Chuyên đề áp dụng nguyên lí i của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------MỤC LỤC
Trang
Phần 1. Đặt vấn đề

2

I- Lý do chọn đề tài

2

II- Mục đích nghiên cứu

3

III- Phạm vi và giới hạn của đề tài

3

Phần 2. Giải quyết vấn đề

4

A- Cơ sở lý luận

4

B- Thực trạng của vấn đề

10

C- Phương pháp giải quyết vấn đề

11

I - Các dạng bài tập.

11

1. Dạng 1: Cơng của chất khí - chu trình

11

2. Dạng 2: Bài toán cơ nhiệt

24

II- Bài tập luyện tập

36

D- Hiệu quả của chuyên đề

38

Phần 3. Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

41

PHẦN 1 - ĐẶT VẤN ĐỀ
MÃ: L01
I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Nhiệt động lực học ( NĐLH) là ngành học của vật lí xuất hiện từ thế kỉ XIX và là một
đơn vị kiến thức quan trọng của phần Nhiệt học lớp 10. Ban đầu, NĐLH nghiên cứu sự
1


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------chuyển nhiệt lượng thành cơng cơ học, để làm cơ sở lí thuyết cho hoạt động của các động
cơ nhiệt.
Ngày nay NĐLH phát triển và nghiên cứu đối tượng rộng hơn, đó là sự liên quan giữa
các dạng năng lượng khác nhau và ảnh hưởng của sự liên quan đó tới tính chất của các vật.
Như vậy, có thể nói rằng: NĐLH nghiên cứu các q trình diễn biến trong tự nhiên theo
quan điểm biến đổi năng lượng.
Việc giảng dạy phần NĐLH trong phần Nhiệt học lớp 10 có một ý nghĩa rất quan
trọng. Quan trọng là bởi, giảng dạy đơn vị kiến thức này, giáo viên không chỉ giúp học
sinh hiểu được khái niệm, các định luật, phương trình trạng thái của chất khí, các ngun lí
cơ bản của nhiệt động lực học mà còn giúp các em vận dụng các kiến thức trên vào việc
giải bài tập vật lí từ đó nhận biết và phân biệt được chính xác các q trình biến đổi trạng
thái của chất khí.
Bài tập Nhiệt học trong đó có bài tập áp dụng các nguyên lí của NĐLH là loại bài rất
quan trọng của chương trình Vật lí lớp 10. Loại bài tập này thường xuyên có mặt trong đề
thi học sinh giỏi các cấp, Olympic khu vực….
Qua thực tiễn giảng dạy chuyên đề chuyên sâu và ôn luyện học sinh giỏi phần Nhiệt
học tơi nhận thấy, học sinh gặp khơng ít khó khăn khi giải bài tốn áp dụng các ngun lí

của NĐLH. Khó khăn ấy bắt nguồn từ căn ngun: học sinh nắm kiến thức cơ bản chưa
chắc chắn; chưa có khả năng mơ hình hố các bước giải một bài tập nhiệt học có áp dụng
các ngun lí của NĐLH; khả năng phân loại các dạng bài tập nhiệt học rất hạn chế....
Xuất phát từ thực tiễn ấy, với mong muốn giúp các em có kĩ năng tốt trong việc giải bài
tập nhiệt học nâng cao, tôi xin chọn vấn đề " Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học
để giải một số bài tập về khí lí tưởng" làm nội dung của chuyên đề này.

II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong chương trình Vật Lý 10 nâng cao, sách giáo khoa đã xây dựng hệ thống kiến
thức về áp dụng nguyên lý 1 nhiệt động lực học vào các đẳng quá trình và giới thiệu về
chu trình, tuy nhiên lại chưa có đề cập đến bài tốn tìm công, nhiệt lượng, độ biến thiên
nội năng, hiệu suất… của chu trình và bài toán cơ nhiệt nói chung.
- Nhằm xây dựng và đưa ra hệ thống một số bài tốn liên quan đến nhiệt chu
trình…qua đó giúp học sinh có được phương pháp tổng quát giải quyết các bài toán nhiệt
trong thực tế cụ thể là bài toán về sự biến đổi trạng thái của khí lí tưởng.
2


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vận dụng nội dung chuyên đề vào giảng dạy chương trình chun đề chun sâu,
bồi dưỡng ơn luyện học sinh giỏi các cấp.
III- PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ GIỚI HẠN CỦA CHUYÊN ĐỀ
1. Phạm vi nghiên cứu: Kiến thức về các định luật của chất khí, phương trình trạng thái
của khí lí tưởng, nguyên lí I và II của NĐLH phần nhiệt học trong chương trình Vật lí lớp
10 nâng cao.
2. Giới hạn của chuyên đề: Bài toán áp dụng dụng nguyên lí I và II của NĐLH được
phân loại thành rất nhiều dạng khác nhau, trong phạm vi giới hạn của chuyên đề tôi
nghiên cứu sâu các dạng bài liên quan đến sự biến đổi trạng thái của khí lí tưởng thơng
qua việc khai thác các dạng bài cơ bản sau:

* Dạng 1: Cơng của chất khí
(Tìm công khí thực hiện trong quá trình biến đổi hoặc trong chu trình.
Tìm nhiệt lượng khí nhận trong quá trình biến đổi hoặc trong chu trình.
Tìm độ biến thiên nội năng của khí trong quá trình biến đổi hoặc trong chu trình)
* Dạng 2: Bài toán cơ nhiệt

PHẦN 2 - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A. CƠ SỞ LÝ LUẬN
I. Kiến thức bổ trợ
1) Khí lí tưởng: Chất khí được coi là khí lí tưởng khi có thể bỏ qua tương tác giữa các
phân tử khí chỉ kể đến các tương tác này khi chúng va chạm với nhau hoặc với thành bình.
( hoặc khí lí tưởng là khí tn theo đúng định luật Bôilơ- Mariốt và Sáclơ)
2) Thông số xác định trạng thái

3


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Một vật hoặc một nhóm vật, bao gồm một số hạt rất lớn hạt ( nguyên tử hoặc phân tử )
gọi là một hệ vĩ mô.
- Trạng thái của một hệ vĩ mô được đặc trưng bởi một số đại lượng vật lí gọi là các thơng
số trạng thái. Ví dụ: áp suất p, thể tích V và nhiệt độ tuyệt đối T là các thông số trạng thái
của một lượng khí nào đó.
- Phân biệt hai loại thơng số:
+ Thơng số ngồi: xác định bởi các vật bao quanh hệ; như thể tích V của một lượng khí
là thơng số ngồi, nó phụ thuộc kích thước bình chứa khí;
+ Thơng số trong: đặc trưng cho chính hệ xét, như áp suất p, nhiệt độ T của một lượng
khí.
3) Đạo hàm, vi phân, tích phân

a) Đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng (a; b) và
x0 ∈ ( a; b ) . Nếu tồn tại giới hạn ( hữu hạn) lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

thì giới hạn đó được gọi là đạo

'
'
hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 và kí hiệu f ( x0 ) ( hoặc y ( x0 ) ), tức là

f ' ( x0 ) = lim

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

x → x0

b) Vi phân: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại
x ∈ ( a; b ) . Giả sử dx là số gia của x. Ta gọi tích f ' ( x ) dx là vi phân của hàm số y = f ( x )

tại x với số gia dx , kí hiệu là df ( x ) hoặc dy, tức là:
dy = df ( x ) = f ' ( x ) dx

c) Tích phân: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên

hàm của f ( x ) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay

b

tích phân xác định trên đoạn [a; b] ) của hàm số f ( x ) , ký hiệu: ∫ f ( x) dx
a

Ta còn ký hiệu:

b

y

F ( x) a = F (b) − F (a )
b

Vậy:

