Luận văn bài toán cauchy neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn

BỌ GIÀO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

N G U Y Ễ N T H Ị M IN H T H Ủ Y

BÀI TOÁN cA U C H Y -N EU M ANN Đ ố i VỚI
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI
TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN

LU Ậ N VĂN TH ẠC Sĩ TO Á N HỌC

Hà Nội, 2015


BỌ GIÀO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

N G U Y Ễ N T H Ị M IN H T H Ủ Y

BÀI TOÁN cA U C H Y -N EU M ANN Đ ố i VỚI
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI
TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LU Ậ N VĂN TH ẠC Sĩ TO Á N HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng

Hà Nội, 2015

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn
Mạnh Hùng , người đã luôn quan tâm , động viên và tận tình hướng dẫn
tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo
trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán
giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và
nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người th ân đã động viên
và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Nguyễn Thị Minh Thủy


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn được tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn
trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 06 năm 20ỉ 5

Nguyễn Thị Minh Thủy


M ục lục
M ở đầu
N ộ i d u n g ..

4

Chương 1 . K iến th ứ c chuẩn bị

4

1.1 Các kí hiệu

4

1 .2 . Đạo hàm suy rộng

6

1.3. Không gian Sobolev

8

1.4. Một số bất đẳng thức cơ bản

10

1.4.1. Bất đẳng thức Cauchy với £

10

1.4.2. Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz

11

1.4.3. Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng

11

Chương

2 . B ài to á n C au ch y-N eu m an n đối với phương trìn h

parabolic cấp hai tro n g trụ với đáy k hông trơn

14

2 .1 . Đặt bài toán

14

2 .2 . Tính duy nhất của nghiệm suy rộng

16

2 .2 . 1 . Bất đẳng thức năng lượng

16

2.2.2. Định lý duy nhất nghiệm

18

2.3 Sự tồn tại của nghiệm suy rộng

24

2.4. Ví dụ

33

K ết luận

36

Tài liệu th am khảo

37


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là một bộ phận quan trọng của toán
học, nó được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ 18 trong các công
trình của các nhà toán học như Euler, Dalembert, Lagrange và Laplace,
như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ
học. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thường được chia thành 3
loại: phương trình loại elliptic, phương trình loại parabolic, phương trình

loại hyperbolic. Các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương
trình đạo hàm riêng tuyến tính dạng elliptic, parabolic, hay hyperbolic
trong miền có biên trơn đã được nghiên cứu và đạt được những kết quả
tương đối hoàn chỉnh. Lý thuyết các bài toán biên trong miền không
trơn là một trong những lĩnh vực quan trọng của lý thuyết phương trình
đạo hàm riêng hiện đại, mới được nghiên cứu và phát triển một cách hệ
thống từ những năm 60 của thế kỷ 20. Các bài toán biên đối với phương
trình, hệ phương trình không dừng trong miền có biên không trơn cũng
đã được nghiên cứu trong nhiều công trình với các loại phương trình
khác nhau, trên các loại miền không trơn khác nhau và các cách tiếp
cận khác nhau. Trong các công trình này đã nhận được các kết quả về
sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng và các kết quả về tính trơn cũng
như biểu diễn tiệm cận của nghiệm.
Với mong muốn được hiểu sâu hơn về các bài toán trong miền không
1


trơn, nhờ sự giúp đỡ của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên
cứu đề tài

B ài to á n C au ch y-N eu m an n đối với phương trìn h

parabolic cấp hai tro n g trụ với đáy k hông trơn".

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu về tính giải được của
bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong
trụ với đáy không trơn, đó là các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
của bài toán trên trong trụ với đáy không trơn.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian
Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản, các kiến thức liên quan. Từ đó áp
dụng vào nghiên cứu tính giải được của bài toán.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiệm suy rộng của bài toán
Cauchy-Neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong trụ với
đáy không trơn.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp xấp xỉ
Galerkin, phương pháp đánh giá bất đẳng thức, phương pháp không

2


gian hàm Sobolev.

