Bài tập lý thuyết điều khiển

7.

Chứng minh rằng ảnh Fourier của một hàm x ( t ) có miền xác định giới nội [a ,b ] , tức là
x( t )  0 khi t  [ a , b ] , xác định trên toàn bộ trục số      .

8.

Cho x( t )  1( t  T )  1( t  T ) . Tìm ảnh X(j  ) và

9.

a) Kiểm tra tính chất của nó nêu trong định lý RiemannLebesgue,
b) Kiểm tra quan hệ Parseval.
Tìm tín hiệu x ( t ) có ảnh Laplace
a)

X ( s) 

c)

X ( s) 

2s2  13s  17
s2  4s  3
5s2  19s  20

s4  7s3  17s2  17s  6
10. Tìm ảnh Laplace của các tín hiệu ở hình 2.128.
a)

b)

x(t)
1

b)

X ( s) 

d)

X ( s) 

s3  5s2  9s  7
( s  1)( s  2)

7s2  20s  75
s3  6s2  25s

x(t)
1

t
T

t

2T

T

2T

3T

4T

Hình 2.128: Cho bài tập số 10.

11. Xác định các giá trị đầu x( 0),
a)

X ( s) 

c)

X ( s) 

dx( 0) d 2 x( 0)
,
của tín hiệu causal x(t) có ảnh Laplace:
dt
dt 2

1
sTI (1  sT1 )(1  sT2 )

s1
2s  3 s  4
2

b)

X ( s) 

d)

X ( s) 

1  sT
(1  sT1 )(1  sT2 )
1
(1  sT )n

, n=0,1,2, 

12. Xác định điều kiện để tín hiệu x(t) với ảnh Laplace:

X ( s) 

b0  b1s  ...  bm sm
a0  a1s  ....  an sn

thỏa mãn
a)

lim x( t )  0

b)

t 0

lim x( t )  0

t 

13. Giải các phương trình vi phân sau
a)

d3 y
dt

3

2

b)

d y
dt

c)

2

d2 y
dt

2

5

d2 y
dt

2

6

dy
dy( 0)
d 2 y( 0)
 0 với y( 0)  5,
 8,
 28
dt
dt
dt 2

3

dy( 0)
dy
5
 2 y  20 cos2t với y( 0)  1,
dt
dt

3

dy( 0)

dy
b
 2 y  0 với y( 0)  a,
dt
dt

219


14. Cho một hệ gồm một lò xo có hệ số đàn hồi c và một vật khối lượng m như hình 2.129a) mô tả.
Tại thời điểm t  0 vật bị một lực tác động tức thời làm bật ra khỏi vị trí cân bằng y( 0)  0

dy( 0)
 v0 . Bỏ qua lực ma sát, hãy xác định phương trình dao động
dt
sau đó của vật xung quanh điểm cân bằng. Biên độ dao động lớn nhất của vật là bao nhiêu?
và có vận tốc ban đầu là

a)

b)

R1

R2

Hình 2.129: Cho bài tập 14
và 15.

u

y
y
15. Hình 2.129b) mô tả một mạch điện gồm hai điện trở R 1 , R 2 và hai tụ điện C 1 , C 2 . Hãy xác
định điện áp đầu ra y ( t ) của mạch điện nếu tại đầu vào có u( t )  U 01( t ) , biết rằng tại thời điểm

t  0 cả hai tụ cùng chưa được nạp điện.
16. Cho hệ gồm một lò xo có hệ số đàn hồi c , một vật có khối lượng m như hình 2.130a) mô tả. Xác
định phương trình mô tả chuyển động của vật dưới tác động của lực u(t) vào vật có để ý đến lực
ma sát tĩnh với hệ số  . Hệ có tuyến tính không và tại sao?
a)

b)

y

y1

y2

Hình 2.130: Cho bài tập 16 và bài tập 17.