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

= F (b) − F (a)

a

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]

y = f ( x)

b

thì

∫ f ( x) dx

là diện tích S của hình thang cong ( hình 1)

a

giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng
4

O

x=a

x=b

x


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------x = a; x = b.
b
Hình 1
Vậy: S = ∫ f ( x) dx
a

II- Kiến thức cơ bản

1. Các đẳng quá trình .
+ Quá trình đẳng nhiệt: T = const, pV = const
+ Q trình đẳng tích: V = const ,
+ Quá trình đẳng áp : p = const,

p
= const
T

V
= const
T

2. Phương trình trạng thái khí lí tưởng ( phương trình Clappêrơn ) :
pV
pV
pV
= const hay 1 1 = 2 2
T1
T2
T

( áp dụng cho lượng khí có khối lượng khơng đổi)

3. Phương trình Clappêrơn - Menđêlêép (phương trình C -M ):
pV = nRT =

trong đó:

m

RT ( áp dụng cho lượng khí có khối lượng thay đổi )
µ

n: số mol của khí (g/mol); m: khối lượng khí (g); µ : khối lượng mol của

chất khí; p: áp suất của khí ( Pa) ; V: thể tích của khí ( m3 ), T: nhiệt độ tuyệt đối (K)
R: hằng số của các khí, R = 8,31J/mol.K
4. Nguyên lý I của nhiệt động lực học ( NĐLH ):
4.1. Nội dung: Độ biến thiên nội năng của hệ bằng tổng đại số nhiệt lượng và công mà hệ
nhận được.
4.2. Biểu thức:

∆U = Q + A

trong đó: ∆U : độ biến thiên nội năng của hệ; Q, A: là các giá trị đại số
4.3. Quy ước:
+ Q > 0; A > 0: hệ nhận nhiệt lượng, nhận công .
+ Q < 0; A < 0: hệ nhả nhiệt lượng, sinh công .
- Nếu xét trong một q trình vơ cùng nhỏ thì : dU = ∂ Q + ∂ A
5. Áp dụng nguyên lý I NĐLH đối với các quá trình biến đổi trạng thái của khí lí
tưởng:
5.1. Biểu thức của độ biến thiên nội năng:

∆U = nCV (T2 − T1 ) =

CV: nhiệt dung mol đẳng tích của chất cấu tạo nên vật
5.2. Cơng thực hiện trong một q trình biến đổi.
5

m

CV (T2 − T1 )
µ


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Cơng ngun tố thực hiện trong một q trình biến đổi nhỏ: ∂A' = pdV
V2

Vậy : A = ∫ pdV
'

V1

+ Công xác định theo đồ thị p -V ( hình 2): Cơng có giá trị bằng diện tích phần gạch chéo
trên đồ thị ( hình thang cong MNPQ) giới hạn bởi đường biểu diễn quá trình biến đổi và
trục hoành OV, V= V1; V = V2. Dấu của A' là dương nếu chiều từ M đến N là chiều kim
đồng hồ trên chu vi hình thang cong.

p

M
N
Hình 2

Q

O

P

V1

V

V2

+ Cơng trong q trình đẳng nhiệt:
Xét một lượng khí lí tưởng có nhiệt độ khơng đổi T và biến đổi theo q trình cân bằng từ
trạng thái có áp suất p1, thể tích V1 đến trạng thái có áp suất p2, thể tích V2. Lượng khí này
V2

khơng tăng nhiệt độ, nhưng sinh cơng A : A = ∫ pdV
'

'

V1

Để tính A' phải thay p dưới dấu tích phân bằng biểu thức của nó tính theo V. Biết rằng
khí lí tưởng tuân theo đúng định luật Bôi-lơ - Ma-ri-ốt: pV = p1V1 = p2V2
pV
ta có: p = 1 1 .
V

V2

V
dV
V

= p1V1 ln 2 hay A' = p2V2 ln 2
V1
V
V1
V1

Vậy: A = p1V1 ∫
'

+ Cơng thực hiện trong q trình đoạn nhiệt:
Q trình đoạn nhiệt: Là quá trình biến đổi trạng thái của khí trong đó khí khơng nhận
nhiệt và cũng khơng nhả nhiệt cho các vật xung quanh ( tức là khơng trao đổi nhiệt với
mơi trường bên ngồi ): Q = 0 ; và ta có: A = ∆U
Theo nguyên lí I NĐLH ta có:
A' = - A = - ∆U = - nCV ( T2 - T1 ) = nCV ( T1 - T2 )
i
2

với n là số mol khí, biết: CV = R =

(a)

R
, p1V1 = nRT1, p2V2 = nRT2
γ −1

6


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------'
Cơng A có thể viết lại như sau: A =

A' =

hoặc nếu tính theo nhiệt độ:

p1V1 − p2V2
γ −1

p1V1  T2 
1 − ÷
γ − 1  T1 

(b)
(c)

Chú ý: Ba cơng thức (a), (b), (c) có thể dùng trong q trình đoạn nhiệt bất kì, có thể
khơng cân bằng. Nếu q trình đoạn nhiệt cân bằng thì cơng A' cịn được tính như sau:
γ −1
p1V1   V1  
1 −  ÷ 
A =
γ − 1   V2  


'

5.3. Áp dụng nguyên lí I NĐLH đối với các quá trình biến đổi trạng thái của khí lí

tưởng:
5.3.1. Q trình đẳng tích: ( hình 3 )
V = const → A = 0; Q = ∆U
Trong quá trình đẳng tích, nhiệt lượng mà khí nhận được
chỉ dùng làm tăng nội năng của khí
Hình 3
5.3.2. Q trình đẳng áp : ( hình 4 )
p = const → A = - A' = - p.∆V = - p( V2 - V1)
→ Q = ∆U + A'

( A' là công mà khí sinh ra)

Trong q trình đẳng áp, một phần nhiệt lượng mà khí
nhận vào được dùng để làm tăng nội năng của khí, phần
Hình 4

cịn lại biến thành cơng mà khí sinh ra.
5.3.3. Q trình đẳng nhiệt : ( hình 5)
T = const ; ∆U = 0 → Q = ∆U - A = - A , thay - A = A'
Vậy: Q = A'
Trong quá trình đẳng nhiệt, tồn bộ nhiệt lượng mà khí
nhận được chuyển hết sang cơng mà khí sinh ra.
5.3.4. Q trình đoạn nhiệt: Khí khơng trao đổi nhiệt lượng
với mơi trường bên ngồi:

Q = 0.

Hình 5

Vậy: A = ∆U

5.3.5. Chu trình: ( hình 6 ) là một quá trình mà trạng thái
cuối trùng với trạng thái đầu. Chu trình cân bằng có thể được
biểu diễn trên đồ thị p - V bằng một đường cong khép kín.
7
Hình 6


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Sau khi thực hiện chu trình, khí trở về trạng thái ban đầu I
Theo nguyên lí I NĐLH: ∆U = Q + A = Q − A ' = 0 và
tổng đại số nhiệt lượng nhận được Q = tổng đại số cơng sinh ra.

