Luận văn thống kê của hệ các dao động tử biến dạng hai tham số

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
= = = £ Q ESI G 8 = = =

NGÔ VĂN NGHĨA

THỐNG KÊ CỦA HÊ• CÁC DAO ĐÔNG
TỬ
•
BIÉN DANG HAI THAM SỔ
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết & Vật lí toán
Mã sổ: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ K HO A HỌC VẬT CHẤT
•

•

•

•

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, ngưòi đã đặt

nền móng và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành bài luận văn này. Tôi xin bày
tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tói cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Khoa Vật lí, Phòng Sau
Đại Học, Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều
kiện và giúp đỡ tôi ừong suốt thời gian học tập và làm luận văn .
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những ngưòi đã
động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến, kinh nghiệm quý báu giúp tôi hoàn
thành luận văn. Mặc dù tôi đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn bản luận văn này
không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý
kiến của quý thầy cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Ngô Văn Nghĩa


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưói sự
hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không
trùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác, mọi thông tin trích dẫn ừong luận
văn được ghi rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Ngô Văn Nghĩa

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
MỞ Đ Ầ U .............................................................................................................. 4
NỘI DUNG........................................................................................................... 6
Chương 1: HỆ NHIỀU HẠT ĐỒNG NHẤT......................................................6
1.1 Dao động tử lượng tử ................................................................................ 6
1.2 Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất.......................................13
1.3 Đối xứng hóa và phản đối xứng hóa hàm sóng.......................................16
1.4 Nguyên lý loại trừ Pauli và ngưng tụ Bose- Einstein.............................. 18
Chương 2: THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG HAI THAM
SỐ..............................................................................................................................21

2.1 Thống kê Bose - Einstein.........................................................................21
2.1.1 Dao động tử Boson............................................................................21
2.1.2 Thống kê Bose- Einstein................................................................... 26
2.2 Thống kê Bose- Einstein biến dạng hai tham số.......................................29
Chương 3:THỐNG KÊ FERMI - DIRAC BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ
3.1 Thống kê Fermi- D ừ ac........................................................................... 32
3.1.1 Dao động tử Fermion.......................................................................... 32
3.1.2 Thống kê Fermi- Dirac........................................................................ 35
3.2 Thống kê Fermi- Dirac biến dạng hai tham s ố .........................................37
KẾT LUẬN........................................................................................................ 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................. 41


4

I. MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Vật lí thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất của các hệ nhiều hạt, mô
tả bằng phương pháp thống kê. Để hiểu biết đầy đủ hơn về các hạt cơ bản,
việc mở rộng biến dạng hai tham số p,q cũng là một hướng nghiên cứu thu
hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lí. Bằng phương pháp lý thuyết
trường lượng tử ta thấy rất thuận lợi đồng thời có khả năng xây dựng các phân
bố thống kê lượng tử mở rộng cho trường hợp các dao động phi điều hòa hay
dao động tử điều hòa biến dạng. Lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con
đường để nhận biết các quá trình vật lí xảy ra ừong thế giới hạt vi mô, và
đóng vai ừò quan trọng ừong nhiều lĩnh vực của vật lí, đặc biệt ừong việc
nghiên cứu hệ nhiều hạt và xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử.
Các phương pháp này bổ sung cho nhau để làm rõ được bản chất vật lí của
các quá trình vật lí ừong hệ nhiều hạt.
Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hình
thức luận dao động tử điều hòa biến dạng. Trong những năm gần đây việc
nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng được kích thích thêm bởi sự
quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống
kê Bose - Einstein và thống kê Fermi - Dừac như thống kê Para - Bose, Para
- Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng

với tư cách là thống kê

mở rộng hai tham số. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là ừong
khuôn khổ của đại số biến dạng.
Việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số lượng tử đã được phát triển
mạnh mẽ, thu hút sự quan tâm của nhiều nhà vật lí lý thuyết bởi các cấu trúc
toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lí lý thuyết. Việc mở rộng
hình thức lượng tử điều hòa hai tham số cũng được quan tâm nghiên cứu cùng

5

với sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác vói
thống kê quen thuộc.
Vì vậy dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em xin
chọn đề tài:44Thống kê của hệ các dao động tử biến dạng hai tham sổ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là xây dựng thống kê của hệ các dao động tử biến
dạng hai tham số bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Khảo sát hệ nhiều hạt đồng nhất.
- Xây dựng thống kê Bose - Einstein biến dạng hai tham số.
- Xây dựng phân bố thông kê Fermi - Dirac biến dạng hai tham số.
4. Đổi tượng nghiên cứu
Hệ các dao động tử biến dạng hai tham số.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng các phương pháp vật lí lý thuyết:
- Phương pháp vật lí thống kê và các phương pháp giải tích khác.
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử .


6

II.

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1

HỆ NHIÈU HẠT ĐỒNG NHẤT

1.1 Dao động tử lượng tử
Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,
chuyển động dưới tác dụng của lực đàn hồi f = - kx dọc theo một đường thẳng
nào đó.
Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng [1] :

Trong đó: X

= q = X

là toán tử tọa độ.

px - p - -ih

là toán tử xung lượng.

ti
[p,q ]ụ/ = -ih

h

n

Ềh
(1.2)

(1.3)

7

A

Khi đó ta biểu diễn toán tử H theo ã và à+như sau:
p r mcữ *2 1 .2 mh
H = — + —— X = ——d
2m

2

2 '

2m

- | - 2 L Vw

h

j +)(á + a * ) - ( á - á * )(* -* * )]

ì Ã

2â+aj

2* 2 v

2 v

2 2mứ?'

j ) -(a -M _

LV-

hí
'

y

.ả

*+ *\

â)
'

(1.4)

Ta biểu diễn các toán tử à và â+và ngược lại qua pvầ. q:

2
. ịrrih

q=

q _ „ ịlmũ)
i =>ữ2+ + <-2= —p=4*
'

r hi
ĨI
\ 22mco
ĩ

1
...
V2mứ) v

Từ đó ta thu đươc: à = Ạ—
2Cũh
â+=

m

(1.5)

m
..p'

( 1.6)

Ta đi chứng minh hệ thức giao hoán [â,Â+] = 1

(1.7)

Thật vậy:

[â,â+] =

m (^
2(õh

. ..P Ì

..P Ì
h


8

\jn
2Cũh
_
2tl
1

.■p ) r ™ ~ f
h

/ a

>

A A

A .

AA \

p)

1 í I ỈLĨL
h

ĨL^\ 1

(điều phải chứng minh)
Vậy ta thu được toán tử Hamiltonian có dạng:
Ê = â+â + - n
2)

(1.8)

l

Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bài
toán tìm các vectơ riêng và trị riêng của Hamilonian (1.8), trong đó các toán
tử ũ và à thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.7). Để làm điều đó ta đưa vào toán
tử mới như sau
N = â+â

(1.9)

Hệ thức giao hoán giữa toán tử N với các toán tử à và à+là:
I

Hay

tTt

a

I

C

C

-1 t a

a -1 t

A4- a a

a A+ a

/

A4- A

A Ạ 4- \

/\

^

A

A

N,a \ = N a - aN = a aa —aa a = I a a -aa Ja = —1.a = -a
Nâ = â ( N - 1)

(1.10)

Tương tự ta cũng có
[n ,â +] = ÌVổ+ - â +N = â+ââ+- a a a = a ( a a

- â +â) = â+.ì

HayNâ+=â+(N +1)

(1.11)

Ta kí hiệu |n) là véc tơ riêng của toántử N ứng với trị riêng n thì phương
trình hàm riêng, trị riêng của toán tử N khi đó là:
N\n) = n\n)
^ (n\N\n) = (nịnịn) = n(n \n)

(1-12)


9

Hay

(nÎNÎn) (n\ã+ã\n)
n= Y 1 / = \
/

I
I

(1.13)

^nlâ+âln^ = ||âty/n^/j| иг *L\J

Vì:

(п\ п) = ||^„('гУ
|М
А-

Nên

W

п > О

Các kết quả tính toán cho chúng ta các kết luận sau:
Kết luân 1: Các trị riêng của toán tử iV là các số không âm.
Xét véc tơ trạng thái thu được ẫ\n) bằng cách tác dụng toán tử â lên véc tơ
trạng thái |n ). Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử N vầ sử dụng công
thức (1.10) ta có:
NàIn) = àị^N - 1 ) In) = â(n - 1) In) = (n - l)â In)

(1-14)

Hệ thức ừên có nghĩa là:
Véc tơ trạng thái ẫ\n) cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N