17. Hình 2.130b) mô tả hệ gồm ba lò xo có cùng hệ số đàn hồi c và hai vật với cùng khối lượng m
đang ở vị trí cân bằng. Tại thời điểm t  0 vật thứ hai bị một lực tức thời đánh bật ra khỏi vị trí
cân bằng với vận tốc v0. Bỏ qua lực ma sát, hãy xác định phương trình chuyển động của vật thứ
nhất. Hệ có tuyến tính không và tại sao?
18. Xác định xem những hệ nào trong số các hệ sau là tuyến tính, tuyến tính không dừng và tuyến
tính tham số rải
a)

d2 y

dt

c)

2

d2 y
2

2

dy
du
 3y 
 5u
dt
dt

 2y

b)

t4

dy
du
 cos(t 2 ) y  5
 2u
dt
dt

dy
 2y  u
dt

dt
19. Hãy xác định hàm trọng lượng g(t) và hàm quá độ h(t) của những hệ tuyến tính có hàm truyền
G(s) như sau:
a)

s1
2s2  3s  4

b)

1  2s
(1  3s)(1  5s)

c)

1
0,2s(1  s)(1  3s)

20. Xác định hàm truyền của hệ thống có sơ đồ điểm cực (được đánh dấu bởi ) và điểm không
(được đánh dấu bởi O) cho trong hình 2.131, biết rằng G(0)  2 . Tìm và vẽ đồ thị hàm trọng
lượng, hàm quá độ. Có nhận xét gì về hệ thống qua các đồ thị đó.
220


21. Cho hệ thống có sơ đồ khối như hình 2.132. Hệ có tín hiệu vào

u(t), gọi là tín hiệu chủ đạo và ra y ( t ) . Tín hiệu n ( t ) là nhiễu
tác động vào hệ. Tín hiệu e(t) là sai lệch giữa tín hiệu chủ đạo
u ( t ) so với thực tế hệ có được y ( t ) . Ký hiệu ảnh Laplace của
u(t) là U(s), của y(t) là Y(s), của n(t) là N(s) và của e(t) là
E(s). Hãy

—
3

—
1

1

Hình 2.131: Cho bài tập 20.

Y ( s)
của hệ khi không có nhiễu.
U ( s) n ( t )0

a)

Xác định hàm truyền G( s) 

b)

Xác định hàm nhạy của hệ (sensivity function) S( s) 

Y ( s)
( hàm nhạy có tác dụng

N ( s) u ( t )0

đo thành phần nhiễu có lẫn trong tín hiệu ra).
c)

Xác định hàm truyền biểu diễn sai lệch theo đầu vào E1 ( s) 

d)

Xác định hàm truyền biểu diễn sai lệch theo nhiễu E2 ( s) 

a)

b)

n

E ( s)
U ( s) n ( t )0

E ( s)
N ( s) u ( t ) 0

n
G2

G2
u

e

u

y
G1

G3

e

y
G3

G5

G5

G4

G4
G1
Hình 2.132: Cho bài tập 21

22. Sử dụng công thức định nghĩa hàm đặc tính tần, hãy xác định hàm trọng lượng g(t) cho các hệ
có hàm đặc tính tần như sau:
a)

G( j  ) 

c)

G( j  ) 

1
1  j
1
(1  j  )2

b)

G( j  ) 

d)

G( j  ) 

1
(1  j  )(1  2 j  )
1
(1  j  )2 (1  2 j  )

23. Hãy vẽ đồ thị đặc tính tần biên  pha và đồ thị Bode cho các hệ có hàm đặc tính tần cho trong bài
22.
24. Sử dụng kết quả bài 23, hãy xác định đáp ứng đầu ra của những hệ đó, khi đầu vào là tín hiệu
điều hoà:
a)

u( t )  sin t

c)


 1  t khi t  1
u( t )  x( t ) * s( t ) với x( t )  
và s(t) là hàm trích mẫu chu kỳ 1.