Hình 6

* Chu trình Các - nô: để thuận lợi trong việc vận dụng nguyên lí I
và II NĐLH, người ta khảo sát một chu trình biến đổi đặc biệt gọi là chu trình Các-nơ.
Chu trình Các-nơ là một chu trình gồm có hai q trình đẳng nhiệt xen kẽ với hai quá trình
đoạn nhiệt.
6. Khái niệm về nhiệt dung, nhiệt dung riêng.
6.1. Nhiệt dung của một vật: Là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần cung
cấp cho vật để nhiệt độ của nó tăng thêm 10.
6.2. Nhiệt dung riêng của một chất bất kỳ là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng
cần truyền cho một đơn vị khối lượng chất nói chung và một đơn vị khối lượng khí nói
riêng đó để làm tăng nhiệt độ của nó thêm 10:

C=

dQ

dT

6.3. Nhiệt dung mol của một chất bất kỳ là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng
cần truyền cho 1mol chất nói chung và một mol khí nói riêng để nhiệt độ của nó tăng lên
C=

10.

dQ
dT

6.4. Nhiệt dung mol đẳng tích và đẳng áp.
+ Nhiệt dung mol đẳng tích: Là nhiệt lượng cần cung cấp cho một mol chất khí để nhiệt
 dQ 

độ tăng lên 1 độ trong điều kiện thể tích khơng đổi: CV = 
÷ = const
 dT V
Theo nguyên lý I ta có: ∂Q = dU + ∂A = dU
Vậy:

CV =

dU i
dT i
= .R.
= .R ( i là số bậc tự do )
dT 2 dT 2

+ Nhiệt dung mol đẳng áp : Là nhiệt lượng cần cung cấp cho một mol chất khí để nhiệt

 dQ 

độ tăng lên 1 độ trong điều kiện áp suất khơng đổi: CP = 
÷ = const
 dT  P
Ta có: ∂Q = dU + ∂A vậy CP =

dU + ∂A dU ∂A i
dV
=
+
= R+ p
dT
dT dT 2
dT

Theo phương trình C -M, ta có:

dV R
i+2
=
.R
. Vậy : CP =
dT p
2

8


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------6.5. Mối quan hệ giữa nhiệt dung riêng đẳng tích và đẳng áp:
Theo nguyên lý I NĐLH cho 1mol khí q trình đẳng áp ta có : dU = ∂Q + ∂A (1)
∂ Q = Cp.dT; dU = Cv.dT; ∂ A = pdV

Thay vào (1) ta có: Cp = Cv + p.

dV
(2)
dT

Mặt khác ta có: pV= RT hay pdV = RdT . Vậy : p.

dV
=R
dT

Từ (1) ta có: Cp = Cv + R hay Cp - CV = R : hệ thức May - e giữa Cp và CV
( Nếu khí tn theo đúng phương trình C - M thì có nhiệt dung mol tn theo hệ thức
May - e )
+ Hằng số Poat -xong: γ =

Cp
CV

=

i+2
;
i

Với khí đơn ngun tử, i = 3 thì γ =

5
3

Với khí lưỡng ngun tử, i = 5 thì γ =
Với khí đa nguyên tử, i = 6 thì γ =

7
5

8
6

7. Mối quan hệ giữa các thơng số trạng thái trong q trình đoạn nhiệt.
Có - ∂ A = - dU hay pdV + nCVdT = 0 ↔ n RT

dV
+ nCV dT = 0
V

dT
dV
CV T + R V = 0

Lấy tích phân hai vế ta có:

∫
CV

dT
dV
→ ln T + ( γ − 1) ln V
C ln T + R ln V
∫
T +R V = const hay V
= const
= const

hay T .V γ −1 = const

pV γ = const

B- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
- Thuận lợi: giải bài toán nhiệt học bằng việc áp dụng các ngun lí của nhiệt động lực
học khơng phải là vấn đề mới mẻ, bởi có khá nhiều tài liệu đã đề cập tới đơn vị kiến thức
này. Ở một vài cuốn sách tham khảo, vấn đề này đã được kiến giải có độ sáng rõ nhất định.
Đây là những cơ sở khoa học rất thuận lợi giúp bản thân tơi vận dụng trong q trình viết
sáng kiến này.
9


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Khó khăn:
+ Nghiên cứu về vấn đề này, nhiều tác giả đã đưa ra những kiến thức quá bác học
khiến học sinh khó hiểu, khó lĩnh hội, khó vận dụng.

+ Tìm hiểu kiến thức " Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một

số bài tập về khí lí tưởng" các nhà nghiên cứu đã có ý thức phân loại các bài tập nhiệt học
thành các dạng cụ thể. Nhưng tiếc rằng sự phân loại giữa các cuốn sách đó chưa thật có sự
đồng thuận, chưa thật có tính hệ thống. Chính điều này đã tạo ra khơng ít những khó khăn
cho học sinh và cả giáo viên trong quá trình nghiên cứu, tìm hiểu.
+ Trong q trình ơn luyện đội tuyển học sinh giỏi các cấp ( đặc biệt là đội tuyển
lớp 10) tôi nhận thấy: học sinh chỉ thông thạo với các bài tốn áp dụng các định luật của
chất khí, phương trình trạng thái khí lí tưởng, áp dụng ngun lí I NĐLH cho các q
trình biến đổi khí đơn giản, khó khăn khi gặp bài tốn có q trình đoạn nhiệt, các đẳng
quá trình đan xen phức tạp.
+ Trong quá trình giải, việc sử dụng kiến thức tốn học của học sinh còn yếu và
thiếu nhiều kiến thức quan trọng, đặc biệt khi có các phép tính phức tạp như tích phân, vi
phân, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất….
Qua nội dung của chuyên đề này, tôi hy vọng sẽ giúp các em từng bước tháo gỡ những
khó khăn, vướng mắc để hoàn thiện dần các kĩ năng quan trọng khi áp dụng nguyên lí 1
NĐLH vào việc giải bài tập nhiệt học. ( bài toán công của chất khí và bài toán cơ nhiệt)

C- PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I- Phương pháp giải:
1. Phân tích hiện tượng bài tốn.
2. Tìm quy luật biến đổi trạng thái của lượng khí cần xét.
3. Kết hợp với các kiến thức có liên quan để thành lập hệ phương trình đủ.
* Loại bài tập này thường có hai dạng cơ bản:

10


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đơn thuần là biến đổi trạng thái của khí lí tưởng thì chỉ cần dùng các phương trình
cho các đẳng q trình, phương trình trạng thái khí lí tưởng ( hoặc phương trình C - M ) có

hoặc không kết hợp với nguyên lý I NĐLH.
- Dạng thứ hai về sự biến đổi trạng thái khí có liên quan đến các hiện tượng cơ thì
phải phân tích kỹ hiện tượng bài toán và sử dụng các kiến thức trên kết hợp với các kiến
thức cơ học có liên quan để giải bài toán.
*Chú ý: Khi sử dụng nguyên lý I NĐLH cần chỉ rõ loại khí (đơn nguyên tử hay lưỡng
nguyên tử), quá trình trao đổi nhiệt (nhận nhiệt, nhả nhiệt hoặc không trao đổi nhiệt) để sử
dụng đúng kiến thức cho từng dạng bài tập.
Trong phạm vi của sáng kiến, tôi khai thác sâu các dạng bài tập cụ thể sau:
II - Các dạng bài tập
1) DẠNG 1: CƠNG CỦA CHẤT KHÍ
Tìm cơng mà khí thực hiện trong một quá trình hay một chu trình nào đó.
Phương pháp:
- Xem xét từng quá trình, xác định các thông số đã cho hoặc có thể suy ra từ đề bài, so
sánh các thông số của các trạng thái (chú ý so sánh thông số thể tích V và áp suất p)
- Chuyển đường biểu diễn quá trình hoặc chu trình từ đề bài về hệ trục pV (nếu ban đầu
chưa ở hệ pV)
Chú ý: đường thẳng: dạng y = ax + b; parabol nếu qua O dạng y = ax 2+ bx, nếu O là gốc
dạng y = ax2 (với y là trục tung, x là trục hoành ứng với đồ thị hoặc parabol)
- Xác định quá trình khí thực hiện công dương hay âm : nếu thể tích tăng ( khí giãn nở )
→ khí sinh công dương, nếu thể tích giảm ( nén khí ) → khí sinh công âm.

