PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM kép TRONG tối ưu bộ tắt CHẤN ĐỘNG lực CON QUAY để GIẢM DAO ĐỘNG của CABIN cáp TREO

Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM KÉP TRONG TỐI ƯU BỘ TẮT CHẤN ĐỘNG
LỰC CON QUAY ĐỂ GIẢM DAO ĐỘNG CỦA CABIN CÁP TREO
DOUBLE ROOT METHOD TO OPTIMIZE THE GYROSCOPIC DYNAMIC
VIBRATION ABSORBER TO SUPPRESS VIBRATION OF CABIN CABLE CAR
TS. Lã Đức Việt
Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

TÓM TẮT
Bộ tắt chấn động lực (DVA) dạng con quay là một loại thiết bị có thể được sử dụng để
giảm dao động của các cabin cáp treo do ảnh hưởng của gió. Khi cabin (được mô tả bằng con
lắc) dao động, dưới ảnh hưởng của lực con quay, khung con quay sẽ bị dao động kéo theo và
sự tiêu tán năng lượng của dao động kéo theo này sẽ giúp giảm dao động của con lắc. Bài báo
này giới thiệu cơ sở của việc tính toán tối ưu bộ DVA dạng con quay dựa trên phương pháp
nghiệm kép. Các tính toán số được thực hiện để minh họa cho phương pháp.
Từ khóa: cabin cáp treo, kiểm soát dao động, bộ tắt chấn động lực.
ABSTRACT
Gyroscopic dynamic vibration absorber is a type of device can be used to suppress wind
induced vibration of a cabin cable car. While the cabin (described by a pendulum) vibrates,
under the influence of gyroscopic force, the gimbal also vibrates and the energy dissipation of
this vibration can suppress the pendulum’s vibration. This paper introduces the fundamentals
of the optimization of gyroscopic DVA based on the double root method. The numerical
calculations are conducted to demonstrate the method.
Keywords: cabin cable car, vibration control, dynamic vibration absorber
1. GIỚI THIỆU
Bộ hấp thụ động lực (Dynamic vibration absorber: DVA) bao gồm khối lượng, lò xo và
bộ cản được sử dụng rộng rãi để giảm dao động. Các hệ thống dạng con lắc (với một khối rắn
và một điểm treo) có thể được sử dụng để mô tả một số kết cấu nổi như tàu, dàn khoan hoặc
cần cẩu hoặc cabin cáp treo. Dao động do gió tác động tới cabin cáp treo ảnh hưởng tới khả
năng sử dụng, vận hành của ca bin. Bộ hấp thụ động lực lắp vào kết cấu con lắc làm nảy sinh

những hiện tượng gây ngạc nhiên và thú vị. Những hiện tượng này không gặp trong các hệ
thông thường. Ví dụ bộ DVA được lắp tại vị trí dao động mạnh nhất (khối tâm của con lắc)
thì lại có hiệu quả tồi nhất [1-4]. Trong khi không dễ dàng sử dụng bộ DVA thông thường thì
sự lắc lư của con lắc lại cho phép sử dụng bộ DVA dạng con quay (Hình 1) [5]. Bài báo trình
bày một phương pháp gọi là Phương pháp nghiệm kép để tối ưu hóa các thông số của DVA
con quay.

842


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

khung

rô to

Hình 1. Mô hình DVA con quay và ảnh chụp DVA con quay thí nghiệm [5]
2. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG TỰ DO
Để viết phương trình dao động, hình 2 cho thấy một số ký hiệu được sử dụng và bảng 1
giải thích ý nghĩa vật lý của chúng.
y

θ
x

m

l

G

ld

Ω
md

θg

Hình 2. Các ký hiệu được sử dụng để mô hình hóa hệ thống
Bảng 1. Mô tả các ký hiệu trên hình 2
Ký hiệu Mô tả
m,θ

