Đề thi thử môn toán 2016 trường thpt chuyên phan bội châu nghệ an lần 1

TR

S GD& T NGH AN
NG THPT CHUYÊN PHAN B I CHÂU

THI TH THPT QU C GIA
N M H C 2015 – 2016; MÔN: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian giao đ

Câu 1 (1,0 đi m) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s y 
Câu 2 (1,0 đi m) Tìm đi m M thu c đ th hàm s

y

M cùng v i hai tr c t a đ t o thành m t tam giác cân.
Câu 3 (1,0 đi m)

x
sao cho ti p tuy n c a đ th hàm s t i
1 x

1 

a) Tìm s h ng đ ng chính gi a trong khai tri n  x3  2 
x 

C21n1  C22n1  ...  C2nn1  220  1

b) Gi i ph

x

.
1 x

n

ng trình: log 22  x  1  6log 2 x  1  2  0  x 

 x  0

th a mãn:

bi t n



Câu 4 (1,0 đi m) Tìm h nguyên hàm : I    esin x  cos x cos xdx .

Câu 5 (1,0 đi m) Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho hai đi m A(1;2;2), B(5;4;4) và m t
ph ng (P): 2x + y – z + 6 = 0. Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua trung đi m I c a AB và d
(P); tìm đi m M n m trên (P) sao cho MA2 + MB2 nh nh t.
Câu 6 (1,0 đi m)
a) Cho  là góc th a mãn cot   2 . Tìm giá tr bi u th c:
cos 
M
3
sin   3cos3 
b)
i xung kích c a m t tr ng THPT g m 2 h c sinh l p 12, 3 h c sinh l p 11 và 4 h c sinh
l p 10. Ch n ng u nhiên đ ng th i 2 h c sinh t đ i xung kích đi làm nhi m v . Tính xác su t
đ 2 h c sinh đ c ch n không cùng thu c cùng m t kh i.

Câu 7 (1,0 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AB  2a , BD  AC 3 và I là
giao đi m c a AC và BD; tam giác SAB cân t i A; hình chi u vuông góc c a S lên m t ph ng đáy
trùng v i trung đi m H c a AI. Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai đ ng
th ng SB v i CD.
Câu 8 (1,0 đi m) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho đ
Tìm đi m M

Ox sao cho t M k đ

bi t A, B th a mãn đ

c đ n (C) hai đ

ng tròn  C  :  x  1   y  4   4 .
2

2

ng th ng ti p xúc v i (C) t i hai đi m phân

ng th ng đi qua A, B ti p xúc v i đ

ng tròn  C1  :  x  3   y  1  16
2

2

)
Câu 9 (1,0 đi m) Gi i ph ng trình 7 x2  20 x  86  x 31  4 x  x2  3x  2 ( x
Câu 10 (1,0 đi m) Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn abc = 1 và a + b ≤ 1. Tìm giá tr

1
1
l n nh t c a bi u th c: M 

 1 c
2
1  4a 1  4b2
–––––––––H t–––––––––

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

1


ÁP ÁN
Câu 1
1. T p xác đ nh: D =
2. S bi n thiên
Chi u bi n thiên: y ' 

\ {1}
1

1  x

2

 0, x  D

Hàm s đ ng bi n trên m i kho ng (–∞;1) và (1;+∞)

Gi i h n: lim y  ; lim y    x  1 là ti m c n đ ng
x1

x1

lim y  lim y  1  y  1 là ti m c n ngang.

x

x

B ng bi n thiên:
x –∞
y’
y

3.

+∞

1
+

–1

+

+∞
–∞

–1

th

Giao v i Ox và Oy t i (0;0).
th nh n I(1;–1) làm tâm đ i x ng

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

2


Câu 2
Ta có y ' 

1

1  x

2

m 

G i M  m;
 , m ≠ 1 là đi m thu c đ th hàm s đã cho.
 1 m 

Ph
y

ng trình ti p tuy n v i đ th hàm s t i đi m M là :
1

1  m

2

.  x  m 

m
d 
1 m

ng th ng (d) c t Oy, Ox l n l
Tam giác OAB vuông cân

OA  OB  tan  

t t i A và B và có h s góc tan  

1

1  m

2

O, nên:

OA
1

1
1
2
OB
1  m

 M  0;0 
m  0

(tm)  
m  2
 M  2; 2 
V y các đi m M c n tìm là (0;0) và (2;–2)
Câu 3
a) Ta có:

C2kn 1  C22nn11 k , k  1; 2;...; n
 C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1  C22nn1  C22nn11  ...  C2nn11
 1  1

2 n 1

 C20n 1  C21n 1  ...  C22nn11

  C20n 1  C22nn11    C21n 1  C22n 1  ...  C22nn1 
 2  2.  C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1 
 2  2.  220  1

 22 n 1  221  n  10
Do đó:

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

3


n

10

10
10 i  1 
 3 1   3 1 




x
x
C10i .  x3  .  2 



2 
2 
x  
x 

x 
i 0

i

10

  C10i .x305i
i 0

S h ng đ ng chính gi a trong khai tri n trên t

ng ng v i i = 5.