6. Đóng góp mới của đề tài
Các kết quả của luận văn góp phần hoàn thiện lí thuyết một cách hệ
thống các trường hợp đặc biệt của những bài toán tổng quát đã được
giải trong miền không trơn.

7. Nội dung
Luận văn bao gồm 2 chương:
Chương 1 : Giới thiệu một số kiến thức bổ trợ.
Chương 2: Trình bày cách đặt bài toán Cauchy-Neumann đối với
phương trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn, trình bày
nghiệm suy rộng, sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán.

3


Chương 1
K iến thức chuẩn bị
1.1. Các kí hiệu
R n là một không gian Euclide n — chiều,

X

= {X\,X2, ...,xn) e Rn.

Xét Q, là một miền bị chặn trong Rn, n > 2 với dQ, là biên của nó và
n = n u dtì.
Giả sử 0 < T < 00. Kí hiệu:
rĩy =

X (0, T1) = -((:£, i) : X G

G (OịT1)}

là trụ trong Rn+1.

Mặt xung quanh của nó là:
ST = d ữ x

(0 , T ) = { ( z , í ) : X e d £ l , t e (0 , T ) } .

Với u là hàm véc tơ phức với các thành phần Uị, u2, u n. Ta kí hiệu:

u = (lii, u 2ì ...un) và Dp = ỠÍCp f pị Pn là đạo hàm suy rộng cấp p theo biến
X = (íCi, ...:rn), utk = d ku / d t k là đạo hàm suy rộng cấp Ả; theo biến t,
ở đây p = (pi, ...,Pn) là kí hiệu đa chỉ số với

Pi

là các số nguyên không

âm, |p| = Pi + ... + p n.
c

(fì) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong

n.

4


Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tấ t cả các điểm mà hàm
đó khác không và kí hiệu là supp. Kí hiệu C k(Q) là tập hợp tấ t cả các
hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền Q, 0 < k < 00,

CQ(n) = c
o

(íì), v à

c k (íì)

=

c

c k (íì),

(íì) n

ở đó c k là tập hợp tấ t cả các hàm liên tục trong Q và có giá compact
thuộc Q.
Lp (Q): Cho Q, là một miền trong không gian R n và cho 0 < p < 00.
Khi đó Lp (Q) là không gian bao gồm tấ t cả các hàm u (X) khả tổng cấp
p theo Lebesgue trong Q với chuẩn:
\\u \\lp(íi) = ụ

\u \p d x j

.

L 2 (Q) là không gian các hàm khả tổng bình phương trên Q với chuẩn:
\u \\ì2(ũ) = /I \u(oc)\2 dx.
n
L 2 (ÍXt) là không gian các hàm khả tổng bình phương trên QT với
chuẩn :
1

2

:/

I

1

/

, \

|2

ị u ( x , t ) f dxdt.

rtí *1 * . .

•

Một hàm số / đo được trên Rn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại
một số k sao cho I/ (x)\ < k hầu khắp nơi trên Rn. Cận dưới lớn nhất
các hằng số k được gọi là essential supremun của l/l trên R n.
Kí hiệu esssup I/ (rr)Ị.
L 00 (fì) là không gian bao gồm tấ t cả các hàm u (X) đo được theo
Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Q với chuẩn :
I M L ( f i )

=

e s s s u P

xeũ

M

* ) l -


Cho X là không gian Banach với chuẩn ||.||x . Kí hiệu Loo (0,T ; X ) là
không gian bao gồm tấ t cả các hàm u (., t) nhận giá trị trong không gian
X , xác định trên (0 , T) sao cho
MI_L°°(0T-X) = esssuP IMIx < °°.
0Diều kiện Lipschitz :
Hàm u : u —> R ( u là tập mở trong R n)là liên tục Lipschitz nếu
Vx, y G u , c là hằng số :
Iu (z) - u (y) I < c \ x - y \ .
Ta viết:
Lip [w] :=

