BÀI TOÁN THỰC TRONG TOÁN

NHÓM TÁC GIẢ LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN
Chuyên Luyện Thi THPT Quốc Gia

CHUYÊN ĐỀ
BÀI TOÁN THỰC TẾ - CÂU 9 ĐIỂM
TÀI LIỆU GỬI TẶNG CÁC BẠN HỌC SINH


CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN THỰC TẾ - CÂU 9 ĐIỂM

ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH
TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Trong bộ ba câu hỏi khó của đề thi THPT Quốc Gia trong những năm gần đây luôn xuất hiện câu hỏi về
Phƣơng trình - Hệ phƣơng trình - Bất phƣơng trình đại số.
 Xu hướng đề thi về phần này sẽ phân bố đều cho cả 3 mảng phương trình, Bất phương trình, Hệ
phương trình chứ không tập trung vào Hệ phương trình như đề các năm trước (và theo một số
nguồn tin thì năm nay sẽ không thi hệ, tuy nhiên chúng ta vẫn cứ ôn tập qua cho chắc).
 Đề thi sẽ vẫn xoay quanh các phương pháp hàm số, liên hợp, đánh giá, ...
 Ứng dụng của hệ bất phương trình trong các bài toán thực tiễn (đã xuất hiện trong đề dự bị năm
2015).
Về phần phương pháp giải PT, BPT vô tỉ và HPT thầy sẽ trình bày trong tài liệu khác. Trong tài liệu này
thầy chỉ tập trung nói về: “Ứng dụng của hệ bất phƣơng trình trong các bài toán thực tiễn”.
Để giải được bài toán thực tiễn, các em cần nắm vững được phương pháp giải bài toán: “Tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất hai ẩn”.
DỤ
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất củaBÀI
biểuTẬP
thức VÍ
T  x,
y   ax  by với  x; y  nghiệm đúng một hệ
bất

phương
trìnhmột
bậc cuộc
nhất 2thiẩnpha
chochế,
trước.
Ví dụ
1: Trong
mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và
Giải:
210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và
 Bước
1:pha
Xácchế
định
miền
nghiệm
của
hệđường,
bất phương
trình đã
Kết quả
thường
được
miền
1g hương
liệu;
1lít
nước
táo cần

10g
1 lít nước
và cho.
4g hương
liệu.
Mỗi lít
nước
cam nhận
nghiệm
S
là
một
đa
giác.
60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi
Bước
2: Tình
giá trị
của Fcao
ứngnhất?
với  x; y  là tọa độ của
các
củaTHPT
đa giác.
loại
để đạt
được
số điểm
thưởng
(Đề

thiđỉnh
dự bị
Quốc Gia 2015)
Giải:
 Bước 3: Kết luận:
Gọi x, y  x+ Giá
0, y trị0lớn
lượt
là Fsốlàlítsốnước
cam trong
và nước
pha chế.
của
lớn nhất
cáctáo
giácần
trị tìm
được.
 lầnnhất
Khi đó: + Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
+ Lượng hương liệu cần dùng là:  x  4 y  g .
+ Lượng nước cần dùng là:  x  y lít
+ Lượng đường cần dùng là 30x 10 y  g .
+ Điểm thưởng: T  x, y   60x  80 y (điểm).
x  4 y  24
x  4 y  24
x  y  9
x  y  9
Theo giả thiết, ta có:


.


30x 10 y  210
3x 1y  21
 x  0, y  0
 x  0, y  0
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền ngũ giác OABCD với O là gốc tọa độ,
B  4;5  , C 6;3 , D 7; 0 (được biểu diễn bằng phần màu vàng như hình vẽ sau).

