Giải tích 12 (cả năm)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (362.81 KB, 37 trang )
Giải tích 12 ( cả năm )
Chủ đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vấn đề 1: Một số bài toán về hàm số đồng biến, nghịch biến:
1/ Điều kiện để hàm số luôn luôn nghịch biến
. Nếu y’là hằng số có chứa tham số hay cùng dấu với hằng số thì điều kiện để hàm
số luôn luôn đồng biến là: y’< 0
. Nếu y’ là nhị thức bậc nhất hay cùng dấu với nhị thức bậc nhất thì hàm số không
thể luôn luôn nghịch biến.
. Nếu y’ là tam thức bậc hai hay cùng dấu với tam thức bậc 2 Đ/k để hàm số luôn
luôn đồng biến là:
a < 0
y’ ≤ 0 ∀ x ⇔ ∆ ≤ 0
(Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a= 0 .
2/ Điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến :
. Nếu y’là hằng số có chứa tham số hay cùng dấu với hằng số thì điều kiện để hàm
số luôn luôn đồng biến là: y’> 0
. Nếu y’ là nhị thức bậc nhất hay cùng dấu với nhị thức bậc nhất thì hàm số không
thể luôn luôn đồng biến.
. Nếu y’ là tam thức bậc hai hay cùng dấu với tam thức bậc 2 đ/k để hàm số luôn
luôn đồng biến là:
a > 0
y’≥ 0 ∀ x ⇔ ∆ ≤ 0
(Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a= 0 .
Ví dụ : 1/Định m để hàm số y =
nó.
Giải:
TXĐđ : D=R\ { −1}
x+m
giảm nghịch biến. trên từng khoảng xác định của
x +1
1− m
y/= ( x + 1)2
Để hàm số luôn giảm trên từng khoảng xác định của nó
⇔ y’< 0 ∀ x ∈ D ⇔
1− m
<0, R\ { −1} ⇔ 1-m < 0
( x + 1)2
⇔ m >1.
2/ Tìm m để hàm số y = (m + 1)x3–3(m – 2)x2 + 3(m + 2)x + 1 tăng (đồng biến) trên R
Giaûi
Txđ: D = R ,
y/=3(m+1)x2 − 6(m − 2)x +3(m+2)
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 1
Để hàm số ln đồng biến trên R ⇔ y/ ≥ 0 ∀ x
⇔ 3(m+1.x2 - 6(m-2.x +3(m+2. ≥ 0 ∀ x(1.
Nếu m= –1 ⇒ (1. ⇔ -18x+3 ≥ 0 ∀ x ⇔ x ≤
Nếu m ≠ –1: điều kiện để (1. xảy ra là
1
(không thoả ∀ x .
6
m ≥ 2
∆/ ≤ 0
9(m − 2)2 − 9( m + 1)(m + 2) ≤ 0
⇔
⇔
7 ⇔ m >1
m + 1 > 0
m > 1
m > 1
Vậy m>1 là giá trị thoả mãn u cầu bài tốn.
Bài tập đề nghò:
1/ Xét chiều biến thiên của các hàm số:
1 3
x + 3x 2 − 7 x − 2
3
a. y = 4 + 3x – x2
b. y = 2x3 + 3x2 + 1
c. y =
d. y = x3 - 2x2 + x + 1
g. y = - x3 – 3x + 2
e. y = - x3 + x2 – 5
h. y = x4 – 2x2 + 3
f. y = x3 – 3x2 + 3x + 1
k. y = - x4 + 2x2 – 1
l. y = x4 + x2 – 1
m. y =
p. y = x +
4
x
x+2
x−2
x 2 − 2x
r. y =
1− x
3x + 1
1− x
q. y = x -
n. y =
2
x
2/ Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên tập xác định.
2
3
a) y = x3 − 3mx2 + (m + 2.x – 1
ĐS: − ≤ m ≤ 1
b) y = mx3 – (2m – 1.x2 + 4m − 1
ĐS: m =
1
2
3/ Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên tập xác định.
x3
+ (m − 2) x 2 + (m − 8) x + 1
a. y = 3
(m − 1) x 3
+ mx 2 + (3m − 2) x + 3
b. y =
3
ĐS: − 1 ≤ m ≤ 4
ĐS: m ≤
1
2
4/ Cho hàm số y = x3 − 3(2m+1.x2 + (12m+5.x + 2. Tìm m để hàm số ln đồng biến.
5/ Cho hàm số y = mx3 − (2m-1.x2 + (m-2.x − 2. Tìm m để hàm số ln đồng biến.
1
3
6/ Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f ( x) = x3 + mx 2 + 4 x + 3 đồng biến trên R
**********HẾT**********
Vấn đề 2 : Một số bài tốn về cực trị :
1/ Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0 :
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 2
y' ( x 0 ) = 0
hoặc
y' ñoåi daáu qua x 0
y ' ( x0 ) = 0
y ' ' ( x0 ) ≠ 0
2/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x0:
y' ( x 0 ) = 0
y' ñoåi daáu qua töø + sang − qua.x 0
y' ( x 0 ) = 0
y' ' ( x 0 ) < 0
hoặc
3/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x0:
y '(x 0 ) = 0
hoặc
y ''(x 0 ) > 0
y '(x 0 ) = 0
y '(x) ñoåi daáu qua töø - sang + qua x 0
4/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu.:
a ≠ 0
∆ > 0
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔
5/ Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại,cực tiểu.:
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu
(tham khảo.
6/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Một số ví dụ:
x 2 + mx + 1
1/Xác định m để hàm số: y =
đạt cực đại tại x=2.
x+m
Giải:
Ta có y ' =
x 2 + 2mx + m 2 - 1
( x + m)
2
; y '' =
2 x + 2m
( x + m)
4
Để hàm số đạt cực đại tại x=2 thì => hs tự giải tiếp tục.
x2 + 2x + m
2/ Chứng minh rằng hàm số y=
luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu.
x2 + 2
Giải:
Ta có y ' =
- x 2 + 2 ( 2 - m) x + 4
( x 2 +1)
2
học sinh tự giải tiếp tục.
(
)
3
2
2
3/Định m để hàm số y= x − 3mx + 3 m − m x + 1 có cực đại, cực tiểu.
