Đề thi thử môn toán 2016 trường thpt chuyên vĩnh phúc lần 1

S GD VÀ T PHÚ YÊN
TR
NG THPT CHUYÊN
–––––––––––––––––
CHÍNH TH C

THI THPT QU C GIA 2015 – 2016 L N 1
Môn: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ
Ngày thi 09/10/2015

Câu 1 (1,0 đi m) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s y   x  1  x2  2 x  2  .

Câu 2 (1,0 đi m)Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s f  x  cos 2 x  2sin 2 x  1  ln  x  e 
trên đ a [0;e]
Câu 3 (1,0 đi m).
x  2 2x  5
x2
x 2

a) Tính gi i h n lim
b) Gi i ph

ng trình 4x  3.2x

x2  2 x3

3

Câu 4 (1,0 đi m). Tính tích phân I  
1

 41

x2  2 x3

1  ln  e x .x

 x  1

2

 0.

dx

Câu 5 (1,0 đi m). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai m t ph ng có ph ng trình
 P  : 2x  3 y  4z  20  0 và  Q  : 4 x 13 y  6 z  40  0 . Ch ng minh (P) c t (Q) theo giao
tuy n là đ ng th ng d. Vi t ph ng trình đ ng th ng d.
Câu 6 (1,0 đi m).



ng trình sin 4 x  cos 4  x    1
4

b) Trong m t ph ng t a đ Oxy. góc ph n t th nh t ta l y 2 đi m phân bi t; c th các
góc ph n t th hai, th ba, th t ta l n l t l y 3,4,5 đi m phân bi t (các đi m không
n m trên các tr c t a đ ). Trong 14 đi m đó ta l y 2 đi m b t k . Tính xác su t đ đo n
th ng n i hai đi m đó c t hai tr c t a đ .
Câu 7 (1,0 đi m). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i

AB  a , AD  a 2 . C nh bên SA vuông góc v i đáy, c nh SC t o v i đáy góc 30o. G i K là hình
chi u vuông góc c a A trên SD. Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai đ ng
th ng AK, SC.
Câu 8 (1,0 đi m). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình vuông ABCD có đ nh C(2;–5)
và n i ti p đ ng tròn tâm I. Trên cung nh BC c a đ ng tròn (I) l y đi m E, trên tia đ i c a
tia EA l y đi m M sao cho EM = EC. Tìm t a đ đ nh A, bi t đ nh B thu c đ ng th ng d: y – 2
= 0 và đi m M(8;–3).
a) Gi i ph

Câu 9 (1,0 đi m). Gi i h ph

4 x3  12 x2  15 x   y  1 2 y  1  7
ng trình 
6  x  2  y  x  26  6 3 16 x  24 y  28

Câu 10 (1,0 đi m). Cho x, y, z là các s th c d

 x, y  

ng th a mãn đi u ki n  x  y  xy  z2   3xyz .

2
4
x2  y2  z  2 xy  3z

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 
.
z2
2 xyz2
2

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

1


ÁP ÁN
Câu 1
Ta có y  x3  3x2  2
+TX : D = .
+S bi n thiên:
–Chi u bi n thiên:
y '  3x2  6 x ; y’ = 0

x = 0 ho c x = 2

Các kho ng đ ng bi n: (–∞;0) và (2;+∞); kho ng ngh ch bi n (0;2)
–C c tr : Hàm s đ t c c đ i t i x = 0; yC = 2; đ t c c ti u t i x = 2; yCT = –2
–Gi i h n t i vô c c: lim y  ; lim y  
x

x

+B ng bi n thiên
x –∞
y’
y

+

–∞

+

0
0
2

–

2
0

+∞
+
+∞

–2

th

Câu 2
f  x  cos 2 x  2sin 2 x  1  ln  x  e   1  2sin 2 x  2sin 2 x  1  ln  x  e   2  ln  x  e 

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

2


Hàm s f(x) xác đ nh và liên t c trên đo n [0;e]

Ta có: f '  x 

1
x

 f '  x  0 x   0; e
Ta có: f  0   3; f  e   3  ln 2
Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a f(x) trên đo n [0;e] l n l

t là 3 + ln2 và 3.

