PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ
A. Đặt vấn đề
1. Lí do chọn đề tài
Môn Toán có một vị trí hết sức quan trọng trong trường phổ thông. Học tốt
môn Toán sẽ giúp cho học sinh có điều kiện để học tốt các môn học khác như: Vật
lý, Hóa học, … đồng thời các em áp dụng và giải quyết được các tình huống, các
bài toán thực tế thường gặp trong đời sống hàng ngày. Do đó việc học tốt môn
Toán sẽ tạo điều kiện để học sinh phát triển toàn diện bản thân.
Trong thực tế giảng dạy ở trường Trung học Cơ sở, chương trình sách giáo
khoa đã trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và các bài tập, nhưng
chưa đúc kết ra các dạng toán và phương pháp giải. Do đó trong quá trình giảng
dạy giáo viên cần đúc kết, định hướng và gợi mở để học sinh tự khám phá ra các
dạng toán và phương pháp để giải các dạng toán đó nhằm giúp học sinh học tập
được tốt hơn.
Xuất phát từ lí do trên, tôi xin đúc kết và tổng hợp “phương pháp giải một số
dạng toán về phân số ở trường Trung học Cơ sở”. Mong rằng sẽ phần nào giải
quyết được những khó khăn trong dạy và học phân số, từ đó giúp các em học sinh
tiếp thu bài tốt hơn. Học sinh sẽ học hứng thú say mê hơn với bộ môn toán.
2. Cơ sở lí luận
Các dạng bài toán về phân số rất đa dạng và liên quan đến nhiều kiến thức,
đòi hỏi nhiều kỹ năng làm toán của học sinh.
Trong sách giáo khoa chỉ xây dựng hệ thống bài tập, không chỉ rõ các dạng
toán khác nhau về phân số, học sinh chưa thể tự phân biệt các dạng bài tập và tìm
ra phương pháp giải các dạng toán khác nhau.
Phương pháp giải các dạng toán về phân số giúp học sinh hứng thú trong học
toán, ghi nhớ tốt, khi giải toán thì trình bày bài giải có hệ thống, khoa học.
-1-


B. Nội dung

I. Thực trạng về việc giải các dạng toán về phân số ở trường THCS Tân
Thạnh
1. Thuận lợi
Được sự quan tâm của các cấp lãnh đạo nên trường được xây dựng, sửa chữa
khang trang, có cây xanh, bóng mát tạo tâm lí thoải mái cho học sinh tiếp thu kiến
thức.
Đội ngũ giáo viên trẻ, đạt chuẩn và trên chuẩn, có nhiệt huyết, có ý thức tự
học, tự bồi dưỡng nâng cao tay nghề, chuyên môn nghiệp vụ.
Đa phần là học sinh vùng nông thôn ngoan, hiền.
2. Khó khăn
Ít tài liệu nghiên cứu viết về các chuyên đề chuyên sâu các dạng toán phân số
ở bậc Trung học Cơ sở. Học sinh vùng nông thông thường không được trang bị
sách tham khảo.
Toán về phân số xuyên suốt chương trình các lớp bậc Trung học Cơ sở, đặc
biệt là trong chương trình toán 6 và toán 7. Các dạng toán đa dạng, do đó học sinh
rất ngại học.
Khi giải toán về phân số đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản, và
có kỹ năng tính toán tốt, do đó quá trình giải toán thầy cô phải nhắc lại kiến thức
cũ nên vừa mất thời gian và số lượng bài tập cũng ít đi.
II. Phương pháp giải các dạng toán về phân số
1. Dạng toán - Tính giá trị của phân số
Phương pháp giải
Để tính giá trị của một phân số, ta tính thương của phép chia tử cho mẫu. Khi
chia số nguyên a cho số nguyên b ( b ≠ 0 ) ta chia a cho b rồi đặt dấu như quy tắc
nhân hai số nguyên.
-2-


Ví dụ 1. Tính giá trị của mỗi phân số sau:
a)

48
12

b)

−51
−17

c)

299
−23

d)

0
−5

Giải
a)

48
= 48:12 = 4
12

b)

−51
= (−51) :(−17) = −51 : −17 = 3

−17

c)

299
= 299:( −23) = − ( 299 : −23 ) = − 13
−23

d)

