Các dạng bài tập trên tập số nguyên Z

Đề tài: Số Nguyên

SỐ NGUYÊN
Nội dung 1: Tập hợp các số nguyên:
1.Tóm tắt lý thuyết:
1. Tập hợp số nguyên.
Tập số nguyên

Số nguyên dương
Số nguyên âm
Số

Biểu diễn số nguyên trên trục số.

Ở trên là hình ảnh của một trục số. Điểm 0 là gốc của trục số. Chiều từ trái
sang phải được gọi là chiều dương. Còn chiều từ phải sáng trái là chiều âm.
2.

Số đối của số nguyên.
Các số có các điểm biểu diễn cách đều điểm 0 và nằm về 2 phía được gọi là
hai số đối nhau. Như vậy Số đối của là a, số đối của là
Ví dụ: Số đối của 3 là -3 và ngược lại

3.

Thứ tự tập hợp trong số nguyên.
Khi biểu diễn trên trục số (nằm ngang), nếu điểm a nằm về phía bên trái điểm
b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.
Chú ý:
-

Số nguyên b được gọi là liền sau số nguyên a hay số nguyên a đươc gọi là
liên trước số nguyên b nếu a < b.
Nếu hai số a, b được gọi là 2 số liền nhau thì không có bất kì số nguyên
nào nằm giữa a và b

Nhận xét:

1


Đề tài: Số Nguyên

-

Mọi số nguyên dương đều lớn hơn 0.
Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn 0.
Mọi số nguyên âm đều nhỏ mọi số nguyên dương.

Tính chất:
-

Giữa hai số nguyên a và b chỉ sảy ra 1 trong ba trường hợp sau:
.

Nếu và thì .
Nếu và thì
Giá trị tuyệt đối của số nguyên.
-

4.

Khoảng cách từ a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của số nguyên a.
Kí hiệu: đọc là “giá trị tuyệt đối của a”
Nhận xét:
-

Giá trị tuyệt đối của số 0 là số 0.
Giá trị tuyệt đối của số nguyên dương là chính nó.
Giá trị tuyệt đối của số nguyên âm là số đối của nó.
Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

Tóm lại:
2.Các dạng bài tập:
Dạng 1. Cũng cố về mối quan hệ giữa các thành phần trong tập số nguyên Z.
Phương pháp giải: Đối với các bài tập dạng này chỉ cần nhớ:
Tập số nguyên

Số nguyên dương
Số nguyên âm
Số

VD1: Kí hiệu là tập số nguyên dương, là tập các số nguyên âm. Tìm.
a., ,
b.
Giải

2


Đề tài: Số Nguyên

Ta có: ,
Do đó:
a. , ,
b. ,,
VD2: Các ví dụ sau đây là đúng hay sai? Hãy tìm ví dụ để chứng minh cho
điều mình khẳng định.
a.
b.
c.
Giải
a.
b.
c.

là Đúng vì tập số tự nhiên là tập con của tập số nguyên nên
là Sai; ví dụ
là Sai; ví dụ nhưng

Dạng 2. Ghi các điểm biểu diễn số ngyên trên trục số.
-

Phương pháp giải:
Trên trục số các điểm biểu diễn số nguyên âm nằm bên trái điểm 0, các điểm
biểu diễn số nguyên dương nằm bên phải điểm 0
Tăng dần từ trái sang phải. thì a nằm bên trái số b.

VD1: Điền các số -4, -2, 0, 4, 6 vào trục số sau:

Giải

3


Đề tài: Số Nguyên
VD2: Trên trục số điểm A cách điểm gốc 4 đơn vị về bên trái, điểm B cách gốc
3 đơn vị về bên phải, điểm C cách điểm A 3 đơn vị về bên phải. Hỏi các điểm
A, B, C là các điểm biểu diễn cho những số nguyên nào?
Giải
-

Điểm A nằm bên trái điểm gốc như vậy A biểu diễn cho một số nguyên âm
mà A cách gốc 4 đơn vị, như vây điểm A biểu diễn cho số -4.
Điểm B nằm bên phải điểm gốc như vậy B biểu diễn cho một số nguyên
dương mà cách gốc 3 đơn vị, như vậy điểm B biễu diễn cho số 3.
Điểm C nằm về phía bên phải của điểm A do đó C biểu điễn cho 1 số
nguyên lớn hơn -4 mà C cách A 3 đơn vị do đó điểm C biểu diễn cho số -1.

