CHỦ ĐỘNG GIẢM THIỂU SỐ BIẾN TRONG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

CHỦ ĐỘNG GIẢM THIỂU SỐ BIẾN TRONG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Trong quá trình giải toán - một trong các hướng làm đơn giản bài toán là làm giảm thiểu số biến
,yếu tố tham gia bài toán
Bài 1: " Với a > 0 , b > 0 - chứng minh :
4ab (3- a ) - 4a ( 1+ b
2
) ≤ b "
1+ b
2
≥ 2b (bđt Cô Si ) ⇒ -4a (1+ b
2
) ≤ -4a.2b (vì a > 0 ) .
Ta đi cminh bđt chặt hơn bđt ban đầu :
4ab (3- a ) - 4a.2b ≤ b ⇔ 4a (3- a ) - 8a. ≤ 1 ( là bđt chỉ có 1 biến) ⇔ 4a
2
- 4a +1 ≥ 0 ⇔ (2a- 1 )
2
≥ 0
(đúng ) .
Vậy bđt ban đầu được cminh .
Dấu "=" xảy ra ⇔ b
2
= 1, 2a -1= 0 (a > 0 ,b > 0)⇔ a= 1/2 , b =1
Bài 2 :Cho x, y, z > 0 và x+y +z = 1. Chứng minh :
x+ 2y + z ≥ 4(1- x) (1 - y) (1- z)
Nhận xét : Bđt cần cminh tương đương
1+ y ≥ 4 (1- x) (1-y) (1-z) .Ta có x,z có vai trò như nhau nên có lẽ dấu bằng xảy ra khi x = z → ta
mạnh dạn đánh giá :
4 (1- x) (1-z) ≤ [(1-x )+ (1-z)]
2
(dấu bằng xảy ra khi x = z )

= ( 1+ y )
2
(suy từ gt x+y +z = 1) ** .
Từ gthiết ta có x,y,z ∈ (0,1)
** ⇒ 4(1- x) (1 - y) (1- z) ≤ ( 1+ y )
2
(1-y)
1
Ta cminh bđt chặt hơn bđt ban đầu : ( 1+ y )
2
(1-y) ≤ 1+y ( bđt chỉ theo một biến ) ⇔ 1-y
2
≤ 1 ( vì
0 < y < 1) .Bđt cuối cùng là đúng ⇒ bđt ban đầu được cminh .
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = z ,y =1 ( x+y +z = 1) ⇔ x = z = 0 , y = 1
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
M =
0 b0,a våïi
ab
ba
ba
ab
22
22
>>
+
+
+

Đặt x =

ab
ba
22
+
,
Ta có a > 0, b > 0 ⇒

ab
ba
22
+
≥ 2 ⇒ x ≥ 2
Khi đó M = x + 1/x = f (x) vứi x ≥ 2 ( M là biểu thức theo 1 biến x )
f '(x) = 1 - 1/x
2
> 0 với x ≥ 2
⇒ f(x) tăng trên [2; +∞) ⇒ min M = minf(x) = f(2) = 5/2
Bài 4: a,b,c∈ (0,1] -chứng minh :

( )( )( )
c1b1a1
3
1
cba
1
−−−+≥
++
(đề thi hs giỏi lớp 12 - Quảng nam )
Giữa 2 biểu thức a+b+c và (1-a) (1-b) (1-c) có bđt liên hệ :

( )( )( )
( )
3
cba3
3
c1b1a1
c1b1a1
3
++−
=
−+−+−
≤−−−
2
(bđt Cô Si ) Ta đi cminh bđt chặt hơn bđt ban đầu :
cba
1
++
≥
+
3
1
( )
3
3
cba3







++−
(♦ )
(đã làm giảm đi một số biến "1-a'' ,''1-b'' , ''1-c '' )
Đặt S = a+b+c , 0 < S ≤ 3 .Bđt (♦ ) viết lại :
( ) ( )
3
3
S3SS39
3
S3
S3
S3
−≥−⇔






−
≥
−


( ) ( )
[ ]
*** 0S3S9S3
2
≥−−−⇔

là bđt chỉ theo một biến .
Vì 3-S ≥ 0 , để cminh *** ta cminh 9 - S(3-S)
2
≥ 0 với 0 <S ≤ 3.
Ta có :
S(3-S)
2
=
3
2
3
)S3)(S3(S2
2
1
)S3(S2
2
1






−−+
≤−
= 4 ( bđt Cô si) ⇒ 9 - S(3-S)
2
≥ 9 - 4 > 0 ⇒.***
được cminh ⇒ bđt (♦ ) được cminh ⇒ bđt ban đầu được cminh .
Dấu '' = ''xảy ra ⇔1-a =1-b = 1-c , S = a+b+c = 3 ⇔ a = b = c =1

@ Bài tập đề nghị :
1/ Chứng minh với mọi x ta có : | sin
3
x +cosx | < 5/4
2/ Chứng minh với 0 < x < π/2 thì 3x - x
3
<
x2sin
2
3/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
3
P = sin
2
C
sin
2
B
sin
2
A

4
5