Bộ đề ôn luyện 8 điểm toán

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

01. BỘ ĐỀ ÔN LUYỆN MỤC TIÊU 8 ĐIỂM TOÁN
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn – Đề số 01
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y =
Câu 2 (1,0 điểm). Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y =

2x −1
.
x +1

2x −1
với đường thẳng y = x + 7 và viết
x +1

phương trình tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm ấy.

Câu 3 (1,0 điểm).
a) Tìm các số phức 3z + z và

3+i
biết z = 1 + 2i .
z

b) Giải bất phương trình: log 3 ( x 2 − 5 x + 7) + log 1 ( x − 1) ≥ 0 .
3

1

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân

∫ 3x

2

− 2 x + ln(2 x + 1)  dx .

0

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là
x − 2 y + 2 z − 3 = 0 ; x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 4 z − 16 = 0 . Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu (S).
Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Câu 6 (1,0 điểm).
sin 2 α + 3sin α cos α − 7 cos 2 α
3sin 2 α − 5cos 2 α
b) Để tham gia hội thi “Khi tôi 18” do Huyện đoàn tổ chức vào ngày 26/03, Đoàn trường THPT ĐVH thành
lập đội thi gồm có 10 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Từ đội thi, Đoàn trường chọn 5 học sinh để tham gia

a) Cho tan α = 4 , tính giá trị biểu thức P =

phần thi tài năng. Tính xác suất để 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ.

Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , ABC = 600 , SA vuông góc
với mặt phẳng ( ABCD) , góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) bằng 450 . Tính thể tích khối chóp

S.ABCD và góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD).
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 3 3 ,
đỉnh D thuộc đường thẳng d:

3 x − y = 0 , ACB = 30° . Giao điểm của đường phân giác trong góc ABD và

đường cao của tam giác BCD kẻ từ C là điểm H
đều nhỏ hơn

(

)

3;3 . Tìm tọa độ các đỉnh B, D biết hoành độ của B và D

3.

( 4 − y ) x − 2 + 7 − 2 y = 85 − 50 x − 7 y + 13 y 2 − x 3

Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 
 2 x 2 + 3 xy + 4 y 2 + 4 x 2 + 3 xy + 2 y 2 = 3( x + y )

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu
1a

Nội dung

•

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

-

TXĐ : D = ℝ \ {−1} .

-

y' =

-

Hàm số không có cực trị.

-

Giới hạn : lim

-

1b

2b

2x −1
x +1

1,00

3
> 0, ∀x ≠ −1 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng của TXĐ.
( x + 1) 2

2x −1
= 2 ⇒ y = 2 là TCN.
x →±∞ x + 1
2x −1
2x −1
lim−
= +∞; lim
= −∞ ⇒ x = −1 là TCĐ.
x →−1+ x + 1
x →−1 x + 1

0,25

0,25

•

Vẽ BBT
0,25
Vẽ đồ thị.
0,25
Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C ) với đường thẳng y = x + 7 và viết phương trình
1,00
tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm ấy.

-

Phương trình hoành độ giao điểm :

2x −1
= x + 7 ⇔ x 2 + 6 x + 8 = 0, x ≠ −1
x +1

-

 x = −2 ⇒ y = 5
⇔
. Các giao điểm là A ( −2;5 ) , B ( −4;3)
 x = −4 ⇒ y = 3
y ' ( −2 ) = 3 ⇒ tiếp tuyến tại A là y = 3 x + 11 .

-

y ' ( −4 ) =

-

2a

Điểm

1
1
13
⇒ tiếp tuyến tại B là y = x + .

3
3
3

π

2 sin(2 x + ) + cos x + cos 3 x = sin 2 x
4
- Phương trình ⇔ cos 2 x + (cos x + cos 3 x) = 0 ⇔ cos 2 x(2 cos x + 1) = 0 .
π kπ
2π
; x=±
+ k 2π
Giải được nghiệm : ⇔ x = +
4 2
3
• Giải bất phương trình: log 3 ( x 2 − 5 x + 7) + log 1 ( x − 1) ≥ 0
•

Giải phương trình :

0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50

3

3a

•
-

3b

•

BPT ⇔ log 3 ( x 2 − 5 x + 7) ≥ log 3 ( x − 1) ⇔ x 2 − 5 x + 7 ≥ x − 1 > 0

x > 1
⇔ 2
⇔ T = (1; 2] ∪ [ 4; +∞ ) .
x − 6x + 8 ≥ 0
3+i
Tìm các số phức 3z + z và
biết z = 1 + 2i .
z
3 z + z = 3(1 + 2i ) + 1 − 2i = 4 + 4i
3 + i 3 + i ( 3 + i )(1 − 2i )
=
=
= 1− i .
z
1 + 2i
5
Đội có 10 nam và 5 nữ. chọn lấy 5 học sinh. Tính xác suất có cả nam và nữ.