\u(x) — u (v)\
---- Ỵ------- j-----

sup

~ y I

x, yeU, xj ty

Ta sử dụng các kí hiệu sau :
(.))n

= J v(x,t)

n

/ V (x, t ) w (x, t ) dx.
n

/ V (x, t ) w (x, t ) dxdt.
ÍĨt1

1.2. Đạo hàm suy rộng
Đ ịn h nghĩa 1 . 2 . 1 . Giả sử Q, là một miền trong không gian R n. Một hàm
V (X) e Li (fì) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp p của hàm u (X) e Li (Q)
nếu:
I u ( x ) D p(f ( z ) dx
ũ

= (—1 ) ^

J V (x) (p ( z ) dx ,
n


với mọi (fi e c°° (O).
Chú ý :
Công thức Green suy ra một hàm u ( x ) có đạo hàm thông thường liên
tục cấp p thì nó có đạo hàm suy rộng cấp p. Từ định nghĩa đạo hàm suy
rộng ta thấy hàm u ( x ) có không quá một đạo hàm suy rộng.
Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa
thông thường. Ví dụ xét u ( x ) = \x\ , x £ (—1,1)- Dễ kiểm tra được hàm
u ( x ) có đạo hàm suy rộng trong khoảng (—1 , 1).
T hật vậy,
Giả sử v(x) là đạo hàm suy rộng của u ( x ) = \x\ , x £ (—1,1). Khi đó
ta có:

1

1

I \x\ip' (x) dx = — J
-1

V

(x) (p (x) dx, \/(fi £ c°°

( —1 , 1 )

-1
1

0

1

T = Ị \x\tp' (x) dx = Ị —x.ip' (x) dx + Ị x.íp' (x) dx

-1

-1
0

= —xtp (x)

+
-

1

([

ị

ífi

(x) dx

0

)
—

ífi

(x) dx

ỉ

V7!

\

\ -ị- Xífi ( x )

ì

1

!

= — / signx.tp (x) dx.

-1
Vậy

V

(X) = sỉgnx là đạo hàm suy rộng của u{x) = \x\ , x G (—1,1).

Tuy nhiên, hàm này không có đạo hàm thông thường tại điểm

X

= 0.

Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp p trong miền Q thì nó cũng có
đạo hàm suy rộng cấp p trong miền í ì ' c í l . T hật vậy, giả sử u ( x ) có


đạo hàm suy rộng trong miền о là hàm v(x) và (fi (X) là một hàm bất kì
th u ộc c ° °

^ ' là m iề n c o n c ủ a

K h i c o i !fi (æ) = 0 v ớ i X G

\ Q'

ta nhận được ip G С 00 (£У).
Ta có hệ thức:
I и (æ) D p(f (я) dx = J и (я) Dp(f (я) dx
n

ũ'

= ( —1 ) ^

J

V ( x ) ífi ( x ) d x =

п

( —1 ) ^

J

V ( x ) ífi (æ) d x .

П'

Từ đó ta nhận được u ( x ) có đạo hàm suy rộng trong miền fì' cũng
chính là hàm v{x). Đạo hàm suy rộng trong miền ừ được gọi là thu hẹp
của đạo hàm suy rộng trong Q vào ừ .

D a+ßv = D a ự ) ^ v ) , a D av 1 + bDav2 = D a (av 1 + bv2), ở đó a,b là các
hằng số tùy ý.
Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy
rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung, đạo hàm
suy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông
thường. Tuy nhiên, không phải là tấ t cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo
hàm suy rộng cấp p không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp
nhỏ hơn p.