Dang 3. So sánh hai số nguyên.
Phương pháp giải.
-

Cần nhớ các kiến thức sau để so sánh các số nguyên:
+ Khi biểu diễn trên trục số nằm ngang, điểm a nằm bên trái điểm b
thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b hay ta nói số nguyên b lớn
hơn số nguyên a.
+ Số nguyên dương luôn lớn hơn 0.
+ Số nguyên âm luôn bé hơn 0.
+ Số nguyên âm luôn bé hơn số nguyên dương.
+ Trong hai số nguyên âm bất kì số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn
thì nhỏ hơn.

+ Hai số nguyên đối nhau thì có giá trị tuyệt đối của chúng bằng
nhau.
VD1: So sánh các số sau:
a.

-10 và 0

b.-7 và -9

c.500 và -500

d.

Giải
a.
b.
c.
d.

Ta có: vì mọi số nguyên âm đều bé hơn số 0
Ta có: nên
Ta có: vì mọi số nguyên âm đều bé hơn số nguyên dương.
Ta có: vì 2 số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
4


Đề tài: Số Nguyên
VD2: Tìm các giá trị thích hợp của x và y:
a.

b.

c.
Giải

a.

Ta thấy rằng là hai số nguyên âm để thì như vậy các giá trị thỏa mãn
bài toán là:

b.

Ta thấy là số nguyên dương, là số nguyên âm. Vì mọi số nguyên âm đều
bé hơn 0 và bé hơn mọi số nguyên dương nên.
Để thì giá trị của là:
. là hai số nguyên âm, để . thì
mà ta thấy rằng ở chữ số hang trăm của mỗi số đều bằng z như vậy ta
chỉ cần quan tâm tới hai số để thì:

c.

VD3: Cho 3 số nguyên biết và a là số âm. Hãy sắp xếp 3 số đó theo thứ tự
tăng đần.
Giải
-

-

Trường hợp 1:
Nếu

Mà và a là số âm nên
Nên thứ tự tăng đần của 3 số là:
Trường hợp 2:
Nếu
Mà và a là số âm nên
Nên thứ tự tăng đần của 3 số là:

Dạng 4. Giá trị tuyệt đối của số nguyên.
Để làm được cái bài toán về giá trị tuyệt đối số nguyên cần nhớ:
-

Giá trị tuyệt đối của số 0 là số 0.
Giá trị tuyệt đối của số nguyên dương là chính nó.
Giá trị tuyệt đối của số nguyên âm là số đối của nó.
Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

VD1: Tìm các giá trị của số nguyên a biết:
5


Đề tài: Số Nguyên

a.

b.
Giải
a.

Khoảng cách từ a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của số nguyên a.
Ta có:

Vậy, ta được với .
b.

Ta có:

Vậy, ta được và , .
VD2. Tìm các ví dụ chứng tỏ các khẳng định sau về giá trị tuyệt đối của 1 số là
không đúng.
a.
b.
c.
d.

Với mọi
Với mọi
Với mọi
Với mọi
Giải

a.
b.
c.
e.

Nếu thì vậy nên với mọi là sai.
Nếu thì vậy nên với mọi là sai.
nhưng nên với mọi là sai.
nhưng nên với mọi là sai.