Giải
TXĐđ : D= R ; y/= 3x2 -6mx +3(m2-m.
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 3
Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y/=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 3x2 − 6mx + 3(m2 −
m. = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ / > 0 ⇔ 9m2 − 9m2 + 9m > 0 ⇔ m > 0 vậy m > 0 là
giá trị cần tìm.
Baøi taäp ñeà nghò:
1. Tìm cực trị của các hàm só.
1. y = x2 – 3x - 4
2. y = -x2 + 4x – 3 3. y = 2x3 -3x2 + 1 4. y =
5. y = -2x3 + 3x2 + 12x – 5 6. y = x3 – 3x2 + 3x + 1
1 3
x − 4x
3
7. y = -x3 -3x + 2
1 4
1
x − 4x 2 − 1
9. y = − x 4 + x 2
10. y = x4 + 2x2 + 2
2
4
x−2
2x
2
x 2 − 2x + 2
11. y =
12. y =
13. y = 1 14. y =
x +1
x−2
x
x −1
2
2
2
1
x
x − 3x
x +3
15. y =
16. y =
17. y =
18. y = x x
x −1
x +1
x −1
8. y =
2. Định m để y= x 3 − 3mx 2 + 3( m 2 − 1) x − ( m 2 − 1) đạt cực đại tại x=1.
x4
3. Cho hàm số y=
− ax 2 + b . Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng –2 tại x=1
2
4. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu.
1
3
1. y = x 3 + mx 2 + (12 − m) x + 2
2. y = x 3 − 2mx 2 + 1
m 3
x − 2 x 2 + (3m + 1) x − 1
3
m 3
4. y = x + 3mx 2 − (m − 1) x + 3
3
3. y =
x 2 − mx + 2
5. y =
x −1
6. y =
x 2 + 2x + m
x+2
7. y =
mx 2 + x + m
x+m
Đ S: m < -4, m > 3
ĐS: m ≠ 0
4
3
ĐS: − < m < 1
ĐS: m < 0 , m >
1
10
ĐS: m < 3
ĐS: m > 0
ĐS: m < 0, m >
1
2
− x 2 + mx − m 2
8. y =
ĐS: m ≠ 0
x−m
5. Tìm m để hàm số:
1. y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị.
ĐS: m > 0
4
2
2. y = x – (m + 1.x – 1 có 1 cực trị
ĐS : m < - 1
4
2
3. y = mx + (m – 1.x + 1 – 2m có 3 cực trị
ĐS : 0 < m < 1
6. Tìm m để hàm số:
1. y = x3 – 3mx2 + (m – 1.x + 2 đạt cực trị tại x = 2
ĐS : m = 1
1 3
2
2. y = mx + (m − 2) x + (2 − m) x + 2 đạt cực trị tại x = -1. ĐS : m = 3
3
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 4
3. y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1
ĐS : m = 3
3
2
4. y = x + (m + 1.x + (2m – 1.x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2
x 2 + a (1 − a ) x − a 3 + 1
7. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hàm số y =
luôn có cực
x+a
đại và cực tiểu.
**********HẾT**********
Vấn đề 3: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .
Phương pháp giải:
* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định hay một
khoảng:
- Tìm tập xác định .
- Tính y’, tìm cc nghiệm của phương trình y’=0. hay tại đó y’ không xác định
- Lập bảng biến thiên căn cứ bảng biến thiên ⇒ GTLN, GTNN.
* Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:
- Tính y’, tìm cc nghiệm của phương trình y’=0 thuộc đoạn [a;b]. Giả sử các nghiệm là
x1, x2,…, xn
- Tính các giá trị f(a., f(x1., f(x2.,…., f(xn. , f(b. GTLN là số lớn nhất trong các giá trị
vừa tìm được, GTNN là giá trị nhỏ nhất trong các số vừa tìm được.
Ví dụ
a.Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2x − x 2 .
b.Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
1
x2 + x +1
trên [ ;2 ]
2
x
Giải :
a.Txđ : ∀x ∈ [0;2] ( Hoặc D= [0;2]
y/=
1− x
2x − x
2
cho y/=0 ⇔ 1-x=0 ⇔ x=1 ⇒ y=1
Bảng biến thiên
x
0
/
y
+
y
0
1
0
1
CĐ
2
0
max f ( x ) = f (1) = 1 min f ( x ) = f (0) = f (2) = 0
1
x = 1 ∈ 2 ;2
x −1
b. y/= 2 cho y/=0 ⇔ x2 − 1=0 ⇔
1
x
x = −1 ∉ ;2
2
2
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 5
1
2
Ta coù y( ) =
min f ( x )
1
[ ;2]
2
7
7
; y(1.=3 ; y(2.=
2
2
1
2
= f( ) =f(2.=
7 max f ( x ) = f (1) = 3
; 1 ;2
2
2
Bài tập đề nghị
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. y = x2 – 2x + 2
2. y = -x2 + 4x + 1
3. y = x3 – 3x2 + 1
4. y = x2 + 2x – 5 trên đọan [-2 ; 3]
5. y = x2 – 2x + 3 trên đọan [2 ; 5]
1 3
x + 2 x 2 + 3 x − 4 trên đọan [-4 ; 0]
3
6. y = x3 – 3x2 + 5 trên đọan [-1 ; 1]
7. y =
8. y = x4 – 2x2 + 3 trên đọan [-3 ; 2]
9. y = -x4 + 2x2 + 2 trên đọan [0 ; 3]
10. y = x4 – 2x2 + 1 trên đọan [1 ; 4]
11. y =
1
trên khỏang (0 ; + ∞ .
x
x 2 − 3x + 1
14. y =
trên đọan [1 ; 4]
x +1
12. y = x +
x +1
trên đọan [2 ; 5]
x −1
1
13. y = x - trên nữa khỏang (0 ; 2]
x
2
2 x + 5x + 4
15. y =
trên đọan [-3 ; 3]
x+2
16. y = 100 − x 2 trên đọan [-8 ; 6]
4
2
17. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x ) = x − 2 x + 1 trên đoạn [ 0; 2] .
π
18. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x ) = x + 2cosx trên đoạn 0; .
2
19. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: f ( x ) = x +
9
trên đoạn [ 2; 4]
x
20. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x ) = − x + 1 −
4
trên đoạn [ −1; 2] .
x+2
3
2
21. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x ) = 2 x − 6 x + 1 trên đoạn [ −1;1] .
22. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x ) =
2x −1
trên đoạn [ 0; 2] .
x −3
23. Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y = ( x + 2 ) 4 − x 2
24. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 3 x + 10 − x 2 .
25. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x ( 4 − x ) .
**********HẾT**********
Vấn đề 4
Tiệm cận
1. Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 6
a. Định nghĩa 1: Đường thẳng y = y 0 được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm
f ( x) = y0 hoaëc lim f ( x) = y0
cận ngang. của đồ thị hàm số y=f(x. nếu: xlim
→+∞
x →−∞
b. Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là tiệm
cận đứng. của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
lim f ( x) = +∞ hoaëc lim+ f ( x) = −∞
x → x0−
x → x0
hoaëc lim− f ( x) = −∞ hoaëc lim+ f ( x) = +∞
x → x0
x → x0
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
2x −1
a. y =
x+2
−2 x + 1
e. y =
3x + 2
Vấn đề 5:
b. y =
f. y =
x2 − x − 2
( x − 1)
2
c. y =
2− x
x2 + 3x
d. y = 2
2
x − 4x + 3
x −4
x
x +1
3
Khảo sát hàm số
I/ Khảo sát hàm đa thức và hàm phân thức
1. Kiến thức trọng tâm ( Xem sgk trang 31 – trang 38)
2. Bài tập áp dụng:
a. Hàm bậc ba:
1. y = − x3 + 3x + 2 ( a < 0 và y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt)
2. y = x3 + 4x2 + 4x (a > 0 và y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt)
3. y = x3 + x2+9x (a > 0 và y’= 0 vô nghiệm)
4. y = -x3+x2-9x (a < 0 và y’= 0 vô nghiệm)
5. y = − x3 + 3x2 − 3x − 2 (a < 0 và y’= 0 có nghiệm kép)
6. y = x3 + 3x2 + 3x − 1 (a > 0 và y’= 0 có nghiệm kép)
b. Hàm trùng phương
x4
3
− x 2 − (a > 0 và y’=0 có 3 nghiệm phân biệt)
2
2
4
−
2. y = x + 2x2 + 2 (a < 0 và y’=0 có 3 nghiệm phân biệt)
1. y =
3. y = −
x4
3
− x 2 + (a < 0 và y’= 0 có 1 nghiệm)
2
2
4. y= x4 +2x2+1 (a>0 và y’=0 có 1 nghiệm)
c. Hàm số: y =
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
ax + b
cx + d
Trang 7
x+3
(y’<0)
x −1
1− 2x
2. y =
(y’>0)
2x − 4
1. y =
Bài tập đề nghị;
Bài 1: Khảo sát các hàm số sau:
1/ y = x3 – 3x2
2/ y= − x3 + 3x – 2
4/ y = x4 – 6x2 + 5
7.
y=
1
9
5/ y = − x4 + 2x2 +
6/ y = x4 + 2x2
8. y = x4 – 2x2 + 1
9. y=-x3+3x2-2
4
x −1
x+2
3/ y = x3 + 3x2 + 4x − 8
10. y = 2x3 + 3x2 − 1
11. y =
4
3x − 2
x +1
12. y= x4 -2x2+1
13. Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 . Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1.
14. Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m − 11. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4.
Vấn đề 6: Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
* Bài toán 1: Vị trí tương đối giữa hai đồ thị
1. Tìm số giao điểm của hai đường:
Giả sử hàm số y = f(x)có đồ thị (C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị (C2)
* Hoành độ giao điểm (nếu có . là nghiệm của phương trình f(x)=g(x) (*)
Nếu x0, x1, x2, x3,… là nghiệm của phương trình (*) thì các điểm M 0(x0;f(x0)), M1(x1;
f(x1)),…. là các giao điểm của (C1) và (C2)
+ Đặc biệt:
f ( x) = g ( x)
(C1 ) tieáp xuùc (C2 ) ⇔ '
có
'
f ( x) = g ( x)
nghiệm
2. Biện luận số giao điểm của (C): y = f(x)
và đường thẳng (d) qua A(xA; yA): y = k(x − xA) + yA
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) : y = k(x − xA) + yA (*)
a) Nếu phương trình (*) bậc hai: ax2 + bx + c = 0
Tính và xét dấu ∆ → số giao điểm của (C) và (d)
b. Nếu phương trình (*. bậc ba thì phân tích thành:
x = α (1) ⇒ 1giao diem
( x − α )(ax 2 + bx + c) = 0 ⇔ 2
ax + bx + c = 0 (2)
- Giải và biện luận (2)
- Số giao điểm của (1) và (2) là số giao điểm của (C) và (d)
Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y=2x+m luôn cắt đồ
thị (C) của hàm số y =
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
x +3
tại hai điểm phân biệt
x +1
Trang 8
3. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x,m.=0 (1.
B1: Từ phương trình f(x,m.=0 <-> f(x.=g(m., Số nghiệm của phương trình (1.
bằng với số giao điểm của hai đồ thị: y = f ( x ) (C ) và y=g(m. (d.
B2: Dựa vào đồ thị để kết luận số giao điểm
( * Chú ý: biện luận dựa vào đồ thị ta dựa vào ycđ và yct của hàm số .
Ví dụ: Cho hàm số y= − x3 + 3x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3-3x+m=0
* Bài tốn 2: Tiếp tuyến với đồ thị
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
trong các trường hợp sau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x0;y0):
B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x 0; y0) là: y − y0 = f / (x 0 ) (x–x0) ⇒ y =
f / (x 0 ) (x – x0) + y0
2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hồnh độ x0 :
B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0) ; y0
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hồnh độ x0 là:
y - y0= f / (x 0 ) (x–x0. ⇒ y = f / (x 0 ) (x – x0) + y0
3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độ y0 :
B1: Tìm f ’(x)
B2: Do tung độ là y0 ⇔ f(x0) = y0. Giải phương trình này tìm được x0 ⇒ f /(x0)
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y 0 là: y - y0 = f / (x 0 ) (x–
x0)
⇒ y = f / (x 0 ) (x – x0) + y0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M0(x0; y0) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên : f ′( x0 ) =k
(*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x0 ⇒ f(x0) ⇒ phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì có f/(x0)=a.
- Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b thì có f/(x0).a = − 1.
5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1;y1): ( Chương trình nâng cao)
B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x1; y1) có hệ số góc k là: y = k(x − x1) + y1 (x1)
B2: d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm :
f ( x) = k ( x − x1 ) + y1
f ′( x) = k
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 9
B3: Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1. ⇒ phương
trình tiếp tuyến.
*Bài tốn 3: Tìm trên đồ thị (C): y=f(x) có tọa độ ngun:
B1: chia đa thức: y= thương (ngun) + dư/mẫu số
B2: Với x ngun, để y ngun thì dư là ước của mẫu số
B3: Giải mẫu số ⇒ x= ⇒ y= , rồi kết luận
Ví dụ: Tìm các điểm có tọa độ ngun thuộc đồ thị (C) của hàm số y =
x2 + 2x + 4
x
Bài tập đề nghị:
Câu 1: Cho hàm số y = x3 − 3 x − 2 (C )
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M o ( −2; −4 )
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = 24 x + 2008 (d ) .
4. Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng:
1
y = x − 2008 ( d ')
3
5. Viết phương trình tt với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
6. Biện luận số nghiệm của phương trình: x 3 − 3x + 6m − 3 = 0 theo m
7. Biện luận số nghiệm của phương trình: | x 3 − 3x − 2 | = m theo m (tham khảo.
1 4
5
2
Câu 2: Cho hàm số y = x − 2 x + (C )
2
2
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (C)
2. Viết pt tt với đồ thị (C) tại điểm M 2; ÷
2
5
1 4
5−m
x − 2 x2 +
=0
2
2
Câu 3:1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = − x3 + 3x 2 .
2. Dựa vào đồ thị ( C ) , biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
− x3 + 3x 2 − m = 0
Câu 4: Cho hàm số y = 2 x3 + 3x 2 − 1 .
3. Biện luận số nghiệm của pt:
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2 x3 + 3x 2 − 1 = m
Câu 5: Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 3 có đồ thị ( C )
1. Khảo sát hàm số
2. Dựa vào ( C ) , tìm m để phương trình: x 4 − 2 x 2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 6: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 , gọi đồ thị của hàm số là ( C ) .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại điểm cực đại của ( C ) .
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 10
1
4
Câu 7: Cho hàm số: y = x3 − 3x có đồ thị ( C )
1. Khảo sát hàm số
2. Cho điểm M ∈ ( C ) có hoành độ là x = 2 3 . Viết phương trình đường thẳng d đi
qua M và là tiếp tuyến của ( C ) .
Câu 8: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 4m3 có đồ thị ( Cm ) , m là tham số.
1. Khảo sát và vẽ đồ ( C1 ) của hàm số khi m=1.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C1 ) tại điểm có hoành độ x = 1 .
Câu 9:
1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x.
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình
/
y =0.
Câu 10: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành.
b/ Tại điểm có hoành độ = 4.
−
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= 3.
d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y= 9x + 2005.
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
f/ Biết tiếp tuyến đi qua A(1; − 2)
1
x + 2006.
3
Câu 11. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 , khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Viết phương
trình tiếp tuyến của (C)
a. Tại điểm có hoành độ x = 2
b. Tại điểm có tung độ y = 3.
c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: ( d1 ) y = 24 x + 2008
1
d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: ( d 2 ) y = − x + 2008
24
3
2
Câu 12. Cho (C) : y = x – 6x + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có tung độ bằng − 1
b) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5.
c) Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0.
Câu 13. Cho (C) : y =
a)
b)
c)
d)
x−2
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
x+2
Tại giao điểm của (C) với trục Ox.
Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5.
Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x.
Tại giao điểm của hai tiệm cận.
Câu 14. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).
a. y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 11
1 4
3
3
x − 3 x 2 + đi qua điểm A(0 ; ) .
2
2
2
x+2
c. y =
đi qua điểm A(-6 ; 5.
x−2
b. y =
x 2 − 4x + 5
d. y =
đi qua điểm A(2 ; 1
x−2
Câu 15: (ĐH -KA –2002. (C):
y = − x3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m3 − m 2
a- Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số ( C . khi m =1.
b- Tìm k để pt : − x3 + 3 x 2 + k 3 = 0 Có 3 nghiệm phân biệt .
Câu 16: Cho (C) : y = f(x) = x4 − 2x2.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
* Tại điểm có hồnh độ bằng 2 .
* Tại điểm có tung độ bằng 3.
* Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007
* Biết tiếp tuyến vng góc với d2 : y =
1
x − 10 .
24
2x + 4
x +1
a-Khảo sát vẽ đồ thị ( C . .
b-CMR: Đường thẳng y =2x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A;B với mọi
m . Xác định m để AB ngắn nhất. (Nâng cao)
Câu 17: Cho hs : ( C . y =
Câu 18: - Cho hs : (C) y =
x+2
x +1
a - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b -Tìm m đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
c- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.
d- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hồnh.
e- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
y = − x + 2007 .
4
Câu 19: Cho HS ( C) y = x3 - 6x2 +9x-1
a- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b- Đường thẳng (d. qua A(2;1) có hệ số góc m. Tìm m để (d. cắt (C) tại 3 điểm
phân biệt .
Câu 20: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 , gọi đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Câu 21: Cho hàm số y =
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
2x +1
(C )
x +1
Trang 12
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt song song với đường thẳng
y = 4x -2.
c. Viết phương trình tiếp tuyến với © biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
phân giác thứ nhất.
Câu 22. Cho hàmm số y = -x3 + 3x + 1.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của PT: x3 – 3x + m = 0.
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hịanh độ x0 = 1.
Câu 23. Cho hm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
1
x+2
thẳng y = −
24
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số.
Câu 24. Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = - 9x + 1
c. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
1 3
2
Câu 25. Cho hàm số y = x − x + 1
3
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1 ; 0)
1 3
x − x2 + x +1
3
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành .
Câu 26. Cho hàm số y =
Câu 27. Cho hàm số y = x3 + x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Câu 28.Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 + 1 – m = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hòanh độ x = 2
Câu 29. Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 2.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 13
b. Tìm m để phương trình x4 – 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
x4
3
Câu 30. Cho hàm số y =
− 3x 2 +
2
2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 – m = 0.