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

-

5
Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 5 của 15 nên n(Ω) = C15
= 3003

-

Số cách chọn là n(A) = C C + C C + C C + C C = 2750

-

Xác suất cần tìm là : P =

0,25

4

1
10

4
5

2
10

3
5

3
10

2
5

4
10

1
5

2750 250
=
3003 273

0,25

1

•

Tính tích phân :

∫ 3x

2

− 2 x + ln(2 x + 1)  dx .

1,00

0

-

1

1

1

0

0

0

I = ∫ 3x 2 − 2 x + ln(2 x + 1)  dx = ∫ (3 x 2 − 2 x) dx + ∫ ln(2 x + 1) dx
1

-

0,25

1

I1 = ∫ (3 x 2 − 2 x) dx = (x 3 − x 2 ) = 0

0,25

0

0
1

-

I 2 = ∫ ln(2 x + 1)dx
0

-

2

1
dx

u = ln(2 x + 1)
2x
1
du =
Đặt 
dx
⇔
2 x + 1 nên I 2 = x ln(2 x + 1) 0 − ∫
2x + 1
dv = dx
0
v = x

0,25

1

5

1 
3
3

I 2 = ln 3 − ∫ 1 −
 dx = ln 3 − 1 . Vậy I = I 2 = ln 3 − 1 .
2x +1 
2
2
0

0,25

•
-

1,00
mp(P): x − 2 y + 2 z − 3 = 0 ; mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 4 z − 16 = 0
Mặt cầu (S) có tâm I (1; −2; 2); R = 5 .
0,25
Mặt phẳng (α ) song song với mp(P): x − 2 y + 2 z − 3 = 0 nên phương trình mặt phẳng
0,25
(α ) có dạng : x − 2 y + 2 z + c = 0 (c ≠ −3) .

-

Vì mp (α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇒ d (I;(α )) = R ⇔

-

x − 2 y + 2z + 6 = 0
c = 6
c = −24 nên phương trình mp (α ) là : x − 2 y + 2 z − 24 = 0 .


6

1+ 4 + 4 + c
3

=5

0,25
0,25

S

H
A

D

1,00
E
K

B

C

F

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

-

Kẻ AE ⊥ CD , thì mp (SAE) ⊥ CD ⇒ SE ⊥ CD , nên góc giữa mp(SCD) và mp(ABCD)
là góc SEA = 450 .

-

0,25

∆ACD đều cạnh 2a nên AE = 3a ⇒ SA = 3a
Diện tích đáy S ABCD = 2.S ACD = AE.CD = 2 3a 2 .
1
Thể tích khối chóp : V = SA.S ABCD = 2a 3 .
3

0,25

Gọi K là hình chiếu của B trên (SCD) thì SK là hình chiếu của SB trên (SCD) nên góc giữa
SB và mp(SCD) là góc BSK .

7

Gọi H là hình chiếu của A trên SE, thì AH ⊥ (SCD) , và AH =

a 6
.
2

a 6
. Tính được SB = 7 a .
2
BK
42
Xét tam giác vuông SBK ta có sin BSK =

=
.
SB
14

0,25

Do AB // mp (SCD) ⇒ BK = AH =

0,25

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 3 3 , đỉnh D thuộc
đường thẳng d:

3 x − y = 0 , ACB = 30° . Giao điểm của đường phân giác trong góc ABD và

đường cao tam giác BCD kẻ từ C là điểm H
D đều nhỏ hơn

(

)

3;3 . Tìm tọa độ các đỉnh B, D biết hoành độ B và

1,00

3.
H

A

D

0,25
I

B

C

- Gọi I = AC ∩ BD . Đặt AB = x ⇒ BC = x 3 , có S = AB.BC=3 3 nên x = 3 .
Ta có DBC = ACB = 300 ⇒ ABD = 600 ⇒ HBD = 300 ⇒ BD là phân giác trong của góc

HBC và cũng là đường cao nên BD là trung trực của

HC ⇒ HD = CD = 3 ; 0,25

BHD = BCD = 900 và BH = BC = 3 .