ứng với trị riêng (n -1).
Tương tự như vậy à11n);â3

cũng là véc tơ trạng thái của toán tử

N ứng với ừị riêng (n - 2) , (n - 3),...
Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái â+1n), tác dụng lên véc tơ trạng thái
này toán tử N , sử dụng công thức (1.11) ta có:
Nâ+In) = ầ+ị t i +

= à+(n + l)ln) = (n + ì)â+In)

(1-15)

Nghĩa là véc tơ trạng thái â+In) cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N
ứng với trị riêng (n + 1).
Tương tự như vậy à+1\n)‘,â+3\n),... cũng là véc tơ trạng thái của toán tử
N ứng với ừị riêng (n + 2) , (n + 3),...


10

Kết luân 2: Nếu I TÌ) là một vectơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì
,với p=ì,2,3,...,âr In) cũng là một vectơ riêng của toán tà N ứng với trị
riêng (n - p); và (â+Ỵ In) cũng là một vectơ trạng thái riêng của toán tà N
ứng với trị riêng (n+p), và n - p ^ O
Từ hai kết luận trên ta thấy n là một trị riêng của toán tử N thì chuỗi
các số không âm n - 1, n - 2, n - 3, ... cũng là trị riêng của toán tử N .Vì
chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmk. Khi đó:
à Inm

.in)=
7 0
Vì nếu ầ Inmin) =£0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với ừị riêng
nmm - 1 < nmm trái với giả thiết llnún là trị riêng nhỏ nhất.
Từ (1.16) ta có:

â+â\nmịn) = N \n mirí) = 0

Mặt khác theo định nghĩa

N \n imn) = nimn\nimn)

( 1. 18)

Kết luân 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N là ĩinún = 0.
Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của N được kí hiệu là |0).
Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện: â |0) =0.
Khi đó : â+10) tỷ lệ với vectơ riêng 11) của N ứng với trị riêng n=l,
(iâ+ý 10) tỷ lệ với vectơ riêng 12) của N ứng với trị riêng n=2,
( â +)n 10)

1
Vì H = (â â +—)fi
2

tỷ lệ với vectơ riêng In) của N ứng với trị riêng n,
% nên 10) là vectơ riêng của tì ứng với trị riêng


11

I n) là vectơ riêng của ồ ứng với trị riêng
En=(,n+ị)h
Vậy các trạng thái dừng của dao động tà điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau: hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng h . Trạng thái 10) có
năng lượng thấp nhất là Eữ. Trạng thái tiếp theo 11) với năng lượng Eữ + ĨĨ
có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng fi

vào

trạng thái 10). Trạng thái tiếp theo 12) với năng lượng
E1+ h

h

có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng h
vào trạng thái |l), cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng h

vào

trạng thái |0). Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0, thì có thể coi trạng thái
|0) là trạng thái không chứa lượng tử nào. Vì vậy |0) được gọi là trạng thái
chân không, |l) là trạng thái chứa một lượng tử, 12) là trạng thái chứa hai
lượng tử ... |n) là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử N cỏ các giá trị nguyên
không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng.
Toán tử N có trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán
nhận là toán số lượng tử năng lượng. Toán tử â khi tác dụng lên I rì) cho một
trạng thái tỷ lệ vói I n -1 ) và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử
năng lượng. Toán tử â+khi tác dụng lên I n) cho một trạng thái tỷ lệ vói

I n +1) và do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu
lượng tử năng lượng là một hạt thì N sẽ là toán tử số hạt, â sẽ là toán tử hủy
hạt và â+ sẽ là toán tử sinh hạt. Khi đó trạng thái I rì) với năng lượng
En = nh


12

sẽ là trạng thái chứa n hạt. Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa
Cuối cùng, ta hãy tính các hệ số tỷ lệ an,ß n, và Yn trong các hệ thức
âịn) = a n \n —l)

à+\n) = p n\n + 1)

\n) =rnâ+\0}

(1.19)

Để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa thì :

fl
m’n Ịo

(m,n) = ổmn=< khi

x

'

m =n

m*n

+ Tìm an:
Chúng ta có:

n=

(n\N\n)

(n\N\n)