Câu 3
5
a) V i m i x   , x  2 , ta có:
2

f  x 





2  2 x  5  1
x  2 2x  5 x  2  2 2x  5 1
4

 1
 1
x 2
x 2

2x  5 1
 x  2 2x  5  1

 lim f  x  1 
x2

V y lim

x2

4
2.  2   5  1





3

x  2 2x  5
3
x 2

b) 4x  3.2x

x2  2 x3

 41

x2  2 x3

0

(1)

K: x2  2 x  3  0
t a  2x ; b  2

x2  2 x3

 a  0, b  1 . Ph

ng trình (1) tr thành

a 2  3ab  4b 2  0
  a  b  a  4b   0
 a  4b (do a  b  0)
Do đó
(1)  2 x  4.2

x2  2 x3

 x  2 x2  2 x  3

x  0
x  0
 2

 2
2

 x  4 x  8 x  12
3x  8 x  12  0
 x

4  2 13
3

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

3


(th a mãn)
V y ph

ng trình đã cho có nghi m duy nh t x =

4  2 13
.
3

Câu 4
3

Ta có: I  

1  x  ln x

 x  1

1

3

I1  
1

3

I2  

dx
 ln x  1
x 1
ln x

1  x  1

2

u  ln x; dv 

3
1

3

dx
ln x


dx  
dx
x  1 1  x  12
1
 ln 4  ln 2  ln 2.

dx
dx

 x  1

2

 du 

dx
1
; v
x
x 1

1 
dx
 ln x
 ln 3
1


0  
 dx

4
x  1 1 1 x  x  1
x x 1 
1
3

I2 

2

3

3

3

 ln 3
  ln x  ln x  1  13
4
 ln 3

  ln 3  ln 4    0  ln 2 
4
3ln 3

 ln 2
4
3ln 3
 I  I1  I 2 
4



Câu 5
Vect pháp tuy n c a (P) và (Q) l n l

t là n1  2; 3; 4  và n2  4; 13; 6 

Gi s (P) song song ho c trùng (Q), thì t n t i s th c k sao cho:

 2  4k

n1  k.n2  3  13k (vô lí)
4  6k

V y (P) c t (Q) theo m t giao tuy n là đ

ng th ng d.

Ta có:  n1; n2    70; 28; 14 

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

4


Vì d là giao tuy n c a (P) và (Q) nên nh n u 

1
 n1; n2    5; 2; 1 làm vect ch ph


14 

M t khác đi m M(0;4;–2) đ ng th i thu c (P) và (Q) nên M
Ph

ng trình (d):

ng.

d.

x y4 z 2
.


1
5
2

Câu 6
a)



sin 4 x  cos 4  x    1
4

2



 

  2sin x   2 cos 2  x     4
4 


2

2

2


 

 1  cos 2 x  1  cos  2 x     4
2 


2

 1  cos 2 x  1  sin 2 x  4
2

2

 1  2 cos 2 x  cos 2 2 x  1  2sin 2 x  sin 2 2 x  4
 2  cos 2 x  sin 2 x  1
1



 cos  2 x    
4
2 2


 



 x  8  2  k
 2 x  4    k 2
1 



v i   arccos  

 2 2
 x      k
 2 x      k 2


4
8 2
V y ph

ng trình có các nghi m x 

b) G i A là bi n c “


8




2

 k  k 

ng th ng n i hai đi m đ


c ch n c t hai tr c t a đ ”.

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

5


+Tính s ph n t c a không gian m u:
S cách ch n 2 trong 14 đi m đã cho là C142  91
+Tính s k t qu thu n l i cho A:
đo n th ng n i hai đi m c t hai tr c t a đ thì chúng ph i n m
nhau qua g c t a đ O (m i đi m n m m t góc ph n t )
–TH1: Hai đi m n m

hai góc ph n t đ i x ng

hai góc ph n t (I) và (III):

S cách ch n đi m n m trong góc (I): có 2 cách
S cách ch n đi m n m trong góc (III): có 4 cách.
Theo quy t c nhân, có 2.4 = 8 (c p đi m) th a mãn TH này
–TH2: Hai đi m n m

hai góc ph n t (II) và (IV):

S cách ch n đi m n m trong góc (II): có 3 cách
S cách ch n đi m n m trong góc (IV): có 5 cách.
Theo quy t c nhân, có 3.5 = 15 (c p đi m) th a mãn TH này.
Theo quy t c c ng, s k t qu có l i cho A là 8 + 15 = 23
Xác su t c n tính là: PA 

23
.
91

Câu 7

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

6


+Tính th tích
Vì SA vuông góc v i đáy nên góc gi a SC và (ABCD) là SCA 30
ABCD là hình ch nh t, tam giác ABD vuông t i A nên:

AC  BD  AB2  AD2  a 3
Tam giác SAC vuông t i A:

SA  AC.tan 30  a
Th tích kh i chóp:
VS. ABCD





a3 2
1
1
 .SAS
. ABCD  .a . a .a 2 
3
3
3

+Tính kho ng cách:
V AI

SC t i I.

Vì SA

CD, AD

CD nên (SAD)

Suy ra AK

CD. Mà AK

Suy ra AK

IK và AK

AK

SC, AI

CD

SD nên AK

(SCD)

SC.

SC nên (AKI)

SC

SC

IK là đo n vuông góc chung c a AK và SC

IK.

d(AK,SC) = IK.