1.3. Không gian Sobolev
• K h ôn g gian w l (fì)
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1. Giả sử Q, là một miền trong không gian R n. Ta định
nghĩa w l (fì) là không gian bao gồm tấ t cả các hàm и (X) G L 2 ( f ì) , X G Q


với chuẩn :

• K h ôn g gian w 1 (Q)
Đ ịn h nghĩa 1.3.2. Giả sử Q, là một miền trong không gian R n. Ta định
nghĩa W ĩ (Q) là không gian bao gồm tấ t cả các hàm u (X) £ L 2 (íì),
x ẽ í ì với chuẩn :

0
• K h ôn g gian W ỉ (Q)
Đ ịn h nghĩa 1.3.3. Giả sử Q, là một miền trong không gian R n. Ta định
0
o
nghĩa w 1 (Q) là bao đóng của c 00 trong chuẩn của w 1 (Q).
• K h ôn g gian

wl,k(e_7í, QT)

Đ ịn h nghĩa 1.3.4. Giả sử Q, là một miền trong không gian Rn.Ta định
nghĩa

wl,k(e_7í, fìT) là không gian bao gồm tấ t

cả các hàm

u (X, t) e L 2 (í^t) sao cho
D pu

(., t ),

Uịi

(., t ) G

L2

(íì) , (0 < |p| <

và

• K h ôn g gian W 1,1 (e 7í,í^ t)
9

l,

0<

j < k

) với mỗi

t

e (0, T )


Đ ịn h nghĩa 1.3.5. Giả sử Q là một miền trong không gian Mn.Ta định
nghĩa w 1,1 (e 7Í, ÍĨt) là không gian bao gồm tấ t cả các hàm
u (x, t) £ L 2 (ÍXt) sao cho Dpu (., t ) , Uịi (., t) £ L 2 (fì) với mỗi t € (0, T )
và

12
.MiwM(C-7*,nT) = [ (
aT

M 2Ì e 2,ytdxdt < 00.

\Dpu\2 +

\ 0< b l < i

0< j < i

)

Đ ặt L 2 ( e - ^ , n T) = W Q’Q(e“7í, n T).

1.4. Một số bất đẳng thức cơ bản
1.4.1. B ấ t đẳng thứ c C auchy với £
Cho a, b là các số thực dương và £ > 0. Khi đó
2 ò2
ab < ea + — .
4s
C hứng m inh.
Ta có
/ X1
b
ab = (2£ j 2 a .——T
(2eý
Áp dụng bất đẳng thức ab <

+ Y ta có.

, ,Ị
b
2ea2
Ế
(2e ý a . - ^ - r < = - + f
(2eý
2
2

2

— ECL + ——.

4s

Bất đẳng thức được chứng minh.

10

^


1.4.2. B ấ t đẳng thứ c C auchy- Schwarz
Cho u , v £ Rn. Khi đó, ta có:
\uv\ < |u| |i;| .
C hứng m inh.
Cho £ > 0 và ta có:
0 < \u ± ev\2 = \u\2 ± 2EUV + E2 \v '2
Do đó
±uv < ị^\u \2 + ị\v \2.
Cực tiểu hóa vế trái, đặt £ = pỊ với V ^ 0, ta được:
± u v < \u\ |v| .
Hay ta viết:
\uv\ < \u\ |v| .
B ất đẳng thức được chứng minh.
Trong không gian Hilbert (H), chuẩn của phần tử u được lấy là
||u|| = y/(u,u).
Đối với u, V G (H) ta có bất đẳng thức Cauchy- Schwarz:
\uv\ < llull \\v\\ .
1.4.3. B ấ t đẳng th ứ c G ronw all - B elm a n m ở rộng
Giả sử u và (fi là các hàm khả tích, không âm trên đoạn ịto,T),
L = const > 0 thoả mãn:
u (t) < ự>(t) + L í u (t ) dt, Ví e [to,T).

Jto
11


Khi đó:
u ( t ) < ip(t) + L f e1^ 8^(fi (s) ds, Vi £ [to.T) •
Jto

Hơn nữa, nếu tp (t ) có đạo hàm ự/ (í) khả tích trên [ÍO)^1) thì
u ( t ) < ífi (to) eL^~tữ^ + L í eL^~^tp' (s) ds, Ví € [ío5

Jt0

•

C hứng m inh.

t

Đ ặt y (t) = J и (í) dt, ta có :
to

y'{t) = u(t) <
Ví G [í0,T )

hay:
y'{t) - L y (t ) < yj(í)

Ví G [ío, T ) .

