Đề thi thử môn toán 2016 trường thpt chuyên lào cai lần 2

TR

NG THPT CHUYÊN LÀO CAI
T TOÁN – TIN
–––––––

Câu 1 (2.0 đi m). Cho hàm s

THI TH THPT QU C GIA L N 1
N M H C 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút

y  x3  3x2  2

a) Kh o sát s bi n thiên và và v đ th (C) c a hàm s đã cho.
b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) bi t ti p tuy n song song v i đ
24x  y  5  0
Câu 2 (1,0 đi m) Gi i ph



ng trình sin x  2sin x  1  cos x 2cos x  3

Câu 3 (1,0 đi m). Cho s ph c z th a mãn h th c  i  3 z 
ph c w  z  i

ng th ng



2i
  2  i  z . Tìm môđun c a s
i

Câu 4 (1.0 đi m). Trong c m thi xét công nh n t t nghi p THPT thí sinh phái thi 4 môn trong
đó có 3 môn bu c Toán, V n. Ngo i ng và 1 môn do thi tinh t ch n trong s các môn: V t li.
Hóa h c. Sinh h c, L ch s v
a lý. M t tr ng THPT có 90 h c sinh đ ng ki d thi. trong đó
30 h c sinh ch n m n V t l v 20 h c sinh ch n môn Hóa h c. Ch n ng u nhiên 3 h c sinh b t
k c a tr ng đó. Tính x c su t đ trong 3 h c sinh đó luôn có c h c sinh ch n môn V t lí và
h c sinh ch n môn Hóa h c.
Câu 5 (1,0 đi m). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh b ng 2a. Hình
chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (ABCD) là trung đi m H c a c nh AB. Góc gi a m t
ph ng (SCD) và m t ph ng (ABCD) b ng 60o. Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD. Tính
theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA và BD.
Câu

6.

(1,0

đi m).

Trong

không

gian

v i

h t a đ
Oxyz cho m t c u
x6 y 2 z 2
2
2
2
. Vi t ph ng trình


 S  :  x 1   y  2   z  3  9 và đ ng th ng  :
3
2
2
m t ph ng (P) đi qua M(4;3;4), song song v i đ ng th ng ∆ và ti p xúc v i m t c u (S)
Câu 7 (1,0 đi m). Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình vuông ABCD có đ nh C thu c đ ng
th ng d: x + 2y – 6 = 0, đi m M(1;1) thu c c nh BD. Bi t r ng hình chi u vuông góc c a đi m
M trên c nh AB và AD đ u n m trên đ ng th ng ∆: x + y – 1 = 0. Tìm t a đ đ nh C.
Câu 8 (1,0 đi m). Gi i b t ph

ng trình:  x  2 

Câu 9 (1,0 đi m). Cho x, y, z là các s th c d
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P 





2 x  3  2 x  1  2 x2  5 x  3  1

ng th a mãn 5  x2  y2  z2   9  xy  2 yz  zx .

x
1

2
y  z  x  y  z 3
2

................... H t...................
Thí sinh không đ

c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

1


ÁP ÁN
Câu 1
a) y  x3  3x2  2
+TX : D =
+S bi n thiên:
–Chi u bi n thiên:
y '  3x2  6 x ; y’ = 0

x = 0 ho c x = 2.

Các kho ng đ ng bi n: (–∞;0) và (2;+∞); kho ng ngh ch bi n (0;2)
–C c tr : Hàm s đ t c c đ i t i x = 0; yC = 2; đ t c c ti u t i x = 2; yCT = –2
–Gi i h n t i vô c c: lim y  ; lim y  
x

x

+B ng bi n thiên
x –∞
y’
y

+

+

–∞

0
0
2

–

2
0

+∞
+
+∞

–2

th

b) Ta có: y '  3x2  6 x

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

2


Ph

ng trình ti p tuy n v i đ th (C) t i đi m M(a;b)

(C) có d ng

y   3a 2  6a   x  a   b  d 

ng th ng (d) song song v i đ

ng th ng y = 24x – 5 nên suy ra
a = 4 ho c a = –2

3a 2  6a  24  a 2  2a  8  0

Th l i:
a=4

M(4;18); (d): y = 24x – 78 (th a mãn)

a = –2

M(–2;–18); (d): y = 24x + 30 (th a mãn)

V y ph

ng trình ti p tuy n c n tìm là y = 24x – 78 và y = 24x + 30

Câu 2



sin x  2sin x  1  cos x 2 cos x  3



 2sin 2 x  sin x  2 cos 2 x  3 cos x
 sin x  3 cos x  2  cos 2 x  sin 2 x
1
3
sin x 
cos x  cos 2 x
2
2


 sin  x    cos 2 x
3


5 

 cos  x 
  cos 2 x
6 



 5
 x  6  2 x  k 2

 x  5  2 x  k 2

6

5

 x   6  k 2

 x  5  k 2

18
5

 x   6  k 2
(k
V y 
 x  5  k 2


18

)

Câu 3

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

3


G i z = a + bi (a, b

).

