Khoá luận tốt nghiệp toán cấu trúc và tính cực tiểu sắc yếu của tập nghiệm pareto trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

N G U Y ỄN TH Ị VÂN

CẤU TRÚC VÀ TÍNH cực TIẾU SAC YEU
CỦA TẬP NGHIỆM PARETO TRONG T ố i ưu
ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH TỪNG KHÚC

K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I H Ọ C
C h u y ê n n g à n h : G iả i tíc h

H à N ộ i - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

N G U Y ỄN T H Ị VÂN

CẤU TRÚC VÀ TÍNH cực TIỂU SAC YEU c ủ a
TẬP NGHIỆM PARETO TRONG T ố i ưu
ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH TỪNG KHÚC

K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I H Ọ C
C h u y ê n n g à n h : G iả i tíc h

Người hướng dẫn khoa học

T hS N guyễn V ăn T uyên

H à N ộ i - 2015



LỜI CẢM ƠN

Em xin chân th àn h cảĩii ƠĨ1 Thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên đã tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Em xin chân th àn h cảrri Ơ11 các thầy, các cô trong tổ giải tích-khoa
Toán, trường Đại học SƯ phạm Hà Nội 2 đã tạo rriọi điều kiện giúp đỡ erri
hoàn th àn h khóa luận Iiày.
Em xin chân th àn h cảrri ơn gia đình và bạn bè đã tạo rriọi điều kiện
th u ân lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận.

E m xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh vicn

Nguyễn Thị Vân


LỜI CAM Đ OAN

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo Nguyễn Văn
Tuyên khóa luận " C ấ u t r ú c v à t í n h cự c tiể u sắc y ế u c ủ a t ậ p n g h iệ m
P a r e t o t r o n g tố i ư u đ a m ụ c tiê u tu y ế n t í n h từ n g k h ú c " được hoàn
th àn h không trù n g với b ất kỳ dề tài nào khác.
Trong quá trìn h hoàn th àn h khóa luận, em đã thừ a kế những th àn h
tựu của các Iihà khoa học với sự trâ n trọng và biết ƠĨ1 .

Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Vân


M ục lục

M ở đầu

1

1

3

2

B à i t o á n t ố i ưu v e c t o r
1.1.

M ộ t số k h á i Iiiệm cơ b ả n ..................................................................................................................

3

1.2.

Q u a n hộ h a i ngôi và q u a n hộ t h ứ tự

........................................................................................

8

1.3.

Đ iểm h ữ u h i ệ u .....................................................................................................................................

10

1.4.

Sự tồ n tạ i c ủ a đ iểm h ữ u h i ệ u .......................................................................................................

13

1.5.

B à i to á n tối Ưu v e c to r ( V O P )

14

.......................................................................................................

C ấ u t r ú c và t ín h cự c t i ể u sắ c y ế u c ủ a t ậ p n g h i ệ m P a r e t o t r o n g t ố i Ưu đ a m ụ c
t iê u

t u y ế n t ín h t ừ n g k h ú c

16

2.1.

Đ ặ t b à i to á n

16

2.2.

C ấ u tr ú c của t ậ p n g h iệ m P a r e t o

2.3.

........................................................................................................................................
...............................................................................................

18

2.2.1.

T rư ờ n g hợ p k h ô n g lồi

........................................................................................................

18

2.2.2.

T rư ờ n g hợ p l ồ i .......................................................................................................................

‘23

T í n h cực tiểu sắc yếu to à n cục

...................................................................................................

26

K ế t lu ậ n

30

Tài liệu t h a m k h ả o

31


MỞ ĐẦU
Tối ưu đa mục ticu tuyến tính được nghicn cứu rộng rãi và được áp
dụng đổ giải quyết nhiều vấn đề khác nhau trong kinh tế, tổ chức khoa
học, năng lượng ... Ta biết rằng họ các hàm tuyến tính từng khúc lớn hơn
họ các hàm tuyến tính và tồn tại m ột lớp rộng các hàm có thẻ xấp xỉ bằng
các hàrri tuyến tính từng khúc. Vì thế việc nghiên cứu các bài toán tối ưu
đa mục tiêu tuyến tính từng khúc càng có ý nghĩa quan trọng hơn.
Một trong các vấn đề quan trọng Iihất khi nghiên cứu m ột bài toán
tối ưu vector đó là nghiên cứu cấu trúc của tậ p nghiệm của bài toán Iiày.
Định lí Arrow, Brakin và Blaclwell cổ điển (Định lí ABB) phát biểu rằng:
“ Với bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính bất kì trong khôny gian định
chuẩn hữu hạn chiều, tập nghiệm Pareto và Pareto yếu là hợp của hữu hạn
các đa diện và liên thông đoạừ\ Gần đây Yang [14] đã đưa ra m ột số mở

