Đề thi thử môn toán 2016 trường thpt đaog duy từ thái nguyên lần 3

TR

NG THPT ÀO DUY T

Câu I: Cho hàm s

THI TH

I H C L N TH 3 (29/11/2015)
MÔN THI: TOÁN H C
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ

y  x3  3x2  mx  2

1) (1,0 đi m) Kh o sát và v đ th hàm s v i m = 0.
2) (1,0 đi m) Tìm m đ đ th hàm s có các đi m c c tr cách đ u đ
Câu II: Gi i các ph

ng trình, b t ph

ng th ng y = x – 1.

ng trình sau:

1) (1,0 đi m) 8  x.2x  23 x  x  0
2) (1,0 đi m) log 1 log 4  x2  5   0
3

Câu III: Gi i các ph
1) (1,0 đi m)

ng trình và h ph

ng trình sau:

cos 2 x  1  sin 2 x  2 sin x  cos x

2
2

 x  y  x  y  12
2) (1,0 đi m) 
2
2

 y x  y  12

Câu IV (1,0 đi m)
M t l p h c có 35 h c sinh, c n l p ra 1 ban ch p hành
và 3 y viên. H i có bao nhiêu cách l p?

oàn g m 1 bí th , 1 phó bí th

Câu V (1,0 đi m)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD = 2a, c nh SA
vuông góc v i m t ph ng đáy, c nh SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 600. Trên c nh SA l y
đi m M sao cho AM 

a 3
. M t ph ng (BCM) c t SD t i đi m N. Tính th tích kh i chóp
3

S.BCNM.
Câu VI (1,0 đi m) Cho elip (E) và đ

d  : x  y

ng th ng (d) có ph

ng trình:

E :

x2 y2

1 ;
8
4

2 2 0 .

1) Ch ng minh r ng (d) luôn c t (E) t i hai đi m phân bi t A, B. Tính đ dài AB.
2) Tìm t a đ đi m C thu c (E) sao cho tam giác ABC có di n tích l n nh t.
Câu VII (1,0 đi m)
Tìm a đ h ph


x  y4
ng trình :  2
có nghi m.
2

x
2
y
2
x
y
2
a
0








–––––––––H t––––––––

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

1


ÁP ÁN

I H C L N 3 – THPT ÀO DUY T

THI TH

THÁI NGUYÊN

Câu I
1) V i m = 0, y = x3 – 3x2 + 2.
+T p xác đ nh: D =
+S bi n thiên
Gi i h n: lim y  ; lim y  
x

x

Chi u bi n thiên: y’ = 3x2 – 6x; y’ = 0

x = 0 ho c x = 2.

Hàm s đ ng bi n trên các kho ng (–∞;0) và (2;+∞)
Hàm s ngh ch bi n trên (0;2)
C c tr : Hàm s đ t c c đ i t i x = 0, yC = 2
Hàm s đ t c c ti u t i x = 2, yCT = –2
B ng bi n thiên:
x –∞
y’

+

0
0

–

2

y

+

+∞

–2

–∞
+

+∞

2
0

th







Giao v i Oy t i (0;2), giao v i Ox t i 1  3;0 , 1  3;0 , 1;0

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

2


2) Ta có:
y’ = 3x2 – 6x – m; y’ = 0

3x2 – 6x – m = 0 (*)

Hàm s có 2 đi m c c tr

ph

∆’ = 9 + 3m > 0

ng trình (*) có 2 nghi m phân bi t

m > –3

G i (x1;y1) và (x2;y2) là hai đi m c c tr v i x1,x2 là hai nghi m c a (*)
Theo đ nh lý Viét ta có: x1 + x2 = 2
Vi t ph

ng trình đ

ng th ng đi qua 2 đi m c c tr :

1  2
1
1


Ta có: x3  3x2  mx  2   3x2  6 x  m  x     m  2  x  m  2
3  3
3
3

1  2
1
1

 y  x  y '  x .  x     m  2  x  m  2
3  3
3
3


1

2

 y1  y  x1     3 m  2  x1  3 m  2



Mà y’(x1) = y’(x2) = 0  
 y  y x     2 m  2 x  1 m  2
2

 2
 2
3

3

1
2

ng th ng đi qua 2 đi m c c tr là y    m  2  x  m  2  d 
3
3

 x  x y  y2 
G i I 1 2; 1
 là trung đi m đo n th ng n i 2 đi m c c tr .
2 
 2

2 đi m c c tr cách đ u đ
(d) // (d1)

I

(d1)

ng th ng y = x – 1 (d1)

(d) // (d1) ho c I

(d1)

9
2


  m  2   1  m   (lo i)
2
3

y1  y2 x1  x2
2m
 2m 

1   
 2   x1  x2  
 4   x1  x2   2
2
2
3
 3


2m
 2m 

 3   x1  x2  
6  0
3
 3


Thay x1 + x2 = 2 vào ta có m = 0 (th a mãn)
V y m = 0 là giá tr c n tìm
Câu II

1) Ta có:

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

3


8  x.2 x  23 x  x  0
8 

  8  x    x.2 x  x  0
2 

8
 x  2 x  1  x  2 x  1  0
2
 8

  2 x  1  x  x   0
2

8
 x  x  0 (do 2 x  1  0)
2
 x.2 x  8
Xét các tr

ng h p:

x  2  x.2 x  8

x  2  2 x  4  0  x.2 x  8
0  x  2  0  2 x  4  x.2 x  8
x  0  x.2 x  0  8
V y t p nghi m c a ph

ng trình đã cho là S= {2}

2) log 1 log 4  x2  5   0 (1)
3

2
x  6
 x  5  0
2
5
1




x
K: 

2
 x   6
log 4  x  5   0

1  0  log 4  x2  5  1
 1  x2  5  4
 6  x2  9

 6  x3

(tm)
 3  x   6
V y nghi m c a b t ph

 6  x3
ng trình đã cho là 
 3  x   6

Câu III
1)

cos 2 x  1  sin 2 x  2 sin x  cos x 1

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

4


cos 2 x  0
3
5
K: 

 k 2  x 
 k 2
4
4
sin x  cos x

V i đi u ki n trên thì:

1 

cos 2 x  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x  2 sin x  cos x

 sin x  cos x.  sin x  cos x 

 sin x  cos x

2

 2 sin x  cos x

 sin x  cos x  0  2 

  sin x  cos x  sin x  cos x  2  3

 2   sin x  cos x  tan x  1  x 
 3  2 cos x  2


4

 k

cos 2 x  sin 2 x  4

 cos 2 x  cos x  2
 cos 2 x  1

 cos 2 x  cos x  2

 cos x  1
cos 2 x  1
 x    k 2
 3  
cos x  1
K t h p v i đi u ki n, ta có nghi m c a ph

ng trình đã cho là x    k 2 ; x 

5
 k 2 ,k
4

.

2
2

 x  y  x  y  12
(I)
2) 
2
2

 y x  y  12

K: x2  y2  x  y
y  0


y  0

12

 I    x  y   12   xy   y2  12 y  12
y

 x2 y2  144  y4


2
2
12


y
x
y


x  y  0
 x  y  0


  xy  144  y4
 II  ho c  xy   144  y4
 III 



4
2
4
2
 144  y   y  12 y  12 1
 144  y  y  12 y  12  2 

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

5


2
2


y  3
 y  12 y  12  0
 y  12 y  12  0
Ta có 1  

2  
3
2
4
2

y  4
24 y  168 y  288 y  0


144  y    y  12 y  12 

x  5
x  5
Do đó  II   
ho c 
(th a mãn đi u ki n)
y  3
y  4
 y2  12 y  12  0

Ta có:  2   
 y0
3
2



24
168
288
0
y
y
y



Do đó h (III) vô nghi m
V y h ph

ng trình đã cho có 2 nghi m (5;3) và (5;4)

Câu IV
S cách ch n bí th là s cách ch n 1 h c sinh t 35 h c sinh: có 35 cách
S cách ch n phó bí th là s cách ch n 1 h c sinh t 34 h c sinh còn l i: có 34 cách
3
S cách ch n 3 y viên là s cách ch n b 3 h c sinh t 33 h c sinh còn l i: có C33
 5456 cách

Theo quy t c nhân, s cách l p ra ban ch p hành oàn g m 5 ng
cách.

i là 35.34.5456 = 6492640

Câu V

Ta có (ABCD)  (BCM) = BC; (ABCD)  (SAD) = AD
Mà BC // AD (do ABCD là hình ch nh t) nên (BCM)  (SAD) = MN v i MN // AD
Vì SA

(ABCD) t i A ; B

(ABCD) nên góc gi a SB và (ABCD) là  SB; BA  SBA  60

Tam giác SAB vuông t i A:

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

6

SA  AB.tan 60  a 3
SA
SN SM 2
 AM 


; MN / / AD 
3
SD SA 3

Ta có: SABC  SADC 

1
AB. AD  a 2
2

1
a3 3
 VS. ABC  VS. ACD  SAa
. 2
3
3

Theo đ nh lý v t l th tích c a hai kh i chóp tam giác ta có:
VS.BMC SM 2 VS.MNC SM SN 4

 ;



.
VS. ABC
SA 3 VS. ADC
SA SD 9

Suy ra th tích kh i chóp:
3
3
 2 4  a 3 10a 3
VS.BMNC  VS.BMC  VS.MNC     .

27
3 9 3

Câu VI
ng trình  d  : x  y 2  2

1) Ta có ph
Xét ph

y

ng trình tung đ giao đi m c a (d) và (E):

2 2



2

2 6
y2
 1  4 y2  4 y 2  4  0  y 
8
4
2
2 6
2 6
 x  1  3; y 
 x  1  3
y
2
2



2 6 
2 6
V y (d) c t (E) t i hai đi m phân bi t, gi s đó là A 1  3;
 , B  1  3;

2
2

 


Suy ra AB 

2 3   6 
2

2

3 2

2) G i đi m C  xC ; yC    E  

V CH

xC2 yC2

 1  xC2  2 yC2  8
8
4

AB t i H thì CH  d  C;  d   

xC  yC 2  2
1 2

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

7


Áp d ng hai b t đ ng th c đúng a  b  a  b  ab  ab và

a  b  2  a 2  b2    a  b   0 ta có:

2

xC  yC 2  2  xC  yC 2  2  2  xC2  2 yC2   2  6
 CH  2 3
1
 SABC  AB.CH  3 6
2
x   y 2  0
x  2


D u b ng x y ra khi và ch khi 


2
2
y   2


x  2 y  8



V y đi m C c n tìm là C 2;  2



Câu VII

 x  4 y 0

x  y4
 x  4 y 0





 2


2
2
2
2
a   y  11y  26 *
x  2 y  2 x  y  2  a  0
 4  y  2 y  2  4  y  y  2  a  0



H ph

ng trình đã cho có nghi m

ph

ng trình (*) có nghi m y ≤ 4

Xét f  y   y2  11y  26 trên (–∞;4]
f '  y  2 y  11; f '  y  0  y  

11
2

B ng bi n thiên:
–∞

x
f ’(y)
f(y)

–∞
C n c b ng bi n thiên: Ph
a≤

11
2
0
225
4



+

ng trình (*) có nghi m y ≤ 4

4
–
–34

đ

ng th ng y = a c t đ th f(x)

225
4

V y a

225
.
4

>> Truy c p trang đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!

8