VD3. Tìm biết

6


Đề tài: Số Nguyên
Giải
Vì nên .
Vậy
Mà theo đề bài:
Nên: (Vì các số tự nhiên mà bằng 0 thì tất cả các số đó phải bằng 0).
VD4. Chứng minh rằng: với mọi a,b.
Giải
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu hoặc . Giả sử , ta có:
Vậy, ta được .
Trường hợp 2: Nếu là 2 số nguyên cùng dấu, ta có:
.
Trường hợp 3: Nếu a và b là hai số nguyên khác dấu.
-

Với thì
Với thì

Vì là 2 số nguyên dương nên:
và
Vậy nên ta luôn có với mọi a,b
Nội dung 2: Các phép toán trên tập số nguyên:
1.Tóm tắt lý thuyết:
1. Các phép toán

 Phép cộng:
- Cộng hai số nguyên cùng đấu.
+ Cộng hai số nguyên dương chính là cộng hai số tự nhiên khác 0.
+ Cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng và đặt đấu
“-“ trước kết quả.
7


Đề tài: Số Nguyên

-

-

-

Cộng hai số nguyên khác dấu.
+ Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0.
+ Cộng hai số nguyên khác đấu không đối nhau, ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt
đối (số lớn trừ số bé) rồi đặt trước kết quả vừa tìm được đấu của số có giá
trị tuyệt đối lớn hơn.
Tính chất của phép cộng số nguyên.
+ Giao hoán:
+ Kết hợp:
+ Cộng với số 0:
+ Cộng với số đối:
 Phép trừ:
Để trừ số nguyên cho nguyên , ta lấy số nguyên cộng với số đối của số
nguyên .
Phép nhân hai số nguyên:

Nhân 2 số nguyên cùng đấu: Muốn nhân hai số nguyên cùng đấu ta nhân hai
giá trị tuyệt đối của chúng.
Nhân 2 số nguyên cùng đấu: Ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng và đặt
dấu trước kết quả nhận được.


-

Chú ý: thì
-

Các tính chất của phép nhân:
+ Tính chất giao hoán: :
+ Tính chất kết hợp: :
+ Tính chất nhân với số 1:
+ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
:
Tính chất phân phối trên cũng đúng với phép trừ:
Chú ý:

-

Chú ý khi thực hiện phép nhân với nhiều số ta có thể thay đổi tùy ý vị trí của
các thừa số, đặt đấu ngoặc để nhóm các thừa số lại với nhau đễ thuận tiện
cho việc tính toán.
Mở rộng đối với phép nhân:

8

Đề tài: Số Nguyên

2.
3.
-

Tích một số chẵn của các thừa số nguyên âm thì kết quả sẽ là số nguyên
dương.
Tích một số lẻ các thừa số nguyên âm thì kết quả sẽ là số nguyên âm.
Quy tắc đấu ngoặc.
Khi bỏ đấu ngoặc nếu có đấu “-“ đằng trước, ta phải đổi đấu tất cả các số
hạng ở trong đấu ngoặc (Dấu “+” thành dấu “-“ và dấu “-“ thành dấu”+”).
Khi bỏ đấu ngoặc có đấu “+” đằng trước thì đấu các số hạng trong ngoặc
được giữ nguyên.
Quy tắc chuyển vế.
Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của đẳng thức, ta phải đổi đấu
số hạng đó (Dấu “+” thành dấu “-“ và dấu “-“ thành dấu”+”).
Tính chất của đẳng thức:
+ Nếu .
+ Nếu
+ Nếu

2.Các dạng bài tập:
Dang 1: Các phép toán cộng trừ nhân chia trên tập số nguyên.
Phương pháp giải: Để tính toán các phép toán trên tập số nguyên cần nắm vững các
quy tắc tính toán sau:
-

-

Cộng hai số nguyên dương chính là cộng hai số tự nhiên khác 0.
Cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng và đặt đấu
“-“ trước kết quả.
Cộng hai số nguyên khác đấu không đối nhau, ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt
đối (số lớn trừ số bé) rồi đặt trước kết quả vừa tìm được đấu của số có giá trị
tuyệt đối lớn hơn.
Để trừ số nguyên cho nguyên , ta lấy số nguyên cộng với số đối của số
nguyên .
Nhân 2 số nguyên cùng đấu: Muốn nhân hai số nguyên cùng đấu ta nhân hai
giá trị tuyệt đối của chúng.
Nhân 2 số nguyên cùng đấu: Ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng và đặt
dấu trước kết quả nhận được.

