Luận văn cơ chế higgs trong mô hình 3 3 1 đơn giản

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
= = = £o Q |G 8 = = =

N G UYỄN THỊ NGUYỆT

c ơ CHÉ HIGGS TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 ĐƠN GIẢN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN
VĂN THẠC
SĨ KHOA HỌC
VẬT
CHẤT
•
•
•
•

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHÙNG VĂN ĐỒNG

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới TS. P hù ng Văn Đồng người đã định hướng chọn đề tà i và tậ n tìn h hướng
dẫn để tôi có thể hoàn th à n h khóa luận này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th à n h tới phòng Sau đại học, các thầy cô
giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thu yết và Vật lý toán trường Đại học Sư p hạm
Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tậ p và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân th à n h tới gia đình và bạn bè đã động
viên, giúp đỡ và tạ o điều kiện về mọi m ặ t trong quá trình học tậ p để tôi hoàn th à n h
bản khóa luận này.

Hà Nội, ngày

th á n g 06 n ăm 2015
Tác giả

Nguyễn T h ị Nguyệt


LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của TS. P hùn g Văn Đồng luận văn T hạc sĩ chuyên ngành Vật
lý lý thuy ết và Vật lý toán với đề tài “Cơ chế Higgs trong mô hình 3 - 3 - 1 đơn giản”
được hoàn th à n h bởi chính sự n h ận thức của bản th â n , không trù n g với b ấ t cứ luận
văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế th ừ a những th à n h tự u của các n hà
khoa học với sự tr â n trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày

th á n g 06 n ăm 2015
Tác giả

Nguyễn T h ị Nguyệt

MỤC LỤC
MỞ Đ Ầ U ............................................................................................................... 1
Chương 1. Mô hình chuẩn..................................................................................6
1.1. Đối xứng chuẩn.............................................................................................. 6
1.2. Sắp xếp các hạt íermion và toán tử điện tích............................................... 7
1.3. Phá vỡ đối xứng tự phát................................................................................ 9
1.4. Lagrange toàn phần...................................................................................... 11
1.5. Phổ khối lượng của Higgs trong SU(2)i (g) í / ( l ) y ...................................12
Chương 2. Mô hình 3-3-1 đơn giản................................................................. 15
2.1. Đối xứng chuẩn............................................................................................ 15
2.2. Sắp xếp các hạt íermion và toán tử điện tích............................................. 16
2.3. Phá vỡ đối xứng chuẩn................................................................................ 20
2.4. Phần vô hướng..............................................................................................20
2.5. Lagrange toàn phần......................................................................................21
Chương 3. Phá vỡ đổi xứng tự phát và sinh khối lượng..............................24
3.1. Phổ vô hướng...............................................................................................24
3.2. Phổ khối lượng boson chuẩn....................................................................... 26
3.3. Khối lượng íermion và neutrino..................................................................28
KẾT LUẬN........................................................................................................ 30
■

TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................31


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong vũ trụ tồn tạ i bốn loại tương tác cơ bản: tương tá c m ạnh, tương tác điện
từ, tương tác yếu và tương tác hấp dẫn. Tương tác hấp dẫn tác dụng ở th a n g vĩ mô
(Trái đất, M ặt trời, thiên hà, vũ trụ ) và được mô t ả th à n h công bởi thuyết tương đối
rộng (A. Einstein). Tương tác điện từ, tương tác yếu và tương tá c m ạnh tác dụng ở
th a n g vi mô (phân tử, nguyên tử, h ạ t nhân, h ạ t cơ bản) được mô t ả th à n h công bởi
mô hình chuẩn (S tan d ard Model). T huy ết tương đối rộng và Mô hình chuẩn đã được
kiểm chứng thực nghiệm với độ chính xác rấ t cao, là những nền tảng cơ sở của Vật lí
hiện đại.
Thế giới này được cấu th à n h từ b a dạng vật chất sau
i) Vật chất th ông thường (chiếm khoảng 5%) bao gồm: lepton, quark, các h ạ t truyền
tương tác và sinh khối lượng, được xác định bởi Mô hình chuẩn.
ii) Vật chất tối (chiếm khoảng 25%).
iii) Năng lượng tối (chiếm khoảng 70%). Hai dạng

sau là m ộ t bí ấn,

không có trong

Mô hình chuẩn, và đang được nghiên cứu rộng.
Vấn đề b ấ t đối xứng giữa vật chất và phản vật chất: vũ tr ụ ngày nay chỉ gồm
vật chất cấu th à n h bởi các h ạt, không có bằng chứng cho tồn tạ i ph ản vật chất cấu
th à n h bởi ph ản hạt. Điều này m âu th u ẫ n với nguyên lí cơ sở của lý thu yết trường (số
h ạ t = số ph ản h ạt), v ấ n đề này gắn với giải thích các quá trìn h sinh h ạ t nhiều hơn
p h ản hạt. Mô hình chuẩn chỉ cho giải thích các quá trìn h cơ sở, không giải thích được
b ấ t đối xứng vật chất - p h ản vật chất của toàn bộ vũ trụ.
Ta sẽ điểm lại sự hình th à n h và các yếu tố cơ

sở của mô hình chuẩn.