rộng cho định lý này cho bài toán tối ưu đa mục ticu tuyến tính từng khúc
không gian định chuẩn vô hạn chiều.
Một vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu bài toán tối ưu vector
đó là nghiên cứu các th u ậ t toán để giải bài toán này. Như chúng ta đã
biết, khái niệm cực tiểu sắc yếu toàn cục (global weak sharp minima) của
bài toán tối ưu vô hướng được đề xuất bởi Burke và Ferris [8] và được sử
dụng để chứĩig m inh tiêu chuẩn dừĩig hữu hạn của m ột vài th u ật toán, như
th u ậ t toán gradien và các th u ậ t toán chiếu gradien. Sau Iiày, khái Iiiệm
quan trọng này được p h át triển và áp dụng trong nhiều lĩnh vực (xem
[9, 10, 11]). Một khái Iiiệm liên quan gọi là tính cực tiểu sắc cũng dược
một vài tác giả nghicn cứu (xem [12]).
Tính cực tiểu sắc yếu toàn cục của tập nghiệm Pareto yếu của rnột
bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính trong không gian định chuẩn hữu
hạn chiều được nghiên cứu bởi Deng và Yang [13]. Kết quả này được mở


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

rộng trong [14] cho bài toán lồi đa mục ticu tuyến tính từng khúc trong
không gian định chuẩn bằng cách sử dụng các tính chất đặc trưng của tập
nghiệm P areto yếu được thiết lập trong [1].
Mục đích của khóa luận này là trình bày các kết quả trong bài báo
[19]. Các kết quả Iiày là m ột mở rộng Định lí ABB cho trường hợp tập
nghiệm P areto của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong
không gian định chuẩn hữu hạn chiều và áp dụng Ĩ1 Ó dể th iết lập tính cực
tiểu sắc yếu toàn cục cho một bài toán lồi đa mục tiêu tuyến tính từng
khúc.
Khóa luận được chia th àn h hai chương:

Chương 1 giới thiệu m ột số kiến thức cơ bản về tối ưu vector.
Chương 2 chúng ta chứng m inh rằng tập nghiệm Paret.o của bài toán
tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn hữu
hạn chiều là hợp của hữu hạn các đa diện nửa đóng. Cũng trong phần này
ta chỉ ra rằng, nếu hàm mục tiêu là lồi theo nón, thì tập nghiệm Pareto là
hợp của hữu hạn các đa diện và liên thông đoạn. Cuối cùng, chúng ta thiết
lập tính cực tiểu sắc yếu toàn cục với tập nghiệm P areto của bài toán lồi
đa mục tiêu tuyến tính từng khúc.

2


C hương 1
B ài toán tố i ưu vector
1.1.

Một số khái niệm cơ bản
Giả sử E là

Đ ịn h

không gian tuyến tính, M là tập các

sốthực.

n g h ĩa 1.1. Tập A c E được gọi là lồi, nếu:

Vx'i,x ' 2 € A\ VA 6 E : 0 ^ A ^ 1 =7* Ax‘x ~\~ (1—A)x‘ọ £ A.
V í d ụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Hình tam giác, hình tròn
trong m ặt phang là các tậ p lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Banach

là tập lồi...
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Giả sử A c X . Tương giao của tấ t cả các tập lồi chứa
A được gọi là bao lồi của tập A, kí hiệu là co Ả.
N h ậ n x é t 1.1. a) coA là m ột tập lồi. Đó là tập lồi bé n h ất chứa A\
b) A lồi khi và chỉ khi A = COA.
Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Tập c c E được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:

V.T e c , VA > 0 => Xx e c.

c

được gọi là nón có đỉnh tại Xo, nếu

c

— Xo là nón cóđỉnh tại

0.


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Nón c có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, liến c là m ột
tập lồi, nghĩa là:

V.T, y EC, VA, n > 0 => Xx + ịẲ,y e c.
V í d ụ 1.2. Các tập sau đây trong R n:
{ f i , Ỉ 2 , - , ỉ » e R " : í . > 0 , í = l , . . . , n}

(nón o rth an t không âm)

(nón o rth an t dương)
là các nón lồi có đỉnh tại 0. Đó là nón lồi quan trọng trong R n.
Ngoài ra, nếu cho D c

là một nón lồi, nón cực dương của D được

xác định bởi:
D* := {x* e R m :< x \ x > ^ 0,Vx € D ) .
Cho a j ) € Mm,a ^ D b khi và chỉ khi a —b G D ; a ^ 0 khi và chỉ khi
(lị ^ 0, i = 1

, ra.Kí hiệu M™ := {x e M™ : .T ^

0} và cho g : X —> R r".

Hàrri g được gọilà D- giống lồi trên s c X khi và chỉ khi :

Vx’i,x‘9 G s, Vtt £ [0,1],

6 5*.

sao cho
(1 - a )# (x i) + ac/(x2) - g(x) e D.
Điều này đượcbiết

đến trong [13] rằng g là m ột hàm D- giống lồi khi và

chỉ khi tập g(S) + D là lồi.

