BAI TAP CO SO GIAI TICH HIEN DAI

BÀI TẬP CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI.
Bài tập 1. Trong không gian Banach.
Chứng minh tập hợp các hàm X   f 0;1 : f  0  f 1  0 là một không gian
Banach với chuẩn sup : f  sup f  x  .
x0,1

+ Chứng minh X là không gian vec-tơ

f o  x   0 x  0,1  f o  X  X  
f , g  0,1; a, b  K , ta có f , g liên tục trên  0,1 nên af  bg liên tục trên  0,1 .
Do đó, af  bg  C 0,1
Mặt khác,  af  bg  0   af  0   bg  0  af  0  bg  0  0  af  bg
Vậy X là không gian vec-tơ
+ Chứng minh X là không gian định chuẩn
Ta có C 0,1 là không gian định chuẩn với chuẩn sup 

X là không gian định

chuẩn với chuẩn sup .
+ Chứng minh X là không gian Banach
Giả sử  f n  là một dãy Cauchy trong X . Ta chứng minh tồn tại lim fn  f  X .



Vì f n là một dãy Cauchy nên lim f n  f m  lim  sup f n  x   f m  x    0
m,n
m,n x0,1


Suy ra  f n  là một dãy hội tụ đều trên  0,1
Do đó tồn tại f  C 0,1 : f n  trên  0,1



Vậy lim  sup f n  x   f  x    0 hay lim f n  f  0, suy ra lim f n  f  0,1
n
n x0,1


Mặt khác, f  0  lim f n  0  lim0  0 ; f 1  lim fn 1  lim0  0
n

n

n

n


Vậy f  X , do đó lim fn  f  X .
Bài tập 2. Chứng minh rằng không gian C k  0,1 các hàm khả vi k  lần không là
một không gian Banach với chuẩn sup.
Xét C1 0,1   f : 0,1 


1


Đặt f n  t   0



2nt  n  1


: f  t  0,1
t  0, 2
1 1 
t    ,1 ; f n liên tục trên  0,1
 2 2n 
1 1 1 
t ,  
 2 2 2n 

t

Đặt gn  t    f n  x dx, t  0,1 ; gn  t   f n t 
0

Vậy g n  C1 0,1
t

t

t0,1 0

0

Ta có gn  gm  sup g n  t   g m  t   sup
t0,1

 fn  x  dx   f m  x  dx

1

t

t

t0,1 0

t0,1 0

0

 sup

  fn  x   fm  x  dx  sup  fn  x   fm  x  dx  fn  x   fm  x  dx


1 1 1 1 1 
1 1
1
m,n

    .1 


0
2 2 2m  2 2 n 
2 2m 2n

Vậy  g n  là dãy Cauchy trong C1  0,1
n
0
Giả sử g n  g  C1 0,1 , khi đó g n  g 

gn  g  sup gn  t   g  t   sup
t0,1

t

t

 f  x  dx   g  x  dx  0


t0,1 0

n

n

0


1

Vì gn  g nên g n  t   g  t  , t  0,1 . Với t  1: gn 1   f n  x  dx , nếu gn 1
0

hội tụ suy ra  f n  x  hội tụ. Vậy f n  x   f  x  .

 1 
 1 
Suy ra f    lim f  x   lim 0  0 , f    lim f  x   lim 1  1
1
1
x
x
 2  x 12
 2  x 12
2
2

 1 
 1 
Vậy f    f  
2 
2 
Điều này mâu thuẫn với điều kiện f là hàm liên tục và khả vi k- lần.
Kết luận: Không gian C k  0,1 các hàm khả vi k  lần không là một không gian
Banach với chuẩn sup.
Bài tập 3. Xét toán tử T : L1 0,1  L1 0,1 xác định bởi Tf  t    f  s ds với
t

0

mọi f  L1  0,1 và mọi t   0,1 .
a. Chứng minh toán tử T tuyến tính liên tục b. Tính chuẩn của toán tử T
+ Chứng minh toán tử T tuyến tính liên tục
Chứng minh T tuyến tính.