0
= 0:(−5) = 0
−5

2. Dạng toán - Biểu thị các số đo theo đơn vị này dưới dạng phân số theo
đơn vị khác
Phương pháp giải
Nắm vững bảng đơn vị đo lường: đo độ dài, đo khối lượng, đo diện tích, đo
thể tích, đo thời gian, chẳng hạn: 1 dm =
1 dm3 =

1
1
1
2
m2 ;
m ; 1g =
kg ; 1 cm =
10 000
10

1000

1
1
m3 ; 1 s =
h …
1000
3600

Ví dụ 2. Biểu thị các số sau đây dưới dạng phân số với đơn vị là:
a) Mét: 19 cm; 59 mm
b) Mét vuông: 13 dm2 ; 107 cm2
Giải
a) Vì
1 mm =

1 cm =

1
19
m nên 19cm =
m;
100
100

1
59
m nên 59mm =
m.
1000

1000

-3-


b) Vì
1 cm 2 =

1 dm 2 =

1 2
13 2
m nên 13dm 2 =
m ;
100
100

1
107 2
m 2 nên 107cm 2 =
m.
10000
10000

3. Dạng toán tìm điều kiện để phân số tồn tại, phân số có giá trị là số
nguyên
Phương pháp giải
Phân số tồn tại khi tử và mẫu là các số nguyên và mẫu số khác 0
Phân số có giá trị là số nguyên khi mẫu là ước của tử
Ví dụ 3. Cho biểu thức A =

4
( n ∈ ¢ ).
n −1

a) Tìm điều kiện của số nguyên n để A là phân số?
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để A là số nguyên.
Giải
a) Biểu thức A có 4 ∈ ¢ ; n ∈¢ nên n − 1∈ ¢ . Để A là phân số thì n − 1 ≠ 0 hay
n ≠ 1.

b) Để A là số nguyên ta phải có n-1 là ước của 4
Ư(4) = {-4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4}. Ta có bảng sau:
n-1

-4

-2

-1

1

2

4

n

-3

-1

0

2

3

5

Vậy n ∈ {-3 ; -1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 5}.
4. Dạng toán - Nhận biết các cặp phân số bằng nhau, không bằng nhau
Phương pháp giải
- Nếu a.b = b.c thì

a c
= ;
b d

- Nếu a.b ≠ b.c thì

a c
≠ ;
b d
-4-


Ví dụ 4. Các cặp phân số sau có bằng nhau không?
a)

−3
9
và
5
−15

a)

4
9
và
3
−12

Giải
a)

−3
9
=
vì (-3).(-15)=5.9 (=45)
5 −15

b)

4
9
≠
vì 4.(-12) ≠ 3.9.

3 −12

5. Dạng toán - Tìm số chưa biết trong đẳng thức
Phương pháp 1
a c
b.c
b.c
a.d
a.d
= ; nên a.d = b.c suy ra: a =
,d=
,b=
,c=
b d
d
a
c
b

Phương pháp 2
Áp dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi hai phân số đã cho thành hai
phân số bằng chúng nhưng có tử (hoặc mẫu) như nhau. Khi đó mẫu, (hoặc tử) của
chúng phải bằng nhau, từ đó tìm đực số chưa biết.
Ví dụ 5. Tìm số nguyên x biết:
a)

x
9
=
5 −15

b)

−5 20
=
x 28

Giải
a) Cách 1: Vì
9

x
9
5.9
=
= −3
nên x.(-15) = 5.9 suy ra x =
5 −15
−15
9 : (−3)

−3

−3

x

= , suy ra x = -3
Cách 2: −15 = −15 : (−3) = 5 do đó
5 5

b)

−5 20
−5.28
=
= −7
nên -5.28 = x.20 suy ra x =
x 28
20

-5-


6. Dạng toán - Lập các cặp phân số bằng nhau từ một đẳng thức cho
trước
Phương pháp
Từ định nghĩa hai phân số bằng nhau ta có:
a.d = b.c ⇒

a c
= ;
b d

a.d = c.b ⇒

a b
= ;
c d

d .a = b.c ⇒

d c
= ;
b a

d .a = c.b ⇒

d b
= ;
c a

Ví dụ 6. Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong năm số sau: 1; 2; 4; 6; 8
Giải
Từ bốn trong năm số đã cho ta lập được đẳng thức 1.8 = 2.4 suy ra có các cặp
phân số bằng nhau sau:
1 4 1 2 8 4 8 2
= ; = ; = ; = .
2 8 4 8 2 1 4 1

7. Dạng toán - Viết các phân số bằng nhau
Phương pháp
Áp dụng tính chất:

a a.m
=
(m ∈ ¢ , m ≠ 0).
b b.m

a a:n

=
(n ∈ ¢ , n ∈ ƯC(a,b))
b b:n

Ví dụ 7.
a) Viết năm phân số bằng phân số

−2
3

b) Viết năm phân số bằng phân số

12
60

Giải
Áp dụng tính chất cơ bản của phân số, ta có:
a)

−2 −2.2 −2.3 −2.4 −2.5 −2.6
=
=
=
=
=
= ...
3
3.2
3.3
3.4

3.5
3.6
-6-


Vậy năm phân số bằng phân số

−2
có thể là
3

−2 −4 −6 −8 −10 −12
;
;
;
;
;
3 6 9 12 15 18

b)

12 12 : 2 12 : 3 12 : 4 12 : 6 12 :12
=
=
=
=
=
...
60 60 : 2 60 : 3 60 : 4 60 : 6 60 :12

Vậy năm phân số bằng phân số

12
có thể là
60

6 4 3 2 1
;
; ; ;
30 20 15 10 5

8. Dạng toán - Rút gọn phân số. Rút gọn biểu thức dạng phân số
Phương pháp
- Chia cả tử và mẫu của phân số cho UCLN để rút gọn phân số đến tối giản
- Trường hợp biểu thức dạng phân số ta làm xuất hiện các thừa số chung của
tử và mẫu rồi rút gọn các thừa số chung đó.
Ví dụ 8. Rút gọn các phân số sau:
a)

33
;
55

b)

−63
;
27

30

−90

c)

d)

−50
−75

Giải
a)

33 33 :11 3
=
= ;
55 55 :11 5

b)

−63 −63 : 9 −7
=
=
;
27
27 : 9
3

c)

30 30 : 30 1

=
= ;
90 90 : 30 3

a)

−50 −50 : (−25) 2
=
= ;
−75 −75 : (−25) 3

b)

3.7.11
;
22.9

Ví dụ 9. Rút gọn
a)

3.5
;
8.24

c)

8.5 − 8.2
16

Giải

a)

3.5
3.5
5
=
=
;
8.24 8.3.8 64
-7-


b)

3.7.11 3.7.11 7
=
= ;
22.9 2.11.3.3 6

c)

8.5 − 8.2 8.(5 − 2) 8.3 3
=
=
=
16
16
2.8 2

9. Dạng toán - So sánh phân số

Phương pháp
Để so sánh hai phân số ta thường sử dụng một số cách sau:
- Quy đồng mẫu số - phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
- Quy đồng tử số - phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
- Sử dụng những phân số trung gian …
- So sánh giá trị của hai phân số: Tính thương của phép chia tử cho mẫu của
từng phân số rồi so sánh hai kết quả tìm được.
- Dùng tính chất sau với m ∈ ¥ , m ≠ 0 .
a
a a+m
* <1⇒ <
b
b b+m
a
a a+m
* >1⇒ >
b
b b+m

a
a a+m
* =1⇒ =
.
b
b b+m
a c a+c
* = =
.
b d b+d

Ví dụ 10. So sánh hai phân số

5
11
và
7
13

Giải
- Cách 1.(quy đồng mẫu số)
5 5.13 65
=
= ;
7 7.13 91

Vì

11 11.7 77
=
= ;
13 13.7 91

65 77
5 11
<
nên <
91 91
7 13

- Cách 2. (quy đồng tử số)

5 5.11 55
=
= ;
7 7.11 77

Vì

11 11.5 55
=
= ;
13 13.5 65

55 55
5 11
<
nên <
77 65
7 13

- Cách 3. (Sử dụng phân số trung gian)
-8-


5 10 11 11
= < <
7 14 14 13

- Cách 4. (Xét phần bù đến đơn vị)
1−

5 2
= ;
7 7

Vì

2 2
5 11
>
nên <
7 13
7 13

1−

11 2
= ;
13 13

- Cách 5. (so sánh phân số ngịch đảo)
7
2
= 1+ ;
5
5

Vì

13
2

= 1+ ;
11
11

2 2
7 13
5 11
>
nên >
suy ra <
5 11
5 11
7 13

5 12
?
8 15
5
12
Ta có = 0,625;
= 0,8.
8
15
5 12
Vì 0,625 < 0,8 nên <
8 15
12 19
Ví dụ 12. So sánh và ?
47 77

Ví dụ 11. So sánh và

Giải
Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là

1
.
4

12 12 1 19 19 1
12 19
>
= và
<
= ⇒
>
47 48 4 77 76 4
47 77
102013 − 1
102012 + 1
Ví dụ 13. So sánh A = 2014 và B = 2013 ?
10 − 1
10 + 1
2013
10 − 1
Ta có : A = 2014 < 1 (vì tử < mẫu)
10 − 1
2013
10 − 1 (102013 − 1) + 11 102013 + 10 102012 + 1
⇒ A = 2014

<
=
=
=B
10 − 1 (102014 − 1) + 11 10 2014 + 10 10 2013 + 1

Ta có :

Vậy A < B .
10. Dạng toán - Các phép tính phân số
10.1. Phép cộng , trừ phân số
Phương pháp

-9-


- Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu:
a b a+b
+ =
m m
m

- Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân
số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.
- Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số
trừ .
a c a  c
− = + − 
b d b  d

- Phép trừ phân số là phép toán ngược của phép cộng phân số.
Ví dụ 14. Cộng các phân số sau
a)

7
−8
+
−23 23

b)

6 −14
+
13 39

c)

7 9
−
21 36

d)

1 1
−
12 3

Giải
a)

7
−8 −7 −8 −7 + (−8) −15
+
=
+
=
=
−23 23 23 23
23
23

b)

6 −14 18 −14 18 + ( −14) 4
+
=
+
=
=
13 39 39 39
39
39

c)

7 9 1 1 1  1  4 −3 4 + ( −3) 1
−
= − = +  − ÷= +
=
=

21 36 3 4 3  4  12 12
12
12

d)

1 1 1  1  1  −4  1 + ( −4) −3 −1
− = +  − ÷= +  ÷=
=
=
12 3 12  3  12  12 
12
12 4

Ví dụ 15. Tính nhanh
a)

−3 5 −4
+ +
7 14 7

b)

−5  −6 
+
+ 1÷
11  11 

Giải
a)

−3 5 −4  −3 −4  5
5 −14 5 −9
+ +
= +
+ =
÷+ = −1 + =
7 14 7  7
7  14
14 14 14 14

- 10 -


b)

−5  −6   −5 −6 
−11
+
+ 1 ÷ =  + ÷+ 1 =
+ 1 = −1 + 1 = 0
11  11   11 11 
11

Ví dụ 16. Tính giá trị biểu thức bằng cách thuận tiện nhất :
A=

1 1
1
1

1
+
+
+ ... +
+
2 2.3 3.4
98.99 99.100

B=

4
4
4
4
+
+
+ ..... +
2× 4 4× 6 6×8
2012 × 2014

Giải
A=

1
1
1
1
1
+
+

+ ...
+
1.2 2.3 3.4
98.99 99.100

1 
 1 1 1 1 1
 1 1   1
A = 1 − ÷+  − ÷+  − ÷+ ...  − ÷+  −
÷
 2  2 3  3 4
 98 99   99 100 

A = 1−
B=

1
99
=
100 100

4
4
4
4
+
+
+ ..... +
2.4 4.6 6.8
2012.2014



B = 2.  + + + ... +
÷
2012.2014 
 2.4 4.6 6.8
2

2

2


B = 2.  − + − + ... +
1
2

1
4

1
4

1
6

2

1

1 
−
÷
2012 2014 



B = 2× −
÷
 2 2014 
1

B = 2×

1

1006
1006
=
2014
1007

10.2. Phép nhân, chia phân số
Phương pháp
- Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tư với nhau và nhân các mẫu với nhau
a c a.c
⋅ =
b d b.d

- Muốn chia hai phân số, ta nhân số bị chia với với số nghịch đảo của số chia

a c a d
: = .
b d b c
- 11 -


Ví dụ 17. Nhân, chia các phân số sau
a)

2 −7
.
−21 3

b)

−8 25
.
5 32

c)

13 39
:
15 25

d) 1:

−25
32

Giải
2

−7

2.( −7)

2.(−7)

−2

2

a) −21 . 3 = (−21).3 = −3.7.3 = −9 = 9
c)

13 39 13 25 13.25 13.5.5
5
:
= . =
=
=
15 25 15 39 15.39 3.5.13.3 9

b)

−8 25 −8.25 −8.5.5 −5
. =
=
=

5 32 5.32
5.8.4
4

d) 1:

