho c:
( Lh vh )i 
6

xi U h ( xi )


Trong đó Ah ( x,  ) lƠ h s , h lƠ b

cl

i, U h ( x) lƠ khuôn l

i t i nút x. Vi c

thay g n đùng toán t vi phơn Lv b i bi u th c sai phơn Lh vh nh v y đ

c

g i lƠ s x p x toán t vi phơn b i toán t sai phơn.
Ta xét vƠi ví d x p x sai phơn c a m t vƠi toán t sai phơn đ n gi n.

Lv 

Ví d 1:

dv
.
dx

C đ nh m t đi m nƠo đó c a tr c Ox và l y các đi m x-h và x+h v i h>0.
Khai tri n v(x) công th c Taylor t i x ta có:
h2
v( x  h)  v( x)  hv '( x)  v"( x)  0(h3 )
2!

(1.2.1)

h2
v"( x)  0(h3 )
2!

(1.2.2)

v( x  h)  v( x)  hv '( x) 

có khái ni m nƠy ta đư gi thi t r ng v(x) lƠ hƠm đ tr n trong m t lân
c n nƠo đó c a đi m x : ( x  h0 , x  h0 ) v i h< h0 , h0 là m t s c đ nh. T (1.2.1),
(1.2.2) ta có:

v '( x) 

v( x  h)  v( x) h
 v ''( x)  0(h 2 )
h
2

x p x Lv ta dùng m t trong các bi u th c sau:

L h v đ

L h v 

v( x  h)  v( x)
 vx
h

(1.2.3)

L h v 

v( x  h)  v( x)
 vx
h

(1.2.4)

c g i là hàm sai phân ph i và L h v đ

còn g i lƠ đ o hàm sai phân ti n vƠ lùi t

c g i là hàm sai phân trái, hay

ng ng.

Các bi u th c sai phân L h v và L h v đ

c xác đ nh t i các ô nút hai đi m

( x,x+ h ) và ( x,x-h). Ngoài ra vi c tính x p x sai phân c a đ o hàm

dv
có th
dx

l y t h p tuy n tính c a các bi u th c ( 1.2.3 ) vƠ ( 1.2.4 ) nh sau:
L(h ) v   vx  (1   )vx
7

Thang Long University Libraty


Khi   0,5 ta có đ o hàm sai phân trung tâm.
1
v( x  h)  v( x  h)
(vx  vx ) 
2
2h

v0x 

(1.2.5)

Nh v y có th x p x vô s các bi u th c sai phân x p x toán t Lv= v. Khi
thay toán t vi phân Lv b i toán t sai phân Lh v ta đư ph m m t sai s nƠo đó.
i l ng  ( x)  Lhv( x)  Lv( x) đ

c g i là sai s x p x toán t Lv t i đi m x.

Theo công th c kh i tri n Taylor ta có th vi t:
vx 

v( x  h)  v( x)
h
 v '( x)  v "( x)  0(h 2 )
h
2

vx 

v( x)  v( x  h)
h
 v '( x)  v "( x)  0(h 2 )
h
2

v0 

v( x  h)  v( x  h)
 v '( x)  0(h 2 ) .

2h

x

Ta th y rõ ràng:
 ( x)  vx  v '( x)  0(h), ( x)  vx  v '( x)  0h , ( x)  vx  v '( x)  0(h2 )

Ta nói r ng toán t sai phân Lh x p x toán t vi phân L v i b c m>0 t i đi m x n u:
 ( x)  vx  v '( x)  0(h), ( x)  Lhv( x)  Lv( x)  0(hm )

Ví d 2:

Lv  vn 

d 2v
dx2

miêu t x p x sai phơn đ o hàm b c hai ta c ng xét m t đi m nút x c
đ nh b t k c a l

i và l y thêm hai đi m lân c n x-h và x+ h. Ta xu t phát t

đ nh ngh a, đ o hàm b c hai lƠ đ o hàm c a đ o hàm b c nh t r i dùng các bi u
th c g n đúng c a đ o hàm b c nh t
Lv 

trên, ta có:

d 2v d dv
 ( )  Lh v  (vx ) x

dx2 dx dx

v( x  h)  v( x) v( x)  v( x  h)

vx ( x)  vx ( x  h)
v( x  h)  2v( x)  v( x  h)
h
h


h
h
h2

M t khác l i có:
8


v ( x  h)  vx ( x)