Trước mô hình chuẩn tồn tại hai lí th uyết sau:
i) Tương tác yếu bốn fermion của Fermi (không tá i chuẩn hóa được).
ii) Tương tác m ạnh giữa các h adron (có hằng số tương tác lớn hơn 1, điều này dẫn đến
càng khai triển nhiễu loạn càng sai).


2

Trong quá trình khắc phục những vấn đề trên, có x u ấ t hiện b a ý tưởng mới làm
nên Mô hình chuẩn:
i) Đề x u ấ t về quark (Gell - M ann và Gzeig).
ii) Đối xứng chuẩn.
iii) P h á vỡ đối xứng tự p h á t và cơ chế Higgs.
Như vậy, Mô hình chuẩn dựa trên nhóm đối xứng chuẩn: s ư ( 3 ) c Mô hình chuẩn gồm b a thế hệ của lepton và quark, các h ạ t trá i xếp trong lưỡng tuyến
của S ư (2 )i và các h ạ t p hải xếp như các đơn tuyến của nhóm này. Có m ộ t lưỡng tuyến
Higgs và các h ạ t truyền tương tác m ạnh, yếu, điện từ.
Các vấn đế về mô hình chuẩn
i) K hông giải thích được vật chất tối, năng lượng tối, b ấ t đối xứng giữa vật chất và
ph ản vật chất, như đã đề ở trên.
ii) Trong Mô hình chuẩn th ì khối lượng neutrino bằng không, tu y nhiên thực nghiệm
cho thấy khối lượng neutrino khác không, neutrino không những có khối lượng khác
không m à còn dao động.
iii) Mô hình chuẩn không giải thích được tạ i sao chỉ có b a thế hệ íermion, tại sao các
điện tích chỉ bằng bội nguyên lần điện tích nguyên tố.
iv) Mô hình chuẩn không giải thích được sự phân bậc trong khối lượng và th a n g phá
vỡ.
Để giải quyết những vấn đề trên người t a p hải mở rộng Mô hình chuẩn. Có ba
cách mở rộng Mô hình chuẩn, dựa theo các yếu tố cơ sở của nó:
i) Mở rộng đối xứng chuẩn.

ii) Mở rộng đối xứng không thời gian.
iii) Mở rộng phổ hạt.
Giữa các hướng nghiên cứu trên chúng tôi chọn mô hình 3-3-1, nghĩa là:
M ở rộng

sư( 3 ) c (8) sư(2)l
-»

sư( 3 ) c (8) sư( 3 ) i

(8)

ư(l)x

Lí do là vì mô hình cho t a m ột số hệ quả đặc trư ng sau:
i) Số thế hệ bằng ba, đúng như thực nghiệm.
ii) Giải thích được top quark nặng b ấ t thường.
iii) Giải thích được khối lượng neutrino và sự trộn lẫn.
iv) Giải thích được sự lượng tử hóa điện tích, CP mạnh,...
M ột trong những yếu tố cơ sở của Mô hình chuẩn và các mô hình mở rộng là sự phá
vỡ đối xứng chuẩn tự p h á t và sinh khối lượng. Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu
về cơ chế Higgs của mô hình 3-3-1.
- Khi mở rộng mô hình dẫn tới cơ chế Higgs cũng được mở rộng.


3

- Ngoài Higgs của Mô hình chuẩn, các Higgs mới có thể được dự đoán.
- Cơ chế Higgs mới trong mô hình 3 - 3 - 1 làm việc ở hai th a n g có thể là nguyên

n h ân của sự chuyển p h a điện yếu loại m ộ t m à Mô hình chuẩn không giải thích được.
Vật lí mới ở th a n g TeV là ứng viên cho các máy gia tốc đang hoạt động ngày nay.
Vì vậy chúng tôi đề x u ấ t đề tài "Cơ chế Higgs trong mô hình 3-3-1 đơn giản" làm
đề tài nghiên cứu cho luận văn.
Với các nội dung nghiên cứu như sau: ngoài mở đầu và kết luận, Chương 1 trình
bày về Mô hình chuẩn, Chương 2 trìn h bày về Mô hình 3-3-1 đơn giản, Chương 3 trình
bày về P hổ các h ạ t vô hướng của mô hình 3-3-1 và các hệ quả của cơ chế Higgs.

2. M ục đích n gh iên cứu
- Tìm hiểu về mô hình thống n h ấ t tương tá c điện yếu và m ạnh.
- Tìm hiểu về cơ chế p h á vỡ đối xứng tự p h á t và sinh khối lượng cho các hạt.
- Các quá trìn h hiện tượng luận của h ạ t Higgs trong Mô hình chuẩn và các h ạt
Higgs mới.

3. N h iệm v ụ nghiên cứu
- Xác định những khó khăn, hạn chế của Mô hình chuẩn.
- Xây dựng mô hình 3-3-1.
- Giới thiệu cơ chế Higgs và sinh khối lượng cho các h ạ t trong mô hình mới.

4. Đ ối tượng và phạm v i n ghiên cứu
- Đối tượng: các mô hình th ống n h ấ t tương tác, các h ạ t cơ bản và các h ạ t truyền
tương tác giữa chúng.
- P h ạ m vi: thuộc lĩnh vực Vật lý h ạ t cơ bản.


4

5. P hư ơng pháp n gh iên cứu
Sử dụng phương pháp
- Lý th u y ết trường lượng tử.

- Lý th u y ết nhóm.
- P h ầ n mềm hỗ trợ tính toán M athem atica.

6. D ự kiến đóng góp mới
- Tổng quan được những khó khăn và h ạn chế của mô hình chuẩn từ đó dẫn tới
sự hình th à n h mô hình 3-3-1.
- Tổng q u át hóa cơ chế Higgs trong Mô hình chuẩn cho mô hình 3-3-1.
- Xác định được khối lượng của các h ạ t trong mô hình mới.


5

Chương 1

M ô hình chuẩn
Ta sẽ tổng quan lại các nguyên lí cơ sở của Mô hình chuẩn. Đây là tiền đề cho
các chương sau.

1.1.

Đ ối xứ ng chuẩn
Nhóm chuẩn
S Ư ( 3 ) c® S Ư ( 2 ) l ® U ( 1 ) y ,

'----'----------------- --- V/----------- '
QCD

(1.1)

BW

QCD (Q u an tu m C hrom o - Dynamics): tương tác m ạnh.
EW (Electro - weak): tương tác điện từ và yếu.
c: color
L: left.
Y: siêu tích yếu.
Giả sử G là đối xứng chuẩn của m ộ t hệ Vật lí. Dưới tác động của G t a có trường
tổng q u át

biến đổi n hư sau:
$ —ỳ

= Ẽiaiti+ifinT-n+i'iY ^Ị)

a!j,/3n,7: th a m số biến đổi của G,
t ị , T n , Y : vi tử.
Để £ ( $ ) b ấ t biến t a thay dự bằng Dự
D» = dp + igsG ilẤti + ì g A nịlT n + i g B p Y .
với gs , g , g là các hằng số tương tác


6

1.2.

Sắp xếp các hạt ferm ion và to á n tử điện tích
Vật chất được tạ o nên từ các yếu tố cơ bản là lepton và quark. Các quark và

lepton được chia làm b a thế hệ có cấu trú c giống n h au dưới đối xứng chuẩn
Thế hệ 1

T hế hệ 2

Thế hệ 3

AlR

Các quark và lepton được gọi là fermion, chúng đều được p h ân th à n h từng cặp.
Q uark được chia th à n h u (up) và d (down), c (charm) và s (strange),

t (top) và b

(bottom ). Vào năm 1995, người t a đã tìm thấy bằng chứng thực nghiệm của quark
cuối cùng quark t. Các n h à khoa học đã chứng tỏ 3 quark kết hợp để tạ o ra baryon
hoặc kết hợp th à n h các cặp quark - p h ản quark để tạo ra meson. Lepton cũng kết hợp
th à n h từng cặp, các h ạ t lepton, muon và ta u o n đều có m ột neutrino tương ứng không
m ang điện, có khối lượng nhỏ. Electron giống như p hoton và neutrino, là m ột h ạ t bền
và dường như có m ặ t trong t ấ t cả các dạng vật chất. Các h ạ t muon và ta u o n không
bền và được tìm th ấy do các sản p h ẩm rã của chúng.
M ột h ạ t có hai trạ n g th á i ph ân cực: left ĩpL ; right ĩpR .
Lepton phân cực trá i xếp vào lưỡng tuyến s ư (2)L và có siêu tích yếu Yự

Lepton p h ân cực phải xếp và đơn tuyến S Ư ( 2 ) L và có siêu tích yếu Ye
eaR ~ (1,1, y e).
Q uark p h ân cực trá i xếp vào lưỡng tuyến S Ư ( 2 ) L và có siêu tích yếu

Y

Q uark phân cực phải xếp vào đơn tuyến S Ư ( 2 ) L , siêu tích yếu: Yu, Y d
Ua R ~ (3,1, Yu),

daR ~ (3,1 , Y d).

q


7

Với a = 1 ,2 ,3 (ba thế hệ lepton, quark).
Nhóm mô t ả tương tác điện từ và yếu là s ư (2)L Q sẽ là tổ hợp của các vi tử s ư ( 2 ) i lượng bảo toàn nên Q là tổ hợp của các vi tử chéo
Q = a T 3 + /3Y
Cho lưỡng tuyến lepton có:

a Ị 1

0

2 Vo

-1,

+ /3
0

( ì + PY*
0

QtpaL =

Ta có

0

(1 .2 )

+ PY*,

0
Ị ( f + / ĩ y * K i >\
a "
Ị ^ l =
V (-f+ /3 ^ )e J '
- f + /3Y j

a
— + /3Yý = 0
a
- ^ + ậY* = - l

a = 1

Do /3 là th a m số tự do không cố định nên chọn /3 = 1. T hay giá trị của a và /3 vào biểu
thức của Q t a có
Q = T3 + Y

(1.3)

Hệ quả:
TrQ = T rY

TrQ
chiều biểu diễn
T ừ đó t a có
‘ệ a L =

QaL -

aLj ~ í 1) 2) ~ - ) , eaR ~ (1, 1, - 1 ) ,

(ir)
daR — (3,1, —

(1.4)


1.3.

P h á vỡ đối xứ ng tự phát
P h á vỡ đối xứng tự p h á t là hiện tượng chân không không b ấ t biến dưới đối xứng

chuẩn, nhưng Lagrangian mô t ả lý th u y ết th ì b ấ t biến.
Xét lưỡng tuyến Higgs:

Qui lu ật biến đổi của ậ
ệ _).

ệ' = eia‘x ‘ ệ,
_
u
1

ở đây X a đặc trư ng cho t ấ t cả các vi tử (tị = 0 , T n = — , Y = —).
2
2
Lagrangian cho ậ có dạng:
£ = ( D ltệ ) +(D>iệ ) - V ,
với thế năng V = ịi2( ậ+ậ) + X( ậ+ậ ) 2(những số hạng từ bậc 5 trở lên bị loại bỏ vì không
tá i chuẩn hóa được) là b ấ t biến dưới phép biến đổi S Ư ( 2 ) L (8) ư (1 )y. Chân không của
trường được xác định bởi điều kiện cực tiểu thế năng

dV(ệ)
d(ệ)

=> ụ ? ệ + + 2 Ằ ệ +ệ ệ + = 0 => ệ +(ịi2 + 2Ằệ +ệ) = 0.
Trường hợp ậ + = 0 tại cực tiểu thế năng chính là tru n g bình chân không hay đối xứng
không bị p h á vỡ.
/•í2
Trường hợp <Ị>+<Ị> = (<Ị>2) = ------ 7 ^ 0, chân không không b ấ t biến hay chân không bị
2A
p h á vỡ.
P h á vỡ đối xứng cho ậ 7 ^ 0. K hai triển trường vô hướng ậ xung quanh tru n g bình
chân không

_ (Ị vữ \I + (Ị H r+ Ỉ A \I .
ậ — (ậ) + ệ ’ —
VV2/
/
X ét tru n g bình chân không

(ậ) = 1

\~ T 2 ~ /

0 )
V

I =>

V2

\V2/
Các vi tử của nhóm s ư ( 2 ) L (8) ư (1 )y : T n và Y .
Ta có

„2
= ------ .


1 Iu

Ji

L

T- w = i

o

v

! = - !

> \tJ

21

o \ ( °\

l/l

f

o')J l /

1
Y {(f>) = 1
2 ^

V2 J

0 —> p h a vd doi xting.

0

1( 0 \

0 —> p h a vd doi xting.

_

I \I = n1 I( vI \| u t

V

p h a vd doi xting.

Tuy nhien:

1(1
o\
1(1
° “ T + y - 2lo - J
+ n o

,,

Tit do, Q(<j>) = 1

(1 o\ (I 0 v
1

1

o\

1

(2

o\

(\

i j “ i Voo j “ l o

\

= 0 - dien tich dtidc bao

toan.

°' \V2/
Vay: S U ( 3 ) C<g> S U ( 2 ) L <g> U(1) Y A S U ( 3)c <g> U(1) Q

1.4.

L agrange to a n phan

- ^ f e r m i o n H- - ^ s c a l a r H- - ^ g a u g e H- - ^ Y u k a w a

=

£

V (^ )

F ^ D . F + (D ^ )+(D ^ ) -

F

■'Y u k a w a

- X
- B

^ v + C Yukawa - V

— K b ^ a L ^ b R + h dabQ aL(f>dbR + h lbQ aL<j>ubR + H e.

V6i (j> = irr2(j>* ~ ( 1 , 2 , ---- )
2
-<!>1 )

v {<!>) = fj-2<t>+<t>+

-M^+<^)2

Thti nguyen:[A] = 0, [/i] = [E1] = [m].. Cac th a m so /i2, A la thiic.


10

1.5.

P h ổ khối lượng của H iggs tro n g s u ( 2)L X ét lưỡng tuyến Higgs

Thế vô hướng

+ ) 2.
V ( ệ ) = v 2ệ +ệ + X ( ệ +ệ

(1 .8 )

Trước khi p h á vỡ

_ / ệĩ \
V V2 /

ệ = ị H + iA \

ụ2

-e-

+ A
w

'

V2
TT2

=

£

es>.

Í35
1

1

T hay vào thế vô hướng (1.8), t a có

+

\Hy

A)

/12
y ) + A ( ^

H —iA s
w

2

m A2 = m H2 = ịi

2

Thực tế chân không bị p h á vỡ
_ (
ậ = j

V

V

V2

TT2
/12
+ ^ + y ) 2.

Khối lượng các h ạt

2

'

ti

\

vf

)

+ H + iA 1 .

1

*ĩ
\]
H + iA

W

2

/J

(1.9)


11

T hay vào thế vô hướng (1.8) t a có

V ( ệ ) = ịi2

+ A

— ụ? ( ệ Ị ệ 1 + - ( v + H ) 2 + — ^ + A f ệ Ị ệ 1 + - ( v + H )2 + —

= ụ,

+ Y + \ ^ 2 + 2vỉỉ + r 2 )

+ -Mí^í"4>\ ) 2 + ~Ỵ~ + ệt4>\ A?

+ - ( v * + Av2H 2 + H i + 4 V3H + 2 V2H 2 + 4 v H 3) + ệ t ệ ; { v 2 + 2v H + H 2)
+

Ẩ2
Á

^ - ( « 2 + 2 « / / + H 2)}

Xv4
„V

ụ .2 V 2

2

ệ U - í + Y + \ ^ v H + H 2 ) + -M (^í4>\ ) 2 + ~Ị~ + ệt4>\
+ - ( 4 V2H 2 + H i + 4 V3H + 2v2# 2 + 4 v t f 3) + ệ Ị ệ ĩ ( v 2 + 2 v H + H 2)

+

Á

+

+ tf2)].

N hận xét
/iV

Av4

vmin = — + —

,

chỉ cho đóng góp vào chân không, không m ang hiệu ứng Vật lý.

Số hạng tuyến tín h triệt tiêu do đối xứng chuẩn (cực tiểu thế)
ịi2v + Xv3 = 0
V =

v(ịi2 + Xv2) = 0
V

2

0
_ _
= — -----

A

n?

T ừ đây t a có:v = y ------= 2 4 6 (ỡ e V ), như đã được xác định ở trên. X ét hệ số của các

*

À

số hạng khối lượng (các số hạng tỷ lệ với bình phương toán tử trường)
i) Tỷ lệ với ệ Ị <j>ĩ: ụ,2 + V2X = 0 - các trường ệi^ không có khối lượng nên chúng là
G oldstone boson của

2

w ±(xét

sau).

ỊJ^

ii) Tỷ lệ với Ả 2: ----- 1— —— = 0 - trường Ả không có khối lượng nên cũng là Goldstone
2

2

boson, của h ạ t boson chuẩn z .

1

iii) Tỷ lệ với H 2-. — + Xv2 + - X v 2 = Xv2 = —ỊJL2
2

'

2'

=> m H
2 = 2Xv2 => m H = v ^ / l \ = 125(GeV) . (được xác định tại C E R N - Thụy
Sĩ). H là trường Vật lý có khối lượng. Ả và ậ là những trường G oldstone không Vật
lý bị ăn bởi các trường chuẩn có khối lượng tương ứng. Hai h ạ t Higgs m ang điện đồng


12

n h ấ t là h ạ t G oldstone boson bị ăn bởi G^r và h ạ t Higgs tru n g hòa A bị ăn bởi G z , như

đã đề cập.
Tóm lại
_
ộ =

(
G w ^\
1 V+ H + i G z I

V
khi ậ (hay nói cách khác H ) n h ận

71/

tru n g bình chân không (VEV), các trường khác,

boson chuẩn: ( D )i( ệ ) ) +( D^ (ệ)), fermion: f { ệ ) f sẽ thu được khối lượng th ông qua tương
tác với ậ (hay nói cách khác là H) . Để có p h á vỡ đối xứng và thế bị chặn từ bên dưới:
A > 0 ,/i2 < 0.

)


13

Chương 2

M ô hình 3-3-1 đơn giản
2.1.

Đ ối xứ ng chuẩn
Nhóm chuẩn:
s ư ( 3)c (8) S Ư ( 2 ) l (g) Ư(1 ) ỵ
QCD

EW

ị mở rộng
(3)c QCD

EW

Chú ý
i) Nhóm m àu giữ nguyên, nhóm điện yếu được mở rộng.
S Ư ( 3 ) L : đối xứng isospin yếu mở rộng.
X : tích mới xác định

y

và Q.

ii) S ư (3)c có tá m vi tử: tị (i = 1, 2 ,. .. , 8) tương ứng với tá m tích màu.
s ư ( 3 ) i có tá m vi tử: Tị tương ứng với tá m tích isospin yếu mở rộng (chứa b a tích
thông thường T x 2 3 của s u (2 )i).
iii) Cho S U {2) l dị thường [£'Ư(2)i ]3 tầ m thường (vì luôn triệt tiêu): dị thường của
m ột nhóm

nếu khác không sẽ dẫn tới đồng n h ấ t thức W ard

không được th ỏ a m ãn và

lý thuy ết không th ể tái chuẩn hóa. Khi mở rộng th à n h S Ư ( 3 ) L , dị
sẽ tỷ lệ với

Tr[T j{T j,

thường tương ứng

T k}] thường không triệt tiêu và nó chỉ triệt tiêu (được khử) khi

số ta m tuyến bằng số phản ta m tuyến.


14

2.2.

Sắp xếp các hạt ferm ion và to á n tử điện tích
Đối với mô hình chuẩn

1paL =

Đối với mô hình 3 - 3 - 1 : Nhóm S Ư ( 3 ) L chứa ta m tuyến (3), ph ản ta m tuyến (3*) và
đơn tuyến 1.
M ột ta m tuyến của S Ư ( 3 ) L được tách th ành : 3 = 2 0 1 .
M ột ph ản ta m tuyến của S Ư ( 3 ) l được tách thành: 3* = 2* 0 1.

2 .2 .1 .

Đ ố i với các le p t o n

1paL -

với a = 1,2 ,3; e

= (efl)c = (ec)L , c : to án tử liên hợp điện tích.

Các h ạ t trên cùng m ột tuyến phải có cùng ph ân cực do đối xứng không thời gian
(đối xứng ngoài) giao hoán với s ư (3)i- Chỉ cần các lepton mô hình chuẩn cho mô hình
3-3-1, không cần những h ạ t mới thêm vào nên những mô hình này được gọi là mô hình
3-3-1 tối thiểu.

2 .2 .2 .

Đ ố i với q u ark

Thế hệ th ứ b a của quark

QăL =

d^L

~ ( 3 , 3 , X q 3).

\ J zlJ
Vì s ư ( 3 ) c và S Ư ( 3 ) l giao hoán, đối xứng không thời gian và S Ư ( 3 ) l giao hoán nên
th à n h phần th ứ b a phải là m ộ t quark mới, gọi là quark ngoại lai.

15

Những h ạ t phải là đơn tuyến của s ư ( 3 ) 2,: U3R, d3R, J3R. Hai thế hệ đầu của quark

/ daL \
QaL =

^

ỡlL

\ JaL J
với а = 1,2. Ja là hai quark mới với lý do nh ư trên.
u aR, daR, J aR là các đơn tuyến của S Ư ( 3 ) l ■
u aR ~ (3,1, X u), daR ~ (3,1,
Л я ~

( 3 , 1 , X j 3),

~

( 3 , 1 , X j a ).

N hận xét
i) Có t ấ t cả sáu ta m tuyến fermion, thực chất là 3 (lepton) và 3 (quark thế hệ ba).
ii) Có sáu ph ản ta m tuyến fermion (quark thế hệ m ột và thế hệ hai).
=> dị thường [£'Ư(3)i]3 được khử.
iii) Nếu xếp thế hệ m ộ t hoặc hai của quark biến đổi khác so với hai th ế hệ còn lại th ì
top quark trong mô hình 3-3-1 đơn giản có khối lượng triệ t tiêu ở mức cây (không tự
nhiên). Ngoài ra dòng tru n g hòa th a y đổi vị sẽ rấ t lớn, điều này không phù hợp với

thự c nghiệm.
iv) Thế hệ th ứ b a của quark biến đổi khác hai thế hệ còn lại sẽ có hai hệ quả
T h ứ n hất: giải thích tại sao top quark quá nặng.
T h ứ hai: dòng tru n g hòa th ay đổi vị phù hợp thực nghiệm với Vật lý mới trong
th a n g TeV.

2 .2 .3 .

T o á n t ử đ iệ n tíc h v à siêu tíc h y ế u

Nhóm S Ư ( 3 ) l <s> ư

(1)x

cho t a xác định toán tử điện tích Q và siêu tích yếu Y .

Toán tử điện tích Q là đại lượng bảo toàn nên Q bằng tổng các vi tử chéo
Q

— a T 3 + ß Tg + 'уХф
а

il

0

0

-1

0

\0

0

oj

2

а
2 +

ß
2

(\ о о \
о 1 о

(Л

V3

О
О

ß
+
2л/ 3

\0

о

-2/

О

+ 7-^1

а
2

ß

+ 7

(хф

0

0

х ф

0

0

X*)

V0
0

0 ^

\

—+

( 2 .1 )

+ 2л/з
О

~ ầ +lX *


16

0

ío

o\

0 - 1 0

QtpaL =

vo
' a

0

'ộaL-

1/

fì

2 + ỉ / í + lX * = 0
a

a = 1

fì

~2 +

ĩ k + 'l X *

/3 = - V ã

= - 1

l 7^v- = 07 ! + ^

Do

7

= 1

không được cố định nên t a chọn 7 = 1 . T hay vào biểu thức (2.1) của Q ta

có

(2 .2 )

Q = T3 - V 3T8 + X .
Theo mô hình chuẩn Q = T3 + Y.
Suy ra
T3 - V ãT 8 + X = T 3 + Y ^ Y

= - V ãT 8 + X .

(2.3)

Chú ý
i) Cho ta m tuyến (u , d , s )
Q ( u ) - Q ( d ) = 1 , Q ( u ) - Q ( s ) = - 1 , Q( d) - Q ( s ) = - 2 .
Cho ph ản ta m tuyến(d, —V, s)
Q ( u ) - Q ( d ) = - 1 , Q ( u ) - Q ( s ) = 1 , Q( d) - Q ( s ) = 2.
ii)
T rQ = X T r l => X =

Tr Q
chiều biểu diễn

T ừ đây t a có
1
5
J 3 có điện tích: Q ( J 3) = 2 - ^
o
o
2
4
2 CÓ điện tích: Q( J i 2 ) = ---- 2 = ----- .
3
3
Hoàn th à n h các biểu diễn

(
I paL =

VaL

\

&aL
\ ( ean)CJ

(
(1 ,3 ,0 ), q 3L =

d^L
\ J slJ

( daL \

QaL =

^ ỡlL
\ JaL )

- (3 ,3 * ,— ) , ( « = 1,2).

(2.4)


17

2

U aR

1

~ (3, 1, -), daR ~ (3, 1, - - ) ,

^3# ~ (3,1, - ) , JaR ~ (3,1, - - ) .

2.3.

P h á vỡ đối xứ ng chuẩn

£ 'ư (3 )c 0 £ ' ư ( 3 ) i 0 ư ( l ) x ,

I <x>
s u ạ ) c ® S U { 2 ) L

I <*7>

£^(3)«® ư (1)q.
N hận xét
i) Nhóm m àu s ư (3)c và nhóm điện từ ư (1 ) q không bao giờ bị p h á vỡ
ii) Đối xứng bị p h á vỡ theo hai giai đoạn
(x) : th a n g của Vật lý mới,
{ĩ]) : th a n g điện yếu.

2.4.

P h ầ n vô hướng
P h ầ n vô hướng tối thiểu

( xĩ \
xĩ'

V

*3 ỉ

/i7Ỉ\
%

0\
0
UJ

VV2/

í

x:

*2

+

(2.5)

Sị + ìAị

V

V2 )

( S 1 + i A 1\

í^= \
V2
0 +
V0 Ị
\

V2
VĨ
vt

= iv) + v' ■
)

Số lượng tử:

( xĩ \
X

xĩ'

\xĩ/

~ ( 1 ,3 ,-1 ),» 7 =

ỉvĩ\
vĩ
\v t J

(1 ,3 ,0 ).

(2 .6 )


18

N hận xét
i) Mô hình với chỉ (x,T]) như trên gọi là mô hình 3-3-1 tối thiểu rú t gọn (chỉ có hai
ta m tuyến) gọi chung là mô hình 3-3-1 r ú t gọn.
ii) Ta không xét mô hình với (X, p), p = {pi 1 f>ị, Pz +), vì mô hình cho th a m số p quá
lớn so với 1, không phù hợp với thực nghiệm.
Như vậy mô hình tối thiểu với (x,rj) là duy n h ấ t (với phần vô hướng tối thiểu).
Chú ý, trước đây t a có mô hình với b a ta m tuyến (X , TỊ, p) và m ột lục tuyến s gọi

là mô hình 3-3-1 tối thiểu.

2.5.

L agrange to à n phần

£

-^ fe rm io n

“ỉ-

-^ s c a la r

“ỉ-

-^ g a u g e

“ỉ-

-^ Y u k a w a

(^ * ^ )

với
-^ fe rm io n

F i ' f 1*D^F, F

£

:

mọi đa tuyến fermion của mô hình.

F

Ĩ 2

A c a la r=

+

$ = x,n

p

^ /—1

-^ g a u g e

/-lựv

AịlV

i

i

ịiv

ụ-1'

Đạo hàm hiệp biến: Dự = dự + igs G itltị + ig A itlTị + igx B X .
Tenxơ cường độ trường
Giịiv

dịiGị V

A-iịịv

iịi

ÕịịẲịv

ỹsỉijkGj ^ G

,

ỹ fijkA-jpAkp J

= dựBv - dvB )i.
Chú ý: tị là vi tử của nhóm s ư ( 3 ) c , Tị là vi tử của nhóm S Ư ( 3 ) l và
nhóm ư ( l ) x ■fijk
^ -Y u k a w a

X là vi tử của

là hằng số cấu trú c của nhóm s ư ( 3). [ Xị , Xj \ = ỉ f i j k. x k.
=

^ 3 3 ^ ìlX ^ĩR

+

^ Q

+

Kb^aL^bLV + J ĩ ( ý aCLVX)(ýbLX*) +

+

Hc.

V

=

.

l

+

h aậQ (*lX

V X ^R +

JậR +

^ 3 a Q 3 l V U 0.R

h da a Q a L rj* d a R +

^ Q

a L 1 ] * X * d aỉ l

)(V W )
(2.8)

ịi\rỊ+TỊ + ịiịx+X + K{rì+Tì)2 + \2{x+x )2

+ A 3 ( í 7+ J7)( x + x ) + A4 ( í 7+ x ) ( x + J7),

(2.9)


19

trong đó, Ai

23 4

không có th ứ nguyên thực, ịi12 có th ứ nguyên khối lượng, h vầ s là

hằng số tương tác Yukawa, không th ứ nguyên.
Chú ý về th ứ nguyên trong hệ tự nhiên h = c = 1:
i) Mọi đại lượng đều có thể viết theo [£?].

ii) Nguyên lí tác dụng

[S] = 0

=>

[£ \

= [L] 4 = [-E]4, hay

c

có chiều (thứ nguyên) bằng 4.

A c a ia r

chứa m 2ệ 2 -» [ệ] =

l , £ f e r m io n

chứa

—
m tp tp - »

3
[tp] =

T-.