a, b  , f , g  L1 0,1 , ta có

T  af  bg t     af  bg  s  ds    af  s   bg  s   ds   af  s  ds   bg  s  ds
t

t

t

t

0

0

0

0

 a Tf  t   b Tg  t    aTf t   bTg t    aTf  bTg t  ; t  0,1
Suy ra T  af  bg  t    aTf  bTg  t  ; t  0,1
Vậy T  af  bg   aTf  bTg
Chứng minh T bị chặn.


f  L1 0,1 : f

Tf

2

2

  f  s  ds
1

2

0

  Tf  t  dt  

 Tf

1

2

0

2

1

0



t

0

2
2
1 t
t

f  s  ds dt     f  s  ds  ds dt
0
0
0



2
1 1
1

    f  s  ds dt   f
0
0
 0


2

dt  f

2

Suy ra Tf  f . Do đó, T bị chặn bởi c  1
Kết luận: T tuyến tính liên tục.
Tính chuẩn của toán tử T .
Do T bị chặn ta có T 

2



*

1

Đặt f o  t   1 t  0,1; f o  L1 0,1



fo    fo  s  ds 
 0,,1




1

2

1

Suy ra T  sup Tf  Tfo 
f 1

  Tf t  dt 
1

0

2

1

2

o





Bài tập 4. Với mọi T  L  X , Y  luôn tồn tại T *  L Y * , X * và T *  T .

+ T * tuyến tính.

a, b  K , f , g  Y * , x  X
Ta có: T *  af  bg  x   af  bg Tx    af Tx    bg Tx   af Tx   bg Tx 

 a T * f   x   b T * g   x    aT * f  bT * g  x
Suy ra: T *  af  bg   aT * f  bT * g

+ T * bị chặn.

T * f  sup T * f   x   sup f Tx   sup f . Tx  f sup Tx
x 1

x 1

x 1

x 1

 f .T  T . f
Vậy T * bị chặn bởi C  T
Từ chứng minh T * bị chặn ta có T *  C  T

*

Chọn f o là phiếm hàm giá của Tx : f o  Y * , f o  1, f o Tx   Tx
Khi đó T *  sup T * f  T * f o  sup T * f o  x   sup f o Tx   sup Tx  T
f 1

Vậy T *  T

x 1

x 1

x 1

**

Từ *  ** có T *  T
Bài tập 5. Cho R và L là toán tử dời chỗ bên phải và nâng bên trái trong không
gian l2 . Chứng minh rằng R*  L .

R : l2

xn n

 l2

R xn n   0; x1; x2 ;...; xn ;...

L : l2

xm n

 l2

R xm n   x2 ; x3 ;...; xn ;...




2
x  xn n  l2   x  xn   :  xn   , f  l2* , f  a f   a1;...; an ;...
n1





x, y   xn y n  x1 y1  x2 y 2  ...  xn y n  ...
n 1

Ta có Lf , x   a2 ; a3 ;....; an ;... ,  x2 ; x3 ;....; xn ;...  a2 x1  a3 x2  ....  an1 xn  ...

f , Rx   a1; a2 ;...; an ;... , 0; x1; x2 ;...; xn ;...  a10  a2 x1;...; an1 xn ;...  a2 x1;...; an1 xn;...
Suy ra Lf , x  f , Rx


Kết luận : R*  L
Bài tập 6. Với k  C 0,1 xét công thức
2

Tf t   0 k t, s  f  s  ds
1

với mọi

f  C  0,1 và với mọi t   0,1 .
a. Chứng minh Tf  C  0,1 với mọi f  C  0,1
b. Chứng minh rằng T tuyến tính bị chặn. Tìm T

t, s  0,1

2

khi k  t , s   1 với mọi

.

Chứng minh Tf  C  0,1 với mọi f  C  0,1 .
Chứng minh Tf là ánh xạ liên tục trên  0,1
Vì k liên tục trên 0,1  0,1 nên k bị chặn trên 0,1  0,1
Do đó M  0 sao cho k  t , s   M với mọi  t , s 
Vì k liên tục trên tập Compac 0,1  0,1 nên k liên tục đều trên 0,1  0,1
Ta có   0,      , t1  t2    k  t1 , s   k t2 , s    . Do đó

Tf t1   Tf t2   0 k t1, s  f  s  ds  0 k t2 , s  f  s  ds
1

1

 Tf  t1   Tf t2    k t1, s   k t2 , s  f  s  ds
1

0

   f ds   f với mọi giá trị t1 , t2  0,1
0
1

Vậy Tf liên tục đều trên  0,1 hay Tf  C  0,1 .
Chứng minh T tuyến tính và bị chặn.