Đ ịn h

n g h ĩa 1.5. Tập A c R n được gọi là tập affine, nếu
(1 — X^x -\- \ y

Á ị \ ị x , y £ A, VA (E M)
4


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Tương giao của tấ t cả các tập affine chứa tập A c R n
được gọi là bao affine của Ả và kí hiệu là a f f A .
Đ ịn h n g h ĩa 1.7. P hần trong tương đối của tập A c M"' là phần trong của
A trong a f f A (bao affine); kí hiệu là riA Các điểm thuộc riẨ được gọi là
điểm trong tương đối của tập A.
N h ậ n x é t 1.2.
int A := {x £ Mn :

> 0, X + e№ c Ả ) ,

r i A := {x e 0 , f f A : 36 > 0, (x + eB) n a f f A c Ả ) ,
trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong R n.

Tiếp theo chúng ta sẽ đi xem xét m ộ t số nón thường gặp
Cho c là nón lồi trong không gian vector tôpô E. Kí hiệu l(C) :=
c n ( - C ) (phần tuyến tính của C); clc (bao đóng của ơ ); rriột tập con
A c E, A c là phần bù của A trong E , nghĩa là A c = E \ A .

Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Chúng ta nói I1 ÓĨ1 c là:
(a) Nhọn Iiếu l(C) = 0;
(b) Nón sắc nếu bao đóng của Ĩ1 Ó là nhọn;
(c) Nón có giá chặt nếu C \ l ( C ) là được chứa trong m ột nửa không gian
mở th u ần Iihất;
(đ) Nón đúng Iiếu (clC) + C \ l ( C ) c c , hoặc tương đương
clC + C \ l ( C ) C C\ l ( C) .
V í d ụ 1.3. theo định nghĩa 1.8
1.

Cho Mn là không gian Euclid n-chiều. Khi đó, nón orthant không

ârri Wị gồm tấ t cả các vectơr của W l với t.oạ độ không âm là nón lồi, sắc,
đóng, có giá chặt và là nón đúng.
5


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

Tập {0} cũng là m ột nón, nhưng là nón tầm thường.
Tập là hợp của 0 và các vector với t.oạ độ đầu tiên dương là m ột nón
đúng, nhọn, có giá chặt nhưng không là nón sắc.
B ất kì nửa không gian đóng thuần n h ất là nón đúng, có giá chặt
nhưng không là IIÓII nhọn.
2. Cho íì là không gian vectơr gồm tấ t cả dãy

X

= { x n} số thực. Cho

c = {x e ũ : xn ^ 0,Vn}, thì c là nón nhọn, lồi. Tuy nhicn, ta chưa biết
nón c là nón đúng hoặc nón sắc vì ta chưa biết tôpô xác định trcn không
gian này.
3. Nón thứ tự từ điển: Cho
lp =

51 ^ p < °°-

€ íỉ : ||a;|| =

Kí hiệu c là hợp của 0 và các dãy rrià số hạng đầu tiên khác không của
dãy là dương. Đây là một, nón lồi, CÒ11 gọi là nón th ứ tự từ điển. Nó là nón
nhọn nhưng không là nón đúng và cũng không phải là nón có giá chặt.
M ệ n h đ ề 1.1. Nón c là đúng khi và chỉ khi một trong các các điều kiện
sau thoả mãn:
(a) c là đóng;
(b) C \ l ( C ) là mở, khác rỗng;
(c) c là hợp của 0 và giao của các nửa không gian ĨĨIỞ và nửa không gian
đóng trong E.
Chứng minh, (a) Hiển nhicn,
(b) Nếu C \ l ( C ) mở thì i n t c Ỷ 0 và i n t c = C\ l ( C) . Do đó, ta có
clC + C \ l ( C ) = (cl C) + i n t e C c ,
hay c là nón đúng.
6


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

(c) Giả sử С = {0} u (n { H \ : Л G Л}), ở dây H\ là nửa không gian dóng
hoặc II1 Ở trong E. Nếu tấ t cả H\ là đóng thì điều này tươĩig đương với
С là dóng. Do đó, ta có thể giả sử ít Iihất Iiiột nửa không gian là 1 I1 Ở thì
1(C) — {0} và b £ C \ l ( C ) khi và chỉ khi b G Hx, v \ £ Л. Hơn thế nữa, ta
thấy a £ clC khi và chỉ khi a G c lH \,V A G A ncn cl Hx + H X G H\.
Vậy H\ là mở hoặc đóng thì a + b e ơ , a £ с , h G C \ l ( C) . Mệnh đề
được chứng minh.

□

Đ ịn h n g h ĩa 1.9. Cho m ột nón с trong không gian E. Một tập в ç E
sinh ra nón С và viết с — cone(B) nếu
С — {tb : b G

t ^ 0} .