FANPAGE LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN | CHUYÊN LUYỆN THI QUỐC GIA
Đăng kí khóa học môn toán cho học sinh 1999 nhận nhiều ưu đãi, liên hệ:
/>
A0; 6,

2


CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN THỰC TẾ - CÂU 9 ĐIỂM

Để đạt được số điểm thưởng cao nhất thì biểu thức T  x, y  60x  80 y phải đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: T 0;0   0 , T 0;6   480 , T 4;5   640 ; T 6;3   600 ; T  7;0   420 .
x  4
Do đó, T  x, y  đạt giá lớn nhất là 640 khi 
.
y  5
Vậy cần phải pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo để đạt được số điểm thưởng cao nhất.
Ví dụ 2 (NTT): Trong một cuộc thi về “Bữa ăn dinh dƣỡng” cho các gia đình. Ban tổ chức yêu cầu để
đảm bảo chất lượng dinh dưỡng thì mỗi gia đình cần ít nhất 900 đơn vị Protein và 400 đơn vị Lipit trong
thức ăn hàng ngày. Biết 1 kg thịt bò chứa 800 đơn vị Protein và 200 đơn vị Lipit, còn 1 kg thịt lợn chứa

600 đơn vị Protein và 400 đơn vị Lipit. Mỗi gia đình chỉ được mua tối đa 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn.
Giá 1 kg thịt bò là 100 000 VNĐ và giá 1 kg thịt lợn là 70 000 VNĐ. Kết thúc cuộc thi đã có một gia
đình giành giải nhất khi khẩu phần ăn cho một ngày đảm bảo chất dinh dưỡng và chi phí bỏ ra là ít nhất
có thể. Hỏi gia đình đó đã mua bao nhiêu kg thịt bò và bao nhiêu kg thịt lợn?
Giải:
 0  x  1, 6 
Gọi x, y  
 lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình tham dự cuộc thi giành giải nhất
0

y

1,1


đã mua.
Khi đó:
+ Số đơn vị Protein đã dùng là:
800x  600y (đơn vị).
+ Số đơn vị Lipit đã dùng là:
200x  400y (đơn vị).
+ Chi phí bỏ ra để mua nguyên liệu:
T  x, y   100000x  70000y VNĐ.
Theo giả thiết ta có:
800x  600 y  900 8x  6 y  9
200x  400 y  400 x  2 y  2


 0  x  1, 6 .
0  x  1, 6



0  y  1,1
0  y  1,1
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên
là miền tứ giác ABCD với A0,3 ; 1,1,
B1, 6 ; 1,1 , C1, 6 ; 0, 2 , D0, 6 ; 0, 7
(phần màu vàng như hình bên).

/>


Trang 2

3


CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN THỰC TẾ - CÂU 9 ĐIỂM

Ta có: T 0,3 ; 1,1  107000, T1, 6 ; 1,1  237000 ; T1, 6 ; 0,2  174000 ; T0, 6 ; 0,7  109000 .
x  0, 3
Do đó, T  x, y  đạt giá nhỏ nhất nhất là 107000 khi 
.
y

1,1

Vậy gia đình giành giải nhất đã mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn.
Ví dụ 3: Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị
sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số

máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng
sau:
Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra một
Số máy trong
Nhóm
đơn vị sản phẩm
mỗi nhóm
Loại I
Loại II
A
10
2
2
B
4
0
2
C
12
2
4
Một đơn vị sản phẩm I lãi ba nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm II lãi năm nghìn đồng.Hãy lập phương án
để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.
Giải:
Gọi x, y  x  0, y  0 lần lượt là số sản phẩm của loại I và loại II.
2x  2 y  10
x  y  5
2 y  4
 y 2



Theo giả thiết ta có: 2x  4 y  12 x  2 y  6
x  0
x  0


 y  0
 y  0
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền ngũ giác OABCD với O là gốc tọa độ, A 0; 2 ,
B2; 2 , C4;1, D5; 0 (được biểu diễn bằng phần màu vàng như hình vẽ sau).

Số tiền lãi thu được là T  x, y   3x  5y (nghìn đồng).
Ta có: T 0;0   0 , T0; 2  10 , T 2; 2  16 ; T4;1  17 ; T5; 0  15 .
x  4
Do đó, T  x, y  đạt giá lớn nhất là 640 khi 
.
y  1
Vậy phương án sản xuất 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II sẽ cho lãi cao nhất.

/>
Trang 3

4


DỰA TRÊN PHƢƠNG PHÁP VÀ 3 VÍ DỤ MINH HỌA THẦY ĐÃ TRÌNH BÀY TRÊN, CÁC EM HÃY GIẢI QUYẾT NHANH CHO
THẦY.