3
2
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; )
1 4
x − 2x 2 − 1
4
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – 4 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Câu 31. Cho hàm số y =
Câu 32.Cho hàm số y =
x +1
.
x −1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H. của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (H. tại điểm M0(2 ; 3..
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (H. biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = -2x + 1
Câu 33. Cho hàm số y =
2x + 1
.
x +1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H. của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (H. tại điểm có hòanh độ x = -2
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (H. biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y = -x + 2
Câu 34. Cho hàm số y =
2x
.(H.
1− x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H. của hàm số.
b. Tìm trên (H. những điểm có tọa độ là các số nguyên.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (H. tại giao điểm của (H. với trục tung.
Câu 35. Cho hàm số y =
x −1
.
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H. của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (H. tại giao điểm của (H. với trục hòanh.
c. Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H. tại hai điểm phân biệt.
Câu 36. Cho hàm số y =
4
x−4
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H. của hàm số.
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 14
b. Một đường thẳng (d. đi qua A(-4 ; 0. có hệ số góc là m. Tìm m để (d. cắt (H. tại
hai điểm phân biệt.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (H. biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4 ; 4..
2x2 − 7 x + 5
Câu 37. Cho hàm số y =
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị song
x−2
song với đường thẳng y=x+4
x 2 + 3x + 3
Câu 38. Cho hàm số y =
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp
x+2
tuyến vuông góc với đường thẳng x-3y-6=0.
x +1
(C)
x −3
Câu 39. Cho hàm số: y =
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm tọa độ các giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết rằng
tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y=x+2005
Chủ đề 2:
PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
I. HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.Tính chất
* với a > 0, b > 0, ta có:
α
β
a .a = a
α +β
;
aα
= a α −β
β
a
α
β
; (a ) = a
α .β
α
α
; (ab) = a .b
α
aα
a
; = α
b
b
α
a > 1 : aα > a β ⇔ α > β
0 < a < 1 : aα > a β ⇔ α < β
a −n =
a 0 = 1;
m
1
;
an
a n = n am
* Quy tắc tính:
a .a = a
m
n
m+n
;
am
= a m−n ;
n
a
(a )
m n
n
=a ;
mn
( ab )
n
an
a
÷ = n;
b
b
= a n .b n
* Quy tắc so sánh:
+ Với a > 1 thì
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
am > an ⇔ m > n
Trang 15
+ Với 0 < a < 1 thì a m > a n ⇔ m < n
2. Căn bậc n:
n
a.b = a . b ;
Nếu
n
n
p p
=
thì
n m
n
n
a na
=
b nb
n
a p = m a q ; Nếu biết
mn
ap =
( a)
n
p
m n
a = mn a
am = n a
3. Lôgarit
log a b = α ⇔ aα = b
log a 1 = 0;
log a a = 1;
log a a b = b;
a log a b = b
* Tính chất so sánh:
+ Với a > 0 thì: log a b > log a c ⇔ b > c
+ Với 0 < a <1 thì: log a b > log a c ⇔ b < c
+ log a b = log a c ⇔ b = c
* Quy tắc tính:
log a ( b.c ) = log a b + log a c log a
log a bα = α log a b
log a n b =
1
log a b
n
* Công thức đổi cơ số:
log a c
log b c =
hay
log a b
1
log a b =
hay
log b a
* Chú ý:
b
= log a b − log a c
c
1
log aα b = log a b
α
log a b.log b c = log a c
log a b.log b a = 1 ;
a logb c = c logb a
Lôgarit thập phân (cơ số 10. kí hiệu là: logx hoặc lgx
Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx
Ở phần này xem như các đk đã có đủ để logarit có nghĩa.
4. Bảng đạo hàm cần nhớ:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp thường Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x.
gặp
( xα ) ' = α .xα −1
( uα ) ' = α .uα −1.u '
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 16
'
,
1
1
÷ =− 2
x
x
'
1
x =
2 x
'
1
n
x =
n. n x n −1
u'
1
÷=− 2
u
u
'
u'
u =
2 u
'
u'
n
u =
n. n u n −1
( sin x )
'
= cos x
( sin u )
'
= u '.cos u
( cos x )
'
= − sin x
( cos u )
'
= −u '.sin u
1
cos 2 x
1
'
( cot x ) = − 2
sin x
( tan u )
'
=
( )
( )
( )
( tan x )
(e )
(a )
'
( )
=
( cot u )
(e )
x '
= ex
x '
= a x .ln a
(a )
=
1
x
( ln u )
( log a x )
=
( ln x )
'
'
u '
=−
u'
sin 2 u
= u '.eu
u '
1
x.ln a
'
u'
cos 2 u
= u '.a u .ln a
=
u'
u
( log a u )
=
'
'
u'
u.ln a
5. BẢNG ĐẠO HÀM.
(e x )' = e x
(e u )' = u '.e u
(a x )' = a x . ln a
1
(ln x )' =
x
(a u )' = u '.a u . ln a
u'
(ln u )' =
u
u'
(log a u )' =
u. ln a
1
a x ln a
( x α )' = α .x α −1 (α ≠ 0, x > 0)
1
( n x )' =
n n x n −1
(log a x )' =
(u α )' = α .u α −1 u '
( n u )' =
u'
n. n u n −1
Bài tập: LUỸ THỪA
Bài 1:Tính
3
2
5
3
7
−
4
1
3
1
4
1
2
a. A =
3 .5 : 2 : 16 : (5 .2 .3
1
2
4 −2 5 3 2 −3
−1 1 2
b. B= (0, 25) ( ) + 25 ( ) : ( ) : ( )
4
4 3
3
Bài 2: a. Cho a = (2 + 3)−1 và b = (2 − 3) −1 .
Tính A= (a +1.-1 + (b + 1.-1
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 17
b. cho a = 4 + 10 + 2 5 và b = 4 − 10 + 2 5 . Tính A= a + b
Bài 3: Tính
a. A = 5 2 3 2 2
b. B =
3
23 3 2
3 2 3
c. C = 3 3 9 27 3
Bài 4. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ các biểu thức sau :
11
a/. 5 2 3 2 2
b/. a a a a : a 6 ; a > 0.
0.
