DE THI VAO 10 LOP CHON THPT SAM SON 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA Đề thi kiểm tra chất lượng vào lớp 10

Trường THPT Sầm Sơn

Năm học 2015 - 2016
Môn Toán

Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức P = (

x2
x2 x



1
x 2

).

x 1
x 1

a) Rút gọn P với x > 0 và x  1
b) Tìm x để P = 2 x + 5
Câu 2 : ( 2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) y =

1 2
x và đường thẳng
2

(d) : y = mx + 2

a) Tìm giá trị của m để (d) đi qua A thuộc (P), biết hoành độ của A là xA = 4
b) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m. Gọi x1, x2 là hoành độ
giao điểm, tìm m để x13 + x23 = 32
Câu 3 : ( 2,0 điểm)
2 3
 x  y  12

a) Giải hệ phương trình : 
 5  2  19
 x y
4x
5x
3
 2

b) Giải phương trình : 2
x  x  3 x  5x  3
2
Câu 4 : (2,0 điểm ) Cho hình thang ABCD ( AB // CD ), giao điểm hai đường chéo là O.
Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
MO
MO
MN
MN
a) Chứng minh :
+
=1 và
+
=2
CD

AB
CD
AB
b) Biết SAOB = m2 ; SCOD = n2 . Tính SABCD theo m và n
Câu 5: ( 1,0 điểm ) : Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động
trên cung nhỏ AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh MA + MB = MC
Và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = MA + MB + MC theo a.
Câu 6 : (1,0 điểm ) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh và
a3
b3
c3
3



tìm dấu bằng xảy ra : P=
a  bc b  ca c  ab 2

   HẾT   


GỢI Ý LÀM BÀI
(ĐỀ THI MÔN TOÁN VÒNG 2, LỚP CHỌN TRƯỜNG THPT SẦM SƠN, TH. 2016)

Câu 1. P = (

x2
x2 x



1
x 2

).

x 1
x 1

HD.
a) Với x > 0 và x  1, ta có:
P= [

( x  2)( x  2)



1

x( x  2)
x 2
b) Tìm x để P = 2 x + 5

Ta có: P = 2 x + 5 

].

2( x  1)
x

x  1 2 x  2 x  1 2( x  1)
.

=
x 1
x
x 1
x

 2 x  5  2( x +1)=2x+5 x  2x+3 x 2=0

 1
t  (t / m)
Đặt t= x (đk: t > 0), ta được: 2t +3t2=0   2

 t  2(loaïi)
1
1
1
Với t =  x =  x= (t/m).
2
2
4
1
Vậy x =
4
2

Câu 2 : ( 2,0 điểm )trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) y =

1 2
x và đường thẳng (d)
2

: y = mx + 2
a) Tìm giá trị của m để (d) đi qua A thuộc (P), biết hoành độ của A là xA = 4
b) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m. Gọi x1, x2 là hoành độ
giao điểm, tìm m để x13 + x23 = 32.
HD.
a) Do A  (P) và xA=4  yA=8  A(4; 8). Thay x=4; y=8 vào phương trình đường
3
thẳng (d) được: 8=4m+2  m=
2
3
Vậy m= là giá trị cần tìm.
2
1
b) Phương trình hoành độ giao điểm là: x2=mx+2  x22mx4=0 (*)
2
2
Ta có: ’=m +4 > 0,  m nên pt (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m hay
(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
Ta có: x13  x32  32  (x1  x2 )3  3x1 x 2 (x1  x 2 )  32
(**)

 x  x 2  2m
Áp dụng hệ thức Viét, có:  1
. Thay vào (**), được:
 x1 x 2  4
8m3+24m32=0  m3+3m4=0  (m1)(m2+m+4)=0

m  1

 m=1
(m  1 )2  15  0(VN)

2
4
Vậy m=1 thỏa mãn bài toán.
Câu 3.
HD.
2 3
 x  y  12

a) Giải hệ phương trình : 
.
5
2
   19
 x y
Đk: x, y  0.
1

1
3
x


2a  3b  12

a  3  x
1
1

3 (t/m)



