đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8

Câu1( 2 đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + 5 ) ( a + 7 ) + 15

Câu 2( 2 đ): Với giá trị nào của a thì đa thức:

( x − a ) ( x − 10 ) + 1
phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên
Câu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x 4 − 3x3 + ax + b chia hết cho đa
thức B( x) = x 2 − 3x + 4
Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân
giác Hy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy.
Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình vuông
Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng
P=

Câu
1
2đ

1 1 1
1
+ 2 + 4 + ... +
<1
2
2 3 4
1002

Đáp án và biểu điểm
Đáp án
A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + 5 ) ( a + 7 ) + 15

= ( a 2 + 8a + 7 ) ( a 2 + 8a + 15 ) + 15
= ( a 2 + 8a ) + 22 ( a 2 + 8a ) + 120
2

= ( a 2 + 8a + 11) − 1
2

Biểu điểm
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

= ( a 2 + 8a + 12 ) ( a 2 + 8a + 10 )

= ( a + 2 ) ( a + 6 ) ( a 2 + 8a + 10 )

2
2đ

Giả sử: ( x − a ) ( x − 10 ) + 1 = ( x − m ) ( x − n ) ; (m, n ∈ Z )

⇔ x 2 − ( a + 10 ) x + 10a + 1 = x 2 − ( m + n ) x + mn
⇔

{

m + n = a +10
m .n =10 a +1

Khử a ta có :
mn = 10( m + n – 10) + 1
⇔ mn − 10m − 10n + 100 = 1
⇔ m(n − 10) − 10n + 10) = 1

vì m,n nguyên ta có: { n −10=1 v { n−10=−1
m −10 =1

m −10 =−1

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ


3
1đ

suy ra a = 12 hoặc a =8
Ta có:
A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4
Để A( x ) MB ( x ) thì a=-12; b=16

0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ

4
3đ
0,25 đ

0,25 đ
Tứ giác ADHE là hình vuông
·
·
Hx là phân giác của góc AHB
; Hy phân giác của góc AHC
mà 0,25 đ
0,25 đ
·
·
và AHC
là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc
AHB
0,25 đ
·
·
·
Hay DHE
= 900 mặt khác ADH
= 900
= AEH
0,5 đ
Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1)
0
·

·AHD = AHB =90 =450
2
2
·AHC
Do ·
900
AHE =
=
=450
2
2
⇒·AHD = ·AHE
·
Hay HA là phân giác DHE
(2)

0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông
5
2đ

1 1 1
1
+ 2 + 4 + ... +
2
2 3 4

1002
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
2.2 3.3 4.4
100.100
1
1
1
1
<
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
99.100
1 1 1
1
1
= 1 − + − + ... + −
2 2 3
99 100
1
99
= 1−

=
<1
100 100
P=

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