Khối lượng tập trung và góc xoay của con lắc

l

Chiều dài giữa khối tâm và điểm treo

g

Gia tốc trọng trường

md

Khối lượng của DVA

ld

Khoảng cách giữa điểm treo và DVA trong trạng thái tĩnh

θg

Góc xoay của khung con quay

kg, cg

Hệ số lò xo xoắn và cản xoắn của khung con quay (không được thể hiện trên Hình 2)

Ω

Vận tốc góc của rôto

IG, IR

Mômen quán tính của khung và của rôto

θ0

Góc dao động ban đầu
843


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Xét hệ tọa độ như trên hình 2, các vị trí của khối lượng con lắc (x, y) và của khối lượng
DVA (x d , y d ) có dạng
=
x l=
cos θ , y l sin
=

θ , xd ld cos
=
θ , yd ld sin θ

(1)

Chọn dạng 3-2-1 của các góc Euler để biểu thị vectơ vận tốc góc của DVA dạng con
quay. Ba góc quay cơ sở được xác định theo thứ tự sau: (1) θ quanh trục Z, tạo ra hệ tọa độ
X’Y’Z’; (2) θ g quanh trục Y’, tạo ra hệ tọa độ X”Y”Z”; (3) Ωt quanh trục X”, tạo ra vị trí
cuối cùng của DVA con quay. Vectơ vận tốc góc ω của rôto được biểu thị dạng động học
ngược như sau [6]
ω =Ω − θ sin θ g

θg cos ( Ωt ) + θ cos θ g sin ( Ωt ) −θg sin ( Ωt ) + θ cos θ g cos ( Ωt ) 

T

(2)

Động năng T, thế năng V và hàm tiêu tán năng lượng F có dạng:
T=

m ( x 2 + y 2 )
2

k gθ g2
cgθg2
1
+ ωT diag ( I R , I G , I G ) ω, V= mg ( l − x ) +
+ md gld , F=

2
2
2

(3)

Phương trình Lagrange có dạng:

d  ∂ (T − V )  ∂ (T − V ) ∂F
+ = 0,

−
dt  ∂q
∂q
∂q


( q=

θ ,θ g )

(4)

Sử dụng (1), (2) và (3) vào (4) dẫn tới

( ml

2

+ md ld2 + I R sin 2 θ g + I G cos 2 θ g ) θ

+ ( I R − I G ) θgθ sin 2θ g + g ( ml + md ld ) sin θ − ΩI Rθg cos θ g = 0

(5)

I Gθg + cgθg + k gθ g + θ 2 ( I G − I R ) sin θ g cos θ g + I R Ωθ cos θ g =
0
Với điều kiện ban đầu

θ ( 0 ) = θ0

(6)

Để tiện phân tích hơn, ta tiếp tục biến đổi các phương trình về dạng phi thứ nguyên. Để
làm được điều đó, xét các ký hiệu trên bảng 2.
Bảng 2. Các ký hiệu được sử dụng để viết phương trình vi phân phi thứ nguyên.
Ký hiệu
Mô tả

ωs = g l

Tần số riêng của con lắc

τ = ωs t

Thời gian phi thứ nguyên với tỷ lệ ωs -1

µ = md m

Tỷ số khối lượng của DVA

γ = ld l

Hệ số vị trí phi thứ nguyên

α g = k g / I G / ωs2

Bình phương của tỷ số tần số riêng của DVA

ζ g = cg

( 2 I Gω s )

Tỷ số cản của DVA

β = Ω ωs
2
=
γ r I=
IG
R ( ml ) , γ g

Dạng phi thứ nguyên của vận tốc góc của rôto

( ml )
2

Dạng phi thứ nguyên của các mômen quán tính

844

Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Dạng phi thứ nguyên của (5) là:

(1 + µγ

2

+ γ r sin 2 θ g + γ g cos 2 θ g ) θ + ( γ r − γ g )θgθ sin 2θ g + (1 + µγ ) sin θ − βγ rθg cos θ g =
0