Đ ặt 2:(í) = y(t)e~Lt ta nhận được:
z l(t) = (yl( t ) - L y ( t ) ) e - L t < ífi(t)e-Lt.
Ta có z (ta) = y(t(Ị) = 0 và do đó:

t
z(t) < Ị e~La(fi(s)ds

Ví G [t0, T ) .

to

Suy ra:
t

y(t) < Ị eL{t~a)tp(s)ds

V t e [ t 0ìT ) .

to

Do đó:

t
и (í) < ipịt) + Ly(t) < ( s ) d Sì
to

12

Ví G [t0ìT)

Nếu ip (t ) có đạo hàm phần, ta có:
t

t

L í eL^~s^ífi(s)ds = —eL^t~s'l íp(s)

í

+ í eL^~s^ự>'(s)ds

*»

i
iL{t- a)
Từ đây ta suy ra:
u (:t) <

Jto

B ất đẳng thức được chứng minh.
Ta nhận thấy rằng nếu ip = c = const trên ịtũ,T) th ì từ bất đẳng
thức trên ta suy ra bất đẳng thức Groirvvall- Belman thông thường, tức
là :
u ( t ) < CeL{ị- tữ\ \ ỉ t € ịt0, T ) .
Đặc biệt nếu ụ? (t) = 0 trên [t0,T ) thì ta có:
t

u ( t ) < L 1 u (s) ds => u (t ) = 0, Ví e [t0ì T ) .
to

13


Chương 2
B ài toán C auchy-N eum ann đối với
phương trình parabolic cấp hai
trong trụ với đáy không trơn
Trong chương này luận văn trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
suy rộng của bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình parabolic
cấp hai trong trụ với đáy không trơn, ta nhận được kết quả về tính giải
được của bài toán trong trụ với đáy không trơn.

2.1. Đặt bài toán
Giả sử Q, là một miền bị chặn trong R n, n > 2 với biên dQ, không
trơn.
Giả sử 0 < T < 00. Kí hiệu

là trụ trong Rn+1. Mặt xung quanh của nó là
ST = d ũ

X (0, T ) = { ( x , t ) : X e d £ l , t e (0,T ) } .

Xét toán tử vi phân cấp 2

14

(X, t ) là hàm phức khả vi vô hạn trên QT,

ở đây
aiẳ =

ãji

(i, j = 1 ,

rì) và a = a (X, í) là hàm thực khả vi vô hạn trên

QT. Hơn nữa giả sử rằng

(i, j = 1

, rì) là liên tục đều với X G ÍÌ theo

biến t e (0, T).
Kí hiệu

n

N (x, t , d) =

aij (x >*)cos (x i>v )

d

i,j= 1

j

ở đây ỉ/ là vector pháp tuyến ngoài của m ặt S T.
Xét trong miền trụ £ìT phương trình:
L ( x ,t , d) u — Ut = f {x,t)

trên QT

(2.1)

với điều kiện ban đầu:
u\t=o = 0

trên Q.

(2.2)

và điều kiện biên:
N ( x , t , d ) u \ s T = 0.

(2.3)

Bài toán trên được gọi là bài toán Cauchy-Neumann đối với phương
trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn.
Bài toán ta đang xét là Parabolic mạnh, tức là với £ e Rn \ {0} và
(x,t) e íìoo, tồn tại

= const > 0 , ta luôn có bất đẳng thức sau:
n

^ 2

> ụ>i l £ |2 •

a ij

(2-4)

*J =1
Đ ịn h ngh ĩa n ghiệm su y rộng:
Cho / G L 2 (íì). Khi đó hàm u (x,t) được gọi là nghiệm suy rộng
của bài toán (2.1) —(2.3) trong không gian w 1,1 (e-7 í, fiT) nếu u (X, t ) e
15


w 1,1(e

7Í, 0 T) , u (X, 0) = 0, với mỗi T > 0 và thỏa mãn đẳng thức sau:
n

-

X I (ứý ^ ^ ) n T + (au^ ) n T + <w^í>nT = < /^> n T •
*
j= i

với mọi hàm thử

TỊ TỊ(x,t) £ w1,1(e_7í ,Q T)
=

(2-5)

sao cho ri(x,t) = 0 với

t e [r, oo),0 < T < T.