(vx ) x  x
h

v( x  h)  v( x) v( x)  v( x  h)

v( x  h)  2v( x)  v( x  h)
h
h

h

h2

T đó suy ra:
Lh v  (vx ) x  (vx ) x  vxx 

1
[v( x  h)  2v( x)  v( x  h)]
h2

Khai tri n hàm v(x) theo công th c Taylor ta đ

c:

v( x  h)  v( x)  hv '( x) 

h2
h3
h4
h5
v"( x)  v '''( x)  v(4) ( x)  v(5) ( x)  0(h 6 )
2!
3!
4!
5!

v( x  h)  v( x)  hv '( x) 

h2
h3
h4

h5
v"( x)  v '''( x)  v(4) ( x)  v(5) ( x)  0(h 6 )
2!
3!
4!
5!

h 4 (4)
h 2 (4)
1 2
6
vxx  2 [h v "( x)  v ( x)  0(h )]  v"( x)  v ( x)  0(h 4 )
h
12
12

V y sai s x p x có d ng:
 ( x)  Lhv  Lv  0(h2 ) .
Lv 

Ví d 3:

v  2 v
, v  ( x, t )

t x2

Cho (x,t) là m t đi m c đ nh trên m t ph ng (x,t), h> 0,  >0 lƠ hai b
l

i theo các tr c Ox, Ot t

ng ng.

c

t:

v  v( x, t ), vỒ  v( x, t   ), v  v( x, t   )

Tr

c tiên ta xét x p x đ n gi n nh t trên khuôn 4 đi m:
( x  h, t ), ( x, t ), ( x  h, t ), ( x, t   )

Ta có:
v
v( x   )  v( x, t )
 v  0( ) 
 0( )
t


1
 2v
 vxx  0(h 2 )  2 [v( x  h, t )  2v( x, t )  v( x  h, t )]  0( h 2 )
2
h
x
2

2
v v
Lv  2  2
t
x

Ký hi u:
L(0)
h v  vt  vxx

Trong c u trúc c a L(0)
th i đi m t l p d
h v chúng ta đư l y vxx
có th l y vxx

i. T

ng t , ta

th i đi m t+  , t c l p sau nh sau:
9

Thang Long University Libraty


Ồ
L(1)
h v  vt  vxx

L y t h p tuy n tính L(h ) v  vt  [ vỒxx  (1   )vỒxx ] và L(1)h v ta đ

c m t h tham s

c a toán t sai phân
L(h ) v  vt  [ vỒxx  (1   )vỒxx ]

H này v i   0,   1 đ

c xác đ nh trên khuôn l

i 6 đi m:

(x-h,t), (x,t), (x+ h,t), (x-h,t+  ), (x,t+  ), (x+ h,t+  )
Bây gi ta tính sai s c a các x p x trên. Theo khai tri n Taylor ta có:
vt 

v( x, t )   2v( x, t )
v( x, t )

 0( 2 ) 
 0( )
2
2 t
t
t

vxx 

 2 v( x, t ) h  4v( x, t )
 2v( x, t )

4
0(h
)


 0(h 2 ) .
2
4
2
x 12 x
x

 2 v( x, t )
H (t ) 
x2

Ký hi u:

Theo khai tri n Taylor ta có:


H (t  )  H (t )  H '(t ) 
2

( / 2) 2
H "(t )  0( 3 )
2!