θ 2  γ
θg + 2ζ gθg + α gθ g + 1 − r
2  γ g


γ
0
 sin 2θ g + r βθ cos θ g =
γg


(7)

trong đó dấu chấm ký hiệu đạo hàm theo thời gian phi thứ nguyên τ. Phương trình phi
tuyến này được sử dụng trong mô phỏng số.
3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM KÉP
Phương pháp này tìm các tham số của DVA để tăng các đặc trưng cản của hệ. Trước
hết, phương trình (7) được tuyến tính hóa (sau khi giữ lại các thành phần bậc nhất) có dạng:

(1 + µγ

2

+ γ g ) θ + (1 + µγ ) θ − βγ rθg =
0

θg + 2ζ gθg + α gθ g +

γr 
βθ =
0
γg

(8)

Xét nghiệm của phương trình có dạng
=
θ θˆ=
θ g θˆg eλτ
eλτ ,

(9)

Trong đó θˆ, θˆg là các biên độ phức. Thay (9) vào (8) có:

( λ (1 + µγ
2

(λ

2

2

)

+ γ g ) + 1 + µγ θˆ − λβγ rθˆg =0

γ
+ 2λζ g + α g ) θˆg + λ r βθˆ =
0
γg

hay dưới dạng ma trận:
λ 2 (1 + µγ 2 + γ g ) + 1 + µγ

γ

λ r

γg



  θˆ  0 
  =  
λ 2 + 2λζ g + α g  θˆg  0 


−λβγ r

(10)

Để phương trình (10) có nghiệm không tầm thường thì:
P ( λ ) =λ 4 + a1λ 3 + a2 λ 2 + a3λ + a4
 λ 2 (1 + µγ 2 + γ g ) + 1 + µγ

−λβγ r


=
det

γr
 0
λ
λ 2 + 2λζ g + α g  
 

γg



(11)

Trong đó a i (i=1,..4) là các hệ số thực. Trong trường hợp thông thường, phương trình
(11) có hai cặp nghiệm phức liên hợp. Theo phương pháp nghiệm kép [3], hệ sẽ đạt độ ổn
định lớn nhất nếu hai cặp nghiệm phức liên hợp này trùng nhau, tức là ta có

(

P ( λ ) = ( λ − δ 0 ) + δ12
2

)

2

(12)

Trong đó δ 0 là phần thực và δ 1 là phần ảo của cặp nghiệm phức kép liên hợp mà ta ký
hiệu là λ 1,2 = δ 0 ± iδ1 và λ3,4 = δ0 ± iδ1. Trong trường hợp nghiệm kép thì tỷ số cản chung của
cả hệ được tính theo công thức:

845


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Re λi
−δ
−δ
ζ =
−
=0
=0
2
2
λi
δ 0 + δ1

δ 02 + δ 22

(i =
1,..4)

(13)

Khai triển (12) và so sánh với (11), cân bằng các hệ số của phương trình bậc 4 sẽ dẫn tới
4 phương trình với 4 ẩn là δ0, δ1, αg và ζg. Nghiệm của αg và ζg của hệ 4 phương trình này là
tỷ số tần số tối ưu và tỷ số cản tối ưu. Bỏ qua các tính toán chi tiết ta thu được nghiệm có
dạng giải tích như sau:

α g* =

1 + µγ
1 + µγ 2 + γ g

(14)

β γr

ζ g* =

(15)

γ g (1 + µγ + γ g )
2

và tỷ số cản chung của cả hệ trong trường hợp tối ưu

ζ =β

γr µ

(16)

2 γ g (1 + µγ )