0 khi t  1

b)

u( t )  sin t  sin 2t

25. Hãy vẽ đường đặc tính tần biênpha, đường đặc tính tần logarith (biểu đồ Bode) của những hệ
thống có hàm truyền cho như sau
221


a)

G( s) 

1
1  sT

b)

G( s) 

c)

G( s) 

k
s(1  sT1 )(1  sT2 )

d)



1
G( s)  k  1 
 sTD 
sTI



1
(1  sT1 )(1  sT2 )

26. Hãy xác định hàm truyền cũng như các thành phần khuếch đại, tích phân, vi phân của các hệ cho
ở hình sau:

R1

R2

u

R

y

L

C

L

y

u
b)

R2

u

y

C

a)

R1

C

u

y

c)

u

L

d)

R1

L1
C

L2

y

u

e)

C1

R2
y

C2

f)

Hình 2.133: Cho bài tập 26

27. Chứng minh rằng đường đặc tính tần số biênpha của hệ có hàm truyền:
G( s) 

b0  b1s  b2 s2
a0  a1s  a2 s

2

a
c ó a0 a2  0, a1  0 và det  0
 b0

a2 
0
b2 

là một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn.
28. Cho hệ thống SISO mô tả bởi:

4

G( s) 

( s  3)2 ( s  2)( s  1)
Hãy xác định tín hiệu u(t) sao cho khi kích thích hệ từ trạng thái 0 bằng u(t) ở đầu vào thì sau
0

một khoảng thời gian đủ lớn hệ sẽ có đáp ứng y(t) có góc lệch pha với u(t) là 90 .
29. Tìm hàm truyền của những hệ thống có sơ đồ khối sau
a)

b)

u

y(t)
b2

b1

b0

b0

b1

a1

a0

a0

a1

b2

y

u
c)

d)

u
222

y

u
G1

G2

G3

G4

Hình 2.134: Cho bài tập 29

G3
G1

y
G2


30. Xác định hàm truyền của những hệ thống có sơ đồ tín hiệu cho trong hình 2.135

a)

b)

b1

b

1

b2

a1
Hình 2.135: Cho bài tập 24

a1
a2

a2

31. Hãy tìm hàm truyền G(s) hợp thức và bền cho hệ tuyến tính, biết rằng phần thực T(  ) của hàm
đặc tính tần G(j  ) của hệ là:
a)

T ( )  Re G( j  ) 

5  20 2
1  17 2  16 4

T ( )  Re G( j  ) 

b)

 4  2 2
 4  5 2  4

32. Hãy tìm hàm truyền G(s) hợp thức và bền cho hệ tuyến tính, nếu lim G( s)  0 và phần ảo A()
s

của hàm đặc tính tần G(j  ) của hệ là
a)

A( )  I m G( j  ) 

25
1  17 2  16 4

A( )  I m G( j  ) 

b)

3 3  

 4  5 2  4

33. Cho hệ thống phản hồi tín hiệu ra có sơ đồ khối mô tả ở hình 2.136a). Hãy tìm hàm truyền của hệ
thống khi G(s) có cấu trúc cho trong các hình 2.136b) và 2.132c). Trong trường hợp nào thì hệ
sẽ là hệ pha cực tiểu?.

u

Hình 2.136: Cho bài tập 33

a)

x

k
x

y

G(s)
y

x

y

k3
c)

b)

34. Kiểm tra xem hàm đặc tính tần của khâu IT1 có thỏa mãn định lý 2.11 về toán tử Hilbert không
và giải thích tại sao?.
35. Xác định hàm truyền G(s) cho các hệ có hàm trọng lượng sau:
a)

g( t )  2  t  3t 2

b) g( t )  t 2 sin t

c) g( t )  ( t  t 2 )cos t

223


36. Không tìm nghiệm, hãy chỉ ra rằng tất cả nghiệm của đa thức sau đều có phần thực nhỏ hơn 1
a)

3

2

A(s) = s + 8s + 22s + 20

4

b)

3

2

A(s) = s + 10s + 38s + 64s + 40

37. Sử dụng tiêu chuẩn Routh, hoặc Hurwitz để kiểm tra tính ổn định hệ thống có đa thức đặc tính
sau
6

5

4

3

2

a)

A(s) = 1,15s + 7,25s + 18,60s + 24,84s + 18,20s + 6,69s + 1,08

b)

A(s) = 5s + 47s + 140,55s + 168,67s + 82,63s + 13,8

c)