- Xác định công trong quá trình: dựa vào diện tích hình giới hạn bởi đường V 1,V2 với
đường biểu diễn quá trình.
Chú ý: nếu là hình thang: S =

1
( p1 + p2 ) (V2 − V1 ) nếu đường biểu diễn từ 1 đến 2; nếu là
2

hình tam giác thì tính bằng nửa tích đường cao với đáy hoặc nửa tích hai cạnh góc vuông.

- Xác định công trong chu trình: chu trình theo chiều kim đồng hồ → công dương, ngược
chiều kim đồng hồ → công âm, xác định dựa vào diện tích hình giới hạn các đường biểu
diễn chu trình.
Có thể dựa vào nhiệt lượng và độ biến thiên nội năng theo công thức: Q = ΔU + A’.
Với: ∆U = nCV (T2 − T1 ) =

m
CV (T2 − T1 ) với quá trình biến đởi bất kì.
µ

11


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 1.
Tính cơng nhận được bởi 1 mol khí lí tưởng trong chu trình 1231 mà đường biểu diễn trên
đồ thị p - T như hình 7.
1 - 2 : là đoạn thẳng kéo dài qua O.
Hình 7

2 - 3 : là đoạn thẳng song song với OT.
3 - 1: là cung parabol kéo dài qua O.

p
1

5p0

Biết T1 = T3 = 300K; T2 = 400K

Hướng dẫn giải:
- Quá trình 1 - 2 là đẳng tích, khí khơng nhận cơng: A12 = 0.

p0

- Quá trình 2 - 3 là đẳng áp từ T2 đến T1, công nhận được là: O


A23 = - p2 ∆V = - p2 ( V3 - V2) = p2V2  1 −


2
3

V
3V0

7V0

 T3 
V3 
÷ = RT2  1 − ÷ = 100 R
V2 
 T2 
V1

-Cơng nhận được trong q trình 3 -1: A31 = − ∫ pdV (1)
V3

Vì cung 31 có dạng parabol nên phương trình của cung này là: T = ap2 + bp (2)

Mặt khác:


pV = RT (3) ( vì n = 1 mol)
b


V 


Suy ra: ap  p +  − ÷ = 0 ; vì p biến đổi và khác khơng nên phương trình có dạng:
a Ra


p+

b V
b V
−
= 0 hay p = − +
a Ra
a Ra

(4)

Thay (4) vào (1) ta tính được cơng A31 nhận được trong q trình 3 - 1:
1 7  1 
7
700
 b V +V  1

A31 = ( V3 − V1 )  − + 3 1 ÷ = (V3 − V1 )( p3 + p1 ) = . p1  − V1 ÷ = − RT1 = −
R
2 3  4 
24
8
 a 2 Ra  2

Tổng đại số công nhận được trong cả chu trình là :
 700 

R ÷= 12,5R = 104J
A = A12 + A23 + A31 = 0 + 100R +  −
 8 

* Nhận xét: để tính cơng của chất khí trong cả chu trình, tiến hành tương tự như bài 1; tuy
nhiên công trên đoạn 3-1 cần áp dụng tích phân để tính vì đoạn 3-1 là một cung giới hạn
bởi 2 đường thẳng đứng p = p1 , p = p2 và trục hoành Op.
Bài 2.
Một động cơ nhiệt có tác nhân sinh cơng là n mol khí lý tưởng đơn nguyên tử thực hiện một
chu trình kín được biểu diễn trong hệ tọa độ (p – V) như hình 8. Các đại lượng po, Vo đã biết.
1. Tính nhiệt độ và áp suất khí tại trạng thái (3).
12


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Tính cơng do chất khí thực hiện trong cả chu trình.
3. Tính hiệu suất của động cơ nhiệt

Hướng dẫn giải:

Hình 8

p
V
Đường 2-3 có dạng: p = k V
0
0

Trạng thái (2): V2 = 7V0 ; p2 = p0
⇒ k=

1
7

Hình 9

p

V3
3p
+ Trạng thái (3): V3 = 3Vo; p3 = kp0. V = 0
7
0
pV
9p V
+ Theo phương trình C-M: T3 = 3 3 = 0 0
nR
nR

5p0

64 p0V0
Cơng do chất khí thực hiện có giá trị: A = S(123) =
7

1

I

pI
p0

2

Khí nhận nhiệt trong tồn bộ q trình 3 – 1 và một phần của quá trình3 1 - 2, trên đoạn 1 -VI.
+ Xét q trình đẳng tích 3-1:
3V
O
7V
0

i
3
pV p V
Q31 = ∆U = nR ∆T = nR( 1 1 - 3 3 )
2
2
nR nR
144 p0V0
⇒ Q31 =

7

V

0

I

+ Xét quá trình 1-2:
p = aV+b
. Trạng thái (1): : 5po = a.3V0 + b
p

o
. Trạng thái (2): po = - V .V + 8po ⇒
0

po

a= -V

và b = 8p0

0

po

Vì vậy quá trình (1) - (2) có phương trình: p = - V .V + 8po (1)
0

nRT
Thay p =
vào ta có:
V
po
po
nRT = - V .V2 + 8poV ⇒ nR ∆ T = -2 V . ∆ V + 8po ∆ V (2)
0
0
+ Theo Nguyên lí I: Khi thể tích khí biến thiên ∆ V; nhiệt độ biến thiên ∆ T thì nhiệt lượng

biến thiên:
∆Q =

3
nR ∆ T + p ∆ V (3)
2

+ Thay (2) vào (3) ta có:

∆ Q = (20po - 4

po
V). ∆ V
V0

13


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------⇒ ∆ Q = 0 tại điểm I khi VI = 5Vo và pI = 3po.
Như vậy khi 3Vo ≤ V ≤ 5Vo thì ∆ Q > 0 tức là chất khí nhận nhiệt lượng

3
p + pI
nR (TI -T1) + 1
(VI -V1) = 8p0V0
2
2
A
* Hiệu suất chu trình là: η = Q + Q = 32%
31
1I

Q12 = Q1I = ∆ U1I + A1I =

Bài 3.
Một khối khí lí tưởng có khối lượng m, khối lượng mol là μ, chỉ số đoạn nhiệt γ và nhiệt
dung mol đẳng tích CV. Khối khí thực hiện chu trình 1-2-3-4-1 như hình 10. Chu trình gồm
hai q trình đẳng tích 1-2; 3-4 và hai quá trình đẳng áp 2-3;
p
4-1. Nhiệt độ tuyệt đối tăng n lần (n > 1) cả trong quá trình
đốt nóng đẳng tích và giãn nở đẳng áp.
2
p2
3
a. Q trình nào hệ nhận nhiệt, truyền nhiệt ra bên ngồi?
Tìm nhiệt lượng hệ nhận và truyền ra bên ngoài trong từng
quá trình theo n, γ, CV, T1, m, μ.

p1
b. Tìm hiệu suất của chu trình. Áp dụng số với n = 2 và
4
1
biết khí là khí lí tưởng đơn nguyên tử.