Hơn nữa, nếu В không chứa 0 và với mỗi с G с , с Ỷ 0) tồn tại duy nhất
b E В, t > 0 sao cho с = tb thì в được gọi là cơ sỏ của с . Khi в là rnột
tập hữu hạn, cone(conv(B)) được gọi là m ột nón đa diện.
N h ậ n x é t 1.3. Rõ ràng trong không gian hữu hạn chiều m ột nón có cở sở
là lồi, đóng bị chặn khi và chỉ khi nó là nhọn, đóng. Tuy nhicn nó không
đúng trong không gian vô hạn chiều.
M ệ n h đ ề 1.2. Nếu E là không gian Hausdorff thì một nón với một cư sở
lồi, đóng bị chặn là nón đóng, nhọn vì vậy nó là nón đúng.
Chứng minh. Trước hết ta chỉ ra rằng с là đóng. Cho dãy {ca } là m ột lưới
từ С hội tụ tới c. Do В là m ột cơ sở ncn tồn tại m ột lưới {ba } từ в và một
lưới { t a } các số dương m à ca = taba . Dễ thấy t a là bị chặn. T h ật vậy, giả
sử ngược lại l i mt a = (X). Vì E là không gian Hausdorff liên lưới |/ ; tt = 7^1

hội tụ tới 0. Hơn thế nữa в là đóng, dẫn tới m âu thuẫn: 0 = limba G в .
Bằng cách này, ta có thề giả sử { t a } hội tụ tới điểrn t 0 ^ 0. Nếu t 0 = 0
thì từ tính bị chặn của £>, l i mt aba = 0. Do đó с = 0 và hiển nhiên с G с .
Nếu t 0 > 0, ta có thể giả sử ta > 6, Va, 6 > 0. T ừ bn = 7*'ữ
^ hôi tu tới J*0 và
7


Khoá luận tốt nghiệp

hơn nữa B đóng liên vector

Nguyễn Thị Vân

*0

G B. Do đó c G c và c đóng nêĩi c nhon là

hiển nhiên.

1.2.

□

Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự
Cho m ột tập hợp E tuỳ ý, rriột quan hệ hai ngôi trong E được định

nghĩa bởi rnột tập coil B của tập hợp tích E X E. Điều này có nghĩa là
m ột phần tử X € E có quan hệ với y (E E liến 0 ,2 /) e B.
Đ ịn h n g h ĩa 1.10. Cho B là m ột quan hệ hai ngôi trong E. Ta nói quan

hệ này là:
xạ Iiếu ( x, x) 6 B với mọi X G E ;

(a) P hản

(b) Đối xứng nếu(.T, y) £ B suy ra (?/, x) G B với mỗi .T, y £

E;

(c) Bắc cầu nếu (x, y) G B , ( y , z) G B suy ra (x, z) G B với X, y, z 6 B;
(d) Đầy đủ hoặc licn thông nếu {x, y) G B hoặc (y,x) G B với mỗi x , y G
E , x Ỷ ỉ/;
(e) Tuyến tính trong trường hợp E là không gian vector thực nếu (x, y) € B
suy ra (tx + z, ty + z) 6 B với mọi X, y, z G E , t > 0;
(f) Đóng trong trường hợp E là không gian vcctor tôpô, nếu nó là đóng
như m ột tập COĨ1 của không gian tích E X E.
Để

làm rõ định nghĩa này chúng ta xem xét m ột sốví dụ cổ điển

san. Cho

E là rriột cộng đồng dân CƯ của m ột th àn h phố và chúng ta định

nghĩa quan hệ hai ngôi như

sau (số dân cư được gán bởi X, y, z,...)

1. {x,y) G Bị nếu X, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi.
2. (x, y ) (E B 2 nếu X, y là hai giới tính khác nhau.

3. (x, y) G B 3 nếu X, y là những người có họ.

8


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

Ta thấy rằng Bị là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ. B 2
không phản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ. E>3 là phản xạ,
khôĩig bắc cầu, đối xứng, không đầy đủ.
Đ ịn h n g h ĩa 1.11. Q uan hệ hai ngôi là m ột quan hệ th ứ tự nếu nó là phản
xạ, bắc cầu.
T h ậ t vậy, nếu B là m ột quan hệ th ứ tự m à là tuyến tính trong m ột
khôĩig gian vector thì tập

c = {x G E : (x-,0) 6 B }
là rriột nón lồi. Hơn nữa, nếu B là không đối xứng thì c
lại,

là nhọn. Ngược

mỗi nón lồi trong E cho m ột quan hệ hai ngôi
B c = {(.T, y) e E X E : X - y e C }

là phản xạ, bắc cầu và tuyến tính. Ngoài ra, nếu c là nhọn thì Bc là không
đối xứng.
Bây giờ, chúng ta sẽ xét rriột vài th ứ tự sinh ra bởi các nón lồi. Đôi
khi chúng ta viết:

X

y th ay cho X — y E c ;

hoặc X ^ y nếu nó chắc chắn là quan hệ hai ngôiđược định nghĩa

bởi C;
X > c y nếu X

y yà không phải là y

hay là X (E y + C \ l ( C) . Khi ỉ n t c

X,

0, x ^$>c y nghĩa là X >K y với

K = {0} u i n t c .
V í d ụ 1.4. 1. Cho R n và tập c = MỊ. Thì Bc là phản xạ, bắc cầu, tuyến
tính, đóng, không đối xứng nhưng không đầy đủ. Cho X = (Xị ,