VD1: Cho a và b là các giá trị trong bảng sau tính các giá trị , và
a

b

a+b
9

a.b

a-b

b-a


Đề tài: Số Nguyên
12

14
-15
0
-14
-22

5
-3
-17
21
14
-17
Giải

Áp dụng các quy tắc cộng trừ, nhân chia các số nguyên ta có:
a
12
14
-15
0
-14
-22

b
5
-3
-17
21
14
-17

a+b
17
11
-32
21
0
-39

a.b
60
-33
255
0
-196
374

a-b
7
17
2
-21
-28
-5

b-a
-7
-17
-2
21

28
5

VD2: Cho ;
Biết , tìm và .
Giải
Theo đề bài nên ta lập bảng giá trị sau:
x
y

0
5

5
0

1
4

4
1

2
3

3
2

-1
6

6
-1

7
-2

VD3: Cho ; với . Biết tìm x và y.
Giải
Ta có:  ; 
Vì x – y = 5 ta có bảng sau:
x
y

-3
-5

-2
-4

-1
-3

0
-2
10

1
-1

2
0

3
1


Đề tài: Số Nguyên
VD4: Viết các tổng sau về dạng tích sau đó tính giá trị các tổng đó tại x = -3.
a.
b.
Giải
a.

Ta có:
Thay x = -3 vào biểu thức A ta được:

b.

Ta có:
Thay x = -3 vào B ta được:

Dạng 2: Tính tổng của các số nguyên thuộc một khoảng cho trước:
Phương pháp giải
-

Ta liệt kê tất cả các số nguyên thuộc khoảng đó.
Lập tổng các số cần tính.
Áp dụng các tính chất của phép cộng, để tính tổng vừa liệt kê một cách hợp
lí nhất.

VD1: Tính tổng các số nguyên x biết:
a.

b.
Giải

a.

Vì

nên

Gọi tổng cần tính là A ta có:
Nhận thấy tổng A có xuất hiện những cặp số đối nhau ta có thể nhóm chúng
lại và dễ dàng tính được tổng đó:

11


Đề tài: Số Nguyên

b.

Vì nên
Gọi tổng cần tính là B ta có:
Như ở trên ta đễ dàng tính dược tổng B như sau:

0
Dạng 3: Tính tổng của dãy số nguyên được viết theo quy luật.

Phương pháp:
-

Tùy vào đặc điểm của từng bài ta có thể giải một theo các cách sau:
+ Áp dụng tính chất giao hoán hoặc kết hợp của phép cộng để nhóm các số
hạng rồi tính.
+ Cộng đần từng cặp số hoặc nhóm số.
+

Chia dãy số đã cho thành các dãy số nhỏ có thể tính được, sau đó cộng
hoặc trừ các dãy số nhỏ để được kết quả của dãy số cần tìm.

VD1: Tính tổng sau: )
Giải
Xét )
Ta thấy tổng đã cho gồm 40 số hạng, các số chẵn trong tổng trên đều là số
nguyên âm, các số lẽ là số nguyên dương. Và đặc biệt ta thấy:

12


Đề tài: Số Nguyên
Với định hướng trên ta đễ dàng tính được tổng A như sau:
)
)]

VD2: Cho các dãy số viết theo quy luật sau:
a. Tìm số hạng thứ 48 của dãy A
b. Tính tổng các số trong dãy A biết A có 48 số hạng.
Giải

Để giải ví dụ này ta cần nhớ lại công thức về số số hạng của dạy số cách đều:

Với: .