S h ng đó là C105 .x5  252 x5
b) log 22  x  1  6log 2 x  1  2  0 1
K: x > –1
V i K trên, ta có:

1  log 22  x  1  3log 2  x  1  2  0
 log 2  x  1  1 log 2  x  1  2   0
log 2  x  1  1

log 2  x  1  2
x 1  2
x  1


 tm 
x 1  4
x  3
V y t p nghi m c a ph

ng trình đã cho là S= 1;3

Câu 4
I    esin x  cos x cos xdx
  esin x .cos xdx   cos 2 xdx
 I1  I 2
I1   esin x .cos xdx
t  sin x  dt  cos xdx
I1   et dt  et  C  I1  esin x  C
I 2   cos 2 xdx  


1  cos 2 x
1 1

dx     cos 2 x  dx
2
2 2


x 1
 sin 2 x  C
2 4

I  I1  I 2  esin x 

x 1
 sin 2 x  C
2 4

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

4


Câu 5

Vect pháp tuy n c a m t ph ng (P) là n  2;1; 1
(P) nên d nh n n  2;1; 1 làm vect ch ph

Vì d

d  :

ng, mà d qua trung đi m I(3;3;3) c a AB nên:

x3 y3 z3


2
1
1

G i E là hình chi u vuông góc c a I trên (P).
E

d

E

(P)

E(3 + 2t;3 + t; 3 – t)
2(3 + 2t) + (3 + t) – (3 – t) + 6 = 0

t = –2

E(–1;1;5)

Ta có:
2

2



 
2

MA2  MB2  MA  MB  MI  IA  MI  IB



 2MI 2  IA2  IB2  2MI IA IB



 2MI 2  2 IA2 do IA IB  0







2

 2 EI 2  2 IA2  do MI  EI , M   P  
D u b ng x y ra khi và ch khi M

E.

V y M(–1;1;5) là đi m th a mãn yêu c u đ bài.
Câu 6
a) Ta có:

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

5


1
1
 1  cot 2   5  sin 2  
2
sin 
5
4
 cos 2   1  sin 2  

5
cot   2 

V y

cos 
cos 
sin 
M

3
cos3 
sin   3cos3 
sin 2   3
sin 
cot 

2
sin   3cos 2  .cot 
2

5
b) G i A là bi n c “2 h c sinh đ

c ch n không thu c cùng m t kh i”.

S ph n t c a không gian m u là s cách ch n 2 h c sinh t 9 h c sinh, b ng C92  36
Tính s k t qu có l i cho A:
N u trong 2 h c sinh có 1 h c sinh l p 10 và 1 h c sinh l p 11 thì s cách ch n b 2 h c sinh đó là
4.3 = 12

N u trong 2 h c sinh có 1 h c sinh l p 10 và 1 h c sinh l p 12 thì s cách ch n b 2 h c sinh đó là
4.2 = 8
N u trong 2 h c sinh có 1 h c sinh l p 12 và 1 h c sinh l p 11 thì s cách ch n b 2 h c sinh đó là
2.3 = 6
Theo quy t c c ng, s k t qu có l i cho A là 12 + 8 + 6 = 26
Xác su t c n tính là PA 

26 13
 .
36 18

Câu 7

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

6


Vì ABCD là hình thoi nên I là trung đi m AC và BD. Suy ra
BD  AC 3  BI  AI 3

Tam giác ABI vuông t i I:
AB2  AI 2  BI 2
 4a 2  AI 2  3 AI 2
 AI  a
 AH 

AI a

2 2

∆ SAB cân

A nên SA = AB = 2a.

∆ SHA vuông

H:

SH  SA2  AH 2 

a 15
2

Vì ABCD là hình thoi nên SABCD 

1
1
AC.BD  AC 2 3  2a 2 3
2
2

Th tình hình chóp:
1
1 a 15
VS. ABCD  SH .SABCD  .
.2a 2 3  a 3 5
3
3 2

Vì ABCD là hình thoi nên CD // AB, mà AB  (SAB) nên CD // (SAB)
Suy ra d  SB; CD   d  CD;  SAB   d  C;  SAB   4d  H ;  SAB 

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

7


(vì A
V HJ
AB

(SAB) và CA = 4HA)
AB t i J, HK
HJ, AB

AB

SH

SJ t i K.
AB

HK. Mà HK

(SHJ)

HJ nên HK

(SAB)

Suy ra d (SB; CD) = 4HK.
Ta có : AHJ

ABI ( g.g ) 