2.2. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng
2.2.1. B ấ t đẳng thứ c năng lượng
Đặt:

n
B (u, u ) (t) = ~ Y ^

(aijUx .

(., t) , UXi (., t ) ) n .

i,j=1
Trong bổ đề sau ta sẽ xét bất đẳng thức năng lượng. Bất đẳng thức
này là một trong các cơ sở quan trọng trong các chứng minh ở các phần
sau.
B ổ đề 2 . 2 . 1 . Giả sử điều kiện (2.4) thoả mãn. Khi đó tồn tại 2 hằng
số ịiQ > 0 , Ào > 0 sao cho với mọi hàm u = u (x,t) e

w 1,1(e-7 í, fiT)

ta

có bất đẳng thức sau:

\ \\u\\r
II II2
- B (u,u) (í) > fJL0 |M|flTV^ÍÌ) - Ao
l 2( ũ )
C hứng m inh
Từ điều kiện (2.4) và từ bất đẳng thức Cauchy ta có:
n
n

№

\\UXi l l i 2(íì)

—

16

(aijUXỉi UXi)n

•

( 2 .6)


+ £■'У ] н^а;. Ilx,2(íỉ) 5
г=1

— в (и , и) (t ) + с (е)

với 0 < £ < / i , C '( £ ) > 0 . Từ bất đẳng thức này ta nhận được

n

iß ~

"У ; \\uXi llx2(n)
%
—1

£)

{U1u ) {t)

—

+

С

(e)

.

Từ đó ta có:
„2

J llw ^ l l z , 2 ( n )

/

.

<

1
—

i=1

TW

. W.N . C (E) „ „2

В (UÌU) (t)

™

+

_

IM Iw °(f2 )

•

™

Suy ra:

C\B (u, w)
với

cx1 = -±>
ịi—t

( í ) + c*2 ||w|lwo(Q)

j

(2-7)

0 , c2
5 z= ^ /i —e > 0 .

Bởi vì Q, là miền có tính chất đoạn nên từ bất đẳng thức nội suy ta
có:

IMIw°(fi) —£1 IMIw^fi) + С (£l) IMI.L2(n) 5
với mọi 0 < E\ < 1.
Thay vào (2.7) ta nhận được:

IMIw^fi) —{U1u) {t) + (£2) £1 IMIwi(f2) + C 2C (£l) IMIl,2(íì) •
Suy ra:

c 2e1)

(1 -

| | u | | ^ i (n) <

- C XB (u, u) (t) + C2C ( £ 1)

IM lL (n).

Vậy nên:

75/

ч / ,4

В(и,и)^)>
Từ đó suy ra:

— ^2^1 II 1,2

ç

IM Iw ^fi)

ơ aơ ( £l) „ \\2

ç

IMI z,2(fi) •


C2C(sị )

với ịiồ = 1 g 2£l, A

BỔ đề được chứng minh.
2.2.2. Đ ịn h lý d u y nhất n ghiệm

Mục này dành cho trình bày việc phát biểu và chứng minh tính duy
nhất nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy-Neumann đối với phương
trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn. Tính duy nhất của
nghiệm suy rộng được khẳng định qua định lí sau:
Đ ịn h lý 2.2.2. Giả sử rằng hệ số của toán tử L (X, t, d ) thoả mẫn điều
kiện (2.4) và:
sup
(x,t)eũT

