vnmath com de thi cao hoc toan dhsp hanoi

www.VNMATH.com

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 2007
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Câu 1:

x+y+z+t=0
Cho hệ phương trình: 
2 x − 3 y − z − t = 0

1. Chứng minh rằng tập V tất cả các nghiệm của hệ đã cho là một không gian vecto
con của R – không gian vecto R4;
2. Tìm số chiều và cơ sở của V;

x+y+z+t=1
3. Tìm nghiệm tổng quát của hệ: 
2 x − 3 y − z − t = 2
Câu 2:
Cho V là không gian vecto n chiều ( n ≥ 1) trên trường K và f là một tự đồng cấu của V.
Giả sử kerf=kerf2. Hãy chứng minh rằng:
1. V = imf ⊕ ker f
2. V / imf ≅ ker f
Câu 3:
Cho H là nhóm con của nhóm nhân G và G/H là tập hợp các lớp ghép trái của G theo H.
1. Chứng minh rằng: Quy tắc cho bởi:

f : (G / H ) x (G / H ) → G / H
( xH , yH )  xyH

là một ánh xạ khi và chỉ khi H là một nhóm con chuẩn tắc của G.
2. Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh rằng: nhóm thương G/H là

một nhóm giáo hoán khi và chỉ khi ab-1b-1 ∈ H , với mọi a, b ∈ G .
Câu 4:
Cho A là một vành chính, a và b là hai phần tử của A. Ký hiệu (x) là một Iđean sinh bởi
x. Chứng minh rằng:
1. (a) ∩ (b) = (ab) ⇔ (a, b) = 1 ;
∞

(a ) là Iđean không;
n

2. Nếu a không khả nghịch thì

n=1

3. A/(a) là một trường khi và chỉ khi a bất khả quy trong A.

________________________________________ Duy Tuấn______


www.VNMATH.com
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2010
Trường Đại học sư phạm Hà Nội
Môn thi: Giải Tích
Thời gian làm bài; 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài

A. Lý thuyết:

Câu 1:
Phát biểu và chứng minh nguyên lý ánh xạ co.
Câu 2:
a) Định nghĩa họ nửa chuẩn bị chặn điểm và bị chặn đều;
b) Phát biểu và chứng minh nguyên lý bị chặn đều.
Câu 3:
Định nghĩa toán tử Compact. Phát biểu và chứng minh hai điều kiện tương đương để một toán tử tuyến tính
là Compact.
Câu 4:
Phát biểu và chứng minh định lý phép chiếu trực giao trong không gian Hilbert.

B. Bài tập:
Câu 1:
Giả sử (X,d) là không gian metric compact và là ánh xạ thoả mãn điều kiện:
d (T ( x), T ( y )) < d ( x, y ), ∀x, y ∈ X, x ≠ y . Chứng minh: ánh xạ T có điểm bất động duy nhất. Chỉ ra VD chứng
tỏ rằng kết quả trên không đúng nếu bỏ giả thiết Compact.
Câu 2:
Giả sử C[0;1] là không gian Banach các hàm thực liên tục trên [0;1] với chuẩn Sup. Cho
A : C [0;1] → C [ 0;1] là ánh xạ xác định bởi: A( x)(t ) = x(t 2 ) + tx(1), ∀x ∈ C [ 0;1] , t ∈ [ 0;1] .
a) Chứng minh rằng: A là toán tử tuyến tính liên tục. Tính A ;
b) Chứng minh A không là toán tử Compact.
Câu 3:
Cho E là không gian Hilbert và A ∈ L( E ) là toán tử tự liên hợp. Chứng minh:
a) A2 = A ;
2

b) Nếu bán kính phổ của A bằng 0 thì A=0.
----------------------------------------------Hết---------------------------------------------Duy Tuấn 119

-1-