V1

Hướng dẫn giải:
a) * Q trình đẳng tích 1 – 2:
- Đây là q trình đẳng tích có áp suất ln tăng lên nhiệt độ ln tăng
→ Q trình đốt nóng đẳng tích.
- Theo bài ra ta sẽ có:

P2 T2
= = n => T2 = nT1 > T1
P1 T1

→ Quá trình 1-2 hệ nhận nhiệt.
* Quá trình đẳng áp 2 -3:
- Đây chính là q trình giãn nở đẳng áp
- Theo bài ra ta có:

V3 T3
= = n > 1 => T3 = nT2 = n 2T1 > T2
V2 T2

→ Quá trình 2-3 hệ nhận nhiệt.
* Q trình đẳng tích 3 – 4:

P3 T3 P2
= =
= n > 1 => T3 = nT4
P4 T4 P1

Vậy T4 = nT1 < T3
→ Quá trình 3-4 hệ truyền nhiệt ra bên ngồi.
* Q trình đẳng áp 4-1
Dễ dàng suy ra T4 = T2 = nT1 > T1
→ Quá trình 4-1 hệ truyền nhiệt ra bên ngồi.
- Nhiệt lượng hệ nhận trong q trình 1 – 2:
Q12 =

m
m
m
m
Cv ∆T = Cv ( T2 − T1 ) = Cv ( nT1 − T1 ) = CvT1 ( n − 1)
µ
µ
µ
µ

- Nhiệt lượng hệ nhận trong quá trình 2-3:
Q23 =

m
m
m
m

m
C P ∆T = γ Cv ( T3 − T2 ) = γ Cv ( nT2 − T2 ) = γ Cv n 2T1 − nT1 = γ Cv nT1 ( n − 1)
µ
µ
µ
µ
µ

(

* Q trình 3-4:
14

)

Hình 10

V2

V


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------m
m
m
m
Cv ∆T = Cv ( T4 − T3 ) = Cv nT1 − n 2T1 = Cv nT1 ( 1 − n ) < 0
µ

µ
µ
µ
m
'
Hệ truyền nhiệt ra: Q34 = −Q34 = Cv nT1 ( n − 1)
µ
m
m
m
* Quá trình 4–1: Q41 = C p ∆T = γ Cv ( T1 − T4 ) = γ CvT1 ( 1 − n1 ) < 0
µ
µ
µ
m
'
Hệ truyền nhiệt ra: Q41 = −Q41 = γ CvT1 ( n − 1)
µ

(

Q34 =

)

b) Hiệu suất của chu trình là:
'
Q34' + Q41
n +γ
η = 1−

= 1−
Q12 + Q23
1 + nγ
Thay số với n = 2; γ = 5/3 ta được: η = 1 −

2 + (5 / 3)
; 15, 4%
1 + 2.(5 / 3)

Bài 4.

p

Một lượng khí lí tưởng gồm 3/4 mol, biến đổi theo q trình
cân bằng từ trạng thái có áp suất p0 = 2.105Pa và thể tích
V0 = 8lít đến trạng thái có áp suất p1= 105Pa và thể tích
V1 = 20lít. Trong hệ toạ độ p,V q trình đó được biểu diễn

p0

A
S

p1

B

như hình 11.

O

1) Tính nhiệt độ T0 ở trạng thái ban đầu A và T 1 của trạng thái
cuối B .

V0

VS V1 V

Hình 11

2) Tính cơng mà khí sinh ra và nhiệt mà khí nhận được trong cả q trình.
3) Xét sự biến đổi nhiệt độ T của khí trong suốt q trình. Với giá trị nào của thể tích V thì
nhiệt độ T lớn nhất, giá trị lớn nhất Ts cuả nhiệt độ là bao nhiêu?
4) Tính cơng mà khí sinh ra và nhiệt mà khí nhận được trong từng giai đoạn (giai đoạn
tăng và giai đoạn giảm nhiệt độ) của quá trình. Trong cả giai đoạn giảm nhiệt độ thì khí
nhận nhiệt hay toả nhiệt? Giải thích? Biết nội năng của 1mol khí lí tưởng là 3RT/2; hằng
số khí: R= 8,31J/mol.K.
Hướng dẫn giải:
1) Theo phương trình C - M, ta có: pV =
Ta có: T0 =

3
3µ
RT ( m =
)
4
4

4
4

p0V0 = 257K và T1=
p1V1 = 321K
3R
3R

2/ Công sinh ra trong quá trình biến đổi từ A đến B ( bằng diện tích hình thang AV 0V1B)
15


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------1
2

A = (p0+ p1)(V1 - V0) = 1800J, vì khí sinh cơng nên A = - 1800 J
Độ biến thiên nội năng: ∆U = = 600J
Nhiệt nhận được: theo nguyên lí I NĐLH: Q = ∆U - A= 600 - ( -1800 ) = 2400J
3/ Ta có: T =

4
pV (1)
3R

- Trong q trình biến đổi thể tích V tăng từ giá trị V 0 đến V1, coi T là hàm của thể tích V.
Muốn vậy ta xét sự phụ thuộc của p vào V ( p = 105Pa, V ( 1 lít) = 0,001m3 )
- Theo đồ thị ta thấy p phụ thuộc vào V theo hàm bậc nhất nên ta có:
p − p0 p − p1
p−2
p −1
=

→
=
thay số được: p = (-V + 32)
V − V0 V − V1
V − 8 V − 20

thay vào pt (1) ta có phương trình biểu diễn sự phụ thuộc
của T vào V như sau:

T = (32V - V2)

T

Đường biểu diễn T(V) như hình 12, là một đường parabol
đi qua O có tọa độ đỉnh : VS = .32 = 16 lít và TS = 342K. TS
Vậy: giá trị cực đại của nhiệt độ TS = 342K và
pS =

S

B

T1

T0 A

4 5
.10 Pa
3

4/ * Xét giai đoạn AS:

Hình 12

O

Nhiệt độ T tăng từ T0 = 257 K đến TS = 342 K ; thể tích tăng từ
V V0 = 8Vlít đến
V
0

S

1

VS = 16 lít.
Theo ngun lý I NĐLH có: Q = ∆U1 - A1
Với: A1 = SASVsVo =

1
3 3
(p0 + pS)(VS - V0) = 1333J; ∆U1 = . RT .(TS - T0) = 795J
2
4 2

Vậy: Q1 = 795- (- 1333) = 2128 J
* Xét giai đoạn SB: Nhiệt độ khí giảm từ T0 = 342 K đến TS = 321 K ; thể tích tăng từ
VS = 16 lít đến V1 = 20 lít.
- Cơng mà khí sinh ra ( bằng diện tích hình thang SBV1VS) :
A2 = SSBV1Vs=

1
(p1 + pS)(V1 - VS) = 467 J
2

- Nội năng của khí giảm một lượng: ∆U2 =

3 3
. RT .(T1- TS) = -196,3J
4 2

Nhiệt nhận được trong cả quá trình : Q2 = ∆U2 - A2 = -196,3 - ( - 467) = 270,7 J

16

V


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Vậy: Trong giai đoạn SB nhiệt độ của khí giảm nhưng khí vẫn nhận nhiệt lượng. Sở dĩ
như vậy là vì cơng A2 mà khí sinh ra lớn hơn độ giảm nội năng của khí, khí phải nhận
nhiệt lượng Q2 để bù vào sự chênh lệch đó.
* Nhận xét:
- Ngồi cách tính cơng của chất khí đã đề cập ở bài 1 và bài 2, trong bài này công sinh ra
trong từng giai đoạn chính là diện tích của hình thang giới hạn bởi đoạn cong đó.
- Để tính được nhiệt mà khí nhận được trong từng giai đoạn và trong cả q trình cần áp
dụng ngun lí I NĐLH để tính đại lượng Q, chú ý về dấu của cơng A .
Bài 5.
Một mol khí lí tưởng thực hiện chu trình thuận

nghịch 1231 được biểu diễn như hình 13. Biết:
+ Nội năng U của một mol khí lí tưởng có biểu thức
U = kRT, trong đó k là hệ số có giá trị tuỳ thuộc vào

p
p2

loại khí ( k = 1,5 đối với khí đơn nguyên tử, k = 2,5 với

1

2

3

khí lưỡng nguyên tử); R là hằng số khí, T là nhiệt độ

Hình 13

tuyệt đối.