Hai công thức (14) và (15) xác định lò xo và bộ cản tối ưu cho khung của con quay còn
công thức (16) thể hiện hiệu quả của bộ DVA. Vì các tỷ số µ và γg thường nhỏ so với 1 nên
biểu thức tối ưu (14) cho thấy tỷ số tần số tối ưu α g* xấp xỉ bằng 1. Điều đó hàm nghĩa là tần
số riêng của DVA cần chỉnh đến gần tần số riêng của con lắc. Ngoài ra ta thấy trong (16), tỷ
số cản chung của cả hệ tăng theo giá trị tuyệt đối của tốc độ phi thứ nguyên β, tức là nếu rôto
càng quay nhanh thì DVA càng hiệu quả.
4. MÔ PHỎNG SỐ
Bộ DVA sau được xem xét như là một ví dụ minh họa: µ = 5%, γ = 1.2. Rôto được giả
sử là một đĩa đồng chất với bán kính bằng 1/10 chiều dài con lắc. Do đó, các tham số phi thứ
nguyên γr và γg (trong bảng 2) sẽ được tính dạng:

γr =

µ 1 

γ

2

r
  , γg =
2

2  10 

Góc ban đầu θ0 được xét bằng 20o. Tốc độ quay phi thứ nguyên của rôto được thay đổi
trong hai trường hợp trên bảng 3 để khảo sát. So sánh dao động theo thời gian của góc dao
động của con lắc được cho trên hình 3. Các giá trị lớn nhất được so sánh trên bảng 4.
Kết quả mô phỏng cho thấy DVA có hiệu quả giảm dao động và khi tốc độ quay của
rôto càng tăng thì hiệu quả giảm dao động càng tốt. Điều này phù hợp với công thức (16) khi
tỷ số cản chung của hệ tỷ lệ thuận với tốc độ quay phi thứ nguyên β.
Bảng 3. Các trường hợp mô phỏng
Trường hợp 1
Không có DVA
Trường hợp 2

Có DVA, β=20

Trường hợp 3

Có DVA, β=40

Bảng 4. So sánh các giá trị cực đại
Trường hợp 1 Trường hợp 2 Trường hợp 3
Giá trị cực đại của θ sau 10 chu kỳ

20

846

12.16

6.17

Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
TH1

TH2

TH3

θ (độ)

20

-20
0

τ

70

Hình 3. So sánh dao động trong các trường hợp
5. KẾT LUẬN
Bài báo này trình bày phương pháp nghiệm kép áp dụng để tìm lời giải giải tích cho các
tham số tối ưu của lò xo và bộ cản của DVA dạng con quay áp dụng giảm dao động cho cabin
cáp treo. Lời giải đó thể hiện đặc tính của DVA con quay là tần số dao động riêng cần được
chỉnh gần với tần số con lắc và hiệu quả của DVA tỷ lệ thuận với tốc độ quay. Các tính toán
số được thực hiện để kiểm nghiệm các kết luận mà lời giải giải tích đưa ra.
LỜI CẢM ƠN
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ quốc gia
(NAFOSTED) trong đề tài mã số “107.01-2013.18”.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] H. Matsuhisa and M. Yasuda, Location effect of dynamic absorbers on rolling structures,
Proc. of Asia-Pacific Vibration Conference, Gold Coast, Australia, pp.439-444, (2003).
[2] L.D Viet, N.D. Anh and H. Matsuhisa, Vibration control of a pendulum structure by
dynamic vibration absorber moving in both normal and tangential directions, Proceedings
of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering
Science, 225, 1087-1095, (2011).
[3] L.D.Viet, Sequential design of two orthogonal dynamic vibration absorbers in a
pendulum based on stability maximization, Proceedings of the Institution of Mechanical
Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, vol. 226, no. 11, 26452655, (2012).
[4] H. Janocha (Ed.), Adaptronics and Smart Structures: Basics Materials Design and
Applications, Springer, (2007).
[5] Nishihara, O.; Matsuhisa, H. and Sato, S., Vibration Damping Mechanisms with Gyroscopic
Moments, JSME International Journal, Series III, vol. 35, No. 1, pp. 50-55, (1992).
[6] Greenwood D. T., Advanced Dynamics, Cambridge University Press, New York, USA,
(2003)
THÔNG TIN TÁC GIẢ
TS. Lã Đức Việt, Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Email: , ĐT: 0945689982.
847