De thi vao lop 10 chuyen Ly Tu Trong - Can Tho 2016-2017

Đề bài:
Cho các số thực x, y thỏa mãn x ≤ 2, x + y ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = 14 x 2 + 9 y 2 + 22 xy − 42 x − 34 y + 35.
Phân tích:
Kí hiệu D =

{ ( x, y ) ∈ ¡ 2 x ≤ 2, x + y ≥ 2} . Đặt

A = f ( x, y ) = 14 x 2 + 9 y 2 + 22 xy − 42 x − 34 y + 35.
Ta sẽ xét f ( x, y ) tại các điểm tới hạn và xét trên biên của D.
Để tìm điểm tới hạn của hàm f ( x, y ) ta xét hệ
2

x=
 f x' ( x, y ) = 0

 28 x + 22 y − 42 = 0

2 7
5
⇔
⇔
. Nhưng điểm  , ÷∉ D.
 '
5 5
18 y + 22 x − 34 = 0
 f y ( x, y ) = 0
y = 7


5
Do đó ta còn phải xét f ( x, y ) trên biên của D.
2

5
38 38
- Với x = 2 thì f ( 2, y ) = 9 y 2 + 10 y + 7 =  3 y + ÷ +
≥
> 3.
3
9
9

- Với x + y = 2 ⇔ x = 2 − y thì f ( 2 − y, y ) = ( y − 2) 2 + 3 ≥ 3.
Do đó giá trị nhỏ nhất của f ( x, y ) trên D bằng 3.

Nhận xét: Trên D hàm f ( x, y ) không có giá trị lớn nhất, vì khi cố định x = 0 và cho y → +∞ thì
f ( 0, y ) → +∞.

Lời giải:
Kí hiệu D =

{ ( x, y ) ∈ ¡ 2 x ≤ 2, x + y ≥ 2} . Ta xét hai trường hợp.

7
1
1
2
2 14

* Trường hợp y > . Khi đó A = ( 14 x + 11y − 21) + ( 5 y − 7 ) + .
3
14
70
5
14
1
1 196 14 28
2 196
. Nên A > .0 + .
+ =
> 3 (1).
Ta có 5 y − 7 > ⇒ ( 5 y − 7 ) >
3
9
14
70 9
5
9
7
7
* Trường hợp y ≤ . Lúc này 7 x + 4 y − 7 = 7 x + 7 y − 3 y − 7 ≥ 7.2 − 3. − 7 = 0. Do đó
3
3

( 14 x2 + 22 xy − 42 x ) − ( 14(2 − y)2 + 22(2 − y) y − 42(2 − y) ) = 2( x + y − 2)(7 x + 4 y − 7) ≥ 0.

Suy ra A ≥ 14(2 − y ) 2 + 22(2 − y) y − 42(2 − y) + 9 y 2 − 34 y + 35 = ( y − 2) 2 + 3 ≥ 3 (2).
x ≤ 2
x + y ≥ 2



x = 0
7
⇔
.
Từ (1) và (2) ta có A ≥ 3. Đẳng thức xảy ra khi  y ≤
3
y = 2

( x + y − 2)(7 x + 4 y − 7) = 0

y − 2 = 0
A = 3, đạt được khi x = 0, y = 2.
Vậy ( xmin
, y )∈D