+ Cơng mà khí thực hiện trong quá trình đẳng áp 1-2 gấp n lần cơng mà ngoại lực thực
hiện để nén khí trong quá trình đoạn nhiệt 3-1.
1) Tìm hệ thức giữa n, k và hiệu suất của chu trình.

p1

V

O

V1

V2

2) Cho biết khí nói trên là khí lưỡng ngun tử và hiệu suất H = 25%. Tính n.
3) Giả sử khối khí lưỡng nguyên tử trên thực hiện một quá trình thuận nghịch nào đó được
biểu diễn trong mặt phẳng pOV bằng một đoạn thẳng có đường kéo dài qua gốc toạ độ.
Tính nhiệt dung của khối khí trong q trình đó.
Hướng dẫn giải:
1) Hệ thức giữa n, k và hiệu suất của chu trình:
- Cơng mà khí thực hiện trong q trình đẳng áp 1 -2: A12 = p1 ( V2 - V1 ) = R(T2 - T1 )
- Công trong quá trình đẳng tích 2 -3:

A23 = 0

- Theo giả thiết: cơng trong q trình đoạn nhiệt 3 -1 là: A31 = → Cơng thực hiện trong tồn chu trình:



1




1

A = A12 + A23 + A31 =  1 − ÷ A12 =  1 − ÷R ( T2 − T1 )
n
n





17

A12
n


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Mặt khác:
+ q trình đoạn nhiệt: Q31 = 0.
+ q trình đẳng tích 2 - 3: Q23 = ∆U 23 - A23 = ∆U 23 = kR( T3 - T2 ) < 0 ( vì T3 < T2 )
Vậy: khí chỉ nhận nhiệt trong q trình 1 -2: Q = Q12 = ∆U12 - A12 = ( k + 1)R( T2 -T1 )
→ Hiệu suất của chu trình:

1
1−
A
n = n −1
H= =
Q k + 1 n(k + 1)

Hệ thức giữa n và k: n - 1 = Hn( k +1)

(1)

2) Tìm n: thay vào (1) các giá trị: k = 2,5 ( khí lưỡng nguyên tử); H = 25% = 0,25

Ta có: n =

1
1
=
=8
1 − H (k + 1) 1 − 0, 25(2,5 + 1)

Vậy: Cơng mà khí thực hiện trong quá trình đẳng áp 1-2 gấp 8 lần cơng mà ngoại lực thực
hiện để nén khí trong q trình đoạn nhiệt 3-1.
3) Nhiệt dung của khối khí:
- Phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O có dạng:

p
= const ( 2)
V

- Mặt khác theo phương trình C - M: pV = RT ( n = 1)

( 3)

- Xét quá trình nguyên tố: dQ = dA + dU = pdV +

5
RdT
2

(4)

Lấy vi phân hai vế của phương trình (2) và (3) được:

pdV - Vdp = 0
pdV + Vdp = RdT
Suy ra: pdV =

1
RdT
2

thay vào (4): dQ =

Vậy: nhiệt dung của khối khí: C =

1
5
RdT + RdT = 3RdT
2
2

dQ
= 3R
dT

* Nhận xét: Khi hướng dẫn học sinh giải bài 4 và bài 5, giáo viên cần lưu ý:
- Để tính hiệu suất trong cả chu trình cần tính tổng cơng thực hiện được và tổng nhiệt
lượng khí nhận được trong chu trình đó. Áp dụng ngun lí I NĐLH để tính nhiệt lượng Q.
Cần lưu ý q trình đoạn nhiệt , Q = 0.
- Sử dụng phép tính vi phân để chứng minh nhiệt dung của khối khí là hằng số.
Bài 6.

18

Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Một lượng khí lí tưởng lưỡng nguyên tử ở áp suất p1, thể tích V1 và nhiệt độ T1. Cho khí
giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch đến thể tích V2. Sau đó được làm nóng đẳng tích đến nhiệt
độ ban đầu T1 rồi lại giãn đoạn nhiệt thuận nghịch đến thể tích V3.
1) Biểu diễn định tính các quá trình biến đổi trạng thái khí bằng đồ thị trong hệ p - V.
2) Tính cơng A mà khí sinh ra trong 3 quá trình trên theo p1, V1, V2, V3.
3) Nếu V1 và V3 cho trước, với giá trị nào của V2 thì cơng A cực đại.
Hướng dẫn giải:
1) Biểu diễn định tính các q trình biến đổi trạng thái
khí bằng đồ thị trong hệ p - V. ( hình 14)
2) Tính cơng A mà khí sinh ra trong 3 q trình
trên theo p1, V1, V2, V3.
Cơng tổng cộng: A = A1 + A2 + A3
+ A1: cơng khí sinh ra trong quá trình đoạn nhiệt 1- 2
+ A2: cơng khí sinh ra trong q trình đẳng tích: A2 = 0

Hình 14

+ A3: cơng khí sinh ra trong q trình đoạn nhiệt 2' - 3
* Xét đoạn 1 - 2:
- Vì đoạn 1 - 2 là quá trình đoạn nhiệt thuận nghịch nên ta có:
γ

V 
p
p V = p V →  1 ÷ = 2 (1)
p1

 V2 
γ
1 1

γ
2 2

- Mặt khác theo phương trình trạng thái:

p1V1 p2V2
p V
=
→ T2 = 2 . 2 .T1
T1
T2
p1 V1

(2)

γ −1

V 
Từ (1) và (2) ta có: T2 =  1 ÷ .T1
 V2 

- Vì đoạn 1 -2 là đoạn nhiệt nên Q = 0
- Theo nguyên lí I NĐLH: A1 = - ∆U1 = - CV ( T2 - T1 ) (3);
- Theo phương trình C -M: p1V1 = RT1
Hằng số Poat- xông γ =
RT1   V1 

1 −  ÷
A1 =
γ − 1   V2 


γ −1

Cp
CV

=

CV + R
R
→ CV =
, thay vào (3) ta được:
CV
γ −1

γ −1

p1V1   V1  
 hay A1 =
1 −  ÷ 
γ − 1   V2  




* Xét đoạn 2 - 3':

19


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------γ −1
p2' V2   V2  
1 −  ÷  với p2' , T2' là áp suất và nhiệt độ của khí sau khi được
Tương tự: A3 =
γ − 1   V3  



làm nóng đẳng tích đến nhiệt độ ban đầu T1.
γ −1
p1V1   V2  
1 −  ÷ 
- Vì T1 = T2' nên p1V1 = p2'V2 ; do đó: A3 =
γ − 1   V3  



Vậy: công tổng cộng trong cả 3 quá trình là:
γ −1
γ −1
 V2  
p1V1   V1 
2 −  ÷ −  ÷ 
A = A1 + A3 =
γ − 1   V2 

 V3  


( 4)

 V γ −1  V γ −1 
3) Tìm V2 để Amax: trong biểu thức (4), đặt y =  1 ÷ +  2 ÷ 
 V2 
 V3  
γ −1

Amax

V 
khi ymin, theo bất đẳng thức Cơsi:  1 ÷
 V2 
γ −1

ymin

V 
↔  1÷
 V2 

γ −1

V 
= 2 ÷
 V3 

↔

γ −1

V 
+ 2 ÷
 V3 

γ −1

V V 
≥2  1. 2÷
 V2 V3 

= hằng số

V1 V2
= → V2 = V1V3 ( V1, V3 biết trước sẽ tính được V2)
V2 V3

* Nhận xét: - Trong 3 q trình trên thì có hai q trình đoạn nhiệt, cần sử dụng công
γ −1
p1V1   V1  
1 −  ÷  để tính cơng trong q trình đoạn nhiệt.
thức: A =
γ − 1   V2  


'

- Tìm V2 để A max : sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm Amax

Bài 7.
Một mol khí lí tưởng đơn ngun tử thực hiện
một chu trình kín mà đường biểu diễn trên
đồ thị p, V như hình 15.
Trong đó:
1 -2 : q trình đẳng áp;
2 - 3 : q trình đẳng tích
3 -1 : áp suất phụ thuộc tuyến tính vào
Hình 15

thể tích ( đoạn thẳng)

20


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Cho biết: T1 = T3 = 300K;

V2 5
= .
V1 2

Tính hiệu suất chu trình 123
Hướng dẫn giải:

* Q trình 1 - 2: đẳng áp, thể tích tăng, nhiệt độ tăng, trong q trình này khí nhận nhiệt
lượng.