Xét (là dãy tương tự như A nhưng không có dấu “-“)
Ta gọi hạng tử số 48 (coi 48 là số hạng cuối cùng) của là khi đó áp dụng công
thức về số số hạng của dãy số cách đều ta được:
Nhận thấy rằng những số hạng ở vị trí chẵn của dãy A là những số hạng âm nên
nên số hạng thứ 48 của A phải là một số âm. Mà số hạng thứ 48 của là 96 nên số
hạng thứ 48 của A là -96.
Vậy số hạng thứ 48 của A là -96.
b. Khi A có 48 số hạng thì:

(Có 24 số -2)
13


Đề tài: Số Nguyên

Vậy khi A có 48 số hạng thì A có tổng là -48.
Dạng 4: Thực hiện hợp lý các phép toán trên tập số nguyên:
Phương pháp giải:
-

Sử dụng các tính chất của phép cộng số nguyên, phép nhân số nguyên, sự
phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Sử dụng quy tắc dấu ngoặc để tính toán 1 cách hợp lý các bài toán.

VD1: Tính giá trị các biểu thức toán học sau theo cách hợp lý nhất.
a.

b.
c.
Giải
a.

Ta có 2 cách thực hiện:

Cách 1: Thực hiện theo tuần tự:

Cách 2:Thực hiện phép tính nhưng áp dụng tính chất giao hoan và kết hợp của
phép cộng:
(Tính chất giao hoán)
(Tính chất kết hợp)

(Cộng với số đối)
(Cộng với số 0)

14


Đề tài: Số Nguyên
Nhận xét:
-

Cả hai cách thực hiện đều dẫn đến 1 đáp án cuối cùng nhưng ở cách 2 ta sử
dụng tính chất giao hoán và quy tắc dấu ngoặc để thực hiện bài toán một
cách nhẹ nhàng và đơn giản hơn đi rất nhiều so với cách 1.

b.
(Tính chất kết hợp)

(Tính chất phân phối của phép nhân vơi phép cộng)

c.
(Quy tắc bỏ dấu ngoặc)
(Tính chất kết hợp)

VD2 : Đặt dấu ngoặc một cách thích hợp để tính các biểu thức sau
a.
b.
Giải
a.

b.

Dạng 5: Tìm số nguyên chưa biết trong biểu thức đại số.
Phương pháp:
- Nếu x là số hạng chưa biết trong tổng ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết.
- Nếu x là số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ. Nếu x là số trừ ta lấy số bị trừ
trừ đi hiệu.
- Nếu x là thừa số trong tích ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.
15


Đề tài: Số Nguyên
Nếu x là số chia ta lấy số bị chia chia cho thương. Nếu x là số bị chia ta lấy
thương nhân với số chia.
- Nếu x ở trong dạng lũy thừa ta cần xác đinh x ở vị trí cơ số hay số mũ. Nếu
x ở vị trí cơ số ta phải tiến hành cân bằng cơ số. Nếu x nằm ở số mũ ta phải
tiến hành cân bằng số mũ sau đó tìm hướng biến đổi hợp lý
Chú ý: Ở các bài toán có các phép toán cộng trừ nhân chia kết hợp chúng ta

phải phối hợp nhiều phép tính như trên để tìm x.
-

VD1: Tìm số các nguyên biết:
a.
b.
c.
d.
e.
Giải
a.

Vậy giá trị x = -220 là giá trị cầm tìm
b.

Vậy giá trị là giá trị cần tìm.
c.

Vậy giá trị là giá trị cần tìm.
d.

Vậy giá trị là giá trị cần tìm.
e.
Ta có:
16


Đề tài: Số Nguyên
Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.

VD2: Tìm các số nguyên biết:
a.
b.
c.
d.
Giải
a.

Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.
b.
Cách 1:

Cách 2: Ta có tích mà nên
Với
Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.
Chú ý: Nếu thì hoặc công thức này vẫn đúng khi áp dụng cho một dãy có n thừa
số.
c.
Ta có tích các thừa số trên bằng 0 nên:
Với:
Với:
Với:
Vậy có 4 giá tri x thỏa mãn bài toán là:
d.
Để thì ta có:
17


Đề tài: Số Nguyên

Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.
VD3: Tìm các số nguyên biết:
Giải
Khi nhóm các số hạng đầu và cuối của dãy số trên ta thấy:
…………………………………...
Có tất cả 25 nhóm như trên nên ta có thể viết lại bài toán như sau:
Vậy x = -50 là giá trị cần tìm.
Nội dung 3: Bội và ước của số nguyên:
1.Tóm tắt lý thuyết:
1. Bội và ước của số nguyên.
Cho và . Nếu tồn tại số nguyên sao cho thì ta nói a chia hết cho b (kí hiệu ). Hay
là bội của và là ước của
Chú ý:
- Số 0 là bội của mọi số nguyên a với
- Số 0 không là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.
Nếu a là ước của b đồng thời là ước của c thì a dược gọi là ước chung của b
và c.
- Nếu a là bội của b đồng thời là bội của c thì a dược gọi là bội chung của b và
c.
2. Tính chất.
Với mọi , ta có:
2.Các dạng bài tập:
Dạng 1: Tìm các số nguyên a,b thỏa mãn điều kiện .
18


Đề tài: Số Nguyên
Phương pháp giải:
Ta có: ;

Nên khi đó và
VD1: Tìm các số a, b biết:
c.
d.

a.
b.

Giải
a.

Ta có:
Vì nên a là nên ta có bảng giá trị sau:
a
b
1
5
-1
-5
5
1
-5
-1
Vậy có bốn cặp thỏa mãn đề bài là: (1;5), (-1;-5), (5;1), (-5;-1)

b.

c.

Ta có:

Vì nên (a-1) là Ư(4), ta có bảng giá trị sau:
b
1
2
4
-1
0
-4
2
3
2
-2
-1
-2
4
5
1
-4
-3
-1
Vậy ta có các cặp số thỏa mãn đề bài là: (2;4), (0;-4), (3;2), (-1;-2), (5;1), (3;-1)
Ta có:
Vì nên là ta có bảng giá trị sau:
-1
1

-7
7

1

3
19

-10
4


Đề tài: Số Nguyên
-7
-1
-5
-4
7
1
9
-2
Ta có các cặp số (a,b) thỏa mãn đề bài sau: (1;-10), (3;4), (-5,4), (9,-2).
d.

Ta có
Vì nên là nên:
-1
-3
4
-4
-1
1
3
6
2

Loại
-3
-1
2
-2
-1
3
1
8
0
0
Ta có 3 cặp số (a,b) thỏa mãn đề bài là (-1;4), (-1;2), (0,8).

Dạng 2: Tìm số nguyên chưa biết trong hai đa thức A, B sao cho đa thức A chia
hết cho đa thức B.
Phương pháp giải:
Bài toán cho ở dạng thì ta tiến hành biến đổi để tách chúng sao cho:
Khi k là một hằng số. B là biểu thức nguyên của biến. Khi đó nhận giá trị nguyên
khi B nhận là ước nguyên của k. Vì vậy giải các phương trình
rồi tìm các giá trị nguyên của biến.
VD1: Tìm để biểu thức : là số ngyên.
Giải
Xét:
Để là số nguyên thì cũng phải là số nguyên, tức là là số nguyên hay .
Vậy ta lần lượt suy ra các giá trị sau:
-

Với
Với
Với

Với

Vậy ta tìm được các giá trị n sau: thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
VD3. Tìm sao cho là bội

20


Đề tài: Số Nguyên
Giải
Để là bội nên
Ta có:
Xét:
Để thì: là số nguyên.
Tức là
Ta lần lượt suy ra giá trị n là:
-

Với
Với
Với
Với

Vậy ta tìm được các giá trị n sau: n=-6, n=-8, n=-4, n=-2 thì thỏa mãn yêu cầu của
bài toán.