Đặt  a;  b , ta được: 
x
y
5a  2b  19  b  2  1  2
y  1

2
 y
1 1
Vậy (x; y) = ( ; )
3 2
4x
5x
3
 2

b) 2
x  x  3 x  5x  3
2
Đkxđ: x 2  5x  3  0

4

Phương trình 

5



3
2

3
x
3
4
5
3
Đặt t=x+ ta được

   8(t5)+10(t+1)=3(t+1)(t5)
t 1 t  5
2
x
2
2
 18t30=3t +12t+15=0  3t +6t45=0  t2+2t15=0  (t+5(t3)=0
 t  5

t  3
x 1

3
x



x 5

5  13
(t/m)
2
+) Với t=3 x23x+3=0 (vô nghiệm)
+) Với t =5 x2+5x+3=0  x 

Vậy x 

5  13
2

Câu 4 : (2,0 điểm ) Cho hình thang ABCD ( AB // CD ), giao điểm hai đường chéo là O.
Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
MO
MO
MN
MN
a) Chứng minh :
+
=1 và
+
=2
H

A
B
CD
AB
CD
AB
M
O
N
b) Biết SAOB = m2 ; SCOD = n2 . Tính SABCD theo m và n
Gợi ý
a) Do MO // CD và MO // AB nên có:
D
C
K


MO AO MO CO
MO
MO

;


+
=1
CD
AB
CD AC AB CA
NO NO


 1.
Tương tự:
CD AB
MN
MN
Từ (1) và (2) 
+
= 2 (đpcm)
CD
AB

(1)
(2)

SOAB m
AB
AB
m




CD
SOCD n
(AB  CD) m  n
Kẻ đường thẳng đi qua O, vuông góc với AB, cắt AB và CD tại H và K
OH AB m
OH
m





Do  OAB  OCD nên
OK CD n
HK m  n
2
2
m
SOAB
m
OH.AB



 SABCD  (m  n)2

2
2
HK(AB  CD) (m  n)
SABCD (m  n)
Câu 5: (1,0 điểm ) : Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động
trên cung nhỏ AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh MA + MB = MC
Và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = MA + MB + MC theo a.
Gợi ý.
A
Trên tia MC lấy điểm N sao cho MA=MN. Ta có:
2 31
M

M1=B1=600
1
2
  AMN đều  A23=600 .Mà A13=600  A2=A1
  AMB=NAC (cgc)  BM=CN
N
2
2
 MA+MB=MC
1
B 1
Ta lại có: P=MA+MB+MC=2MC  P lớn nhất  MC lớn nhất
C
 MC là đường kính của đường tròn
Khi đó: do MC đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp  ABC
nên CM là đường phân giác ACB
b) Do OAB

 OCD 

 C2=300 và MAC=900. Xét AMC vuông tại A có: MC=
 Pmax=

a
2a 3

0
cos30
3

2a 3
xảy ra khi MC là đường kính.
3

Câu 6 : (1,0 điểm ) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh và
a3
b3
c3
3
tìm dấu bằng xảy ra : P=



a  bc b  ca c  ab 2
Gợi ý. Áp dụng BĐT thức Côsi, ta có:
a3
a3
(a  bc) 1 3a
5a bc 1
  


 
a  bc
4
2 2
a  bc 4
4 2
3
3

3
a
b
c
5
1
3


 (a  b  c)  (bc  ca  ab) 

a  bc b  ca c  ab 4
4
2
2
(a  b  c)
 3 (do a+b+c=3) nên
Vì bc+ca+ab 
3
15 3 3 3
P
   . Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
4 4 2 2


Cách 2. Ta có: 3=a+b+c  3 3 abc  abc  1  bc 

1
a

a3
a3
a4



1 a2  1
a  bc
a
a
4
2
a
a 1 2
a4
3
1

a  2
 a2 
Mà 2
a 1
4
a 1 4
4

3 2
3
(a  b 2  c2 ) 
4

4
2
2
2
2
2
2
Vì 3(a +b +c )  (a+b+c) =9  a +b +c2  3
3
 P  . Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
2
Cách 3. Sử dụng Côsi ngược do mẫu số ở dạng tổng
a3
a2 (a  bc)  a2 bc
a2 bc
a2 bc
a abc
2
2

a 
a 
 a2 
a  bc
a  bc
a  bc
2
2 abc
Tương tự, ta có: P 

abc
(a  b  c)
2
Vì a  b  c  3  abc  1 và a2+b2+c2  3
3
3
 P  3  P  . Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
2
2
Tương tự, ta có: P  a2+b2+c2