Suy ra z  a  bi
Ta có:

2i
 2  i z
i
 2  i  i  2  i a  bi
  i  3 a  bi  
 

1
  3a  b    a  3b  i  1  2i   2a  b    a  2b  i

 i  3 z 

  a  1   2a  5b  2  i  0
 a  1  2a  5b  2  0
a  1


4
b  5
4
1
 z  1  i  w  z  i  1  i
5
5
2

V y môđun c a s ph c w là w 

1
26
2
 1     
5
 5

Câu 4
G i A là bi n c “Trong 3 h c sinh đ
môn Hóa h c.”

c ch n có c h c sinh ch n môn V t lí và h c sinh ch n

+Tính s ph n t c a không gian m u:

S cách ch n 3 h c sinh t 90 h c sinh là C903
+Tính s k t qu có l i cho A:
–TH1: Trong 3 h c sinh đ
Hóa h c:

c ch n, ch có 1 h c sinh ch n môn V t lí và 1 h c sinh ch n môn

1
S cách ch n h c sinh ch n môn V t lí: C30
1
S cách ch n h c sinh ch n môn Hóa h c: C20
1
S cách ch n h c sinh còn l i (không ch n V t lí hay Hóa h c): C40
1
1
1
Theo quy t c nhân, s h c sinh TH này là: C30
.C20
.C40

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

4


–TH2: Có 2 h c sinh ch n môn V t lí, 1 h c sinh ch n môn Hóa h c.
S cách ch n 2 h c sinh ch n V t lí: C302
1
S cách ch n 1 h c sinh ch n Hóa h c: C20
1

Theo quy t c nhân, s h c sinh TH này là: C302 .C20

–TH3: Có 2 h c sinh ch n môn Hóa h c 1 h c sinh ch n môn V t lí
S cách ch n 2 h c sinh ch n Hóa h c: C202
1
S cách ch n 1 h c sinh ch n V t lí: C30
1
Theo quy t c nhân, s h c sinh TH này là: C202 .C30

Theo quy t c c ng, s cách ch n b 3 h c sinh sao cho luôn có c h c sinh ch n môn V t lí và
1
1
1
1
2
1
h c sinh ch n môn Hóa h c là C30
.C20
.C40
 C302 .C20
 C20
.C30
 38400
Xác su t c n tính là: PA 

38400 320

C903
979

Câu 5

+Tính th tích
G i N là trung đi m CD.
Ta có SM

(ABCD) nên (SMN)

MN // BC

MN

CD. Mà SM

(ABCD)
CD nên CD

(SMN)

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

5


Mà CD  (SCD) nên (SCD)

(SMN)

V y m t ph ng (SMN) cùng vuông góc v i (ABCD) và (SCD)
(SMN)  (ABCD) = MN; (SMN)  (SCD) = SN

Góc gi a (SCD) và (ABCD) là SNM  60
Vì MNCB là hình ch nh t nên MN = BC = 2a
Tam giác SMN vuông t i M:
SM  MN.tan 60  2a 3
1
1
8a 3 3
2
 VS. ABCD  SM .SABCD  .2a 3.  2a  
3
3
3

+Tính kho ng cách:
Qua A k đ
V MI

ng th ng song song BD. H là hình chi u vuông góc c a M trên đ

ng th ng đó.

SH t i I

Vì AH  (SAH) nên BD // (SAH)
Do đó d(BD; SA) = d(BD; (SAH)) = d(B; (SAH)) = 2. d(M; (SAH))
Vì SM

AH, MH

Suy ra MI

AH nên (SMH)

AH. Mà MI

AH

SH nên MI

(SAH)

Suy ra d(M; (SAH)) = MI
Tam giác AHM vuông cân t i H nên MH 

MA a

2
2

Tam giác SMH vuông t i M:

1
1
1
2a 3


 MI 
2
2

2
5
MI
MH
MS
4a 3
 d  SA; BD   2.MI 
5
Câu 6
G i vect pháp tuy n c a (P) là n  a ; b; c 
ng th ng ∆ có vect ch ph

ng u   3; 2; 2  , đi qua đi m N(6;2;2)

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

6


∆ // P  n.u  0  3a  2b  2c  0  c 

3a
b
2

 3a

ng trình m t ph ng  P  : a  x  4   b  y  3    b   z  4   0
 2


Ph

M t c u (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = 3.
M t ph ng (P) ti p xúc v i m t c u (S) khi và ch khi
d  I ;  P   3


 3a

a 1  4   b  2  3    b   3  4 
 2

 3a

a 2  b2    b 
 2


2

3

 3a  13a 2  12ab  8b 2
 9a 2  13a 2  12ab  8b 2
 a 2  3ab  2b 2  0

Ch n b = 1 thì a = 1 ho c a = 2.
a=1

(P): 2x + 2y + z – 18 = 0 (lo i vì N

a=2

(P): 2x + y + 2z – 19 = 0 (th a mãn ∆ // (P))

V y ph

(P)

∆  (P))

ng trình m t ph ng c n tìm là 2x + y + 2z – 19 = 0.