21


Đề tài: Số Nguyên

Nội dung 4: Bài tập tổng hợp.
1. Cho 2 số nguyên . Hãy biểu diễn hai số trên trục số và nói rõ vị trí của các điểm
a và b đối với điểm 0.
HD: Ta xét các trường hợp như sau, sau đó chỉ ra các vị trí của số a, b có thể xảy ra
khi so với số 0.
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Trường hợp 3:
2. Cho tập hợp:
a. Viết tập hợp A dưới dạng liệt kê các phần tử.
b. Các khẳng định sau đây có đúng không?
HD:
a.
b. Khẳng định đúng là: ,, .
Khẳng định sai là: ,.
3. Tính giá trị của a biết:
a.
b.
c.
d.
HD: Ta có:
a.
b.
22


Đề tài: Số Nguyên
c.
d.

4. Tìm giá trị của các số nguyên a biết:
HD:
a.
c.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta luôn có:
a. Giá trị của một số nguyên thì không âm.
Giá trị tuyệt đối của một số nguyên luôn lớn hơn hoặc bằng chính nó.
HD:
a. Ta xét 2 trường hợp:
- Nếu thì
- Nếu thì (Vì là số đo khoảng cách giữa hai điểm phân biệt.
Vậy .
b. Xét ba trường hợp:
- Nếu thì
- Nếu thì (Vì .
- Nếu thì (Vì
Vậy
6. Cho . Tính x+y.
HD:
Ta có: ;
Xét 4 trường hợp sau:

7. Chứng minh rằng số đối của tổng hai số bằng tổng hai số đối của chúng.
HD:
Ta phải chứng minh:
Xét tổng:
Tổng của chúng bằng 0 nên suy ra:
8. Cho số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong các số đó đều là một số âm.
Giải thích vì sao tổng của 18 số đó cũng là 1 số âm? Bài toán của chúng ta có còn
đúng k nếu thay 18 số bởi 19 số?

23


Đề tài: Số Nguyên
HD:
Ta chia 18 số ra làm 3 nhóm. Mỗi nhóm có 6 số. Vì tổng của 6 số bất kì là 1 số âm
nên tổng của các số trong mỗi nhóm là một số âm. Vậy tổng của 3 nhóm tức là
tổng của 18 số cũng là 1 số âm.
Nếu thay 18 số bằng 19 số thì trong 19 số đó cũng phải có ít nhất là 1 số âm. Ta
tách riêng số âm đó ra còn lại 18 số. Theo lí luận ở trên thì tổng 18 sô là một số
âm, cộng với số âm vừa tách riêng ra ta sẽ được một số âm. Tức tổng 19 số cũng là
một số âm.
9. Với giá trị nào của a và b thì:
a.
b.
c.
HD
a. khi và chỉ khi và cùng đấu.
Ví dụ:
- Với , ta có:
-

Với , ta có:

b. khi a
Ví dụ:
- Với . Ta có:
- Với . Ta có:
c. khi và chỉ khi
Ví dụ:

-

Với Ta có:
Với Ta có:

10. Cho
a. Với giá trị nào của x thì biểu thức có giá trị lơn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b. Với giá trị nào của y thì biểu thức có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.
c. Với giá trị nào của x và y thì biểu thức có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất
đó.
HD:
a. Vì nên , do đó
Để A đạt giá trị lơn nhất tức là “=” xảy ra, để dấu “=” xảy ra thì
Khi
Vậy giá trị lơn nhất của khi .
24


Đề tài: Số Nguyên
b. Vì nên , do đó
Để B đạt giá trị nhỏ nhất thì dấu “=” xảy ra, để dấu “=” xảy ra thì
Khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của .
c. Vì nên do đó
. Để C đạt giá trị nhỏ nhất tức là dấu “=” xảy ra, để dấu “=” xảy ra thì
Khi và .
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là .
11. Tính các phép toán sau bang cách hợp lý nhất.
a.
b.

c.
HD:
a.
b.
c.

12.Tính giá trị các biểu thiểu thức sau bằng cách hợp lí.
a.
b.
c.
HD:
a.

b.
25