Bi 5. Đơn giản các biểu thức sau :
a/. (a − 5) 4
b/. 81a 4b 2 ; (b < 0)
a −2 2
1
−
(
) a
d/. P = b
( a − b ) 2 + 2 ab
c/. 4 x 2 3 x ; (x > 0.
c/.
4
d/.
5
a3a
; (ab >
b b
x8 ( x + 1) 4 ; ( x ≤ −1)
2
4 a − 9 a −1
a − 4 + 3a −1
3
+ 1
;(a > 0; a ≠ 1; a ≠ )
e/. Q =
1
1
1
−
−
2
2
a2 − a 2
2a − 3a 2
Bài 6/. Tính giá trị của biểu thức :
3
2
a +b
a/. A =
3
2
(a − ab)
2
2
3
:
−2
3 3
a
a −b
6
3
; với a = và b =
5
5
a a −b b
3
2
1
1
−
−
− 32
2
−2
−1
2
b/. A = a b(ab ) (a ) 3 ; với a =
và b = 3
2
2
Bài 7. Rút gọn biểu thức:
1
a
a/. a 2 .( )
2 −1
b/. b − 3 : b(
3 −1) 2
c/. xπ 4 x 2 : x 4π
d/. (a
3
25
)
3
5
Bài 8. So sánh
a/. 3600 và 5400
1
−5
3
b/. ( ) 7 và 2.214
c/. 3 3 và 2
2
Bài 9. Đơn giản các biểu thức sau
a. A = (a − 5) 4
b. B = 81a 4b 2 vớib ≤ 0 c. C = (a
1
1
12
2
x +y
( x + y) 2
− 1
d. E =
1
1
( x + y) 2 x 2 + y 2
25
)
3
5
(a > 0.
−2
÷ − x− y
vôùi x > 0, y > 0
÷
2 xy
÷
1 a
b
2a x 2 − 1
+
÷
e.F=
vôùi
x
=
2 b
a÷
x + x2 −1
2ab
a+x − a−x
f. G =
Vôùi x = 2
vaø a > 0 , b > 0
b +1
a+x + a−x
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
3
vaø a > 0 , b > 0
Trang 18
2
4a − 9a −1 a − 4 + 3a −1
vôùi 0 < a ≠ 1, 3/2
+ 1
g. J = 1
1
1
−
2
a2 − a 2
2a − 3a 2
h.
3
a −b
a+b
−3
3
a− b
a+3b
3
j. a .
(
4
a+4b
) +(
2
i.
a−4b
4
)
2
a + ab
a −1
3
4
a +a
5
3
.3 a a
k.
a + 4 a 14
.
.a + 1
1
a +1
2
3
−
x2 + y2
(x
2
− xy )
2
3
2
x 3 .3 x − y
:
x x−y y
Đơn giản biểu thức.
Bài 10.
a.
3
(
x 6 . y 12 −
5
x. y 2
)
5
4
3
b. a b + ab
3
4
3
a −1
c.
a +3 b
4
3
a +a
1
2
a +4 a
.
a +1
1
4
.a + 1
1
m2 + 4 m 1
1
. −
− 3
+
d.
2 m
m + 2 m + 2 2 2
Bài 11. Tính giá trị của biểu thức.
a. 81−0,75 + 1
−
125
2
3
1
c. 27 +
16
1
3
1
−
32
−
3
5
1
2
−0 , 75
− 25
0,5
d. (−0,5) − 625
−4
0 , 25
1
− 2
4
Bài 12. Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
17 5 3
2 .ax
a.
b. 3 a 5 .4 a
c. 8 b 3 .4 b
8
Bài 13. Tính .
3
3
27 2
1− 2 3
1+ 3
a. 3
b. 4
c. 3 2
.16
3
Bài 14. Đơn giản các biểu thức.
( )
a.
a2
(a
2
2
− b2
3
− b 3 )2
+1
b.
(a 2
3
1
b. 0,001− 3 − (−2) − 2 .64 3 − 8 −13 + (9 0 ) 2
− 1)(a 2
a4
3
3
+a
−a
3
+ a3 3 )
3
c.
−1
1
2
+ 19(−3) −3
d.
14
27.3 a
3
d.
(2 )
5
8
5
4
π1
(a + b ) − 4 .ab
π
π
π
2
Bài tập: LOGARIT
Bài 15: Tính
A = log24
B= log1/44
3
E = log 4 4 8 F = log 1 9
3
I = log16 (2 3 2)
J= log 2 0,5 (4)
1
25
34
G = log 1 5 ÷÷
2 2 8
C = log 5
D = log279
3 3
H= log 1 3 ÷÷
3
27
25 3
K = log a a L = log 1 (a a )
3
a
Bàii 16: Tính
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 19
A= 4
B = 27
log 2 3
log 9 3
C= 9
log
3
2log 3 5
3
D = ÷
2
2
1
2
E = 8 2 log 10 F = 21+log 70 G = 23− 4log 3 H = 9log 2+3log 5
log 1
I = (2a)
J = 27log 2−3log 5
2
2
a
3
8
3
3
3
Bài 17. Tính :
3
a/. log 2 (
c/.
4 2 5 16
)
2
1 − log8 5
16
+4
b/.
31 + log3 4 + 2log 2 3 − 2
1
log 2 3 + 3log8 5 d/. Tính
2
log 49 32 theo a nếu log 2 14 = a
e/. Tính log 24 72 theo a nếu log 6 2 = a
f/. Tính log 5 6 theo a và b nếu
log100 3 = a và log100 2 = b
g*/. Chứng minh : log ax (bx) =
log a b + log a x
1 + log a x
Bài 18: Tính :
log3 5
a. 3
d. 5
log5
2−log
1
c.
÷
3
log9 4
b. 3
3
5
e.
( 3)
3
5
2−log
1
f.
÷
3
log3 4
3
6
Bài tập:CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ
Bài 19 :
a. Tính log30 8 biết log30 3 = a ; log30 5 = b
b. Tính log54 168 biết log7 12 = a, log12 24 = b
27
c. Tính log 3 25 biết log5 3 = a
5
d. Tính log 49 14 biết log 28 98 = a
e. Tính log 21 x biết log3 x = a , log7 x = b
Bài 20: Tính giá trị các biểu thức.