Khi đó bài toán (2.2) —(2.4) có không quá một nghiệm suy rộng trong
W 1,1 (e-7í, £ìT) vài 7 > 0.
C hứng m inh
Giả sử bài toán (2.1) — (2.3) có hai nghiệm suy rộng
w 1,1 (e-7í, QT) với 7 > 0. Đặt:
u (x, t ) = Ui (z, t ) —u2 (X, t ).
Khi đó u e W 1'1 (e~^, n T) và u (x, 0) = 0.
Giả sử

T

Xét hàm:

là một

số

dương T < T.
/

l l u (x, s) ds, 0 < t < b

V

,b < t < T

0
18

U\

và u2 trong


Ta có: 77 (X, t) е W 1’1 (е 7Í, QT), th ậ t yậy:
vì и (rr, í) G W 1,1 (e
lwj

nên tồn tại

{ U j } ° ° =1

с С 00 (ÍĨT),

^Ни^'ЧПт)

Đặt:
Uj

(x, s) ds, 0 < t < b

ĩ]ị (x,t) = <

0
với TỊj С

,ò < t < T

c°° (Пт)-

II'Чз ~ ^11W1'1(f2T)

I

Uj (X , s ) d s

—и (X , s) đs

< JĩIb \\uj - u\\w^(ũT) ds -> °’ khi 3 -> °Do đó TỊ (x, t ) G W 1,1 (e_7í, fiT).
Hơn nữa

TỊt

= и với 0 < t < b. T hật vậy:

v<£> G (7°° [0, 0] ta có:

0

< ^ ) l 2( ,6) =

= -

JQ Wtdt = Ị Ụ

и (x, s )

í ipudt = - ( u , ^ ) ia(0)b)
«/0

Vậy hàm rj chính là hàm thử.
Thế и =

TỊt

vào (2.5),ta được:
n

-

( Ъ з Ч х & ъ Х т + W >rç)nT + <^^í> nT = °*j=l

Cộng vào đẳng thức trên với liên hợp phức của nó ta có:
n
—2i?e £ (ûyifejt, ^ ) Пь + 2Яе *J =1
19

= 0.

(2.8)

Sử dụng giả thiết
—2Re

và tích phân từng phần ta sẽ nhận được

( a i j rìxj t , rìxi ) ũb

= - ịí Rc
\

^

n

í
/ {aijrjx .fj^)t dxdt

i,j=1ũb

n

ỉ
CLijtrjx .fj^dxdt

^
.

i,j=1ũb

ỉ

T hật vậy:

^

-Re

V

'ị' ị^Oiịj TỊxý^ÌXị dxdt

i^=iũb

= - Ịí R c

^

n

i,^=iũb

/í a i j rìxj tĩh idxđt + R e ^ n2

i,')=1n 6

\

Rc aijtriXjriXid x d t \

í

/

a ijtĩjXjfj^ d x d t

i,^=1nb
n

^
/

p,

= - 2 Re ỵ 2 / ai3rìxjtfỵidxdt
n

= - 2 Re ^ 2 (o-a^uTỊx,) ílh
i,j= 1

Vậy nên:
—2 R e ^ 2 i j = i {\ a il3
j rlIxjl’
x j t ì ' llIxi/
x i ') nb

í
nn í í
= —
n„ ì dxdt

Rp. ^\ nn2 /Iíí n.A^n„
n„ ắTắt ^^Ị
- Ị Rc ^N2 /I (n,A;n„
(aiổĩ)x .ĩỵr)t
dxđt —
- Re
CLi^.rị^dxdt
i,j=1ũb

\
n
= - Re s

ijJ=1

rb Ị

/

Ị /

i,j=1ũb
r

\

n

( ữy ^ ^ ) d x Ị d t + R e ^ 2

Vn

= —^ (77, 77) ( 0 ) + i ? e E

/ ị

ỉ

{ { a i j ) t TỊX j ì TỊXi ) a ì

ij') =1

; i=1

Thay vào (2.8) ta có:
n

- B ( 7 7 , rỉ) (0) + R e ^ 2 <(a ij ) t rìxj ,'nxi ) ũb + 2jRe < arlti v ) n b +