ịn\n)

m,n

Vì m = n nên ỗmn = 1
=ïn = (n\N\n) = (n\a+â\n)
Mặt khác (n\ầ+ = a*n \n - 1)
Do đó : n = an ịn - 1 1an In - 1) =1 a l Iịn - 1 1n - 1) =1 a l I
Coi a là thưc nên a = 4n
И

•

/I

4

+ Tìm ßn:

Ta có n = (n\N\n) = (n\â+â\n) = (n \â +â —lln^
Mặt khác: (n\â = ß*n(n + 1|
Do đó:

n = (n\N\n) = (n \â +â —lln^
= А ( п + \ \ р п\ п + \ ) - \ = Щ - \

Coi ßn là số thực nên ß l = n +1 => ß n = \Ịn + l
+ Tìm Ỵn :


13

Tacó

\n) = ỵnâ+n\0) = ỵn(â+Ỵ lâ+\0)
<^> I«) = r» (à+)" 1A |1>= YnPữ(à+)" 2à+11) = rnp ữ(â+)" 2p ỉ |2)

<=>|n) = ĩnPữPi(à+)n 2\n)...
<^> \n) = / „ M A - A - 1 I « )
^ |n ) = ỵH>ll.2.3...n\n) = ỵn*Jn\\n)

Tóm lại, ta đã thiết lập được các công thức quan ừọng sau đây :
iv|n) = n|n)
a 10) = 0
âịn) = y fn ịn -ì)

(n>0)

â+\n) = *Jn + l\n + í)

(n> 0)

\n) = - ^ â +n\0)
v w!

(1.20)

1.2 Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất.
Ngoài những đại lượng vật lí đặc trưng trạng thái chuyển động của hạt
vi mô ừong không gian như tọa độ, xung lượng, mômen xung lượng, năng
lượng, hình chiếu spin,.. .còn có những đại lượng vật lí gắn liền với bản chất
của hạt vi mô như khối lượng, điện tích, spin,.. .Những hạt có bản chất giống
nhau, tức là có cùng một giá ừị khối lượng, điện tích, spin,..., gọi là các hạt
đồng nhất. Một đặc điểm của Cơ học lượng tử là ừong một hệ nhiều hạt đồng
nhất ta không thể phân biệt được giữa hạt này với hạt khác. Đó là một hiện
thực khách quan của thế giới vi mô và được lý thuyết hóa dưới dạng một
nguyên lý gọi là Nguyên lý bất khả phân biệt cảc hạt đồng nhất. [2]


14

Cụ thể hơn, ta xét một hệ N hạt đồng nhất mỗi hạt đều có khối lượng m.
Hamiltonian của hệ là

Trong đó l = ( 7í ơ i} , 2 = {r2 cr2} 5... với ĩ[ và ƠỊ là biến số tọa độ và chỉ
số spin của hạt thứ 1, uự,t) là thế năng của hạt thứ 1 trong một trường ngoài
nào đó và W(/,n) là năng lượng tương tác giữa hạt thứ 1 và hạt thứ n.
Hamiltonian (1.21) cho thấy rằng nếu ta quy ước đánh số các hạt theo một thứ
tự nào đó từ 1 đến N, thì việc đổi chỗ giữa các hạt vói nhau chỉ làm thay đổi

thứ tự đánh sô đã quy ước và chỉ xáo ừộn các sô hạng ừong các tông 2_J và
2=1

ỹ

chứ không làm thay đổi giá trị của chính các tổng đó và vì vậy
(1.22)

với k, j bất kỳ. Tính chất này được phát biểu như sau: “ Hamiltonian của hệ
các hạt đồng nhất bất biến (đối xứng) đối với phép hoán vị hai hạt bất kỳ”.
Hàm sóng của hệ nhiều hạt đồng nhất là một hàm đa thành phần

thỏa mãn phương trình Schorodinger
õt
(1.23)
Để mô tả sự đổi chỗ giữa các hạt, ta định nghĩa toán tử hoán vị Pk giữa hai
hạtk và j như sau
A


15

trong đó f là một hàm bất kỳ. Sử dụng toán tử hoán vị Pk , ta có thể viết lại
đẳng thức (1.22) dưới dạng
N,t)Pv

(1.24)

Ta thấy toán tử Pkj giao hoán vói Hamiltonian của hệ các hạt đồng nhất.
Bây giờ hãy tác dụng toán tử Pkj lên hai vế của phương trình Schrödinger

ỉh

(1.31)