{yu-: Un) e

IRn:
9

x n) , y =


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

X ^ c y khi và chỉ khi Xi ^ ịji với i = 1,..., II;
X >c y

khi và chỉ khi

Xi

^

Ui

với i = 1,..., n và ít nhất một bất đẳng

thức là ngặt;
X ^ c y khi và chỉ khi Xi > ĩji với mọi i = 1 ,..., II.
2. Trong R 2. Nếu c = (M ^o) thì B c là phản xạ, bắc cầu, tuyến
tính, đóng và đối xứng. Trong trường hợp này X

y khi và chỉ khi hai

th àn h phần của các vector trùng nhau. T hứ tự này không đầy đủ.
3. Nón th ứ tự từ điển là m ột quan hệ phản xạ, bắc cầu, tuyến tính
đầy đủ trong lp.

1.3.

Điểm hữu hiệu

Cho E là không gian vector tôpô thực với quan hệ th ứ tự ( ^ ) được

sinh bởi một nón lồi c .

Đ ịn h n g h ĩa 1.12. Cho A là m ột tập COĨ1 khác rỗng của E. Ta nói rằng:
(a) X € A là m ột điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A
tương ứng với c nếu y ^

V// £ A;

Tập các điềm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IE(A\ C);
(b) X € A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc cực tiểu) của A tương
ứng với c nếu X ^ y, y £ A thì y ^ x;
Tập các điổrri hữu hiộu của A kí hiộu là E(A\C)\
(c) X G A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với c Iiếu
tồn tại rriột nón lồi K Ỷ E V(3i i n t K D C \ l ( C ) sao cho X £ E( A\ K) ;
Tập các điổrri hữu hiộu toàn cục của A được kí hiộu là Pr E( A\ C) ;
((1) Giả sử i n t c 7^ 0, X (E -A là m ột điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với

10


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

c nếu X G E ( A I {0} u i n t c );
Tập các điềm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W E( A\ C) .
V í d ụ 1.5. Cho:
A = { ( ^ ỉ/) e K2 : X2 + ỉ/2 < l,ỉ/ < 0} u { ( x, y) : X > 0,0 > y > - 1 } ;

B = AU { ( - 2, - 2)}.
Nếu cho c = M ị, ta có:

I E( B) = Pr E( B) = E( B) = WE ( B ) = { ( - 2 , -2 ) } ;
I E( A) = 0,
P rE (A )

=

{ (x , ỳ) G M2 : X2 + ý 1 =

E(A) = PrE( A) u {(0, -1)} u {(-1,0)},
WE(A) = E(A)

X, 0 > y } ,

1, 0 >

u {(x,y) : y = - l , x

}.

> 0

Bây giờ cho c — (M1, 0) c R 2. Ta có :

I E( B) = 0,
P r E ( B ) = E( B) = W E ( B ) = B,
I E ( A ) = 0,

P r E ( A ) = E( A) = W E ( A ) = A.
Từ định nghĩa của các điềm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:
M ệ n h đ ề 1.3. Cho A c E thì :
(a) X € I E( Á) khi và chỉ khỉ X ^ A và A C x + C;
(b) X 6 E( Á) khi và chỉ khi A n (x — C) c

X+ l(C) hoặc tương đương:

Ẹ y G A sao cho X > y. Đặc biệt khi c là nhọn, X GE( Á)

A n (x —C) —

khi và chỉ khi

{a;};

(c) Khi c 7 ^ E , x G W E ( A ) khi và chỉ khi A c \ ( x — i n t c ) = 0 hoặc tương
đương với Ịầy (E Ả sao cho X

y.

M ệ n h đ ề 1.4. Cho tẠp khác rỗng A c E có:
11


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

P r E ( A ) c E( A) c W E ( A ) .

Hơn nữa, nếu I E( A) Ỷ 0 thì I E( A) — E( A) và nó là tập một điểm
khi c là nhọn.
Chứng minh. Lấy X (E Pr E ( A ) . Nếu X ị E( Á) có y ^ A v ầ x — y €
C\ l { C ) . Lâý nón lồi K, K Ỷ E với i n t K c C \/(C ) và X e £ ( Ẩ |iO - Thì
X — y £ i n t K c K \ l ( K ) . Điều này rnâu thuẫn với a: € ^(AỊìỷT) suy ra

PrE( A) c £(Ấ).
Lấy X G E(A). Nếu X Ệ W E ( A ) theo Mộnh đề 1.3 tồn tại y € A sao
cho .X—y E i n t c . Do c Ỷ E, i n t c c C \ l ( C ) liên ta có X—7/ £ C \/(C ).Đ iều
này m âu th u ẫn với X e E(A). Vậy i£(i4) c W E ( A ) .
Rõ ràng I E ( Á ) c E( A) . Nếu I E ( Á ) Ỷ 05 ch°

thì X G

E(Á). Cho y 6 i£(-A) th ì ỉ/ > X vì vậy X ^ ỉ/. Lấy m ột điểm bất kì 2 €
cổ z ^ X vì X G I E( A) suy ra z ^ y \k y E I E( A) . Do đó I E( A) = E(A).
Ngoài ra, nếu c là nhọn X ^ ỉ/ và y > X chỉ có thể xảy ra trường hợp
X — y. Vậy I E( A) là tập m ột điểm.