HJ AH
BI . AH a 3

 HJ 

4
BI
AB
AB

Tam giác SHJ vuông t i H nên
1
1
1
a 35


 HK 
2
2
2
14
HK
HJ

SH

V y d(SB; CD) =

2a 35
7

Câu 8

G i M(m;0)

Ox.

ng tròn (C) có tâm I(1;–4) và bán kính R = 2
ng tròn (C1) có tâm I1(3;1) và bán kính R1 = 4.
T Mk đ

c hai ti p tuy n đ n đ

ng tròn (C)

MI > R

  m  1   0  4   4
2

2

  m  1  12  0
2

(luôn th a mãn)

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

8


G i t a đ A, B là A xA; yA  ; B  xA; yB  . Ph

ng trình ti p tuy n t i A, B c a (C) l n l

t là

xA.x  yA. y   x  xA   4  y  yA   13  0  d1 
xB .x  yB . y   x  xB   4  y  yB   13  0  d 2 

Do

M   d1  , M   d 2 
mxA   m  xA   4 yA  13  0

mxB   m  xB   4 yB  13  0
Suy ra ph

ng trình đ

ng th ng AB là

mx   m  x  4 y  13  0   m  1 x  4 y  13  m  0

ng th ng AB ti p xúc v i đ

ng tròn (C1)

 d  I1 ;  AB   R1


3  m  1  4  13  m

 m  1

2

 16

4

 m  7  2 m2  2m  17
 3m2  22m  19  0
m  1

 m  19
3

 19 
V y có t t c 2 đi m M c n tìm là (1;0) và  ;0 
 3 

Câu 9

7 x2  20 x  86  x 31  4 x  x2  3x  2 1
2

7 x  20 x  86  0
K: 
2

31  4 x  x  0

Xét TH

x  2
 x  2  19
7 x2  20 x  86  x  2   2
6 x  24 x  90  0

Th l i ta th y x  2  19 không là nghi m c a ph

ng trình (1)

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

9


7 x2  20 x  86  x  2  x  2  19 *

Do đó

V i K (*), ta có:

1  


7 x2  20 x  86   2  x   x


7 x2  20 x  86   2  x

2

7 x2  20 x  86   2  x
6  x2  4 x  15 



7 x2  20 x  86  2  x









31  4 x  x2  4  0

x 15  4 x  x2 
31  4 x  x2  4

x  x2  4 x  15 
31  4 x  x2  4

0

0

 x2  4 x  15  0  2 


6
x

 0  3
2
 7 x  20 x  86  2  x
31  4 x  x2  4

 2  x  2 

 3  6

19 (th a mãn đi u ki n) ho c x  2  19 (lo i vì không th a mãn (*))

31  4 x  x2  24  x 7 x2  20 x  86  2 x  x2

7 x2  20 x  86  3x  2  x 31  4 x  x2 (rút ra t (1)), ta đ

Thay

c ph

ng trình h qu :





6 31  4 x  x2  24  x 3 x  2  x 31  4 x  x2  2 x  x2
  x2  6  31  4 x  x2  2 x2  4 x  24
  31  4 x  x2    x2  6  31  4 x  x2  x2  7  0






31  4 x  x2  1



31  4 x  x2  x2  7  0

 31  4 x  x2  1
 x2  4 x  30  0
 x  2  34

 x  2  34
c x  2  34 là nghi m c a (1).

Th l i tr c ti p vào ph

ng trình (1), ta đ

V y t p nghi m c a ph

ng trình (1) là 2  19; 2  34





Câu 10
Áp d ng b t đ ng th c Cô–si cho 2 s không âm ta có:

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! 10


ab 

 a  b

2



4

1

 4ab  1; c  4
4

V i m i a, b th a mãn đi u ki n đ bài, ta có :
1
1
2


*
2
2
1  4a 1  4b 1  4ab

Th t v y

2  4a 2  4b 2
2

2
2
2 2
1  4a  4b  16a b 1  4ab
 1  2a 2  2b 2  1  4ab   1  4a 2  4b 2  16a 2b 2

 * 

 16a 2b 2  8a 3b  8ab3  2a 2  4ab  2b 2  0
 2 1  4ab  a  b   0
2

(luôn đúng vì 4ab ≤ 1)
Áp d ng (*) và chú ý abc = 1 ta có:
M

2
1

4
c

 1 c 

Xét f  c  

f 'c 


2c
 1  c trên [4;+∞)
c4

8

 c  4

8 c 1

2c
 1 c

c4



2

16 c  1   c  4 
1


2
2 1 c
2 1  c  c  4



c  1  2  c2  8

2 1  c  c  4

2

2

 0, c  4

Hàm s f(c) ngh ch bi n và liên t c trên [4;+∞)
Suy ra M  f  c   f  4   1  5
1
D u b ng x y ra khi a  b  ; c  4

2

V y GTLN c a M là 1  5 .

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! 11