A(s) = 25s + 87,5s + 80s + 5,5s  8,64s + 0,72

5

4

3

5

4

2

3

2

Có bao nhiêu điểm cực s k của hệ thỏa mãn 0  Re sk  1 và 1  Re sk  0 .
38. Sử dụng tiêu chuẩn Michailov để kiểm tra tính ổn định hệ thống có phương trình đặc tính
5

4

3

5

4

3

2

a)

A(s) = s + s + 20s + 10s + 64s + 9

b)

A(s) = s + s + 25s + 5s + 144s + 4

2

39. Xác định có tồn tại hay không tham số a  0 để hàm quá độ của những hệ thống có hàm truyền
G(s) như sau không có độ quá điều chỉnh:
a)

(1  as)2
(1  s)(1  0,8 s)

b)

(1  0,5s)(1  as)

c)

(1  0,75s)(1  a 2 s)

(1  s)(1  2s)(1  3s)
(1  0,5s)(1  a 2 s)(1  as)2

40. Cho hệ tuyến tính tham số hằng. Gọi g(t), h(t) lần lượt là hàm trọng lượng và hàm quá độ của
hệ. Chứng minh rằng:
dh( t )
 h( t ) ( t )  g( t )
dt

41. Cho hệ có hàm truyền G( s) 

1

1  2DTs  (Ts)2

, 0 D 1



a)

2

Giữ T cố định, hãy xác định D để Q    h( t )  h  dt  min , trong đó h(t) là hàm quá
0

độ của hệ và h  lim h( t )
t 

b)

Tại sao đối với việc tối ưu Q  min thì tham số T lại không có ý nghĩa.

c)

Xác định độ quá điều chỉnh hmax = hmax(t)  h .

d)

Tính các giá trị T , Tmax và T5% .

42. Hãy chỉ rằng hệ kín có hàm truyền hệ hở G h (s) =

k  s

e sẽ ổn định nếu  <
.
2k
s

43. Xét hệ hồi tiếp với hệ hở có hàm truyền

Gh ( s)  k

b0  b1s 

 bn sn

a0  a1s 

 an sn

Giả sử rằng hệ hồi tiếp là ổn định. Chứng minh rằng khi được kích thích bởi tín hiệu 1(t) ở đầu
vào, hệ sẽ có sai lệch tĩnh e là

224


e  lim e( t ) 
t 

a0
1


1  Gh (0) a0  kb0

Từ đó rút ra được điều kiện cần phải có như thế nào của Gh(s) để sai lệch tĩnh e của hệ hồi
tiếp bằng không.

2
s( s  2)
Vẽ đồ thị đường đặc tính tần biên pha của hệ hở
Vẽ đồ thị Nyquist của hệ hở và từ đó kết luận về tính ổn định của hệ kín
Hai đồ thị trên khác nhau ở điểm nào?

44. Cho hệ kín có hàm truyền của hệ hở là Gh ( s) 
a)
b)
c)

45. Hãy sử dụng tiêu chuẩn Nyquist để biện luận tính ổn định hệ kín có hàm truyền của hệ hở G h (s)
là
a) Gh ( s) 

k(1  2s)
(1  s)(1  3s)

b) Gh ( s) 

46. Cho hệ kín có hàm truyền của hệ hở là Gh ( s) 

k( s  1)( s  2)
( s  1)( s  1)( s  3)

k
2

1  3s  2s  6s3  2s4

a)

Có bao nhiêu điểm cực của hệ hở G h (s) không nằm bên trái trục ảo?

b)

Vẽ đồ thị Nyquist của hệ hở G h (s) ứng với k  1 .

c)
d)

Hãy sử dụng tiêu chuẩn Nyquist để xác định hằng số k làm hệ kín ổn định.
Hãy kiểm tra lại kết quả của câu c) nhờ tiêu chuẩn Routh.