□

Đ ịn h n g h ĩa 1.13. Cho X £ E. Tập Ẩ n ( x - C ) được gọi là rriột nhát cắt
A tại

X và

kí hiệu Ax .

M ệ n h đ ề 1.5. Cho X e E với Ax 7^ 0. Ta cỏ :
(a) I E { A X) c /£ ( A ) nếu I E( A) Ỷ 0;

(b) E ( A X) c ^ (A ) (tương tự cho W E ) .
Chứng minh, (a) Cho J/ G I E ( A X) và 2 € I E cố Ax c y + c và Ẩ c 2 + c .
Thì 2: £ i4a; vầ z — y € l ( C ) suy ra
A C

z

-|-C = |/- |-2 —

=

Do đó y £ I E( A) .

12

— £/ H- C*.


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

(b) Giả sử y 6 E ( A X). Theo Mệnh đề 1.4 có Ax n (y — C) c y + l(C) suy
ra

y —c
A

c

X —c

nên

n y - c c Ả n (y -

C)

n (x -

C)

c Ax n (y -

C)

c y + l(C).

Do đó y £ E(A).
Chứng m inh tương tự cho w E .

□

N h ậ n x é t 1.4. Q uan hệ P r E ( A x) c P r E ( A ) nói chung không đúng trừ
một số trường hợp đặc biệt.

1.4.

Sự tồn tại của điểm hữu hiệu

Đ ịn h n g h ĩa 1.14. Cho lưới { x a : a G 1} từ E được gọi là lưới giảm (tương
ứng với C) nếu xa > c

với a, Ị3 € I; Ị3 > a.

Đ ịn h n g h ĩa 1.15. Cho Ả

c E đitợc gọi là

C- đầy đủ (tương ứng C-

đầy đủ m ạnh) nếu nó không có phủ dạng {(.7;0: — CỈCỴ : a G 1} (tương ứng
{(xtt — C Ỵ : a £ /} ) với {.Ttt} là một lưới giảm trong A.
Đ ịn h lý 1.1. Giả sử c là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng
trong E. Thì E( A\ C) Ỷ 0 khi' và chỉ khỉ A có một nhát cắt C- đầy đủ và
khác rỗng.
Chứng minh. Nếu E( A\ C) Ỷ 0 thì mọi điểm của tập này cho ta m ột nhát
cắt C- dầy đủ vì không tồn tại lưới giảm. Ngược lại, cho Ax khác rỗng là
m ột n h át cắt C- đầy đủ của A. Theo Mệnh đề 1.5 thì ta chỉ cần chứng
m inh E ( A X\C) Ỷ 0- Xét tập p bao gồm tấ t cả các lưới giảm trong A. Vì
A Ỷ 0 suy ra p / 0. Với a, b G p ta viết a >- b nếu b c tí. Rõ ràng (>-) là
quan hộ th ứ tự trong p , và một xích bất kì trong p đều có cận trcn. T h ậ t
vậy, giả sử

£ A} là m ột xích trong p . Gọi B là tập tấ t cả các tập

13


Khoá luận tốt nghiệp

C0Ĩ1 hữu hạn B của A

Nguyễn Thị Vân

được sắp thứ tự bởi bao hàm và đặt

aB = u {aa; a € B} .
Và
ữ0 = u

! jB G 5} .

Thì a0 là m ột phần tử của p và a0 y aa với mọi a 6 A Iighĩa là a0
là m ột cậĩi trên của xích Iiày. Áp dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử 1ỚĨ1
Iihất của p , kí hiệu là a* = {xữ : a G 1} G p . Bây giờ, giả sử ngược lại
E ( A X\C) = 0. Chúng ta sẽ chứng minh {(xa — cl CỴ : a £ 1} phủ Ax. Ta
chỉ ra với mỗi y € Ax có a G / m à (xa — cl CỴ chứa y. Giả sử phản chứng
y G x a —c/C ,V a £ I. Vì E ( A X\C) = 0 có z € A x với y > c z. Do tính đúng
của c ncn X — a > c z , (a G /). Them 2: vào lưới a* ta th ấy rằng lưới này

không thổ lớn nhất, dẫn tới m âu thuẫn. Vậy định lí được chứng minh.

1.5.

□

Bài toán tối ưu vector (VOP)
Cho X là Iĩiột tập COĨ1 khác rỗng của m ột không gian tôpô và

m ột ánh xạ

đa trị từ

F là

X vào E , ở đây E là không gian vector tôpô thực

được sắp th ứ tự bởi nón lồi c .
X ét VOP :
min F(x)
với ràng buộc X € X .