I=PqHy/
ist-

Vì pk. giao hoán với H nên ta cũng có thể viết
ih

)= á (V )

t 1-25)

So sánh hai phương trình (1.24) và (1.25) ta suy ra rằng nếu
ựặ,2,...,k,...,j,...,N,t) là lời giải của phương trình Schrödinger (1.23) thì
\ự' = 4 ^ (1 ,2 ,k , j , N , t) =xựặ, 2 , k , ị N , t)
cũng là lời giải của phương trình này. Do đó y cũng như y/ đều diễn tả một
trạng thái khả dĩ của hệ các hạt đồng nhất. Vì ừong lập luận ừên k và j là bất
kỳ nên có thể kết luận rằng tất cả các hàm sóng thu được từ
y/(Ậ,2,...,k,..., j , N , t )bằng cách hoán vị tùy ý giữa các hạt đều là lời giải của
phương trình Schrödinger (1.23). Tất cả các hàm sóng được tạo theo kiểu
hoán vị nói trên đều bình đẳng với nhau và vì vậy không thể biết chính xác sự
phân bố ừong không gian của từng hạt riêng biệt mà chỉ có thể biết thông tin
về toàn bộ hệ mà thôi. Từ đó cần phải hiểu là trong thế giới vi mô các hạt
đồng nhất là một tổng thể khách quan mà ta không thể nói gì về trạng thái của
từng hạt riêng biệt. Điều này được phát biểu dưới dạng một nguyên lý chung
gọi là nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất như sau: “Các trạng thái
vật lí của hệ nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đổi vói bất kỳ
phép hoán vị nào giữa các hạt”. [2]

16

1.3. Đổi xứng hóa và phản đổi xứng hóa hàm sóng
Đầu tiên ta xét hệ hai hạt đồng nhất, N = 2. Sau khi giải phương trình
Sehr"
ih

—= Hụ/(ỉ,2,t)

(1.26)

ta thu được hàm sóng y/ịì, 2,0 của hệ. Hàm sóng này nói chung không có tính
đối xứng hoặc phản đối xứng phù hợp với nguyên lý bất khả phân biệt các hạt
đồng nhất. Do đó ta phải tiến hành đối xứng hóa hoặc phản đối xứng hóa như
sau. Vì
^(2,l,t) = P12^(1,2,0
cũng là lời giải của phương trình Sehr "

(1.26) nên hàm

ự = Cj ự(l, 2, t) + c2P12ự( 1,2, t)
vói mọi hệ số c: , c2 cũng là lòi giải của phương trình (1.26). Nếu hai hạt
đang xét là hai boson thì ta phải chọn c =Cị =c2 để thu được hàm sóng y/s có
tính đối xứng cần thiết
\ựs = c[ y/(\, 2, t) + P12y/( 1,2, í)]

còn nếu hai hạt đang xét là hai fermion thì ta phải chọn c’ =Cị= -c 2 để thu
được hàm sóng y/a có tính phản đối xứng cần thiết

\ựa = c \ ụ/(l, 2, t) - P12ụ/(1,2,0]
Trong trường hợp tổng quát với N>2, các hàm sóng hoàn toàn đối xứng
hoặc phản đối xứng đối với phép hoán vị giữa bất kỳ hai hạt nào được xây
dựng như sau:
ự

(1.27)


17

¥ a =c ^ - \ Y Py/(X,2,...,k,...,

(1.28)

p

trong đó p là toán tử hoán vị bất kỳ giữa các hạt, ^

ký hiệu phép cộng theo

p

N! các phép hoán vị P giữa tất cả các hạt ừong hệ N hạt đang xét và
(-l)p = +1 hoặc -1 nếu số lần hoán vị giữa các hạt là chẵn hoặc lẻ.
Để cụ thể hơn, ta xét trường hợp đặc biệt khi có thể bỏ qua tương tác giữa
các hạt. Khi đó Hamiltonian của hệ là tổng của các Hamiltonian của mỗi hạt
H =ỵ ở M
a=1

(1.29)

trong đó H (a) chỉ tác dụng lên tọa độ ra và chỉ số spin ơ a của hạt thứ c t .
Ký hiệu các hàm riêng của Ế (a) là ys(va)ÌTaơa) và Ej,a), ta có