Mà:

H (t )  H [(t   / 2)   / 2]  H (t   / 2)  ( / 2) H '(t   / 2)  0(h3 )

Nên:

 2v( x, t )  2v(t   / 2)   3v( x, t   / 2)


 0( 2 )
2
2
2
2
x
x
x t

Vì:

H '(t ) 
vxx 

T

ng t , ta xét

 3v( x, t )
. V y suy ra:
x2t

 2 v( x, t   / 2)   3v( x, t   / 2)


 0(h 2   2 ) .
2
2
2
x
x t

l p th i gian sau t+  .

t:

 2v( x, t   )
 3v( x, t   )
G (t   ) 
 G '(t   ) 
x2
x2t





2

2

Mà G ( x, t   )  G ( x, t   ) , nên ta có:
 2 v( x, t   )
vỒxx 

 0(h 2 )
2
x

Theo khai tri n Taylor t





2

2

ng t hàm G ( x, t   ) ta đ
10

c:


vỒxx 

 2v( x, t   )   3v( x, t   / 2)

 0(h 2   2 )
2
2
x
2
x t

T đó ta có:
v( x, t )  2v( x, t )
L v  vt  vxx 

 0(h 2   2 )  Lv( x, t )  0(h 2   )
2
t
x
(0)
h

Ồ
L(1)
h v  vt  vxx 

v( x, t   )  2v( x, t   )

 0(h 2   )  Lv( x, t   )  0(h 2   )
t
x2

Ồ
V i   0,5 ta có L(0,5)
h v  vt  (0,5vxx  0,5vxx )



v( x, t   / 2)  2v( x, t   / 2)


 0(h 2   2 )  Lv( x, t   / 2)  0( h 2   2 )
t
x2

V y:
 0  0(h2   )  L(0)
h v  Lv( x, t )
1  0(h2   )  L(1)
h v  Lv( x, t   )

   0(h2   2 )  L(h )v  Lv( x, t   / 2) ,   0,5

Ví d 4:

 2v  2v
Lv  2  2
t
x

Trong tr

ng h p nƠy, đ vi t toán t sai phân Lh v  vtt  vxx c n ph i s

d ng giá tr c a hƠm l

i t i ba th i đi m t- , t, t+  . Ta th y khuôn l

i ít nh t

lƠ 5 đi m.

M t trong nh ng phép tính g n đúng kh d khi dùng giá tr vxx t i l p
trung bình t có d ng:
Lh v  vtt  vxx

(1.2.7)

Trong đó:
vtt ( x, t ) 

T

v( x, t   )  2v( x, t )  v( x, t   )

2

ng t , có th vi t bi u th c c a toán t :
Lh v  vtt  vỒxx

(1.2.8)

11

Thang Long University Libraty


Trong khuôn l

i 9 đi m có th vi t h 2 tham s c a các toán t sai phơn nh

sau:

Lh1 2 v  vtt  [1vỒxx  (1  1   2 )vxx   2vxx ]

(1.2.9)

Khi 1   2  0 thì ta có (1.2.7). Còn khi 1  1,  2  0 thì ta có (1.2.8). Ta có:
vtt 

 2 v( x, t )
 (0 2 ) ,
t 2

vxx 

 2 v( x, t )
 0(h 2 )
x2

Do đó, toán t sai phân (1.2.7) có sai s x p x là 0(h2   2 ) . Toán t sai phân
(1.2.9) c ng có sai s x p x b c này khi 1   2   (  là m t s b t k ).
X P X TRểN L

1.3 SAI S

I

Chúng ta đư xem xét cách tính x p x sai phân t i m t đi m và nói v b c
c a phép tính x p x sai phơn đó. Vi c đánh giá b c x p x nƠy th
trên toƠn l

ng đòi h i

i h .

Gi s h lƠ l

i trong mi n G thu c không gian Euclid p chi u:
G  R p , x  ( x1 , x2 ,...., xp )

G i H0 lƠ không gian các hƠm tr n u(x), Hh là không gian tuy n tính các hàm
l

i, ||.||0 là chu n trong H0, ||.|| h là chu n trong Hh.