47. Hãy xây dựng quỹ đạo nghiệm số cho hệ kín có hàm truyền của hệ hở cho sau đây và biện luận
chất lượng hệ kín từ dạng quỹ đạo nghiệm số thu được
a)

k( s  2)
( s  1)( s  3)

b)

k( s  1)( s  3)
s( s  2)( s  4)( s  5)

c)

d)

k(1  0,2s)
6s(1  0,5s)(1  0,33s)

e)

(1  3s)(1  s)
(1  ks)(1  2s)(1  4s)

f)

g)

k
2

(1  0,5s)(1  1,32s  (0,33s) )

i)

k(1  0,2s)
6s(1  0,5s)(1  0,33s)

k
2

s( s  20)( s  20s  200 )

2,7
(1  0,5s)(1  0,66ks  (0,33s)2 )

48. Xét hệ kín cho ở hình 2.137a), trong đó đối tượng S ( s ) có chứa thành phần bất định không cấu
trúc  S thỏa mãn S( j  )  max ( ) với mọi  . Giả thiết rằng hệ có hàm truyền hệ hở
R(s) [ S(s),S ] bền với mọi  S .
a)

u

b)

e

R(s)

S(s),S

S(s)

y

S
c)

S(s)
Hình 2.137: Cho bài tập 48 và 49

S
225


Chứng minh rằng hệ kín sẽ ổn định bền vững khi và chỉ khi
a)

º T  maxº  < 1 nếu kiểu sai lệch mô hình đối tượng là bù nhân (hình 2.137b), trong đó
RS
là ký hiệu của hàm bù nhạy.
T ( s) 
1  RS

b)

º R S  maxº  < 1 nếu kiểu sai lệch mô hình đối tượng là bù phối hợp (hình 2.137c).

49. Xét hệ cho ở hình 2.137a) với kiểu bất định  S của đối tượng cho ở hình 2.136b) thỏa mãn
S( j  )  max ( ) với mọi  . Giả thiết rằng hệ có hàm truyền hệ hở R(s) [ S(s),S ] bền với
mọi  S . Chứng minh rằng để hệ vừa ổn định bền vững, vừa có độ nhạy K ( s) 

1
thỏa
1  RS

mãn K ( j  )    thì cần thiết phải có

min 1  , max   1, 
50. Sử dụng tiêu chuẩn Kharitonov để kiểm tra tính Hurwitz chặt của các đa thức sau:
a)

4

3

2

A(s) = s + a 3 s + a 2 s + a 1 s + a 0
với 6  a0  30, 20  a1  100, 20  a2  70, 7  a3  16

b)

3

2

A(s) = a 3 s + a 2 s + a 1 s + a 0
với 0  a0  30, 30  a1  50, 20  a2  60, 10  a3  15

51. Hãy xác định các tham số bộ điều khiển I hoặc PI hoặc PID nếu đối tượng có hàm truyền:
a)

1
1  4s

b)

2
2
c)

(1  0,2s)(1  3s)
(1  3s)(1  2s)(1  s)

2

d)

(1  3s)(1  5s)(1  0,3s)5
0,5s

52. Giống như bài tập 51) nhưng cho trường hợp đối tượng có thêm khâu giữ trễ e

.

53. Hãy xác định tham số tối ưu đối xứng cho bộ điều khiển PID (ứng với a  2, a  4 và a  9 )
để điều khiển các đối tượng có hàm truyền như sau:
a)

2
s(1  1,5s)

b)

3
2s(1  s)(1  3s)

c)

2
s(1  2s)(1  6s)

Hãy ước lượng độ quá điều chỉnh  h của hệ với những bộ điều khiển tìm được, đồng thời so
sánh với độ quá điều chỉnh của hệ cho trường hợp a = 4 và hệ được nối thêm bộ tiền xử lý để
giảm độ quá điều chỉnh.
2s

54. Giống như bài tập 53) nhưng cho trường hợp đối tượng có thêm khâu giữ trễ e
55. Hãy thiết kế bộ điều khiển theo hàm truyền mẫu Gm ( s) 

1
( s  2)2

.

cho những đối tượng có hàm

truyền sau:
a)

S( s) 

2( s  2)
s2  1

b)

S( s) 

2
s2  4

c)

S( s) 

s 2
s( s  1)