Theo ngun lí I NĐLH: nhiệt lượng mà hệ nhận được trong quá trình đẳng áp 1 - 2
chuyển từ nhiệt độ T1 đến T2 là: Q12 = C p ( T2 - T1) mà
T2 V2 5
5
5 5 
15
= = ; C p = R → Q12 = R  − 1÷T1 = RT1
T1 V1 2
2
2 2 
4

* Quá trình 2 - 3: đẳng tích, áp suất giảm, nhiệt độ giảm, trong quá trình này khí tỏa nhiệt
lượng ra mơi trường bên ngồi.
* Q trình 3 - 1: phương trình mơ tả q trình có dạng: p = aV + b.
Đường thẳng đi qua trạng thái (3) và (1) nên ta có hệ phương trình:
p1 − p3

a
=

V1 − V3
 p1 = aV1 + b
p − p3
p V − pV

→
→ p= 1
V+ 3 1 1 3



V1 − V3
V1 − V3
 p3 = aV3 + b b = p3V1 − p1V3

V1 − V3

dễ dàng tính được: p3 =

(*)

2 p1
7
2
5
.V + p1
p1 ;V3 = V2 = V1 thay vào (*) ta có: p = −
5 V1
5
5
2

Áp dụng phương trình C - M: pV = RT → T =
Thay (1) vào (2) ta được: T = −

pV
R

(1)
(2)

2 p1 2 7 p1
V +
V
5 V1 R
5 R

Nhận xét: T là hàm số bậc 2 với biến số V, hệ số a = −

2 p1
< 0,
5 V1 R

Vậy: Nhiệt lượng khí nhận được trong cả chu trình là : Q = Q12 =

15
RT1
4

Cơng thực hiện trong cả chu trình là:
A = S123 =

1
1
2  5
9
9

( p1 − p3 )(V3 − V1 ) =  p1 − p1 ÷ V1 − V1 ÷ → A =
p1V1 =

RT1
2
2
5  2
20
20


9
RT
A 20 1 3
=
≈ 12%
Hiệu suất trong cả chu trình là: H = = 15
Q
25
RT1
4

* Chú ý: khi giải bài tập về tính cơng của chất khí, giáo viên cần lưu ý cho học sinh :
21


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chỉ rõ khí đang xét là khí đơn ngun tử hay khí đa ngun tử.
- Q trình đang xét là nhận nhiệt, nhả nhiệt hoặc không trao đổi nhiệt.
- Sử dụng đúng quy ước về dấu các đại lượng A, Q trong nguyên lí I NĐLH, đặc biệt
là dấu của đại lượng A.
Bài 8.

Một mol khí heli khi giãn từ trạng thái ban đầu với nhiệt độ
T1 = 100K qua tua bin vào trong bình rỗng thực hiện một công
nào đó chuyển đến trạng thái cân bằng 2. Quá trình này xảy ra
không có sự nhận nhiệt cũng như toả nhiệt. Sau đó khí bị nén
trong quá trình 2-3 trong đó có sự phụ thuộc tuyến tính của áp
suất vào thể tích và cuối cùng theo đường đẳng tích 3-1 quay về
trạng thái ban đầu. ( hình 16)
Tìm công do chất khí thực hiện khi giãn qua tua bin, khi
chuyền theo đường 1-2 nêu trên trong quá trình 2-3 và 3-1 khí
được cấp một nhiệt lượng tổng cộng là Q = 72 J. Biết T 2 = T3 và
V2 = 3V3.
Hướng dẫn giải :

Hình 16

* Quá trình (1) → (2) : giãn đoạn nhiệt.
Q12 = 0 = ΔU12 + A12 → A12 = – ΔU12 = – (nRi/2)(T2 – T1) (*)
* Quá trình (2) → (3) : p = aV + b ;
* Quá trình (3) → (1) : V3 = V1
- Theo giải thiết : T2 = T3 → p2V2 = p3V3 ; V2 = 3V3
- Khí He : i = 3 ; n = 1 mol
* Quá trình (2) → (3) → (1)
- Quá trình (2) → (3) : khí nén nên công âm
Ta có: A23 = SV132V2 = – (1/2)(p3 + p2)(V2 – V3) = – (1/2)(p3V2 + p2V2 – p3V3 – p2V3)
→ A23 = – (1/2)[3p3V3 + p2V2 – p3V3 – p3.V3.(V3/V2)]
→ A23 = – (nR/2)[3T3 + T2 – T3 – (T3/3)] = – (nR/2)[T2 + (5T3/3)] = – (nR/2)(8T3/3)
Độ biến thiên nội năng : ΔU23 = (nRi/2)(T3 – T2) = 0
- Quá trình (3) → (1): đẳng tích nên công bằng không
Độ biến thiên nội năng : ΔU31 = (nRi/2)(T1 – T3)
Nhiệt lượng khí nhận trong quá trình 2-3-1 :

⇒ Q231 = A231 + ΔU231 = – (nR/2)(8T3/3) + (nRi/2)(T1 – T3)
Thay số : Q231 = 72 (J) ; T1 = 100K ; n = 1mol ; R = 8,31 J/molK ; i = 3
→ T3 = T2 = 49,88 K
Thay vào (*) ta có: A12 = – (nRi/2)(T2 – T1) = 624,74 (J)
Bài 9.
Một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử thực hiện một chu trình
như hình 17. Trong chu trình đó khối khí thực hiện công
A = 2026 J. Chu trình này bao gồm quá trình 1-2 ở đó áp suất là
hàm tuyến tính của thể tích, quá trình đẳng tích 2-3 và quá trình
3-1 nhiệt dung của chất khí không đổi.
Biết T1 = T2 = 2T3 = 100K ; V2 = 8V1 ; R = 8,31 J/molK.
Tìm nhiệt dung trong quá trình 3-1.
22

Hình 17


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------Hướng dẫn giải :
* Theo giả thiết : n = 1mol ; i = 3 ; Achutrinh = 2026J ; T1 = T2 = 2T3 = 100K → p1V1 = p2V2
V2 = 8V1 ; R = 8,31 J/molK
* Từ đồ thị ta có :
- Quá trình (1) → (2) : p = aV + b
- Quá trình (2) → (3) : V2 = V3
- Quá trình (3) → (1) : đường parabol gốc ở 3 : p = cV2 + p2
+ Độ biến thiên nội năng trong mỗi quá trình (1) → (2) ; (2) → (3); (3) → (1) :
ΔU12 = (nRi/2)(T2 – T1) = 0
ΔU23 = (nRi/2)(T3 – T2) = – 50CV (J)
ΔU31 = (nRi/2)(T1 – T3) = 50CV (J)