Điểm X E X được gọi là tối ưu (cực ticu hoặc hữu hiệu) của VOP
nếu F ( x ) n E { F ( X ) \ C ) ^ Q .
Ỡ đây F ( X ) là hợp của các tập F(x) trên X . Các phần tử của
E( F( x) \ C) được gọi là giá trị tối ưu của VOP. Tập các điểm hữu hiệu của

14


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

VOP được kí hiệu là S ( X ; F ) . Thay thế I E, P r E , W E cho E ( F ( X ) \ C )
chúng ta có các khái niệm I S ( X ; F), P r S ( X ; F) và w S ( X ; F ) .
Q uan hệ giữa các điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu yếu
của VOP được trìn h bày trong mệnh đề sau:
M ệ n h đ ề 1.6. Cho VOP, chúng ta có các bao hàm thức sau:

Pr S( X; F) c S ( X ; F ) c W S ( X ; F ) .
Hơn nữa, nếu I S { X ; F) Ỷ 0 thì I S { X ; F ) = 5 (X ; F ).
Chứng minh tương tự Mộnh đồ 1.4
B ổ đ ề 1.1. Giả sử

c

là lồi, X

là tập compac khác rỗng và F là C- liên

tục trên trong X với F(x) + C1 là C- đầy đủ, đóng với mọi

X

GX

thì F ( X )

là C- đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng F ( X ) không là c đầy đủ. Điều này
có nghĩa là có rriột lưới giảm {aa : a E 1} của F ( X ) sao cho {(aa —CẤ(C))C :
a £ 1} là phủ của F ( X ) . Lấy x a e X với aa G F ( x a). Không m ất tính
tổng quát, giả sử

= X €

X . Khi đó, với rriỗi

lân cận V của F( x)

trong E có rriột chỉ số Ị3 £ I sao cho
aa £ V + c , Va ^ Ị3.
Do {aa } là dãy giảm, nên
0,a £ ữỹ -\- c Vố ^ a.
Từ đây suy ra:
aa G d ( F ( x ) + C) — F(x) + c , Va.
Dẫn tới m âu thuẫn: F(x) + c không thể là C- đầy đủ.

15

□


C hương 2
C ấu trúc và tín h cực tiểu sắc yếu của
tập n gh iệm P a reto tron g tố i ưu đa
m ục tiêu tu y ến tín h từ n g khúc
2.1.

Đặt bài toán
Cho ánh xạ / : X —> Y từ không gian định chuẩn X vào không

gian định chuẩn hữu hạn chiều Y. Như trong [1], / được gọi là m ột hàm
tuyến tính từng khúc (hoặc một, hàm affin từng khúc), nếu tồn tại các họ
{ P i , Pk}i { T i , T f c } và { & ! , bk} của tập lồi đa diện trong X , các toán
tử tuyến tính liên tục từ X vào Y và các điểm tương ứng trên Y sao cho

X =

uĩ-1 Pi và
f(x) = fiịx) := Ti(x)

+ bi Vi e Pj, Vi e { 1,

k}.

(2.1)

Đe có (2.1), ta phải có

ỉ iix ) = f j i x ) Vx G Pịíl Pj, Vz, j G { 1 , Ả;}.
Cho m ột họ hữu hạn các hàm tuyến tính licn tục giá trị thực, dỗ thấy rằng
phép toán lấy cực đại và cực tiểu của các họ này cho ta m ột hàrri tuyến
tín h liên tục từng khúc. Tổng quát hơn, cực đại hoặc cực tiểu của m ột họ


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

hữu hạn các hàm tuyến tính liên tục từng khúc giá trị thực bất kì cũng là
m ột hàm tuyến tính liên tục từng khúc giá trị thực. Thông thường, chúng
ta gọi m ột tậ p con của m ột không gian là m ột tập lồi đa diện (gọi tắ t là
m ột đa diện), nếu nó là toàn bộ không gian hoặc nó là giao của hữu hạn
các nửa không gian đóng. Chú ý rằng hàm tuyến tính licn tục từng khúc và
bài toán tối ưu đa mục ticu licn quan được nghicn cứu theo các quan điổm
khác nhau. Ví dụ, Gowda và Szajdcr [2] nghicn cứu tính chất giả-Lipschitz
của / -1 và chỉ ra rằng các kết quả thu được có thổ áp dụng cho bất đẳng

thức biến phân affin và bài toán bù tuyến tính. Đáng chú ý rằng định nghĩa
của m ột hàm tuyến tính từng khúc được nhắc lại ở trcn thì yếu hơn trong
[2], trong đó giả thiết rằng với rriọi cặp ( i , j ) , Pị n Pj bằng rỗng hoặc m ột
m ặt chung của Pị và P j . Đối với bài toán quy hoạch tuyến tính hai cấp với
cấu trúc m ạng đặc biệt hoặc cấu trúc tài chính, tập nghiệm Paret.o được
khảo sát trong [3,4].
Cho D c X là m ột đa diện, cho c c Y là m ột I1 ÓĨ1 lồi đa diện và
f :X

Y là m ột hàm tuyến tính từng khúc. Xét bài toán tối ưu đa mục

ticu tuyến tính từng khúc dưới đây:

(P)

mi nf ( x )

sao cho X £ D.