Ví d , n u p= 1 và Hh=L2 thì chu n là
1/2

N 1

wh   x j , j  1, 2,..., N  1 ;

|| u ||h  ( u h) ;
j 1

2
j

u j  u( xj )

N u p> 1, thì chu n s là
1/2



|| u ||h    u 2 ( x )h  ,
 j 1


trong đó,



đ

h  (h1 , h2 ,..., hp )

c l y theo m i nút x c a l

i h . Gi thi t r ng:

a, T n t i m t toán t tuy n tính
Ph : H 0  H h

sao cho m i hàm u( x)  H h t

ng ng v i m t hƠm l

uh  Phu  H h

b, Các chu n ||.||h và ||.||0 t

ng thích, t c là:
12

i uh ( x), x  h , t c là


lim || Phu ||h || h ||0

|h| 0

trong đó |h| là chu n c a vector h.
Xét m t toán t L nƠo đó trong H0 và toán t Lh chuy n hƠm l
thƠnh hƠm l
Ng

i Lh vh  H h đ

c cho trên h (t c là Lh tác đ ng t

i vh  H h
H h  H h ).

i  h sau đơy lƠ sai s c a phép x p x toán t L b i toán t

i ta g i hƠm l

Lh :
 h  Lh vh  ( Lv)h

trong đó, vh  Phv, ( Lv)h  Ph Lv , v là m t hàm b t k trong H0 .

Chúng ta nói r ng, toán t sai phân Lh x p x toán t vi phân L v i b c m> 0 n u:
|| 'h |||| Lh vh  ( Lv)h || 0(| h | ''')

Ho c:
|| Lh vh  ( Lv)h || M | h | '''

trong đó, M là m t h ng s d

ng không ph thu c |h|. N u h  (h1 , h2 ,..., hp ) thì

p

| h | ( hi2 )1/2
i 1

Chú ý r ng vi c ch n chu n thích h p đ đánh giá sai s x p x liên quan
đ n c u trúc c a toán t sai phân.
Trong tr

ng h p hai bi n, ch ng h n u(x,t) là nghi m c a ph

ng trình

không d ng (truy n nhi t, truy n sóng v.vầ), thì toán t sai phân L h x p x
toán t vi phân L đ

c xác đ nh trên các hƠm l

i vh(x,t) cho trên l

i:

wh  wh  w  ( x, t ) : x  wh , t  w 

trong đó h lƠ hƠm l
v(x,t) đ

i trong mi n G  Rp , w lƠ l

i trên đo n [0,t0] . Gi s

c xem nh lƠ m t hàm c a đ i s x  H 0 . Khi đó:
vh ( x, t )  Ph v( x, t )  H h

V i b t k t  0; t0  . N u v(x,t) liên t c theo t thì có th đ t
vh  vh ( x, t ),  t  w

Do đó:
13

Thang Long University Libraty


 h ( x, t )  Lh vh  ( Lv)h ( x, t ),( x, t )  w

Theo đ nh ngh a, toán t sai phân Lh x p x toán t L v i b c m> 0 theo x
và b c n>0 theo t , n u trong l p các hƠm đ tr n v(x,t) ta có đánh giá
|| h ( x, t ) || 0(| h |m  |  |n )

Ho c

|| h ( x, t ) || M (| h |m  |  |n )

trong đó, M là m t h ng s d

ng không ph thu c vào |h| và  .

Ví d : Xét toán t
Lv 

Toán t Lh v đ

c vi t

v  2v
, 0  x  1, 0  t  t0

t x2

t t c các nút bên trong c a l

i

Lh v  vt  vxx
wh  ( xi , t j ) : xi  ih, t j  j , 0  j  j0 , j0  t0 /  

Và m i nút bên trong c a l

i wh ta có:

 h ( x, t )  Lh vh  ( Lv)h  0(h2   )

Do đó, Lh x p x L b c hai theo x và b c m t theo t trong b t k chu n nào sau
đơy:
|| y || h  max || y(t ) ||h ;|| y(t ) ||h    || y(t ) ||h ; y(t ) ||h  [   || y(t ) ||2 h ]1/2
tw

tw

tw

1.4 THI T L P M T BÀI TOÁN SAI PHÂN
thi t l p m t bài toán sai phân t
toán, ch ng h n bƠi toán đ i v i môt ph
ph

ng ng v i m t bài toán v t lý ậ

ng trình vi phơn thì ngoƠi vi c x p x

ng trình vi phơn c n ph i vi t các d ki n c a bƠi toán d
T p h p các ph

phát và các d ki n) đ

ng trình sai phơn đó (x p x ph
c g i là m t l

i d ng sai phân.