1. log915 + log918 – log910
1
3
2. 2 log 1 6 − 2 log 1 400 + 3 log 1 45
3
1
3. log 36 2 − log 1 3
2
6
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
4.
3
3
log 1 (log 3 4. log 2 3)
4
Trang 20
5.
14 − 12 log9 4
log7 2
log125 8
81
.49
+ 25
12 log7 9−log7 6
− log
+5
7. 72 49
5
4
6.
16
1+ log 4 5
+ 42
1
log 2 3+ 3 log 5 5
2
Bài 21 :Tìm x biết.
1. log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63.
1
3
2. log4x = log 4 216 − 2 log 4 10 + 4 log 4 3
Rút gọn biểu thức
Bài 22: Rút gọn biểu thức
A = log 3 8log 4 81
B = log 13 25log 5 9
D = log3 6 log8 9 log 6 2
E = log3 2.log 4 3.log 5 4.log 6 5.log8 7
log 5 3
log 24
C = log 2
1
log 25 3 2
5
log 2 30
F = log 30
4
log 192
2
2
H = log 2 − log 2
96
12
G = log 3
625
Bài 23 : Biểu diễn log308 qua log305 v log303.
Bài tập: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số
Bài 24: Tìm tập xác định của các hàm số sau
a. y = log 2
3
10 − x
b. y = log3(2 – x.2
2x − 3
d. y = log3|x – 2|
e.y = log ( x − 2)
5
2
g. y = log 12 − x + 4 x − 5
h. y = log x − 1
2
1
c. y = log 2
1− x
1+ x
f. y = log 1
2
x
x −1
2
i. y= lg( x2 +3x +2.
Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 25: Tính đạo hàm của các hàm số mũ
a. y = x.ex
b. y = x7.ex
e. y = (2x2 -3x – 4.ex f. y = sin(ex.
i. y = 32x + 5. e-x +
1
3x
c. y = (x – 3.ex
d. y = ex.sin3x
g. y = cos( e x + 2 x1 . h. y = 44x – 1
2
j. y= 2xex -1 + 5x.sin2x
k. y =
x2 −1
4x
Bài 26 . Tìm đạo hàm của các hàm số
a. y = x.lnx
x2
b. y = x lnx 2
c. ln( x + 1 + x 2 .
e. y = ln2(2x – 1.
f. y = x.sinx.lnx
g. y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3.
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
2
d. y = log3(x2- 1.
Trang 21
Bi 27. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mn hệ thức tương ứng đã cho.
1. y = esinx ;
2. y = ln(cosx. ;
y’cosx – ysinx – y’’ = 0
y’tanx – y’’ – 1 = 0
3. y = ln(sinx. ;
y’ + y’’sinx + tan
4. y = ex.cosx ;
5. y = ln2x ;
2y’ – 2y – y’’ = 0
x2.y’’ + x. y’ = 2
x
=0
2
@. Bài tập: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Phương trình mũ
a. Dạng cơ bản: 0 < a ≠ 1
a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x)
a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = log ba (b > 0)
b. Các phương pháp giải
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. 2 x− 4 = 3 4
4. 2
x 2 − x +8
2. 2 x
1− 3 x
2
−6 x −
2x + 1
=4
5. 5
5
2
– 3. 5
7. 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2
9. 3x+1+ 3x+2+ 3x+3 = 9.5x+ 5x+1+5x+2
10.. 2 x
2
− x +8
3. 32 x −3 = 9 x
= 16 2
2x -1
= 110
6. 32
x +5
x −7
11.
2
x)
x2 −6x −
5
2
12.. 2 x + 2 x −1 + 2 x −2 = 3x − 3x −1 + 3x −2
Dạng 2. đặt ẩn phụ ( Cần nắm vững.
Bài 2 : Giải các phương trình
1. 22x + 5 + 22x + 3 = 12
3. 5
5. 5
7.
(
x
x+1
– 110.5
3− x
−5
5+2 6
= 20
) (
x
+
5−2 6
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
+
x
)
8
=0
5
6. ( 4 − 15 ) + ( 4 + 15 ) = 2
x
= 10
9. 7 x + 2.71− x − 9 = 0 (TN – 2007.
11. 4x+1-6.2x+1+8=0
x+1
5
2
4. ÷ − 2 ÷
2
5
– 75 = 0
= 16 2
2. 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0
x
2x + 4
+3 x −5
x +17
1
= 128 x −3
4
8. (1,25.1 – x = (0, 64) 2(1+
= 41−3x
2
x
8) 32 x +1 − 9.3x + 6 = 0
10. 22 x + 2 − 9.2 x + 2 = 0
(TN – 2008.
(TN –2006.
12. ( 5 + 24 ) + ( 5 − 24 ) = 10 ;
x
x
Trang 22
(
13. 3 + 5
)
(
x
+ 16 3 − 5
15. 31+x+31-x =10
17. 4x+1-6.2x+1+8=0
)
x
= 2 x+3 14. 3.25x + 2.49x =5.35x
16.34x+8-4.32x+5+27=0
18.64x -8x-56=0 19. 3.4x-2.6x=9x
Dạng 3. Logarit hóạ
Bài 3 Giải các phương trình
a. 2x - 2 = 3
b. 3x + 1 = 5x – 2
c. 3x – 3 = 5x − 7 x +12
f. 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x
2
x −1
2
d. 2 x −2 = 5 x −5 x + 6
e. 5x.8 x = 500
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu(nâng cao.
Bài 4: giải các phương trình
a. 3x + 4 x = 5x
b. 3x – 12x = 4x
c. 1 + 3x/2 = 2x
Bi tập lm thm
2. 3
1. 4 x − 2.2 x+1 + 4 = 0
4. 2
7.
1
=
8
2 x 2 −5 x −1
x
=9
8.
16.. 4 x
18..
(
2
1− x 2
− 10
−3 x + 2
5+2
)
1
9
3.
=
(
5
2
= 8 2 (1− x )
5−2
)
x −1
x +1
19.. 3 x
2
1
2
21. 3x.2x+1 = 72
22.
1
.