Cho u £ D. Nhắc lại rằng u được gọi là m ột nghiệm Pareto của (P ) nếu
ị x e D,

f (u) - f { x ) e c \{ 0 ỵ } .

Một điểm u được gọi là m ột nghiệm Pareto yếu của (P ), nếu không tồn
tại

X

6 D với f ( u ) — f ( x ) G i n t c , ở dó

intc kí

hiệu phần trong của c .

Tập tấ t cả các nghiệm P areto (tương tự., tập tấ t cả các nghiệm Pareto
yếu) được kí hiệu bởi s (tương tự., s w ). Việc nghiên cứu các tính chất dặc
trưng của tập nghiệm Iiày rấ t hữu ích trong việc th iết kế các th u ật toán
đổ giải (P ).
Theo [5, p. 341], chúng ta nói rằng f : X ^ Y là m ột C-lồi trên D
17


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

Iiếu với mọi x 1ì x 2 6 D và t e]0,1[, thì
(1 - ^ / ( x 1) + t f ( x 2) - /(( 1 - t ) x l + t x 2) e c .
Trong trường hợp Y = Mw và

c=

MỊ (nón orthant không âm trong Rn),

/ = (/ij •••>/«) được gọi là một, hàm lồi

trên D khi đó nó là một ơ -lồi

trên D. Vì vậy, tính lồi của / trên D thì tương đirơng với tính lồi của các

fi trên D.
Nếu / là m ột ơ -lồi trcn D thì ta nói rằng (P) là một bài toán lồi.

2.2.

Cấu trúc của tập nghiệm Pareto

2 .2 .1 .

T rư ờ n g h ợ p k h ô n g lồi
Một tập con của m ột không gian định chuẩn được gọi là m ột đa diện

nửa đóng, nếu nó là giao của m ột họ bao gồm hữu hạn các nửa không gian
đóng và hữu hạn các nửa không gian mở. T ừ đây và về sau, giao của m ột
họ rỗng các tập con trong không gian định chuẩn được quy ước là toàn bộ
không gian.
Đ ịn h lý 2.1. Tập nghiệm Pareto s của (p ) là hợp của hữu hạn các đa
diện nửa đóng.
Chứng minh. Đ ặt M — Ut=i Mị, ở đó Mị

fi(Pị n D ) với ỉ — 1

Chúng ta kí hiộu tập nghiộm P arcto của Mị là E(Mị\C). Từ định nghĩa,
ta có

s = { x e D : f(x) e E(M\C)} = f - \ E { M \ C

)) n D.

(2.2)

Đẳng thức (2.2) cho phép chúng ta để sử dụng phương pháp tiếp cận không
gian ảnh (xem [5, 15]) để chứng minh các khẳng định sau: th ứ nhất, trong
không gian ảnh Y tập E ( M \ C ) là hợp của hữu hạn các đa diện nửa đóng;

18


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân

th ứ hai từ (2.2) và giả th iết / tuyến tính từng khúc thì s là hợp của hữu
hạn các đa diện nửa dóng.

K h ẳ n g đ ịn h 1. E ( M \ C ) ỉ,à hợp của hữu hạn các đa diện nửa đỏng.
Chú ý rằng

E( M\ C) c E{ MX\C) u E ( M2\C) u ... u E ( Mk\C).

(2.3)

Với ỉ E { 1 , Ả;} b ất kì, Mị = {Tị(x) + bị : X G Pị n D } là m ột tập lồi đa
diện trong Y . Từ Y là m ột không gian định chuẩn hữu hạn chiều và c c Y
là m ột nón lồi đa diện, Định lí ABB khẳng định rằng E(MịịC) là hợp của
hữu hạn các đa diện (nó là các m ặt của Mị). Giả sử rằng
mi

E(M, \ C) = { j Q , . r, i = l , . . . , k ,

(2.4)

r=1

ở đó rriỗi Qi,r là m ột đa diện trong Y . Sử dụng (2.3) và (2.4), bây giờ chúng
ta có thể mô tả m ột th u ậ t toán cho việc tìm toàn bộ tập E( Mị C) .
Bước 1. Xét tập nghiệm P areto E( Mị \ C) . Từ (2.4) ta có,
mi

E ( M 1\C) = ỳ } Q Ur.

( 2 .5 )

r = l

Rõ ràng, m ột điểm V G Qi,r, với r Ễ {1, ...,77ii}, trong E ( M \ C ) khi và chỉ
khi

V Ệ Mị + (C \ {0y}), V ie { 2 ,.., Ả;}.
Lấy V € Qi.r bất. kì. Cho
(a)

1

(2.6)

= 2. Nếu V G M 2 + c thì có hai khả năng:

V E M2 + (C * \{ 0y })5 (^)

V € M2.

Trong trường hợp (a) từ ticu chuẩn (2.6), V không thổ thuộc E ( M \ C ) . Do
đó chúng ta có thổ loại trừ V từ Qi.r- Trong trường hợp (b) có hai trường
hợp con:

(&0

v e E ( M 2\C),

(b2)
19

V ị E ( M 2\C).