Á

=> Mọi tương tác lớn hơn bậc bốn đều không thể tá i chuẩn hóa.
Nhận xét
i) A là th a n g Vật lý mới xác định các tương tác hiệu dụng (không tái chuẩn hóa).
ii) Q uark ngoại lai J i

2 3,

top quark n h ận khối lượng mức cây, m ộ t số quark nhẹ thông

thường n h ận khối lượng từ tương tác hiệu dụng (bậc 5).
iii) Lepton m ang điện n h ận khối lượng từ tương tác lên đến bậc sáu.
iv) < b là tương tá c duy n h ấ t vi p h ạm số lepton, do đó sinh khối lượng neutrino, tương
tác này phản ánh số lepton là m ột đối xứng xấp xỉ - đặc trư ng cho mô hình 3-3-1.
Do đối xứng chuẩn, mọi trường chuẩn và íermion không có khối lượng. Vậy để
sinh khối lượng cho các h ạ t như mong muốn, đối xứng chuẩn phải bị p h á vỡ. Chương
sau chúng tôi minh họa cơ chế Higgs thông qua (ỵ,rj) để cho p h á vỡ đối xứng tự p h á t
và sinh khối lượng.


20

Chương 3

P h á vỡ đối xứ ng tự phát và sinh

khối lượng
3.1.

P h ổ vô hướng
Thế vô hướng có dạng
V = nlr]+r] + ịi22x +x

+

Xi(r]+r])2 + A2( x +x ) 2

+

^ ( v +v ) ( x +x ) + M v +v ) ( x +x ) ,

(3.1)

với ịi12' có th ứ nguyên khối lượng,
Ai

2 3 4'

không có th ứ nguyên.

Trung bình chân không u , w được xác định qua điều kiện thế năng cực tiểu thế:

2 _ 2 ( 2 À2Atỉ — A3 /Ì 2 )
2 _ 2 ( 2 Ai //2 — A3 /Ì 1 )
u = ----- —±-----------------------------------------------------------------------, w = --- — -----.( 0
Ằị - 4AiA2
Xị - 4AiA2
v ;

Yêu cầu:
1) Thế bị chặn từ bên dưới,
2) Trung bình chân không u , w khác không (cho p h á vỡ đối xứng và sinh khối lượng),
3) Các khối lượng Vật lí dương, các th a m số th ỏ a m ãn
A^l 2 ^

^l|2,4 ^ 0)

—l y / \ \ \ 2 < A3 < Min ^ 2 A1 ^

^

, 2 X2 ^

^ ^ •

(3-3)

Ngoài ra tru n g bình chân không w p h á vỡ đối xứng mô hình 3-3-1 xuống đối xứng mô
hình chuẩn và cung cấp khối lượng cho các h ạ t mới, còn tru n g bình chân không u ph á


21

VỠ đối xứng mô hình chuẩn và cung cấp khối lượng cho các h ạ t thông thường. Do đó,
để phù hợp với Mô hình chuẩn t a đ ặ t w
K hai triển

u.

quanh tru n g bình chân không t a n h ận được

TỊ,X

= ( 3 ? «*

-

0

(°

-

4

V ỉ ) + (*-

■

Vì vậy các trường vô hướng Vật lý với khối lượng tương ứng được xác định như sau
h

= CịSi — SịS$,

mị

=

A i u 2 + X 2W 2 —

H

= S£ + c^S3,

\ J ( A i u 2 — X 2W 2) 2 +

X 3 U 2W 2

~

mH

= A i u 2 + X 2W 2 + y / ( A i t í 2 — A 2 « ; 2 ) 2 + A 3 U 2 W 2 ~

H±

~ Cevt + s ex t , m H
2 ± = y ( « 2 + w 2) ~

4Ai A2 - A
V
2 A2

2A'

.

w
(3.4)

Ớ đây chúng t a biểu th ị cx = c o s ( x ) , s x = s i n (2 ;), Ị,; = t a n ( x ) cho góc 2 ; b ấ t kì, Ệ là
góc trộ n của Sị — s 3, còn 6 là góc trộn của
u
u = - , t 2t =
w

Xx

—T]3 . Ta th u được

Á3UU)
X3UW
7
Ằ2W

x Á3U
^u

— Ai u

Trường h là Higgs Mô hình chuẩn, H và

(3.5)

Á2W

là Higgs mới.

H-

Cì
^ H-

Gị

Gz

1—
*

G'z

Xa*»
^A„G%± = Cext
III

III

Có tá m trường vô hướng không có khối lượng
=

"H CN

tương ứng với G oldstone boson của tá m gauge boson z , z , w ± , Y ±:t, x ± . Với u -c w,
ta

CÓ

(

( XL -\- h -\- ỈG z ^
T) ~

V2
Gw
H+

3.2.

,x -

GX
Gyw H- H ~\~ ỈG z*

\
(3.6)

V2

P h ổ khối lượng b oson chuẩn
Đạo h àm hiệp biến
Dịí

H-

iịí “I-

H- ^Qx-^^ịíì

(3.7)