Giáo án điện tử Phương trình đường tròn

NHẮC LẠI KIẾN THỨC CŨ
 Phương trình tổng quát của đường thẳng ?
PT tổng quát đường thẳng có dạng ax + by + c = 0, với a2+b2 ≠ 0

 Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0)
và có vectơ chỉ phương u (a; b) ?
Phương trình tham số có dạng:

x = x0 + at
2
2
(a
+
b
≠ 0)
y = y0 + bt


HÌNH TRÒN
M
R

Ι

M


Nhắc lại định nghĩa đường tròn đã học?
Tập hợp tất cả những điểm M nằm trong mặt phẳng
cách điểm Ι cố định cho trước một khoảng R không

đổi gọi là đường tròn tâm Ι, bán kính R.
y

(I,R)= {M|IM=R }

M
R
Ι

O

M

x


1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN CÓ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC.

 Ta đưa vào mặt phẳng 1 hệ trục tọa
độ Oxy: Tâm Ι(a;b) và bán kính R >0.

Tìm điều kiện của x, y sao cho M(x; y)
Lời giải: thuộc đường tròn?

c

M(x; y)M(x;y)
∈( ∈
) (C)  IM = R
khi nào?



=R
= R2

y
M

y
R

Phương trình đường tròn

b

O

Ι

a

x

x


1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN CÓ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC.

 Phương trình đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R có dạng :

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

 Từ phương trình đường tròn ta xác định được yếu tố nào ?
Xác định được: Tọa độ tâm và bán kính

 Để viết phương trình đường tròn ta cần xác
định yếu tố nào ?

y
M

y

Cần xác định: Tọa độ tâm và bán kính

 Đặc điểm phương trình đường tròn so sánh
với phương trình đường thẳng?
Phương trình đường tròn là phương
trình bậc 2 đối hai ẩn x và y.

R

b

O

Ι

a

x

x


 Ví dụ 1:
Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn có phương trình sau:

Lời giải:
a.Tâm I(1; -3) và bán kính R= 2


 Ví dụ 2:
a. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-3;4) và bán kính R=3 ?
b. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;-3) và tiếp xúc với
đường thẳng ∆: 4x – 3y + 8 = 0
Lời giải


 Ví dụ 2:
a. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-3;4) và bán kính R=3 ?
b. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;-3) và tiếp xúc với
đường thẳng ∆: 4x – 3y + 8 = 0
Lời giải
là
∆

b. Ta có: (C) tiếp xúc với ∆
 R = d( I; ∆)
 R

I

R
●


Ví dụ 3:

Giải:
a) Đường tròn (C) tâm A(3;-4) và
Cho 2 điểm A(3,-4) và B(-3,4)
a) Viết phương trình đường tròn nhận AB làm bán kính :
(C) tâm A và đi qua B?
2
2
AB
=
(-33)
+
(4
+
4)
= 100 = 10
b) Viết phương trình đường tròn
đường kính AB ?
(C): (x - 3)2 + (y + 4)2 = 100
B

AΙ

A
* Chú ý:

b) Tâm Ι là trung điểm của AB

Ι là trung điểm AB

xA +xB

xI =


2
⇒
y = y A + y B
I


2

⇒ Ι (0,0)
Bán kính R =

AB 10
=
=5
2
2

Vậy phương trình đường tròn:

(x − 0) 2 + (y − 0) 2 = 25

⇔ x + y = 25
2

2

Đường tròn có tâm O(0;0), bán kính R có phương trình:
x2 + y2 = R2


 Khai triển phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 ?

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

⇔ x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0
⇒ x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (2)

với c = a2 + b2 – R2

Có phải mọi phương trình dạng (2) đều là PT đường tròn không?
(2) ⇔ x2 -2ax + a2 - a2 + y2 - 2by + b2 – b2 + c = 0
(x - a)2

(y - b)2

⇔ (x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2 - c

VT ≥ 0

VP < 0
⇒ (2) vô nghĩa

VP = 0
(2) là tập hợp điểm
có toạ độ (a;b)

VP > 0
⇒ (2) là PT
đường tròn


2. NHẬN XÉT

 Nhận xét
 Phương trình đường tròn dạng khai triển:
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với c = a2 + b2 – R2

y
M

y

 Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương
trình đường tròn  a2 + b2 – c > 0
2
2
Khi đó đường tròn có tâm I (a;b) và bk R = a +b − c

R

y0
O

 Chú ý: Một số đặc điểm nhận dạng của phương trình đường
tròn:
1. Hệ số x2 và y2 là bằng nhau ( thường bằng 1)
2. Trong phương trình không xuất hiện tích xy
3. Điều kiện: a2 + b2 – c > 0
4. Tâm I(a; b) và bán kính

R = a2 +b 2 − c

Ι
x0

x


VD4: Xét xem phương trình sau có là phương trình đường tròn hay
không? Xác định tâm và bán kính (nếu có).

a, x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 11 = 0
b, x 2 + y 2 − 2 x + 6 y + 12 = 0

Lời giải

a. Ta có:

Đặc điểm nhận dạng:

1.Hệ số x2 và y2 bằng nhau
2.Không xuất hiện xy
3.Đk a2 + b2 – c > 0
4.Tâm I(a,b) ; bk



R = a2 +b2 − c

=> a2 + b2 – c = 22 + (-1)2 – (-11) = 16 > 0
Do đó

x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 11 = 0 là phương trình đường tròn.

+) Phương trình trên có tâm I( 2, -1) và bán kính R=4
b. Ta có :  −2 a

= −2

−2 b = 6
 c
= 12


Do đó

a = 1

⇔ b = −3
 c = 12



x 2 + y 2 − 2 x + 6 y + 12 = 0

⇒ a 2 + b 2 − c = −2 < 0

không là phương trình đường tròn


Ví dụ 5:Trong các phương trình sau thì phương trình nào là phương
trình đường tròn?

A) x 2 + y 2 − 2 xy + 3 x − 5 y − 1 = 0
B) x 2 + 2 y 2 − 2 x + 5 y + 2 = 0
C) x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 1 = 0

D) x 2 + y 2 + x − 2 y + 200 = 0


CỦNG CỐ BÀI HỌC
Phương trình đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R có dạng:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2

Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với điều kiện (a2 + b2 – c>0) là
phương trình khai triển của đường tròn tâm Ι(a; b) ,
bán kính R = a2 +b2 − c

 Cách viết phương trình đường tròn khi biết:
 Tọa độ tâm I và bán kính R
 Tọa độ tâm I và một điểm đi qua

 Tọa độ tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆
 Đi qua A; B và nhận AB làm đường kính.

 Bài tập về nhà: Bài 1,2,3,4,5 (SGK, trang 84)