+ Nhiệt lượng khí nhận trong mỗi quá trình (1) → (2) ; (2) → (3); (3) → (1):
ΔU12 = 0 → A12 = Q12 = SV112V2 = (1/2)(p1+p2)(V2 – V1)
A12 = (1/2)(p1V2 + p2V2 – p1V1 – p2V1)
A12 = (1/2)(p1V2– p2V1) = (1/2)[8p1V1– (p2V2/8)] = (nR/2)[8T1 – (T2/8]
Thay số : n = 1mol ; R = 8,31 J/molK ; T1 = T2 = 100K
→ Q12 =A12 = 3272,0625 (J)
A23 = 0 → Q23 = ΔU23 = CV(T3 – T2) = – 50CV
Áp dụng Nguyên lý I ta có : A = Q + ΔU
→ 2026 = 3272,0625 – 50CV +Q31 – 50CV + 50CV
Trong quá trình (3) → (1): khí toả nhiệt nên Q31 âm
→ Q31 = – C.(T1 – T3) = – 50C
→ 2026 = 3272,0625 – 50CV – 50C – 50CV + 50CV
Thay số : CV = (inR/2) = 3.1.8,31/2
⇒ C = 12,456 (J/K)
Bài 10. Một lượng khí đơn nguyên tử chuyển từ trạng thái (1) sang trạng thái (2) theo 2
cách : đi theo đường cong 1-a-2 là một phần của parabol với phương trình T = aV 2 và theo
hai đoạn thằng 1-3 và 3-2. Hỏi khí nhận nhiệt lượng bằng bao nhiêu trong quá trình 1-3-2
nếu trong quá trình 1-a-2 người ta cung cấp cho lượng khí đó một nhiệt lượng 1200 J. Biết
T1 = 300K ; T2 = 420K.
Hướng dẫn giải :
Theo giả thiết:
* Theo đường cong (1) → (a) → (2): đường parabol đi qua gốc O nhận O làm đỉnh: T = aV2
Mà : T = pV/nR → p = aRn.V :
biểu diễn trong hệ tạo độ pV là đường thẳng qua gốc O
→ p1V2 = p2V1
* Theo hai đoạn thẳng :
(1) → (3): V1 = V3 → T1p3 = T3p1
Hình 18
(3) → (2) : V = bT → p3 = p2 và V3T2 = V2T3
Biểu diễn trong đồ thị pV :

T3 > T1 → p3 > p1 ; V2 > V3
- Công trong quá trình (1) → (a) → (2): khí giãn nở nên công dương
→ A1-a-2 = SV112V2 = (1/2) ( p2+p1)(V2 – V1) = (1/2) (p2V2 + p1V2 – p1V1 – p2V1)
Mà p1V2 = p2V1 → A1-a-2 = (nR/2)(T2 – T1)
23


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đợ biến thiên nợi năng trong quá trình (1) → (a) → (2):
ΔU1-a-2 = (inR/2).(T2 – T1)
→ Nhiệt lượng khí nhận được trong quá trình (1) → (a) → (2):
Q1-a-2 = A1-a-2 + ΔU1-a-2 = [(nR+inR)/2](T2 – T1)
Thay số : T1 = 300K ; T2 = 420K ; i = 3 ; Q = 1200 J → nR = 5
- Công trong quá trình (1) → (3) → (2)
Vì quá trình (1) - (3) là đẳng tích nê A 13 = 0 và quá trình (3) - (2) khí giãn nở sinh công
dương : A1-3-2 = A32 = SV132V2 = p2 ( V2 – V1) = p2V2 – p2V1 = p2V2 – p3V3 = nR(T2 – T3)
- Độ biến thiên nội năng trong quá trình (1) → (3) → (2)
ΔU1-3 = (inR/2)(T3 – T1)
ΔU3-2 = (inR/2)(T2 – T3)
→ ΔU1-3-2 = (inR/2)(T2–T1)
- Nhiệt lượng khí nhận được trong quá trình (1) → (3) → (2):
Q1-3-2 = A1-3-2 + ΔU1-3-2 = nR(T2 – T3) + (inR/2)(T2-T1)
Mà ta có : p1V2 = p2V1 = p3V3 → T32 = T1.T2 → T3 = (T1.T2)1/2
Thay số : i = 3 ; nR = 5 ; T1 = 300K ; T2 = 420K
⇒ Q1-3-2 = 1225,176 (J)
2) DẠNG 2 : BÀI TOÁN CƠ NHIỆT
Phương pháp:
- Cần chú ý đến kiến thức phần cơ học cân bằng
- Lập các phương trình liên quan để giải quyết bài tốn.

Bài 1. Một xilanh có chứa khí được đậy bằng pittơng. Pittơng có thể trượt khơng ma
sát dọc theo xilanh. Pittơng có khối lượng m, diện tích tiết diện S. Khí có thể tích ban đầu
V. Áp suất khí quyển p 0 . Tìm thể tích khí nếu xilanh chuyển động theo
phương thẳng đứng với gia tốc a. Coi nhiệt độ khơng thay đổi.
Hướng dẫn giải :

Hình 19

Gọi:
+ p / , V / là áp suất và thể tích của khí khi xilanh chuyển động.
+ p, V là áp suất và thể tích của khí khi xilanh chưa chuyển động.
- Xét pittơng ở trạng thái cân bằng nóchịu tác dụng của 3 lực:

Trọng lực P , áp lực của khí quyển f 1 và áp lực của khơng khí trong

xilanh f 2 .
( hình 19)



Ta có: P + f1 + f 2 = 0
⇔ mg + p 0 S = pS
⇒ p = p0 +

mg
S

(1)

- Do nhiệt độ khơng thay đổi nên ta có: pV = p / V /

(2)

- Khi xilanh chuyển động với gia tốc a, pittơng sẽ chịu thêm lực qn tính Fqt .
Ta có phương trình cânbằng lực lúc này là:



P + f1 + f 2 + Fqt = 0
+ Khi xilanh chuyển động nhanh dần đều lên trên ta có:
24


Chuyên đề: Áp dụng nguyên lí I của nhiệt động lực học để giải một số bài tập về khí lí tưởng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------m(a + g) + p 0 S = p / S
⇒ p/ = p0 +

m(a + g )
S

(3)

Từ (1), (2), (3) ta được:
mg 
m( a + g )  /


 p0 +
V =  p 0 +
 V

S 
S


mg + p 0 S
⇒ V/ =
.V
m( a + g ) + p 0 S

+ Khi xilanh chuyển động nhanh dần đều đi xuống ta có:
m(g - a) + p 0 S = p / S
⇒ p/ = p0 +

m( g − a )
S

(4)

Từ (1), (2), (4) ta được:
mg 
m( g − a )  /


 p0 +
V =  p 0 +
 V
S 
S



mg + p 0 S
⇒ V/ =
.V
m( g + a ) + p 0 S

Bài 2. Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử được giữ trong một xilanh cách nhiệt nằm
ngang và một pít-tơng P cũng cách nhiệt như hình 20. Pít-tơng P gắn vào đầu một lò xo L,
lò xo L nằm dọc theo trục của xilanh, đầu kia của lò xo L gắn vào cuối của xilanh. Trong
xilanh ngồi phần chứa khí là chân khơng. Ban đầu giữ cho pít-tơng P ở vị trí lị xo khơng
bị biến dạng, khi đó khí trong xilanh có áp suất p1 = 7 kPa và nhiệt độ T1= 308K.
P

Thả cho pít-tơng chuyển động thì thấy khí giãn
ra, đến trạng thái cân bằng cuối cùng thì thể tích

p1, T1

L

của khí gấp đơi thể tích ban đầu. Tìm nhiệt độ T2
và áp suất khí p2 khi đó.

Hình 20

Hướng dẫn giải:
- Pít-tơng và xilanh đều cách nhiệt, nên sự biến đổi trạng thái khí là đoạn nhiệt. Vì có sự
chênh lệch áp suất giữa lượng khí đang xét và chân không trong xi lanh nên gây ra hiện
tượng giãn nở khí. Do đó pít-tơng P bị đẩy sang phải.
- Gọi tiết diện của pít-tơng là S
- Theo ngun lý I của NĐLH : Q = 0 ( là quá trình giãn khí đoạn nhiệt, khơng thuận

nghịch) → ∆U = − A (*) ( khí sinh cơng) , mà ∆U = Cv. ∆T= R(T2- T1)
Cơng mà khí sinh ra làm nén lị xo một đoạn x đúng bằng cơng của lực đàn hồi nên có:
25