Câu 7

G i H, K l n l

t là hình chi u vuông góc c a M trên AB, AD.

KM c t BC t i F, CM c t KH t i E.
Tam giác KMD vuông t i K có góc MKD b ng 45o nên là tam giác vuông cân.

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

7


Suy ra KM = KD
KDCF là hình ch nh t nên KD = FC

KM = FC.

(1)

Tam giác MBF vuông cân t i F nên MF = BF
MFBH là hình ch nh t nên BF = MH

MF = MH

(2)

T (1) và (2) suy ra ∆ MKH = ∆ MCF (hai tam giác vuông có 2 c nh góc vuông t
nhau)

ng ng b ng

 MKE  MCF
 MKE  EMK  MCF  FMC  90
Suy ra ∆ MKE vuông t i E

MC

HK.

ng th ng HK có vect pháp tuy n nHK  1;1  uHK  1; 1
Ph

ng trình đ

ng th ng MC đi qua M(1;1) và nh n uHK  1; 1 làm vect pháp tuy n:

(MC): x – y = 0
T a đ c a C là nghi m c a h :

x  y  0
 C  2; 2 

x  2 y  6  0
V y t a đ đi m C là (2;2)
Câu 8

 x  2 



2 x  3  2 x  1  2 x2  5 x  3  1 (1)

K: x ≥ –1.
t a  2 x  3; b  x  1  a  1, b  0 , (1) tr thành

a 2  2b 2  1; 2 x2  5 x  3  ab; x  2  a 2  b 2

a

2

 b 2   a  2b   ab  1

  a  b  a  b  a  2b   ab  1  0

  a  b   a 2  2b 2  ab   ab  1  0
  a  b 1  ab   ab  1  0
  a  b  11  ab   0

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

8


a  b  1  0
a  b  1  0
a – b – 1 = 0 (2) ho c 1 – ab = 0 ho c 
(I) ho c 
(II)
1  ab  0
1  ab  0
Gi i (2):

2x  3  x 1 1  0  2x  3  x 1 1
 2x  3  x 1 2 x 1 1
 x 1  2 x 1
 x 1





x 1  2  0

x = –1 ho c x = 3 (th a mãn)

Gi i (3):

1  2 x2  5x  3  0  2 x2  5x  2  0
 x

1
(th a mãn) ho c x = –2 (lo i)
2

Gi i (I):
 x  1
x  3

 2x  3  x 1 1 

(I )  
 x 1  2 x 1  
1 (lo i)
2
1
x




2
5
3
1
x

x






2

2

2 x  5 x  2  0

Gi i (II):

 x  1
1  x  3
 2 x  3  x  1  1 
1

  x 1 x 1  2  0  
   x  3 (TM K)
( II )  
1
2
2
 2
 x   2
 2 x  5 x  3  1
2 x  5 x  2  0





1
V y nghi m c a BPT (1) là x = –1 và   x  3 .
2

Câu 9
t t = y + z, t ≥ 0, ta có các b t đ ng th c sau:

y z
2

2

 y  z

2

2

 y  z  t 2
t2
 ; yz 
2
4
4
2

Do đó t đi u ki n đ bài suy ra:

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

9


5 x2  5.

 y  z

2

 5  x2  y2  z2   9  xy  2 yz  zx  9 x  y  z   18.

2
 5 x  9 xt  2t 2  0   x  2t  5 x  t   0

 y  z

2

4

2

 x  2t
Do đó:

P

x
1
2t
1
4
1

 2 
 
3
3
2
t
y  z  x  y  z
 2t  t  t 27t 3
2
2

Xét hàm f  t  
f 't   

4
1
trên (0;+∞)

t 27t 3

4

1
4
1
1
1
 4 ; f ' t   0  2  4  t 2 
t 
2
t
9t
t
9t
36
6

1
Ta có: f    16 . B ng bi n thiên:
6

x
f’(x)
f(x)

1
6
0
16

0
+

–∞

C n c b ng biên thiên, ta có f(t) ≤ 16

+∞
–
0

t

(0;+∞)

Suy ra P ≤ 16.

D u b ng x y ra


1

y  z
x



3
 x  2  y  z  

y  z  1
1


y z 
12
6


V y giá tr l n nh t c a P là 16.

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

10