3
( T/M )
t =
 3 3
2
D ∈ d ⇒ D t; 3t ; HD = 3 ⇔ 
⇒ D 
;  .
0,25
2

2
 3 3

( Loai )
t =

2
 3 3
Đường thẳng HB đi qua H( 3;3) , có vecto pháp tuyến DH = 
nên có phương trình:
 2 ; 2 


0,25
3
3
x − 3 + ( y − 3) = 0 ⇔ x + 3 y − 4 3 = 0 .
2
2

(

(

)

)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

b 

B ∈ HD ⇒ B  b; 4 −

3



5 3
b=
( Loai )

2
− 3 9
b


2
⇒ B 
HB = 3 ⇔ b − 3 + 1 −
;  .
 =9⇔ 
2
2

3


− 3

( T/M )
b =
2

− 3 9
 3 3
Vậy tọa độ các điểm B, D là : B 
;
;
D
; 


 2 2


 2 2
( 4 − y ) x − 2 + 7 − x − y = 85 − 50 x − 7 y + 13 y 2 − x 3

• Giải hệ : 
 2 x 2 + 3 xy + 4 y 2 + 4 x 2 + 3 xy + 2 y 2 = 3( x + y )
7
11
23
7
11
- Ta có 2 x 2 + 3 xy + 4 y 2 = ( x + y) 2 +
(x − y) 2 ≥ ( x + y)2 .

6
6
36
6
6
7
11
7
11
7
11
- Nên 2 x 2 + 3 xy + 4 y 2 ≥ ( x + y) 2 = x + y ≥ x + y .
6
6
6
6
6
6

(

8

(b < 3 ) .
2

)

1,00

11
7
11
7
11
7
4 x 2 + 3 xy + 2 y 2 ≥ ( x + y) 2 =
x+ y ≥ x+ y
6
6
6
6
6
6

-

Tương tự

-

Cộng lại ta được :

2 x 2 + 3 xy + 4 y 2 + 4 x 2 + 3 xy + 2 y 2 ≥ 3( x + y ) dấu bằng xảy ra khi

x = y ≥ 0.
7 11 23
; ;
trên như sau :
6 6 36

2 x 2 + 3 xy + 4 y 2 = (ax + by ) 2 + c.(x − y) 2
Do tính đối xứng nên giả sử :  2
2
2
2
4 x + 3 xy + 2 y = (b x + ay ) + c.(x − y)
a 2 + c = 2

Khai triển và đồng nhất hệ số ta có hệ số của x là b 2 + c = 4
a + b = 3 do VP = 3(x + y)

7
11
23
Trừ từng vế (1) cho (2) và kết hợp với (3), ta được a = ; b = ; c =
.
6
6
36
Chú ý : Cách tìm các hệ số

9

-

PT (1) ⇔ ( 4 − x ) x − 2 + 7 − 2 x = 85 − 57 x + 13x 2 − x3
⇔ ( 4 − x ) x − 2 + 7 − 2x =

-

( 5 − x ) ( x − 4 )

2

0,25

+ 1


Áp dụng bất đẳng thức bunhia copki ta có :

VT 2 ≤ (4 − x) 2 + 12  .[ (x − 2) + (7 − 2 x)] = (4 − x) 2 + 12  .(5 − x)
⇔ ( 4 − x ) x − 2 + 7 − 2x ≤

-

0,25

Dấu bằng xảy ra khi ⇔

( 5 − x ) ( x − 4 )

2

+ 1


4− x
1
=

⇔ x = 3 , nghiệm (x; y) = (3;3)
x−2
7 − 2x
2

2

y
y
y
 y
 y

Có thể chia hai vế cho x ≥ 2 ⇒ 2 + 3 + 4   + 4 + 3 + 2   ≥ 3 1 + 
x
x
x
x
x


Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

0,25