56. Hãy xác định tập O gồm những bộ điều khiển làm ổn định nội cho đối tượng có hàm truyền sau:
s1
s1
s1
a ) S( s) 
b) S( s) 
c) S( s) 
s( s  2)
s( s  2)
s( s  2)
226


57. Cho đối tượng mô tả bằng hai hàm truyền S 1 , S 2 (tại hai điểm làm việc khác nhau), trong đó S 1
là hàm bền. Chứng minh rằng S 1 , S 2 sẽ ổn định song hành được khi và chỉ khi S  S2  S1 là
ổn định mạnh được.
58. Hãy xác định hàm truyền tương đương của hệ có sơ đồ khối ở hình 2.138.
a) Biết

G1  G4  G6  1, G3  G5  G7  1, G9  k, G2  G8 

b)

1 s
1  s  2s2  s3  s4

.

Hãy xác định hằng số k để hệ ổn định.
Biết

G1  G4  G5  G6  1, G2  G7  0, G3  k1 , G9  k2 , G8 

1  s2

.

1  2s  s2  s3  s4

Hãy xác định hai hằng số k1, k2 để hệ ổn định và có sai lệch tĩnh bằng 0, tức là có
lim  y( t )  u( t )  0 , khi hệ được kích thích bằng tín hiệu hằng ở đầu vào.

t 

c)

Với các điều kiện như ở câu b) và hai hằng số k1, k2 tìm được ở đó, hãy xác định sai lệch
tĩnh (ở chế độ xác lập) khi tín hiệu vào là u  sin 2t .

G3
u
Hình 2.138: Cho bài tập 58

G1

G4

G6

G8

G2

G5

G7

G9

y

227


[1]
[2]

Anderson, B.D. and Moore, J.B.: Linear Optimal Control. PrenticeHall, NJ, 1971.
Ästrửm, K.J. and Wittenmark, B.: Adaptive Control. AddisionWesley Publishing Company, Inc.
1995.

[3]

Balas, G.; Doyle, J.C.; Glover, K.; Packard, A. and Smith, R.: Analysis and Synthesis
Toolbox. MatLab User's Guide.
Burmeister, H.L.: Automatische Steuerung. VEB Verlag Technik Berlin, 1976.
Bửgel, K; Tasche, M.: Analysis in normierten Rọumen. Akademie Verlag Berlin, 1974.
Chiang, R. and Safonov, M.: Robust Control Toolbox. MatLab User's Guide.
Chui, C. K. and Chen, G.: Linear System and Optimal Control. Springer Verlag, Heidelberg New
York, London, Paris, Tokyo, 1989.
Doyle,J.; Francis, B. and Tannenbaum,A.: Feedback Control Theory. Macmillan Publishing C0.,
1990.
Fossard, A.: Multivariable System Control. NorthHolland Publishing Company, 1972.
Fửllinger, O.: Regelungstechnik (xuất bản lần 9). Hỹthig Buch Verlag Heidelberg, 1996.
Katsuhito Ogata: Modern Control Engineering. PrenticeHall International Inc., 1995.
Lutz, H.; Wendt, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik. Verlag Harri Deutsch, 1998.
Mỹller, K.: Entwurf robuster Regelungen. B.G. Teubner Stuttgart, 1996.
Phước, N.D. và Minh, P.X: Nhận dạng hệ thống điều khiển. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật,
2001.
Phước, N.D. và Minh, P.X: Điều khiển tối ưu và bền vững (xuất bản lần thứ 2). Nhà xuất bản
Khoa học và Kỹ thuật, 2000.
Phước, N.D.: Lý thuyết điều khiển nâng cao. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2005.
Reinschke, K.: Steuerung kontinuierlicher Prozesse. Skriptum zur Vorlesung, TUDresden, 2002.
Safonov, M.G.: Stability and Robustness of Multivariable Feedback Systems. MIT Press,
Cambridge, MA, 1980.
Unbehauen, R.: Systemtheorie (xuất bản lần 6). R. Oldenbourg Verlag Mỹnchen Wien, 1993.
Zhou,K.; Doyle,J.C. and Glover,K.: Robust and Optimal Control. Prentice Hall, 1996.

[4]
[5]
[6]
[7]

[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]

228