ng trình vi phân xu t

c đ sai phân. Các d ki n

ki n biên, đi u ki n ban đ u và v ph i ph
Ví d 1: BƠi toán Cauchy đ i v i các ph
14

đơy lƠ đi u

ng trình.
ng trình vi phơn thông th

ng:


u '  f ( x), x  0, u (0)  u0

Chúng ta ch n m t l

(1.4.1)

i sai phơn đ n gi n nh t

wh  xi  ih, i  1, 2,...

vƠ t

ng ng bài toán sai phân v i bài toán (1.4.1)
yx   ; y0  u0

Hay
yi 1  yi
  , i  0,1,..., y0  u0
h

Trong công th c này có th cho v ph i i b ng các ph

ng pháp khác nhau.

Ví d :
i  f ( xi ), i  0,5[ f ( xi )  f ( xi 1 )]

Th a mưn đi u ki n
i  fi  0(h) .

tìm nghi m ta có công th c truy h i
yi 1  yi  h , i  0,1, 2...

T i đơy

y0 = u0

Ví d 2:

Bài toán biên
u "( x)   f ( x),0  x  1, v(0)  1 , u (1)  2

Chúng ta l i ch n m t l

i sai phân:

wh  xi  ih, i  1, 2,..., N, hN  1

Chúng ta vi t bài toán sai phân

d ng:

yxx   , y0  1 , yN  2

Ho c
yi 1  2 yi  yi 1
 i , i  1, 2,...., N  1
h2

K t qu chúng ta thu đ
chéo (có th gi i đ
Ví d 3:

c m t h các ph

c h này b ng ph

ng trình đ i s v i ma tr n ba đ

ng

ng pháp truy đu i).

Bài toán biên th nh t đ i v i ph

ng trình truy n nhi t

15

Thang Long University Libraty


Lu 

u  2u

 f ( x, t ), 0  x  1, 0  t  t0
t x2

u(0, t)  1 (t ), u(1, t )  2 (t )

u ( x, 0)  u0 ( x)

Ta ch n l

i sai phân:
wh  ( xi  ih, t j  j ), i  0,1,..., N1 , j  0,1,..., N2 

t:
yij  y( xi , t j )

lƠ hƠm cho trên l
Xét tr

i wh  wh  w

ng h p khuôn l

i 4 đi m đ n gi n nh t ta có bài toán sai phân

yt  yxx  

ho c

d ng ch s c a các hƠm l
yij 1  yij



i

yij1  2 yij  yij1

 i j , (1  i  N1  1, 0  j  N2  1)
2
h

y0j  1 (t j ), yNj 1  2 (t j )
yi0  u0 ( xi )

Có th cho v ph i b ng các ph

ng pháp khác nhau:

i j  f ( xi , t j ) ,

i j  f ( xi , t j 1/2 ) ,ầ

Bài toán sai phân trên lƠ đi n hình c a l
gian trên yij 1 đ
công th c t

cđ t

ng minh. L i gi i

c xác đ nh thông qua l i gi i c a l p th i gian tr

l p th i
c đó theo

ng minh:
y j 1  y j   ( yxxj   j )

Ta kh o sát l

cđ b tt

ng minh (l

cđ

n):

yt  yỒ xx  

y(0, t )  1 (t ), y(1, t )  2 (t )

y(0, t )  u0 ( x), t  w , x  wh

xác đ nh đ

c nghi m yỒ  y j 1 t i l p th i gian j+ 1 ta có các ph

đ is :
16

ng trình


y j 1  y j 1xx  F j , F j  y j   j

V i ma tr n ba đ

ng chéo, ta có th gi i h này b ng ph

1.5 V S H I T VÀ

CHÍNH XÁC C A CỄC L

Khi gi i m t bài toán v t lỦ nƠo đó b ng ph
thì m c đích cu i cùng là c n xem nghi m đ

ng pháp truy đu i.
C

SAI PHÂN

ng pháp g n đúng (x p x ),

c xác đ nh b i ph

ng pháp x p

x đó đư x p x nghi m chính xác c a bài toán v i đ chính xác nh th nào. Vì
v y c n xét v n đ h i t vƠ đ chính xác c a các l

c đ sai phân.