2
x 2 −3 x +1
=2
2 log8 ( x
2
20.. 5 x −
3x+7
= 0.25.2 x
−6 x +9)
2
−4
= 3 2 log x
x −1
3 x −1
=3
17.. 3 − 2 2
= 9 x +1
=1
1
1
−
x−2 x+ 2
(
= 2 4−3 x
x+7
16
1
15..
3
x 2 −2
−5
9.
12.
= 99 14.. (0,2. = 1
1
17..
2
2
x 2 −5 x + 6
1
6.
2
= 16 2
x-1
= 16
x −1
2
x 2 −6 x −
11. 16 − x
10. 5 2 x = 625
13. 10
=
5. 2 2 + x − 2 2 − x = 15
log x ( x − 2 ) 2
1+ x 2
x 2 − 4 x +1
x2 +4
)
2x
(
= 3+ 2 2
)
= 25
1− 2 x
= 2 23. 4 x +1.3 x −3.5 x +1 =
20 60
27
24. 5x+1 + 6. 5x – 3. 5x-1 = 52
25. 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9
26. 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1
Giải các phương trình.
1. 4x + 2x+1 – 8 = 0
2. 4x+1 – 6. 2x+1 + 8 = 0
3. 34x+8 – 4. 32x+5 + 27
4. 31+x + 31-x = 10
5. 5x-1 + 53 – x = 26
6. 9x + 6x = 2. 4x
7. 4x – 2. 52x = 10x
8. 27x + 12x = 2. 8x
9. ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 2
x
x
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
x
x
10. 7 − 48 + 7 + 48 = 14
Trang 23
x
x
11. 6 + 35 + 6 − 35 = 12
12. (7 + 3 5 ) + ( 7 − 3 5 ) = 14.2 x
x
x
13. 32x+4 + 45. 6x – 9. 22x+2 = 0 14. 8x+1 + 8.(0,5.3x + 3. 2x+3 = 125 – 24.(0,5.x
Vấn đề 2: Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 1: giải các phương trình
a. log4(x + 2. – log4(x -2. = 2 log46
c. log4x + log2x + 2log16x = 5
e. log3x = log9(4x + 5. + ½
g. log2(9x – 2+7. – 2 = log2( 3x – 2 + 1.
2008.
Dạng 2. đặt ẩn phu ( Cần nắm vững.
Bài 2: giải phương trình
a.
1
2
+
=1
4 − ln x 2 + ln x
h.
b. lg(x + 1. – lg( 1 – x. = lg(2x + 3.
d. log4(x +3. – log4(x2 – 1. = 0
f. log4x.log3x = log2x + log3x – 2
log 3 ( x + 2 ) + log 3 ( x − 2 ) = log 3 5 (TN L2
b. logx2 + log2x = 5/2
d. log2x + 10 log 2 x + 6 = 9
f. 3logx16 – 4 log16x = 2log2x
h. lg x 16 + l o g 2 x 64 = 3
c. logx + 17 + log9x7 = 0
e. log1/3x + 5/2 = logx3
2
g. log 2 x + 3log 2 x + log 1 2 x = 2
Dạng 3 mũ hóa
Bài 3: giải các phương trình
a. 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x.
2
b. log3(3x – 8. = 2 – x
Bài tập làm thêm
1. log2x(x + 1. = 1.
2. log2x + log2(x + 1. = 1.
3. log(x2 – 6x + 7. = log(x –
3..
4. log2(3 – x. + log2(1 – x. = 3. 5. log4(x + 3. – log2(2x – 7. + 2 = 0.
log 5 x. log 25 x
= log125 2 x . 7. 7logx + xlog7 = 98.
6.
8. log2(2x+1 – 5. = x.
log 5 x
1
10. x lg x = 10 x 4
11. x log 2 x + 4 = 32
10
− 10
= 99
12. log 2 x. log 2 2 x = log 2 4 x 13. lg 2 x − 3 lg x = lg x 2 − 4
2
6
+
=3
log 2 x 1 + log 2 x
33
15. log 2 x + log 2 ( x − 1) = 1 16. log 2 x + log 4 x + log 8 x =
6
x
17. log 2 (9 − 2 ) = 3 − x
18. 3 log 3 x − log 9 x = 5
5
19.. log 3 x + log 9 3x + log 27 x =
20.. log 2 x + log 4 x = log 1 3
2
3
9.
1+ x 2
1− x 2
21. log x 2 − log 4 x +
14.
7
=0
6
Giải các phương trình.
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 24
1. log22(x - 1.2 + log2(x – 1.3 = 7
3. 3 log 3 x − log 3 3x = 3
5. logx2 – log4x +
2. log4x8 – log2x2 + log9243 = 0
4. 4log9x + logx3 = 3
1 + log 3 x 1 + log 27 x
=
6.
1 + log 9 x 1 + log 81 x
7
=0
6
7. log9(log3x. + log3(log9x. = 3 + log34
8. log2x.log4x.log8x.log16x =
2
3
9. log5x4 – log2x3 – 2 = -6log2x.log5x
Bi tập: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ( 0 < a ≠ 1)
* Chú ý: -Hàm số y=ax đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0
.a
f (x)
>a
g (x)
f ( x ) > g ( x) neu a > 1
⇔
f ( x ) < g ( x ) neu 0 < a < 1
.a
f ( x)
f ( x) > log ba neu a > 1
>b⇔
b
f ( x) < log a neu a > 1
Bài 1: Giải các bất phương trình ( Cùng cơ số.
2 x+ 5
1
x–4
a. 16 ≥ 8
b. ÷ < 9
3
6
c. 9 x ≤ 3 x+ 2
4 x 2 −15 x + 4
1
d. 4 x − x + 6 > 1
e. 2 ÷
< 23 x − 4
2
Bài 2: Giải các bất phương trình ( Đặt ẩn phụ.
–
3
a. 22x + 6 + 2x + 7 > 17
b.
52x
2
1
−1
x
f. 52x + 2 > 3. 5x
–
2.5x
-2
≤
1
−2
x
c. 4 > 2 + 3
d. 5.4x +2.25x ≤ 7.10x
e. 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15
f. 4x +1 -16x ≥ 2log48
g. 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
Bài 3: Giải các bất phương trình
a. 3x +1 > 5
b. (1/2. 2x - 3≤ 3
c. 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2.
Giải các bất phương trình sau.
GV Nguyễn Thị Ngọc Yến
Trang 25
3