Tam giác SAD vuông t i A:

1
1
1
2a 2
2



AK

3
AK 2 SA2 AD 2

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

7


Tam giác SAC vuông t i A:

1
1
1
3a 2
2



 AI 
4
AI 2 SA2 AC 2
Tam giác AIK vuông t i K:
IK  AI 2  AK 2 

V y d  AK , SC  

a 3
6

a 3
6

Câu 8

BE c t CM t i F.
AC là đ

ng kính c a (I) nên AEC  90  CEM  90

Suy ra tam giác ECM vuông cân t i E

ECF  45

ABEC là t giác n i ti p nên CEF  CAB  45 (∆ CAB vuông cân)
Suy ra ∆ ECF vuông cân t i F
EF là đ

ng cao c a tam giác cân ECM

F là trung đi m CM.

F  5; 4 
ng th ng BF đi qua F , nh n vect
Ph

1
CM   3;1 làm vect pháp tuy n.
2

ng trình BF : 3x  y  11  0

T a đ c a đi m B th a mãn h :

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

8


3x  y  11  0
 B  3; 2 

y 2  0
Ta có: CB  1;7  . Do đó đ

ng th ng BC qua B và nh n vect n   7; 1 làm vect pháp

tuy n.

Ph

ng trình BC : 7 x  y  19  0 .

AB qua B và nh n CB  1;7  làm vect pháp tuy n.
Ph

ng trình AB : x  7 y  17  0 .

G i A17  7a ; a   AB . Ta có:

AB  BC 

14  7a    a  2 
2

2

 50

a  1
 a 2  4a  3  0  
a  3
A và M n m khác phía so v i BC nên  7 xA  yA  19 7 xM  yM  19  0

a  1  A10;1   7 xA  yA  19 7 xM  yM  19   0 (lo i)
a  3  A 4;3   7 xA  yA  19 7 xM  yM  19   0 (th a mãn)
V y A(–4;3)
Câu 9

4 x3  12 x2  15 x   y  1 2 y  1  7 (1)

6  x  2  y  x  26  6 3 16 x  24 y  28 (2)
K: y 

1
2

(1)  8 x3  24 x2  30 x   2 y  2  2 y  1  14
2
  2 x  2   3  2 x  2   14  








2 y  1  3 2 y  1  14  3

2

Xét hàm f  t    t 2  3 t  14 trên .
Ta có: f '  t   3t 2  3  0 t

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

9

Suy ra f(t) đ ng bi n trên .

 3  f  2 x  2  
Thay vào ph

f



x  1

2 y 1  2x  2  2 y 1  
5
y  2 x2  4 x 


2



ng trình (2) ta đ

c:

3  x  2   4 x2  8 x  5   x  26  6 3 16 x  12  4 x2  8 x  5   28
 12 x3  48 x2  62 x  4  12 3 6 x2  10 x  4
 6  2 x  1 x  2    6 x2  10 x  4   8  8  12 3 6 x2  10 x  4 (*)
2

V i x ≥ 1 ta có: 6  2 x  1 x  2   0;6 x2  10 x  4  0
2

Áp d ng b t đ ng th c Cô–si cho ba s không âm, ta có:

 6x

2

 10 x  4   8  8  3 3  6 x2  10 x  4  .8.8  12 3 6 x2  10 x  4

 6  2 x  1 x  2    6 x2  10 x  4   8  8  12 3 6 x2  10 x  4
2

x  1

2
D u b ng x y ra   2 x  1 x  2   0  x  2
 2
6 x  10 x  4  8
Suy ra (*)  x  2  y 

5
(th a mãn)
2

 5
H có nghi m duy nh t  2;  .
 2

Câu 10
2
4
x2  y2  z  2 xy  3z
P

z2
2 xyz2
2

 x  y  xy  z2   3xyz (*)
T (*) suy ra

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

10


xy  z2  0;3xyz   x  y   xy  z2   2 xy  xy  z2 



 3z xy  2 xy  2 z2  2 xy  z





xy  2 z  0

 xy  2 z
 z2 

xy
4

K t h p v i (*) ta có:
3xy
3xy
x y


4
2
xy
z
xy  z
xy 
4

x2  y2 z4  4 z2 xy  4 x2 y2  3z4

P
2 xyz2
z2
2 xy z2
x2  y2

2 2 
z2

z
xy


 x  y

2

z2

xy  z2
1
xy



T (*) suy ra
Xét hàm s

f '  t   2t 

xy  z2
3z

.
xy
x y

t t

x y
3
, t  4 thì P  t 2   1
z
t

3
f  t   t 2   1 trên [4;+∞)
t

3 2t 3  3

 0 t   4;  
t2
t2

Suy ra f(t) đ ng bi n và liên t c trên [4;+∞)
Suy ra f  t   f  4  
P

71
t   4;  
4

71
4

D u b ng x y ra khi x = y = 2z, ch ng h n x = y = 2, z = 1.
V y giá tr nh nh t c a P là

71
.
4

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

11