Gi s trong mi n G v i biên  c n tìm nghi m c a ph

ng trình vi phơn

tuy n tính
Lu  f ( x), x  G  R p

(1.5.1)

th a mưn các đi u ki n ph (đi u ki n biên, đi u ki n ban đ u)
lu   ( x), x  

(1.5.2)

trong đó, f ( x),  ( x) là nh ng hƠm cho tr

c (d ki n c a bài toán), l là toán t vi

phân tuy n tính nƠo đó.
Gi thi t r ng nghi m c a bài toán (1.5.1)-(1.5.2) t n t i và duy nh t. Ph
mi n G   b ng l

i wh . Mi n bi n thiên c a đ i s liên t c x đ

m t t p h p r i r c các đi m nút l
B

cl

c thay b i

i xi  wh  wh   h .

i h là m t tham s nƠo đó đ c tr ng cho s trù m t c a các nút l

Ta đ t t

i.

ng ng bài toán vi phân (1.5.1)-(1.5.2) v i bài toán sai phân sau
Lh yh  h , x  wh
lh yh   h , x   h

trong đó h và  h là nh ng hƠm l
các hƠm l
l

i cho t i các nút l

(1.5.3)
i đư bi t. Các toán t Lh và lh tác đ ng lên

i x  wh . Khi thay đ i h có ngh a lƠ ta ch n m t

i wh khác, d n đ n nh n m t t p nghi m  yh  ph thu c vào tham s h. Nh

v y, c n xét m t h các l

c đ d ng (1.5.3) t

ng ng v i các giá tr khác nhau

c a tham s h.

17

Thang Long University Libraty


M c đích c b n c a m i ph

ng pháp g n đúng lƠ nh n đ

c a bài toán xu t phát v i đ chính xác   0 cho tr
h n các phép tính.

c nghi m

c nƠo đó sau m t s h u

th y rõ đ sai khác gi a nghi m chính xác u c a bài toán

(1.5.1)-(1.5.2) và nghi m x p x c a bài toán (1.5.3) v i đ chính xác   0 đư
cho trong quan h v i vi c b
nƠy th

ng đ

cl

i h( ) ta c n so sánh yh và uh . Vi c so sánh

c ti n hành trong không gian Hh c a các hƠm l

Gi s uh là giá tr c a nghi m chính xác u(x) trên l
xét sai s c a l

i.

i h v i uh  H h . Ta

c đ sai phân (1.5.3)
zh  yh  uh

có đi u ki n đ i v i zh ta thay zh  yh  uh vƠo các đ ng th c (1.5.3) và
nh n đ

c m t bƠi toán sai phơn đ i v i zh cùng d ng v i bài toán (1.5.3)
Lh zh   h , x  h , lh zh  vh , x   h

(1.5.4)

trong đó
 h  h  Lhuh , x  h , vh   h  lhuh

Các v ph i  h và vh c a bƠi toán (1.5.4) đ
ph

c g i l n l

t là sai s x p x

ng trình vƠ sai s x p x đi u ki n biên c a bƠi toán sai phơn đ i v i bài

toán vi phơn t

i ta g i  h là sai s x p x đ i v i đi u ki n biên

ng ng. Ng

lh yh   h .

đánh giá sai s c a l
chu n t

c đ zh và sai s x p x vƠ ng

ng ng trên các hƠm l

i ta đ a vƠo các

i: || . ||(1 ), || . ||(2 ) và || .||(3 ) .
h

h

h

Chúng ta s nói r ng nghi m c a bài toán sai phân (1.5.3) h i t t i
nghi m c a bài toán vi phân (1.5.1)-(1.5.2) (l

c đ (1.5.3) h i t ) n u:

|| zh ||(1h ) || yh  uh || (1 )  0 khi | h | 0
h

hay
|| zh ||(1h )  p(| h |)

trong đó
p(| h |)  0

khi | h | 0

18

Ta nói l

c đ sai phân (1.5.3) h i t v i t c đ 0(| h |n ) hay có đ chính

xác c p n (có đ chính xác 0(| h |n ) ) n u v i m i h đ bé | h | h0 , ta có b t đ ng
th c sau
|| zh ||(1h ) || yh  uh || (1 )  M | h |n
h

trong đó M là m t h ng s d
Ta nói r ng l

ng không ph thu c vào h và n> 0.