T tuyến tính


a, b, c  ; f , g  0,1 ta có

T  af  bg t    k t , s  af  bg  s  ds   k t , s   af  s   bg  s   ds
1

1

0

0

  k  t , s  af  s  ds   k t , s  bg  s  ds  a  k t , s  f  s  ds  b k t , s  g  s  ds
1

1

1

1

0

0

0

0

 a Tf  t   b Tg t    aTf t   bTg t  với mọi t   0,1 .
Vậy T  af  bg   aTf  bTg

T bị chặn
f  sup f  t  , f  0,1
t0,1

Tf  sup Tf  t   sup
t0,1

t0,1



1

0

k  t , s  f  s  ds  sup  k t , s  f  s  ds
1

t0,1 0

 sup  k  t , s  ds. sup  f  s  ds
1

1

t0,1 0

t0,1 0

 M  f ds , với M  sup  k  t , s  ds

1

1

0

t0,1 0

M f
Vậy T bị chặn và T  M
Đặt fo  t   1 . Với mọi t   0,1 ta có fo  0,1; fo  sup fo  t 
t0,1

T  sup Tf  Tfo
f 1

Tfo  sup Tfo  t   sup  k  t , s  f o  s  ds  sup  k t , s  ds  M
t0,1

1

1

t0,1 0

t0,1 0

Vậy T  M .
Bài 7. Chứng rằng trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì hội tụ và hội tụ

yếu là tương đương nhau.
Giả sử x j hội tụ yếu về x . Ta có f  x j   f  x  f  X *
n

Mỗi giá x  X có biểu diễn duy nhất x   i ei ;  i 
i 1

Xét ánh xạ fi : X 

i  fi  x  là phép chiếu tọa độ thức i

x

Ta có phép chiếu là ánh xạ tuyến tính liên tục nên

fi  X * . Suy ra

n

fi  xi   fi  x  1  i  n với x j   ji ei
i 1

Lại có x j  x 


n

i 1

ji

 i     ji  i ei    ji  i
n

n

i 1

i 1

  fi  x j   fi  x   0
n

i 1

Vậy: Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì hội tụ và hội tụ yếu là tương
đương nhau.
Bài tập 8. Giả sử X là không gian định chuẩn. Chứng minh X hữu hạn chiều khi
và chỉ khi X * hữu hạn chiều.

X hữu hạn chiều thì X * hữu hạn chiều.
n

Giả sử dim X  n ,  l1 , l2 ,...., ln  là cơ sở của X , với mọi x   i ei  X
i 1

Đặt fi  x   i
Ta được

i  1,.., n  . Khi đó

 f1,..., f n   X *

fi là tuyến tính.

(Do mọi phiếm hàm tuyến tính trên không gian hữu hạn

chiều trên X .) và độc lập tuyến tính.


Với mọi f  X * , đặt f  ei   i

 i  1,.., n  , ta có

n

f   i f  ei  . Do đó
i 1

 f1 ,..., f n 

là cơ sở của X * . Suy ra dim X *  n .

X * hữu hạn chiều thì X hữu hạn chiều.
Giả sử dim X *  n , bằng cách chứng minh tương tự như trên, ta được dim X   n .
Do X  X  nên dim X  n  
Kết luận: X là không gian định chuẩn, X hữu hạn chiều khi và chỉ khi X * hữu hạn
chiều.

Bài tập 9. Giả sử H là không gian Hilbert và  xn  , yn   H . Chứng minh
w
a. xn 
 x khi và chỉ khi với mỗi a  H , xn , a  x, a .

w
b. Nếu xn 
 x và yn  y thì xn , yn  x, y .

w
c. Nếu xn 
 x và xn  x thì xn  x .