−25
32 1.32 32 −32
= 1.
=
=
=
32
−25 −25 −25 25

Ví dụ 18. Tính nhanh
2005 2000 2007 2003 1000
.
.
.
:
2007 2003 2004 2005 1002

Giải
2005.2000.2007.2003.1002 2000.1002 1000.2.1002
=
=
=1
2007.2003.2004.2005.1000 2004.1000 1002.2.1000

III. Phương pháp nghiên cứu
- Dự thảo nội dung nghiên cứu.
- Xây dựng đề cương nghiên cứu.
- Thu thập, xử lý thông tin và nghiên cứu tài liệu.
- Khảo sát thực tế.
- Tìm hiểu thái độ của học sinh đối với việc học tập bộ môn.
- Hướng dẫn học sinh tự tìm tòi và đúc kết ra các dạng toán và phương pháp
giải thông qua giải một số dạng toán về phân số.
- Học hỏi đồng nghiệp.
IV. Kết quả nghiên cứu
Sau một thời gian áp dụng đề tài, qua thực tế các giờ dạy, tôi thấy đề tài
bước đầu đã mang lại hiệu quả rất khả quan. Học sinh yêu thích bộ môn Toán hơn,
- 12 -


đồng thời kích thích trí tò mò tìm hiểu khoa học của học sinh, các em tích cực chủ
động trong việc lĩnh hội các kiến thức toán học. Chất lượng của giờ dạy được nâng
cao. Đặc biệt nó được thể hiện ở kết quả học tập của các em, cụ thể như sau:
Nhóm

Kiểm tra trước TĐ

Tác động

Thực nghiệm

20/45 học sinh điểm Dạy học có áp dụng các

(lớp 6A)

trên TB

Đối chứng

17/45 học sinh điểm Dạy học chỉ bám vào

(Lớp 6B)

trên TB

giải pháp trên.

SGK, SGV

KT sau TĐ
28/45
sinh

học
điểm

trên TB
20/45
sinh

học
điểm

trên TB

Trong quá trình thử nghiệm tôi đã thu được một số thành công bước đầu:
- Về phía học sinh: Qua việc giới thiệu cho học sinh hệ thống các dạng bài tập
về phân số và phương pháp giải, tôi thấy đã phát huy được tính tích cực, tư duy
sáng tạo, sự say mê môn học của học sinh, giúp học sinh hình thành phương pháp
giải toán và ghi nhớ tốt.
- Đặc biệt, các em xác định được dạng và phương pháp để giải bài toán về
phân số một cách chủ động.
- Về phía giáo viên: Tôi thấy trình độ chuyên môn được nâng cao hơn, đặc
biệt phù hợp với quá trình đổi mới phương pháp dạy học của ngành đề ra. Đồng
thời hình thành ở giáo viên phương pháp làm việc khoa học. Hơn thế đã phát huy
được sự tích cực chủ động của người học, hình thành ở học sinh những kĩ năng, kĩ
xảo trong giải toán.
V. Phần kết luận, kiến nghị
1. Kết luận
Để học giỏi được một số dạng bài toán liên quan đến phân số thì:
- Giáo viên phải nắm thật vững chương trình và đối tượng học sinh để chuẩn
bị bài giảng tốt.
- 13 -


- Giáo viên phải hệ thống hóa các bài tập, các dạng cơ bản đề ra nội dung,
phương pháp, cách giải hay nhất, cách giải tối ưu nhất để truyền thụ cho học sinh.
- Trong khi giảng dạy giáo viên tạo cho học sinh luôn có ý thức tìm ra các
dạng toán tổng quát và tìm ra phương pháp giải tổng quát từ đó hiểu sâu hơn và
chiếm lĩnh vững kiến thức.
2. Kiến nghị
- Phòng Giáo dục và Đào tạo tổ chức sinh hoạt cụm chuyên môn triển khai
các chuyên đề về các dạng toán phân số để giáo viên trao đổi, nghiên cứu, khắc sâu
để giảng dạy tốt hơn.
- Đối với các trường đưa nội dung sinh hoạt các chuyên đề về phân số vào nội

dung sinh hoạt chuyên môn định kỳ hàng tháng.
Tân Thạnh, ngày 02 tháng 4 năm 2016
Người viết

- 14 -


Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa Toán 6 - Tập 2.
2. Sách bài tập Toán 6 - Tập 2.
3. Sách giáo viên Toán 6.
4. Các dạng Toán và phương pháp giải Toán 6 – Tôn Thân
5. Thực hành giải toán-Giáo trình đào tạo giáo viên.

- 15 -