c đ sai phơn (1.5.3) có đ x p x b c n n u
||  h || ( 2 h )  0(| h |n ) ,

||  h || ( 3 h )  0(| h |n )

Ký hi u các giá tr c a f(x) và Lu(x) trên l

i h l n l

chú ý r ng (f-Lu)h = 0 ta có th vi t sai s x p x  h d

t là fh và (Lu)h và

i d ng:

 h  (h  Lhuh )   fh  ( Lu)   (h  fh )  ( Lu)h  Lhuh    (1) h  (2) h

Nh v y, sai s x p x đ i v i l

c đ là t ng c a sai s x p x v ph i

 (1) h  h  fh

và sai s x p x c a toán t vi phân
 (2) h  ( Lu)h  Lhuh

V y c p c a đ chính xác c a l

c đ ph thu c vào c p c a đ x p x đ i v i

nghi m nh th nào?
chính sác zh  yh  uh là nghi m c a bài toán (1.5.4) v i v ph i
 h  h  Lhuh . Vì v y, v n đ v m i liên h gi a c p c a đ chính xác v i c p

c a đ x p x là v n đ đ c tr ng cho s ph thu c c a nghi m bài toán sai phân
vào v ph i. N u zh ph thu c liên t c (vƠ h n n a đ u theo h ) vào  h và vh
(l

cđ

n đ nh), thì b c c a đ chính xác trùng v i b c c a đ x p x .

1.6. PH
BAN

NG PHỄP X P X CÁC

I U KI N BIểN VÀ

I U KI N

U
Trên đơy ta đư th y đ chính xác c a l

c đ sai phân ph thu c vào b c

x p x đ i v i nghi m bài toán xu t phát, không ch vƠo ph

ng trình mƠ còn

vào d ki n c a bƠi toán đư cho. Xét các ví d sau
Ví d : Bài toán biên đ i v i ph

ng trình truy n sóng
19

Thang Long University Libraty


 2u  2u

 f  x, t  ,
t 2 x2

0  x  1, 0  t  t0 ,

u (0, t )  u1 (t )

u(1, t )  u2 (t )

u  x,0   u0  x

 2  x, 0 
 u0  x .
 2t

(1.6.1)

Rõ ràng khi tính g n đúng bƠi toán (1.6.1) ta đ c bi t chú ý t i cách vi t
d ng sai phơn đi u ki n ban đ u đ i v i đ o hàm
h theo x và y v i b

cl

i h và  (xem

u
. Gi s
t

cho m t l

iđ u

ph n 1). N u chúng ta s d ng cách

tính x p x đ n gi n nh t ut  x,0  u0  x , thì sai s s là b c O   . Ta đ t ut  x,0
d

i d ng:
ut  x, 0  

u  x,   u  x, 0 

Bây gi ta tr l i ph





u  x, 0    2u  x, 0 

 O t 2  .
2
2 t
t

ng trình vi phơn ban đ u vƠ tìm đ

 2u  x, 0   2u  x, 0 

 f  x, 0   Lu0  x  f  x, 0 
t 2
x2

trong đó

Lu0 

Vì

d 2 u0
dx2

 2u  x, 0  d 2u0  x

dx2
x2

T đơy ta có
ut  x, 0   0.5  Lu0  f  x, 0   

B i v y, đi u ki n ban đ u vi t d

u  x, 0 
 O  2 
t

i d ng sai phân

yt  x,0   uỒ ( x) ,

đơy uỒ( x)  u  x  0.5  Lu0  f  x,0  x p x đi u ki n
u  x, 0 
 u0  x 
t

V i b c 2 theo  .

20

c:


i u ki n u  x, t   u0  x vƠ các đi u ki n biên trong tr
x p x chính xác. Ta có th l y m t trong các l
1.2 làm ví d v phép x p x sai phân c a ph
1.7 CÁC VÍ D V L

C

Vi c s d ng các l
đ i v i ph

ng trình vi phơn.

SAI PHÂN N

NH VÀ KHÔNG N

NH

c đ sai phân cho phép ti n hành gi i các bài toán
ng trình đ i s tuy n

ng trình, các đi u ki n biên vƠ đi u ki n ban đ u mà

sau này ta g i chung là d ki n vào ậ đ
Các l

c

c đ sai phơn đư xét trong m c

ng trình vi phơn b ng cách đ a v gi i h ph

tính. Các v ph i c a ph

ng h p nƠy đ

c cho v i sai s xác đ nh.

c đ mà trong quá trình tính toán lƠm t ng các sai s ban đ u có

tính không n đ nh và không th áp d ng vào th c t . Tr
ni m v tính n đ nh c a l

c khi đ a ra khái

c đ sai phân theo d ki n vào chúng ta hãy xét

khái ni m c a nó b ng tr c giác, ta ch ra m t ví d .
Ví d 1. L

cđ

n đ nh:

u '   u, x  0, u  0   u0 ,   0

(1.7.1)

Ta có th nh n th y nghi m c a bài toán (1.7.1) là hàm
u  x  u0e x

Bài toán sai phân x p x bƠi toán (1.7.1) trên l

iđ u

h  xi  ih, i  0,1,...

là

yi  yi 1h   yi  0, y0  u0 , i  1, 2,...

Có th vi t bƠi toán (1.7.2) d
yi  syi 1 , s 

(1.7.2)

i d ng sau

1
, i  1, 2,..., y0  u0
1  h

T đó ta có yi  si y0

Chúng ta xét đi m c đ nh x và ch n m t dưy các b
luôn lƠ đi m nút x  i0 h . Khi làm nh b

cl

cl

i h sao cho x luôn

i h  0 , s i0 phù h p v i đi m x

chúng ta đư ch n, s t ng lên vô h n.
Ta tính giá tr c a y t i đi m này
yi0  si0 y0  ei0 lns y0

21

Thang Long University Libraty


Và theo khai tri n:
lns  ln 1   h   h 1  O  h   ,

Ta có
yi0  y0 e

 h i0 1 O  h  

 y0 e

 x 1 O  h  

 y0 e

 x 1 O  h  

1  O  h  

ng th c cu i bi u th nghi m c a bƠi toán sai phơn (1.7.2) liên t c ph thu c
vƠo các d ki n ban đ u. Trong các tr

ng h p nh v y ta s nói r ng l

cđ

sai phân n đ nh theo các d ki n ban đ u.
Ví đ 2. L

c đ không n đ nh

i v i bƠi toán (1.7.1) ta đư kh o sát l


cđ

yi  yi 1
y y
 1    i 1 i   yi  0, y0  u0 , y1  u0 , i  1, 2,...
h
h

trong đó   1 là tham s b ng s . Vì đơy lƠ l

c đ ba đi m (ph

phân có hai b c), thì bên c nh y0 ta cho ti p y1 . V i m i  l

(1.7.3)
ng trình sai

c đ (1.7.3) có

b c x p x th p nh t là m t. N u đ t u0  1   h  u0 thì u0  u0 (h)  O  h 2  vì
u0  u0 (h)  1   h  u0  u0 (h)   u0  hu0'   u (h)  O  h 2 

Ta s tìm các nghi m riêng c a ph
Khi thay yi  si vƠo (1.7.3) ta đ

ng trình sai phơn (1.7.3)

c ph

d ng yi  si .

ng trình b c hai đ i v i s

(  1)s2   2  1   h  s    0

Ph

ng trình nƠy có hai nghi m khác nhau
s1,2 

2  1   h  1  2  2  1  h   2 h 2
2   1

Nghi m t ng quát c a (1.7.3) có d ng: yi  As1i  Bs2i .
Gi s i  0 và i  1 và chú ý r ng y0  u0 , y1  u0 ta có các h ng s A và B
nh sau:
A

u0  s2u0
,
s1  s2

B

s1u0u0
s1  s2

Gi s  h  1 . Khi đó ta có
s1 


1   h  O  h2 
 1





22