Câu a.
w
Ta thấy f  H  khi và chỉ khi tồn tại a  H sao cho f  x   x, a . Do đó xn 
x

khi và chỉ khi a  H thì xn , x  x, a
Câu b.
Ta có: xn , yn  x, y

 xn , yn  xn , y  xn , y  x, y  xn , yn  xn , y  xn , y  x, y
 xn , yn  y  xn  x, yn
 xn . yn  y  xn  x, y


 sup xn . yn  y  xn  x, y
n
w

w
Ta thấy + xn 
 x  xn  x 
 0 . Suy ra xn  x, y  0, y  0 .

+ yn  y  yn  y  0
Suy ra xn , yn  x, y  0 hay xn , yn  x, y .
Câu c.
Ta có: xn  x  xn  x, xn  x  xn  xn , x  x, xn  x  0
2

(Vì lim xn
n

2

2

2

 xn ;lim x, xn  lim xn , x  xn )
2

2

n

n

Suy ra xn  x  0 hay xn  x .

Bài tập 10. Giả sử n  là một dãy số và T : l2  l2 được xác định bởi Tx  n xn 
với mọi x   xn   l2 .
a. Tìm điều kiện của n  để T là một ánh xạ.
a. Tìm điều kiện của n  để T là một ánh xạ bị chặn.
a. Tìm điều kiện của n  để T là một ánh xạ compắc.
Tìm điều kiện của n  để T là một ánh xạ.

sup n   thì n xn   l2 ; sup n   ta chứng minh n xn   l2
n

n

Giả sử mọi  xn   l2 mà n xn   l2 . Khi đó, nếu tồn tại sup n   thì tồn tại dãy
n

tăng  xk  sao cho nk

1
 k : n  nk
 k , k . Ta chọn xn   k
 n  nk : k 


. Suy ra Tx  n xn   l2 .



khi đó x   xn   l2

Tìm điều kiện của n  để T là một ánh xạ bị chặn.
Ta có: nk xnk  nk


1
2
 1   n xn   . Điều này mâu thuẫn với điều kiện
k
n1

n xn   l2 .
Do n xn   l2  sup n   . Giả sử x   xn  , y   yn   l2 và x  y
n

Ta có: x  y  xn  yn  n xn  n yn  n xn   n yn   Tx  Ty với mọi giá trị n .
Tìm điều kiện của n  để T là một ánh xạ compắc.

T : l2  l2 compắc  lim n  0 .
+ lim n  0  T compắc.
Đặt Tn : l2  l2 khi đó Tn  x   1 x1 , 2 x2 ,..., n xn ,0,0,0,...
Ta có T  Tn  sup k xk  0 hay T  Tn . Suy ra T  compắc
k n

+ T  compắc  lim n  0 .

en  là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l2 . Ta có lim T  en   lim nen  0
Kết luận: T : l2  l2 compắc  lim n  0 .
Bài tập 11. Giả sử H là không gian Hilbert. Chứng minh họ các toán tử tự liên hợp
trên H là một không gian con đóng của L  H , H  .
Giả sử A  L  H  là một toán tử compắc tự liên hợp trên H và   0 không là giá trị

riêng. Khi đó Y  R  A   R  A   I  gọi là họ các toán tử tự liên hợp trên L  H , H  .
Ta chứng minh tồn tại r  0 sao cho A x  r x , x  H
Giả sử ngược lại, khi đó với mọi n 

Axn   xn 

1
n

 2

1

tồn tại xn  H , xn  1 sao cho


A compắc và  xn n bị chặn nên tồn tại dãy con Axnk  xo . Khi đó

 xn  Axn   Axn   xn   xo và  xn    xo  0 .
k

k

k

k

k

Từ  2  , Axnk   xnk  0  Axo   xo . Như vậy  không là giá trị riêng, mâu thuẫn

với giả thiết.
Chọn yn Y , yn  yo , khi đó sẽ tồn tại xn  H sao cho yn  Axn   xn . Do điều kiện

1

ta có xn  xm 

1
1
n ,m
A xn  A xm  yn  ym 
0
r
r

Vậy  xn n là dãy cơ bản trong H hội tụ về xo  H . Cho n   trong yn  Axn   xn
ta được yn   A   I  xn  Y .
Kết luận: Họ các toán tử tự liên hợp trên H là một không gian con đóng của L  H , H 
___Hết__