ừong đó chỉ số va bao gồm tất cả các số lượng tử đặc trưng cho trạng thái
của htaj thứ cc khi xét riêng biệt,bao gồm cả hình chiếu spin của hạt này. Dễ
thử lại rằng tích của các hàm sóng y/(va](raơ a) của tất cả các hạt
(rxơx,...,rNơN) = f [ ự £i (raơa)
a=1

(1.30)

cũng là một hàm riêng của Hamiltonian toàn phần (1.29) ứng với trị riêng là
tổng năng lượng của tất cả các hạt:
H ự Vì...VNO i ơ ì rN ƠN) = EVi Vn xựv Vỵ (r{ơ v ...rN ƠN)

a=1
Áp dụng hai công thức (1.27) và (1.28) để đối xứng hóa hoặc phản đối xứng
hóa hàm sóng (1.30), ta thu được


18

N

(1.31)
p

a=1

r

đôi với hệ các boson và
JV
wa =c’Y J(-Vpp Ỵ [ v £( (r a
(1.32)

p

đối với hệ các fermion.
1.4. Nguyên lý loại trừ Pauli và ngưng tụ Bose- Einstein
Công thức (1.32) có thể viết lại dưới định thức (định thức Slater) [2] :
ự vM ơ i)

¥vÁr2ơ 2)

...

iỵvl(rNơN)
(1.33)

ừong đó ơ = l/4W\ là hệ số chuẩn hóa. Rõ ràng rằng nếu hai hoặc hơn hai
trong số N chỉ số

Vj,V 2,...,V N

trùng nhau thì hàm sóng y/_lập tức ừiệt tiêu. Từ

đó suy ra nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng nhất không
thể có hơn một hạt cùng ở một trạng thái hay nói cách khác, mỗi trạng thái
của hệ chỉ có thể hoặc bị bỏ trống hoặc bị chiếm bởi một fermion mà thôi.
Nguyên lý này là một hệ quả của nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng
nhất.
Khác với trường hợp của fermion, hàm sóng (1.31) mô tả hệ các boson
không hề triệt tiêu khi có các chỉ số va trùng nhau. Điều này có nghĩa là mỗi
trạng thái của hệ các boson có thể bị chiếm bởi bao nhiêu boson cũng được.
Khi nhiệt độ đủ thấp, các boson có thể dồn hết xuống trạng thái cơ bản, là
trạng thái có năng lượng thấp nhất. Mật độ boson ở trạng thái cơ bản có thể
đạt tới mức vĩ mô tạo thành một trạng thái vật chất đặc biệt gọi là trạng thái
ngưng tụ Bose - Einstein. Khả năng tồn tại trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein
là một hệ quả của nguyên lý bất khả phân biệt các hạt boson đồng nhất.


19

Kết luận chương 1

Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày một cách lôgic của hệ nhiều hạt
đồng nhất:
- Trình bày biểu diễn hạt dao động tử điều hòa:
- Chứng minh được các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy
Boson toán tử số hạt.
- Biểu diễn Hamiltonian của dao động tử điều hòa theo các toán tử a,a+
- Trình bày về nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất, đối xứng
hóa và phản đối xứng hóa hàm sóng.
- Trình bày về nguyên lý loại trừ Pauli và ngưng tụ Bose- Einstein.
Nội dung trình bày ừong chương này là những nội dung cơ bản, tiền đề để
ừên cơ sở đó chứng tôi áp dụng vào nghiên cứu hệ các dao động tử có thống

kê lượng tử ở các chương sau.


20

CHƯƠNG 2
THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ

2.1 Thống kê Bose - Einstein.
2.1.1. Dao động tử Boson
Một phương pháp toán học rất thuận tiện thường được sử dụng khi
nghiên cứu các hệ nhiều hạt là phương pháp diễn tả các trạng thái của hệ bằng
các vectơ chuẩn hóa ừong một không gian Hilbert và sử dụng các toán tử sinh
hạt và hủy hạt như ta đã nói đến ừong dao động tử điều hòa để kiến tạo các
vectơ trạng thái nhiều hạt. Ta nhắc lại rằng, toán tử sinh hạt â+và toán tử hủy
hạt ẳ thỏa mãn các hệ thức giao hoán[l], [4]:
[â,â+] = l,

[ẵ,â] =[à\â+] =0

Các hệ thức giao hoán này được mở rộng ra cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng
thái khác nhau như sau:

=

[â„,â„]=[áv+,â*]=0

(2.1)

Ta kiến tạo hai vectơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau V và

JU ^ V ; đ ó l à

\vjù) = â+â+
M\ơ)

(2.2)

trong đó 10) là trạng thái chân không không chứa hạt nào. Vì các toán tử sinh
hạt thỏa mãn các hệ thức giao hoán (2.1) nên
a Va JU= a JUa V
>1VJLl) =1 juv)
Vậy do có các hệ thức giao hoán (2.1) nên vectơ trạng thái của hệ hai hạt
đồng nhất có tính chất đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt: chứng là các
boson. Ta đã chứng minh được rằng do có các hệ thức giao hoán (2.1) nên ừị


21

riêng của toántửsố hạt Nv =ầlầv trong một trạng thái V có thể nhận bất cứ
giá trị nguyên không âm nào, phù hợp với hoàn toàn vớihiện tượng ngưng tụ
Bose - Einstein.
Hệ thức giao hoán tử Boson thỏa mãn hệ thức:
[ â , â +] = ì

(2.3)

Toán tử số dao độngN có dạng:
N = â +â

(2.4)

Kết hợp (2.3) với (2.4) ta có:
[JV, Ô] = - à

(2.5)

[W ,â+] = â +

(2.6)

Xét không gian Fock với trạng thái chân không |0) thỏa mãn điều kiện
â|0) = 0
Trạng thái

(2.7)

|n) là trạng thái có n dao động tử có thể thực hiện ừong không

gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng:
( â +Ỵ

|n) = ^ X |0 >
л/и!

n = 0 ,1 ,2 ,...

Sử dụng hệ thức (2.3) và (2.8) ta tính được
'I \ == *ã ( á+)"ln\
ã\n)
■

— Oỷ

-s/и!

-< ™ « х » * г й
= Н

“* Г * И М 1 Й

.ịi* ( « ,i) ( i- r .( r r ịg .

(2.8)


22

={(а-)’« (а -г +2( « ~ п $
= { ( ф ( г Г * +3 ( r p } ị Ị L

-{№ + » (* Я Ề
=ЯИ ”> )
= и-— ^4=—
4п\
= yfn

(( â - f V )
Ạ n -I)i

= ып\п -1}
Và

л +

\

л +

а и) = а и '|0>
4п\
______ / -+\("+1)

= Ặ n + ỉ) ■

|0)

л/(п+1)!

= ^(w + l)|w + l)
Suy ra

iv|n) = â +â|n}
= (3+-n/ w|w-1)
= \ln \ln \n,
= n\n)

Ta có toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P liên hệ với các toán tử dao
động ã, a như sau:


23

(2.9)
____

r

/V

A

Khi ây hệ thức giao hoán giữa toán tà tọa độ Q và toán tà xung lượng p là:
[Ổ ,f] = Ổ P -P Ổ
ih

h
2 V-

-Ị

ả ả + ảả - ả ả - ả ả - ả ả + ảả + ảả )
= ỉti

'+â~ị

= ỉtì
Thế (2.3) vào (2.10) suy ra:
[Q,P] = ih
Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa được biểu diễn như sau:
A

1

A.

1

1 Ạ.

H = ——P + —mcùQ
2m
2
Thay <2, P từ (2.9) ta được
H

=

-

h

h
' 4 r

4 V”

h
= ~ 4

h
r

” A ”

-y

■

4

>
V”

■“ A~

(2.10)


24

h
h

* \
V-- --

h
h

Ồ='

■

)
/s. /s. 1-

____ + a a

____ +

^ -|_ ^

-ả ãJ

\

\_â, â +]j
(2.13)

1

2 ^

Phổ năng của dao động điều hòa được xác định bỏi phương trình hàm riêng
và trị của toán tử H:
Ồ\ n) = En\n)
H\ n) =

h

) «)

1 1

Và
n = 0, 1, 2,...

(2.14)

Nhận xét: Công thức (2.12) là công thức xác định năng lượng của dao động tử
điều hòa một chiều đã được cơ học lượng tử giải một cách chính xác.
(ò ) = (nịốịn) = 0
Ta có:

= ( n \ p \rì) = 0

Do đó độ lệch toàn phương <(a ô ) ),

<(Aê)2>=
(2.15)

> của tọa độ xung lượng là: