Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN ĐỨC THÀNH

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN
CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015


Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh

Tập thể hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Trần Văn Ân
2. TS. Kiều Phương Chi

Phản biện 1:

GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 2:

GS. TSKH. Nguyễn Quang Diệu

Phản biện 3:

PGS. TS. Đinh Huy Hoàng

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường
họp tại Trường Đại học Vinh
vào hồi .......... ngày .... tháng ..... năm ......

Có thể tìm hiểu luận án tại:
1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh
2. Thư Viện Quốc gia Việt Nam


1

MỞ ĐẦU

1

Lý do chọn đề tài

1.1. Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn của toán
học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà
toán học trong và ngoài nước. Lý thuyết điểm bất động là một công cụ quan trọng để
nghiên cứu các hiện tượng phi tuyến. Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác
nhau của Toán học như sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi, tích phân, hệ phương
trình tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng của hệ động lực... Hơn nữa, nó còn
có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như khoa học máy tính, lý thuyết
điều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học, kinh tế... Sự phát triển mạnh mẽ

của lý thuyết điểm bất động có thể nói bắt nguồn từ những ứng dụng rộng rãi của nó.
1.2. Xuất phát từ ba định lý điểm bất động nổi tiếng: Định lý điểm bất động Brouwer
(1911), định lý điểm bất động Banach (1922), định lý điểm bất động Tarski (1955), lý
thuyết điểm bất động có thể được chia thành ba hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết
điểm bất động tôpô, lý thuyết điểm bất động mêtric và lý thuyết điểm bất động rời
rạc. Cùng với việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân thường,
nguyên lý ánh xạ co Banach là trung tâm của lý thuyết điểm bất động trên các không
gian mêtric: "Mỗi ánh xạ co từ một không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó luôn
có duy nhất điểm bất động". Sự ra đời của nguyên lý ánh xạ co Banach cùng với ứng
dụng của nó đã mở ra sự phát triển mới của lý thuyết điểm bất động mêtric.
1.3. Hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric phát triển chủ yếu theo 3 vấn
đề sau: Mở rộng các điều kiện co cho các ánh xạ; mở rộng các định lý điểm bất động đã
biết lên các không gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric; và tìm các ứng dụng của
chúng. Đối với vấn đề mở rộng điều kiện co của ánh xạ, chúng ta đã biết được những
lớp ánh xạ co tiêu biểu được kể đến như của Kannan (1968), Boyd-Wong (1969), MeirKeeler (1969), Reich (1971), Ciric (1971), Zamfirescu (1972), Hardy - Rogers (1973),
Ciric (1974), Berinde (2004)... Ngoài ra, người ta còn đề xuất thêm những loại ánh xạ co
suy rộng như: Φ-co, co yếu, tựa co, hầu co... Đối với vấn đề mở rộng không gian, người
ta đã đề xuất các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trên những lớp không


2

gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric như: Không gian mêtric suy rộng, không
gian mêtric nón, không gian 2-mêtric, không gian b-mêtric... Đặc biệt, năm 1992, trong
dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạng máy tính, S. G. Matthew
đã đề xuất và xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng. Sau đó, các định lý điểm
bất động đối với các ánh xạ co trên lớp không gian này cũng được thiết lập. Và gần
đây, người ta rất quan tâm tới việc thiết lập các định lý điểm bất động của ánh xạ co
suy rộng trên lớp không gian này, xuất phát từ một số ý nghĩa và ứng dụng của chúng.
Theo mạch vấn đề về ứng dụng của các định lý điểm bất động mêtric, ngoài những ứng

dụng truyền thống đã biết, gần đây, người ta đã tìm được những ứng dụng sâu sắc hơn
của các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co suy rộng trên các không gian có cấu
trúc kiểu không gian mêtric vào những lĩnh vực khác nhau của toán học, kinh tế và kỹ
thuật. Có thể nói, cả 3 mạch vấn đề trên không phát triển tách rời nhau mà luôn luôn
đồng hành, gắn bó mật thiết với nhau. Những vấn đề trên đang thu hút khá đông những
người làm việc trong lĩnh vực toán giải tích trong và ngoài nước. Đặc biệt, cả 3 mạch
vấn đề trên vẫn còn những bài toán thời sự đang được đặt ra nghiên cứu và giải quyết.
Với các lý do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là:
"Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian
kiểu mêtric và ứng dụng".

2

Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là mở rộng một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của
một số lớp ánh xạ trên các lớp không gian như: không gian mêtric, không gian mêtric
riêng, không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và tìm hiểu ứng dụng của chúng trong
việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân và bài toán
cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi.

3

Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian mêtric, không gian mêtric
riêng, các ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric, không gian mêtric riêng, điểm bất
động, điểm bất động bộ đôi của một số lớp ánh xạ trong không gian mêtric, không gian
mêtric riêng, một số lớp phương trình tích phân.

4

Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trong không
gian mêtric, không gian mêtric riêng và ứng dụng vào bài toán sự tồn tại nghiệm của các


3

phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi.

5

Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tích hàm, Lý thuyết
phương trình vi phân, phương trình tích phân và Lý thuyết điểm bất động trong quá
trình thực hiện đề tài.

6

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án đã mở rộng được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không
gian mêtric, không gian mêtric riêng. Đồng thời, áp dụng các kết quả thu được vào việc
chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân và bài toán cân
bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi.
Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và nghiên
cứu sinh chuyên ngành Toán giải tích nói chung, lý thuyết điểm bất động trên các không

gian kiểu mêtric và ứng dụng nói riêng.

7

Tổng quan và cấu trúc luận án

Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận án còn có Lời cam
đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trình
khoa học của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và Tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày mở rộng các định lý điểm bất động của một số lớp ánh xạ trên
không gian mêtric cho các ánh xạ kiểu T -co. Trong Mục 1.1, chúng tôi nghiên cứu điểm
bất động của ánh xạ T -co cho các ánh xạ co Meir-Keeler. Trong Mục 1.2, chúng tôi
nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ T -co cho các ánh xạ tựa co Ciric. Trong Mục
1.3, chúng tôi nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ T -co cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co
yếu. Các kết quả chính của Chương 1 là Định lý 1.1.5, Định lý 1.1.8, Định lý 1.2.2, Hệ
quả 1.2.5, Hệ quả 1.2.6, Hệ quả 1.2.7 và Định lý 1.3.2. Các kết quả của chương này đã
được đăng trên các tạp chí Arab Journal of Mathematical Sciences, Abstract and Applied
Analysis và International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences.
Chương 2 nhằm trình bày một số mở rộng các kết quả về điểm bất động cho lớp
các ánh xạ co suy rộng, ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong các không gian mêtric riêng.
Mục 2.1 dành để trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của không gian mêtric
riêng. Trong Mục 2.2, chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co
suy rộng trong các không gian mêtric riêng. Trong Mục 2.3, chúng tôi đưa ra các định
lý điểm bất động chung cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong các không gian mêtric


4

riêng. Các kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9, Hệ quả 2.2.10, Hệ
quả 2.2.11, Hệ quả 2.2.12, Hệ quả 2.2.13, Định lý 2.3.3, Hệ quả 2.3.7 và Hệ quả 2.3.8.

Các kết quả của chương này đã được đăng và nhận đăng trên các tạp chí Mathematical
and Computer Modelling, Journal of Nonlinear Science and Applications, Bulletin of the
Iranian Mathematical Society.
Chương 3 dành cho việc nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của ánh xạ trong
các không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và các ứng dụng của nó. Mục 3.1 dành
cho việc trình bày và chứng minh định lý điểm bất động bộ đôi của một lớp ánh xạ
kiểu F -co trong không gian mêtric riêng. Trong Mục 3.2, chúng tôi đã ứng dụng kết quả
tìm được để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến kiểu
Fredholm. Cuối cùng, trong Mục 3.3, chúng tôi áp dụng kết quả tìm được của điểm bất
động bộ đôi vào bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. Các kết quả
chính của Chương 3 là Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.5, Định lý 3.1.7, Hệ quả 3.1.6. Các kết
quả của chương này đã được đăng trên tạp chí Journal of Inequalities and Applications.
Trong luận án này, chúng tôi cũng giới thiệu nhiều ví dụ nhằm minh họa cho các kết
quả thu được và ý nghĩa mở rộng của các định lý được đưa ra.


5

CHƯƠNG 1
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ T -CO SUY
RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

Chương này dành để trình bày khái niệm ánh xạ T -co. Đồng thời, chúng tôi phát
biểu và chứng minh một số định lý điểm bất động của ánh xạ T -co cho một số ánh xạ
co Meir-Keeler (1969), tựa co Ciric (1974) và (ψ, ϕ)-co yếu (2009) trong lớp các không
gian mêtric.

1.1

Điểm bất động của ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ T -co, đồng thời phát biểu
và chứng minh một số mở rộng của ánh xạ T -co cho ánh xạ co Meir-Keeler.
Trước hết chúng ta đến với định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1.1 Cho (X, d) là không gian mêtric và các ánh xạ T, S : X → X. Ánh
xạ S được gọi là T -co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho
d(T Sx, T Sy) ≤ kd(T x, T y), với mọi x, y ∈ X.

(1.1)

Rõ ràng, nếu ta chọn T x = x với mọi x ∈ X thì ánh xạ T -co là ánh xạ co Banach.
Định nghĩa 1.1.3 Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ T : X → X được gọi là hội
tụ dãy (sequentially convergent) nếu với bất kỳ dãy {yn } ⊂ X mà dãy {T yn } hội tụ thì
dãy {yn } hội tụ.
Định nghĩa 1.1.4 Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ S : X → X được gọi là
co Meir-Keeler nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho ε ≤ d(x, y) < ε + δ kéo theo
d(Sx, Sy) < ε với mọi x, y ∈ X.
Định lý 1.1.5 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Giả sử ánh xạ T : X → X đơn
ánh, liên tục, hội tụ dãy và nếu ánh xạ S : X → X thỏa mãn điều kiện:
với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
ε ≤ d(T x, T y) < ε + δ kéo theo d(T Sx, T Sy) < ε,

(1.2)

với mọi x, y ∈ X thì S có điểm bất động duy nhất z ∈ X và lim T n x = z với mọi x ∈ X.
n→∞


6

Nếu ta cho T x = x với mọi x ∈ X trong Định lý 1.1.5 thì ta nhận được định lý sau
đây của A. Meir và A. Keeler.
Định lý 1.1.6 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và ánh xạ S : X → X. Nếu với
mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho ε ≤ d(x, y) < ε + δ kéo theo d(Sx, Sy) < ε với mọi
x, y ∈ X thì S có điểm bất động duy nhất.
Ví dụ 1.1.7 Lấy X = [1, 8] với mêtric thông thường trên R: d(x, y) = |x − y| với mọi
8
x, y ∈ X. Khi đó, (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Xét ánh xạ Sx = √ với x ∈ X.
x
Khi đó, S không thỏa mãn điều kiện co Meir-Keeler. Xét ánh xạ T : [1, +∞) → [1, +∞)
xác định bởi
T x = ln x + 1, ∀x ∈ X.
Rõ ràng, T đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy và S thỏa mãn các điều kiện trong Định lý
1.1.5 .
Định lý 1.1.8. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và F : X → X là ánh xạ liên
tục. Giả sử ánh xạ T : X → X là đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và với mỗi ε > 0 tồn tại
δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
ε ≤ MT (x, y) < ε + δ kéo theo d(T F x, T F y) < ε,

(1.3)

trong đó
MT (x, y) = max d(T x, T y), d(T x, T F x), d(T y, T F y),
1
[d(T x, T F y) + d(T y, T F x)] .
2
Khi đó, F có điểm bất động duy nhất x ∈ X.

1.2

Điểm bất động của ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ tựa co Ciric, đồng thời phát
biểu và chứng minh một số mở rộng của ánh xạ T -co cho ánh xạ tựa co Ciric (1974).
Định nghĩa 1.2.1. Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ S : X → X được gọi là tựa
co nếu tồn tại 0 ≤ q < 1 sao cho
d(Sx, Sy) ≤ q max d(x, y), d(x, Sx), d(y, Sy), d(x, Sy), d(y, Sx) ,
với mọi x, y ∈ X.
Cho ánh xạ T : X → X, với tập con Y ⊂ X và với mỗi x ∈ X đặt:
1. δ(Y ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ Y }.
2. O(x, n) = {x, T x, T 2 x, · · · , T n x} với n ∈ N.

(1.4)


7

3. O(x, ∞) = {x, T x, T 2 x, · · · }.
Định lý 1.2.2. Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liên
tục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X. Giả sử tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho
d(T Sx, T Sy) ≤ q max{d(T x, T y), d(T x, T Sx), d(T y, T Sy),
d(T x, T Sy), d(T y, T Sx)}

(1.5)

với mọi x, y ∈ X và mọi dãy Cauchy có dạng {T S n x} đều hội tụ trong X. Khi đó, ta có
(i) d(T S i , T S j ) ≤ qδ O(T x, n) , với mọi i, j ∈ {1, 2, ..., n}, mọi x ∈ X và n ∈ N,
(ii) δ O(T x, ∞) ≤

1

1−q d(T x, T Sx), với

mọi x ∈ X,

(iii) S có điểm bất động duy nhất b ∈ X,
(iv) lim T S n x = T b với mọi x ∈ X.
n→∞

Nếu ta cho T x = x với mọi x ∈ X trong Định lý 1.2.2 thì ta nhận được hệ quả sau
đây chính là định lý ánh xạ tựa co Ciric (1974).
Hệ quả 1.2.3. Cho (X, d) là không gian mêtric và ánh xạ S : X → X. Nếu tồn tại
q ∈ [0, 1) sao cho
d(Sx, Sy) ≤ q max d(x, y), d(x, Sx), d(y, Sy), d(x, Sy), d(y, Sx) ,

(1.6)

với mọi x, y ∈ X và mọi dãy Cauchy có dạng {S n x} hội tụ trong X thì S có duy nhất
điểm bất động.
Ví dụ sau chứng tỏ rằng Định lý 1.2.2 là mở rộng thực sự của Định lý ánh xạ tựa co
Ciric.
Ví dụ 1.2.4. Lấy X = R+ với mêtric thông thường: d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ X.
x2
với mọi x ∈ X. Ta
Rõ ràng (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Xét ánh xạ Sx =
x+1
có, ánh xạ S không thỏa mãn điều kiện co trong Hệ quả 1.2.3 nhưng S thỏa mãn các
1
điều kiện trong Định lý 1.2.2 với T x = ex − 1 và q = .
2
Hệ quả 1.2.5. Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liên

tục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X. Giả sử tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho
d(T Sx, T Sy) ≤ q max{d(T x, T y), d(T x, T Sx), d(T y, T Sy),
d(T x, T Sy) + d(T y, T Sx)
}
2
với mọi x, y ∈ X và mọi dãy Cauchy dạng {T S n x} hội tụ trong X. Khi đó
a) S có điểm bất động duy nhất b ∈ X.

(1.7)


8

b) lim T S n x = T b với x ∈ X.
n→∞

Hệ quả 1.2.6. Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liên
tục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X. Giả sử tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho
d(T S k x, T S k y) ≤ q max{d(T x, T y), d(T x, T S k x),
d(T y, T S k y), d(T x, T S k y), d(T y, T S k x)}

(1.8)

với mọi x, y ∈ X, mọi số tự nhiên k và mọi dãy Cauchy dạng {T S n x} hội tụ trong X.
Khi đó S có điểm bất động duy nhất b ∈ X.
Hệ quả 1.2.7. Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liên
tục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X. Nếu tồn tại các ai ≥ 0, i = 1, 2, ..., 5 sao cho
5

ai < 1 thỏa mãn

i=1

d(T Sx, T Sy) ≤a1 d(T x, T y) + a2 d(T x, T Sx) + a3 d(T y, T Sy)
+ a4 d(T x, T Sy) + a5 d(T y, T Sx)

(1.9)

với mọi x, y ∈ X và mọi dãy Cauchy dạng {T S n x} hội tụ trong X thì
(a) S có điểm bất động duy nhất b ∈ X.
(b) lim T S n x = T b.
n→∞

1.3

Điểm bất động chung của các ánh xạ T -co kiểu (ψ, ϕ)co yếu

Trong mục này, chúng tôi phát biểu và chứng minh kết quả về điểm bất động chung
của các ánh xạ T -co cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu.
Ký hiệu Ψ:={ψ : R+ → R+ } là họ các hàm thỏa mãn các điều kiện
(i) ψ liên tục, không giảm;
(ii) ψ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0
và Φ :={ϕ : R+ → R+ } là họ các hàm thỏa mãn các điều kiện
(iii) ϕ nửa liên tục dưới;
(iv) ϕ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0.
Năm 2009, theo hướng mở rộng các kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ kiểu co
yếu, D. Doric đã đề xuất và chứng minh định lý sau đây về điểm bất động chung của
hai ánh xạ.
Định lý 1.3.1. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và các ánh xạ f, g : X → X.
Nếu tồn tại các hàm ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ sao cho
ψ d(f x, gy) ≤ ψ M (x, y) − ϕ M (x, y) ,

(1.10)


9

với mọi x, y ∈ X, trong đó
M (x, y) = max d(x, y), d(x, f x), d(y, gy),

d(x, gy) + d(y, f x)
,
2

thì f và g có điểm bất động chung duy nhất.
Mở rộng Định lý 1.3.1 cho ánh xạ T -co, chúng tôi thu được kết quả sau.
Định lý 1.3.2. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X là đơn ánh, liên
tục, hội tụ dãy. Cho các ánh xạ f, g : X → X. Nếu tồn tại các hàm ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ sao
cho
ψ d(T f x, T gy) ≤ ψ M (T x, T y) − ϕ M (T x, T y)) ,
(1.11)
với mọi x, y ∈ X, trong đó
M (T x, T y) = max d(T x, T y), d(T x, T f x), d(T y, T gy),
d(T x, T gy) + d(T y, T f x)
2
thì f và g có điểm bất động chung duy nhất.
Nhận xét 1.3.3. 1) Trong Định lý 1.3.2, nếu ta chọn T x = x với mọi x ∈ X thì ta nhận
được Định lý 1.3.1.
2) Trong Định lý 1.3.2, nếu ta chọn ψ(t) = t với mọi t ∈ R+ thì ta nhận được dạng
T -co suy rộng cho kết quả sau đây.
Định lý 1.3.4. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và các ánh xạ f, g : X → X.

Nếu tồn tại hàm ϕ ∈ Φ sao cho
d(f x, gy) ≤ M (x, y) − ϕ M (x, y) ,
với mọi x, y ∈ X, trong đó
M (x, y) = max d(x, y), d(x, f x), d(y, gy),

d(x, f y) + d(y, gx)
2

thì f và g có điểm bất động chung duy nhất.
Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 1.3.2 là mở rộng thực sự của Định lý 1.3.1.
Ví dụ 1.3.5. Lấy X = [1, +∞) và d là mêtric thông thường: d(x, y) = |x − y| với mọi
√
x, y ∈ X. Xét các ánh xạ f (x) = g(x) = 4 x với mọi x ∈ X. Dễ thấy, f và g không thỏa
mãn điều kiện co (1.10) trong Định lý 1.3.1. Xét ánh xạ T x = ln x + 1 với mọi x ∈ X.
t
Dễ thấy T đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy. Cho ψ(t) = t và ϕ(t) = với mọi t ∈ R+ .
3
Khi đó, f và g thỏa mãn điều kiện co (1.11) trong Định lý 1.3.2.


10

Kết luận Chương 1
Trong Chương này, chúng tôi thu được những kết quả chính sau
• Đưa ra Định lý 1.1.5 và Định lý 1.1.8 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất
động của ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler trong không gian mêtric đầy đủ. Đưa ra Ví dụ
1.1.7 minh họa cho Định lý 1.1.5 cũng như để chỉ ra rằng kết quả của chúng tôi là mở
rộng thực sự so với kết quả của Meir-Keeler (1969).
Các kết quả này đã được công bố trong bài báo: Kieu Phuong Chi, Erdal Karapinar
and Tran Duc Thanh (2012), A generalization of the Meir-Keeler type contraction, Arab

Journal of Mathematical Sciences, 18, 141-148.
• Đưa ra các Định lý 1.2.2, Hệ quả 1.2.5, Hệ quả 1.2.6 và Hệ quả 1.2.7 khẳng định
sự tồn tại duy nhất điểm bất động cho ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric trong không gian
mêtric đầy đủ. Đưa ra Ví dụ 1.2.4 minh họa cho Định lý 1.2.2 cũng như để chỉ ra rằng
kết quả của chúng tôi là mở rộng thực sự so với kết quả của Ciric (1974).
Các kết quả này đã được công bố trong bài báo: Erdal Karapinar, Kieu Phuong Chi
and Tran Duc Thanh (2012), A generalization of Ciric quasi-contraction, Abstract and
Applied Analysis, Article ID 518734, 9 pages, doi:10.1155/2012/518734.
• Đưa ra Định lý 1.3.2 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động chung của ánh
xạ T -co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric đầy đủ. Đưa ra Ví dụ 1.3.5 minh
họa cho Định lý 1.3.2 cũng như để chỉ ra rằng kết quả của chúng tôi là mở rộng thực sự
so với kết quả D. Doric (2009).
Các kết quả này đã được công bố trong bài báo: T. V. An, K. P. Chi, E. Karapinar and
T. D. Thanh (2012), An extension of generalized (ψ, ϕ)-weak contractions, International
Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol 2012, Article ID 431872, 11pages
doi:10.1155/2012/431872.


11

CHƯƠNG 2
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ CO
SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG

Chương này dành để nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ
co suy rộng trong các không gian mêtric riêng. Trong mục thứ nhất, chúng tôi trình bày
khái niệm không gian mêtric riêng, một số tính chất tôpô, sự hội tụ của dãy trong không
gian mêtric riêng và mối quan hệ giữa không gian mêtric riêng với không gian mêtric.
Mục thứ hai dành để trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng
trong không gian mêtric riêng. Chú ý rằng, các kỹ thuật chứng minh trong các định lý

ở mục trên hoàn toàn khác với các kỹ thuật chứng minh đã có trong các không gian
mêtric. Trong mục cuối cùng của chương, chúng tôi thiết lập các định lý điểm bất động
đối với ánh xạ co yếu thông qua một số định lý điểm bất động chung cho các ánh xạ
kiểu (ψ, ϕ)-co yếu.

2.1

Không gian mêtric riêng

Năm 1992, trong dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạng
máy tính, S. G. Matthew đã đề xuất và xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng.
Các khái niệm, tính chất tôpô, sự hội tụ của dãy, mối quan hệ giữa không gian mêtric
riêng và không gian mêtric, nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian gian mêtric
riêng đã được S. G. Matthew trình bày tại hội nghị quốc tế về Tôpô và ứng dụng lần
thứ 8 (1994).
Khái niệm không gian mêtric riêng nhận được bằng cách thay thế đẳng thức d(x, x) =
0 trong định nghĩa của mêtric bởi bất đẳng thức d(x, x) ≤ d(x, y) với mọi x, y. Trước
hết, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng về sau, mà chúng
được đưa ra bởi S. G. Matthew.
Định nghĩa 2.1.1. Cho X là tập hợp khác rỗng, ánh xạ p : X × X → R+ được gọi là
một mêtric riêng (partial metric) trên X nếu với bất kỳ x, y, z ∈ X các điều kiện sau
được thỏa mãn
(P1) x = y nếu và chỉ nếu p(x, x) = p(y, y) = p(x, y).


12

(P2) p(x, x) ≤ p(x, y).
(P3) p(x, y) = p(y, x).
(P4) p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) − p(y, y).

Tập X cùng với một mêtric riêng p trên nó được gọi là không gian mêtric riêng
(partial metric space) và ký hiệu là (X, p).
Ví dụ 2.1.2. 1) Cho X = R+ và ánh xạ p : X × X → R+ được xác định bởi p(x, y) =
max{x, y} với mọi x, y ∈ X. Khi đó, (X, p) là không gian mêtric riêng. Hơn nữa, (X, p)
không là không gian mêtric vì p(x, x) = x > 0 với mọi x > 0.
2) Cho X = {[a, b] : a, b ∈ R, a ≤ b} và ánh xạ p : X × X → R+ được xác định bởi
p([a, b], [c, d]) = max{b, d} − min{a, c},
với mọi [a, b], [c, d] ∈ X. Khi đó, (X, p) là không gian mêtric riêng.
3) Cho X = [0, 1] ∪ [2, 3] và ánh xạ p : X × X → R+ được xác định bởi
p(x, y) =

|x − y|
nếu
max{x, y} nếu

{x, y} ⊂ [0, 1]
{x, y} ∩ [2, 3] = ∅,

với mọi x, y ∈ X. Khi đó, (X, p) là không gian mêtric riêng.
Mệnh đề 2.1.3. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, các ánh xạ ps , pm :
X × X → R+ cho bởi
ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y)
và
pm (x, y) = max{p(x, y) − p(x, x), p(x, y) − p(y, y)}
xác định các mêtric tương đương trên X.
Định nghĩa 2.1.6. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng.
1) Dãy {xn } trong X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu và chỉ nếu p(x, x) =
lim p(xn , x).
n→∞

2) Dãy {xn } trong X được gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu lim p(xn , xm ) tồn tại
n,m→∞

hữu hạn.
3) Không gian (X, p) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy {xn } trong X hội tụ
tới x ∈ X theo tôpô τp .
4) Hàm f : X → X được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0
sao cho f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε).
Định nghĩa 2.1.7. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng.


13

1) Dãy {xn } trong X được gọi là 0-Cauchy nếu lim p(xn , xm ) = 0.
n,m→∞

2) Không gian (X, p) được gọi là 0-đầy đủ nếu mọi dãy 0-Cauchy trong X hội tụ theo
tôpô τp tới x ∈ X sao cho p(x, x) = 0.
Mệnh đề 2.1.9. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, ta có các khẳng định
sau
(1) Nếu {xn } là dãy hội tụ trong không gian mêtric (X, ps ) thì nó là dãy hội tụ trong
không gian mêtric riêng (X, p).
(2) Dãy {xn } là dãy Cauchy trong (X, p) nếu và chỉ nếu {xn } là dãy Cauchy trong
(X, ps ).
(3) Không gian (X, p) đầy đủ nếu và chỉ nếu không gian (X, ps ) đầy đủ. Hơn nữa,
lim ps (xn , x) = 0 ⇔ lim p(x, x) = lim p(xn , x) = lim p(xm , xn ).

n→∞

n→∞

n→∞

n,m→∞

Bổ đề 2.1.11. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, ta có
(1) Nếu p(x, y) = 0 thì x = y.
(2) Nếu x = y thì p(x, y) > 0.

2.2

Điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trong không
gian mêtric riêng

Năm 2010, I. Altun, F. Sola và H. Simsek đã đưa ra kết quả về sự tồn tại duy nhất
điểm bất động của ánh xạ co kiểu Hardy-Rogers cho trường hợp X là không gian mêtric
riêng bởi định lý sau.
Định lý 2.2.1. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ
thỏa mãn
p(T x, T y) ≤ ap(x, y) + bp(T x, x) + cp(y, T y) + d p(T x, y) + p(x, T y) ,

(2.1)

với mọi x, y ∈ X, trong đó a + b + c + 2d < 1 và a, b, c, d ≥ 0. Khi đó, T có duy nhất
điểm bất động.
Năm 2011, khi mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian mêtric riêng,
D. Ilic, V. Pavlovic và V. Rakocevic đã đề xuất và chứng minh kết quả sau.
Định lý 2.2.2. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ
thỏa mãn
p(T x, T y) ≤ max{ap(x, y), p(x, x), p(y, y)},

(2.2)
với mọi x, y ∈ X, trong đó a ∈ [0, 1). Khi đó, ta có


14

1) Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X}

là tập khác rỗng.

2) Tồn tại duy nhất u ∈ Xp sao cho T u = u.
Mở rộng các điều kiện co ở trên với ánh xạ trong không gian mêtric riêng, chúng tôi
thu được các kết quả sau đây.
Định lý 2.2.3. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh
xạ thỏa mãn
p(T x, T y) ≤ max ap(x, y), bp(x, T x), cp(y, T y), d[p(x, T y) + p(y, T x)],
(2.3)
p(x, x), p(y, y) ,
1
với mọi x, y ∈ X, trong đó a, b, c ∈ [0, 1) và d ∈ [0, ). Khi đó, ta có
2
1) Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} là tập khác rỗng.
2) Tồn tại duy nhất u ∈ Xp sao cho T u = u.
Định lý 2.2.9. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và ánh xạ T : X → X
thỏa mãn
p(T x, T y) ≤ M (x, y),
(2.4)
với mọi x, y ∈ X, trong đó
M (x, y) = max ap(x, y), bp(x, T x), cp(y, T y), d[p(x, T y) + p(y, T x)],
ep(x, x), f p(y, y)

và a, b, c, 2d, e, f ∈ [0, 1). Khi đó, tồn tại duy nhất z ∈ X sao cho T z = z.
Hệ quả 2.2.10. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và ánh xạ T : X → X
thỏa mãn
p(T x, T y) ≤ max ap(x, y), bp(x, T x), cp(y, T y), d[p(x, T y) + p(y, T x)],
(2.5)

p(x, x) + p(y, y)
,
2
1
với mọi x, y ∈ X, trong đó a, b, c ∈ [0, 1) và d ∈ [0, ).
2
Khi đó, Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X}

là tập khác rỗng và T có duy

nhất điểm bất động.
Hệ quả 2.2.11. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ
thỏa mãn
p(T x, T y) ≤ max λp(x, y), α[p(x, T x) + p(y, T y)], γ[p(x, T y) + p(y, T x)],
p(x, x) + p(y, y)
,
2

(2.6)


15

1

với mọi x, y ∈ X, trong đó λ ∈ [0, 1) và α, γ ∈ [0, ). Khi đó ta có
2
1) Tồn tại duy nhất u ∈ Xp sao cho T u = u.
2) p(u, u) = inf{p(y, y) : y ∈ X}.
Hệ quả 2.2.12. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ
thỏa mãn
p(T x, T y) ≤ max ap(x, y), bp(x, T x), cp(y, T y), d[p(x, T y) + p(y, T x)] ,
1
với mọi x, y ∈ X, trong đó a, b, c ∈ [0, 1) và d ∈ [0, ).
2
Khi đó, Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X}

(2.7)

là tập khác rỗng và T có duy

nhất điểm bất động.
Hệ quả 2.2.13. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ
thỏa mãn
p(T x, T y) ≤ap(x, y) + bp(T x, x) + cp(y, T y) + d[p(T x, y) + p(x, T y)]
(2.8)
+ ep(x, x) + f p(y, y)
với mọi x, y ∈ X, trong đó a + b + c + 2d + e + f < 1, và a, b, c, d, e, f ≥ 0. Khi đó, T có
duy nhất điểm bất động.
Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.2.3 là mở rộng thực sự của Định lý 2.2.2.
Ví dụ 2.2.14. Lấy X = [0, 1] ∪ [2, 3] và xét ánh xạ p : X × X → R được xác định bởi
p(x, y) =

|x − y|
nếu

max{x, y} nếu

{x, y} ⊂ [0, 1]
{x, y} ∩ [2, 3] = ∅.

Rõ ràng (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ. Hàm T : X → X được xác định bởi


1
nếu 0 ≤ x < 1
T x = 21


nếu x = 1 hoặc 2 ≤ x ≤ 3.
4
Rõ ràng, T không thỏa mãn các điều kiện kiện co trong Định lý 2.2.2 nhưng T thỏa mãn
1
điều kiện co (2.3) trong Định lý 2.2.3 với < a, b, c, 2d < 1.
3
Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.2.3 là mở rộng thực sự của Hệ quả 2.2.11.
Ví dụ 2.2.15. Lấy X := R+ và xét ánh xạ p : X × X → R+ được cho bởi p(x, y) =
max{x, y} với mọi x, y ∈ X. Dễ thấy (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ. Xét ánh
xạ T : X → X được xác định bởi
T x = ln(1 + x) với mọi x ∈ X.
Rõ ràng, T không thỏa mãn các điều kiện của Hệ quả 2.2.11 nhưng T thỏa mãn các điều
kiện co của Định lý 2.2.3.


16

2.3

Điểm bất động chung của các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co
yếu trong không gian mêtric riêng

Năm 2011, T. Abdeljawad, E. Karapinar và K. Tas đã phát biểu và chứng minh rằng
kết quả của Q. Zhang và Y. Song trong không gian mêtric vẫn còn đúng trong trường
hợp X là không gian mêtric riêng.
Định lý 2.3.2. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T, S : X → X là các
ánh xạ thỏa mãn
p(T x, Sy) ≤ M (x, y) − ϕ M (x, y) ,
(2.9)
với mọi x, y ∈ X, trong đó
a) ϕ : R+ → R+ là hàm liên tục sao cho ϕ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0.
p(x, Sy) + p(T x, y)
b) M (x, y) = max p(x, y), p(x, T x), p(y, Sy),
, với mọi x, y ∈ X.
2
Khi đó, T và S có điểm bất động chung duy nhất.
Mở rộng kết quả trên, chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý điểm bất động
chung cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trên lớp các không gian mêtric riêng.
Định lý 2.3.3. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T, S : X → X là các
ánh xạ thỏa mãn
(2.10)
ψ p(T x, Sy) ≤ ψ M (x, y) − ϕ M (x, y) ,
với mọi x, y ∈ X, trong đó
a) ψ, ϕ : R+ → R+ là các hàm liên tục sao cho ψ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0, và
ϕ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0.
p(x, Sy) + p(T x, y)
, với mọi x, y ∈ X.

b) M (x, y) = max p(x, y), p(x, T x), p(y, Sy),
2
Khi đó, T và S có điểm bất động chung duy nhất.
Nhận xét 2.3.4. Từ Định lý 2.3.3, nếu chọn ψ(t) = t với mọi t ∈ R+ thì chúng ta sẽ
nhận được Định lý 2.3.2.
Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.3.3 là mở rộng thực sự của Định lý 2.3.2.
Ví dụ 2.3.5. Lấy X = {1, 2, 3, 4} và p : X × X → R+ được xác định bởi
1
p(2, 2) = p(4, 4) = ,
2

1
p(3, 3) = ,
4

p(1, 1) = 0,

13
4
9
, p(1, 3) = p(3, 1) = , p(2, 3) = p(3, 2) = ,
10
5
10
p(1, 4) = p(4, 1) = p(3, 4) = p(4, 3) = p(2, 4) = p(4, 2) = 1.

p(1, 2) = p(2, 1) =

Dễ kiểm tra được (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ.

17

Ta xác định các ánh xạ S, T : X → X cho bởi
T 1 = T 2 = T 3 = 1, T 4 = 2,
và 2 hàm ψ, ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) cho bởi

2t




1



20t − 15
ψ(t) =
5





−20t + 28


2

S1 = 1, S3 = S4 = 2, S2 = 3,

nếu
nếu
nếu
nếu
nếu
nếu

0 ≤ t ≤ 21 ,
4
1
2 < t ≤ 5,
4
5 23
1 < t ≤ 20
23
13
20 < t ≤ 10
13
t > 10
.

và ϕ(t) cho bởi
ϕ(t) =


t



 1
2


5t − 4


1

nếu
nếu
nếu
nếu

0 ≤ t ≤ 12 ,
1
9
2 < t ≤ 10
9
10 < t ≤ 1
t > 1.

Khi đó, Định lý 2.3.3 được thỏa mãn với ánh xạ T và các ánh xạ ψ, ϕ, nhưng không
thể áp dụng được Định lý 2.3.2.
Hệ quả 2.3.7. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh
xạ thỏa mãn
ψ p(T x, T y) ≤ ψ M (x, y) − ϕ M (x, y) , với mọi x, y ∈ X, trong đó

(2.11)

a) ψ, ϕ : R+ → R+ là các hàm liên tục thỏa mãn ψ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0 và
ϕ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0.
p(x, T y) + p(T x, y)
, với mọi x, y ∈
b) M (x, y) = max p(x, y), p(x, T x), p(y, T y),
2
X.
Khi đó, T có điểm bất động duy nhất.
Hệ quả 2.3.8. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ, T, S : X → X là các
ánh xạ thỏa mãn
ψ p(T m x, S n y) ≤ ψ Mm,n (x, y) − ϕ Mm,n (x, y) ,

(2.12)

với mọi x, y ∈ X và các số tự nhiên m, n, trong đó
a) ψ, ϕ : R+ → R+ là các hàm liên tục thỏa mãn ψ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0 và
ϕ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0.
p(x, S n y) + p(T m x, y)
, với mọi
b) Mm,n (x, y) = max p(x, y), p(x, T m x), p(y, S n y),
2
x, y ∈ X.
Khi đó, T và S có điểm bất động chung duy nhất.


18

Kết luận Chương 2
Trong Chương này, chúng tôi thu được những kết quả chính sau
• Đưa ra Định lý 2.3.3, Định lý 2.2.9, Hệ quả 2.2.10, Hệ quả 2.2.11, Hệ quả 2.2.12

và Hệ quả 2.2.13 khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động cho lớp ánh
xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng. Đưa ra các Ví dụ 2.2.14 và Ví dụ 2.2.15
nhằm minh họa cho Định lý 2.2.3 cũng như để chỉ ra rằng kết quả của chúng tôi là mở
rộng thực sự so với các kết quả của D. Ilic, V. Pavlovic và V. Rakocevic (2011,2012).
Các kết quả này được công bố trên bài báo: Kieu Phuong Chi, Erdal Karapinar and
Tran Duc Thanh (2012), A generalized contraction principle in partial metric spaces,
Mathematical and Computer Modelling, 55, (5-6), 1673-1681, và Tran Duc Thanh
(2015), On the extensions of Ciric’s almost contraction on partial metric spaces, Journal
of Nonlinear Science and Applications, accepted.
• Đưa ra Định lý 2.3.3, Hệ quả 2.3.7 và Hệ quả 2.3.8 khẳng định sự tồn tại duy nhất
điểm bất động chung cho lớp ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric riêng.
Đưa ra các Ví dụ 2.3.5 và 2.3.6 minh họa cho Định lý 2.3.3 cũng như để chỉ ra rằng
kết quả của chúng tôi là mở rộng thực sự so với các kết quả của T. Abdeljawad, E.
Karapinar và K. Tas (2011).
Các kết quả này được công bố trên bài báo: Kieu Phuong Chi, Erdal Karapinar and
Tran Duc Thanh (2012), On the fixed point theorems for generalized weakly contractive
mappings on partial metric spaces, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 39,
(2), 369-381.


19

CHƯƠNG 3
ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ
CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC
RIÊNG CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG

Trong chương này, chúng tôi phát biểu và chứng minh một số định lý điểm bất
động bộ đôi cho ánh xạ kiểu F -co suy rộng trong các không gian mêtric riêng có thứ tự
bộ phận. Sau đó, áp dụng các kết quả thu được vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm

của một lớp phương trình tích phân phi tuyến và bài toán cân bằng không cộng tác
trong lý thuyết trò chơi.

3.1

Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng
trong không gian mêtric riêng

Trong phần này, chúng tôi phát biểu và chứng minh một số định lý điểm bất động
bộ đôi cho ánh xạ kiểu F -co suy rộng trong các không gian mêtric riêng có thứ tự bộ
phận. Trước hết, chúng ta cần một số khái niệm cơ bản về điểm bất động bộ đôi và ánh
xạ đơn điệu trộn cần dùng về sau.
Định nghĩa 3.1.1. Cho (X, ≤) là một tập sắp thứ tự bộ phận và T : X × X → X. Ánh
xạ T được gọi là có tính chất đơn điệu trộn (mixed monotone) nếu F không giảm theo
biến thứ nhất và không tăng theo biến thứ hai, nghĩa là, với mọi x, y ∈ X ta có
nếu x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 thì T (x1 , y) ≤ T (x2 , y)
và
nếu y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 thì T (x, y1 ) ≥ T (x, y2 ).
Cặp (x, y) ∈ X × X được gọi là điểm bất động bộ đôi của ánh xạ T nếu T (x, y) = x
và T (y, x) = y.
Năm 2012, khi mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian mêtric, D.
Wardowski đã đề xuất khái niệm ánh xạ kiểu F -co và chứng minh một số định lý điểm
bất động cho các ánh xạ kiểu F -co
Định nghĩa 3.1.2. Cho (X, d) là không gian mêtric. Ánh xạ T : X × X → X được gọi
là F − co nếu tồn tại F ∈ F và τ ∈ R+ sao cho
τ + F (d(T x, T y)) ≤ F (d(x, y))


20

với mọi x, y ∈ X. Trong đó, F là họ các hàm F : R+ → R thỏa mãn các điều kiện (F1 )
và (F2 )
(F1 ) F tăng ngặt và liên tục.
(F2 ) Với mỗi dãy {an } ⊂ R+ , ta có lim an = 0 nếu và chỉ nếu lim F (an ) = −∞.
n→∞

n→∞

Bằng cách kết hợp giữa ánh xạ đơn điêu trộn, điểm bất động bộ đôi và ánh xạ kiểu
F -co, chúng tôi phát biểu và chứng minh một số định lý điểm bất động bộ đôi cho các
ánh xạ kiểu F -co trên lớp các không gian mêtric riêng. Đầu tiên, chúng tôi phát biểu và
chứng minh định lý sau.
Định lý 3.1.4. Cho (X, ≤) là tập sắp thứ tự bộ phận và p là mêtric riêng trên X sao
cho (X, p) là không gian mêtric riêng 0-đầy đủ. Cho T : X × X → X là ánh xạ liên tục
có tính chất đơn điệu trộn. Giả sử
1) Tồn tại F ∈ F và τ > 0 sao cho
τ + F p(T (x, y), T (u, v)) ≤ F max p(x, u), p(y, v)}

(3.1)

với mọi x, y, u, v ∈ X thỏa mãn x ≤ u, y ≥ v.
2) Tồn tại x0 , y0 ∈ X sao cho x0 ≤ T (x0 , y0 ) và y0 ≥ T (y0 , x0 ).
Khi đó, T có điểm bất động bộ đôi.
Trong Định lý 3.1.4, bằng cách thay thế giả thiết về tính liên tục của ánh xạ T ta
thu được Định lý sau.
Định lý 3.1.5. Cho (X, ≤) là tập sắp thứ tự bộ phận và mêtric riêng p trên X sao cho
(X, p) là không gian mêtric riêng 0-đầy đủ. Cho T : X × X → X là ánh xạ có tính chất
đơn điệu trộn. Giả sử
1) Tồn tại F ∈ F và τ > 0 sao cho
τ + F p(T (x, y), T (u, v)) ≤ F max p(x, u), p(y, v)}

(3.2)

với mọi x, y, u, v ∈ X thỏa mãn x ≤ u, y ≥ v.
2) Tồn tại x0 , y0 ∈ X sao cho x0 ≤ T (x0 , y0 ) và y0 ≥ T (y0 , x0 ).
Ngoài ra, giả sử X có tính chất:
i) Nếu {xn } là dãy không giảm trong X hội tụ tới x thì xn ≤ x với mọi n ∈ N.
ii) Nếu {yn } là dãy không tăng trong X hội tụ tới y thì yn ≥ y với mọi n ∈ N.
Khi đó, T có điểm bất động bộ đôi.
Hệ quả 3.1.6. Cho (X, ≤) là tập sắp thứ tự bộ phận và mêtric riêng p trên X sao cho
(X, p) là không gian mêtric riêng 0-đầy đủ. Cho T : X × X → X là ánh xạ có tính chất
đơn điệu trộn. Giả sử
1) Tồn tại F ∈ F và τ > 0 sao cho
τ + F p(T (x, y), T (u, v)) ≤ F

p(x, u)) + p(y, v)
2

với mọi x, y, u, v ∈ X thỏa mãn x ≤ u, y ≥ v.
2) Tồn tại x0 , y0 ∈ X sao cho x0 ≤ T (x0 , y0 ) và y0 ≥ T (y0 , x0 ).
Ngoài ra, giả thiết thêm
a) T liên tục, hoặc

(3.3)


21

b) X có tính chất:
i) Nếu {xn } là dãy không giảm trong X hội tụ tới x thì xn ≤ x với mọi n ∈ N.

ii) Nếu {yn } là dãy không tăng trong X hội tụ tới y thì yn ≥ y với mọi n ∈ N.
Khi đó, T có điểm bất động bộ đôi.
Bằng cách bổ sung thêm điều kiện, định lý sau chứng tỏ T có duy nhất điểm bất
động.
Định lý 3.1.7. Giả sử các điều kiện của Hệ quả 3.1.6 được thỏa mãn. Hơn nữa, nếu x0
và y0 so sánh được với nhau thì T có duy nhất điểm bất động.

3.2

´
Ưng dụng vào một lớp phương trình tích phân phi
tuyến

Trong mục này, chúng tôi áp dụng các định lý đã được chứng minh trong Mục 3.1
để nghiên cứu bài toán về sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích
phân phi tuyến. Trong toàn bộ mục này, ta hiểu C A, R) là không gian các hàm liên tục
xác định trên A và nhận giá trị trên R, còn K ∈ R.
Xét phương trình tích phân
t

[K1 (t, s) + K2 (t, s)] f (s, x(s)) + g(s, x(s) ds,

x(t) = h(t) +

(3.4)

0

trong đó K1 , K2 ∈ C [0, K] × [0, K], R , f, g ∈ C [0, K] × R, R , h ∈ C [0, K], R) và
hàm chưa biết x ∈ C [0, K], R).

Nghiệm của phương trình (3.4) là hàm liên tục x : [0, K] → R thỏa mãn (3.4) trên
[0, K].
Để xét sự tồn tại nghiệm x ∈ C [0, K], R) của phương trình tích phân (3.4), chúng
ta bổ sung thêm các giả thiết sau.
(A) Tồn tại f, g ∈ C([0, K] × R, R), h ∈ C [0, K], R) và K1 , K2 ∈ C([0, K] × [0, K], R)
sao cho K1 (t, s) ≥ 0 và K2 (t, s) ≤ 0 với mọi t, s ∈ [0, K].
(B) Hàm f (t, .) : [0, K] × R → R tăng với mọi t ∈ [0, K] còn hàm g(t, .) : [0, K] × R →
R giảm với mọi t ∈ [0, K].
(C) Tồn tại τ ∈ [1, ∞) sao cho
0 ≤ f (t, x) − f (t, y) ≤ τ e−τ
và

x−y
, ∀x ≥ y
2

x−y
≤ g(t, x) − g(t, y) ≤ 0, ∀x ≥ y.
2
(D) max |K1 (t, s) − K2 (t, s)| ≤ 1.
−τ e−τ

t,s∈[0,K]

Định nghĩa 3.2.1. Phần tử (α, β) ∈ C [0, K], R × C [0, K], R được gọi là nghiệm
bộ đôi trên và dưới (coupled lower and upper solution) của phương trình (3.4) nếu


22

α(t) ≤ β(t) thỏa mãn
t

α(t) ≤ h(t) +

K1 (t, s) f (s, α(s)) + g(s, β(s)) ds
0
t

+

K2 (t, s) f (s, β(s)) + g(s, α(s)) ds
0

và

t

β(t) ≥ h(t) +

K1 (t, s) f (s, β(s)) + g(s, α(s)) ds
0
t

+

K2 (t, s) f (s, α(s)) + g(s, β(s)) ds.
0

Định lý 3.2.2. Cho phương trình tích phân (3.4) với các hàm K1 , K2 ∈ C [0, K] ×

[0, K], R , f, g ∈ C [0, K] × R, R , h ∈ C [0, K], R) và giả sử giả thiết (A), (B), (C),
(D) được thỏa mãn. Khi đó, sự tồn tại nghiệm bộ đôi trên và dưới của phương trình (3.4)
sẽ kéo theo sự tồn tại nghiệm duy nhất của phương trình (3.4) trong C [0, K], R .

3.3

´
Ưng dụng vào bài toán cân bằng không cộng tác trong
lý thuyết trò chơi

Với mục đích nghiên cứu điểm cân bằng của trò chơi, trong mục này, chúng tôi áp
dụng một số định lý đã được chứng minh ở Mục 3.1 để nghiên cứu bài toán cân bằng
không cộng tác trong trò chơi với hai người chơi. Đầu tiên, ta nhắc lại một số khái niệm
cơ bản sau.
Định nghĩa 3.3.1. Một trò chơi với hai người chơi G ở dạng chính tắc gồm các dữ kiện
sau:
(1) Hai không gian tôpô S1 và S2 , tương ứng là không gian các chiến thuật chơi của
người chơi 1 và người chơi 2.
(2) Không gian con tôpô cặp chiến thuật (strategies pairs) U ⊂ S1 × S2 .
(3) Hàm song thua cuộc (a biloss operator)
L : U → R2
(s1 , s2 ) → (L1 (s1 , s2 ); L2 (s1 , s2 )),

(3.5)

trong đó Li (s1 , s2 ) là hàm thua cuộc (loss operator) của người chơi thứ i, i = 1, 2 nếu
các chiến thuật s1 và s2 được sử dụng.
Định nghĩa 3.3.2. Cặp (s1 , s2 ) ∈ U được gọi là điểm cân bằng không cộng tác (a
non-cooperative equilibrium) nếu
L1 (s1 , s2 ) ≤ L1 (s1 , s2 )), ∀s1 ∈ S1

L2 (s1 , s2 ) ≤ L2 (s1 , s2 )), ∀s2 ∈ S2 ,

(3.6)

hay
L1 (s1 , s2 ) = min L1 (s1 , s2 ))
s1 ∈S1

L2 (s1 , s2 ) = min L2 (s1 , s2 )).
s2 ∈S2

(3.7)


23

Định nghĩa 3.3.3. Các ánh xạ
C : S2 → S1
D : S1 → S2

(3.8)

thỏa mãn các điều kiện
L1 (C(s2 ), s2 ) = min L1 (s1 , s2 ), ∀s2 ∈ S2
s1 ∈S1

L2 (s1 , D(s1 )) = min L2 (s1 , s2 ), ∀s1 ∈ S1

(3.9)

s2 ∈S2

được gọi là các phương án quyết định tối ưu (optimal decision rules). ‘
Định lý 3.3.5. Cho (S, ≤) là tập sắp thứ tự bộ phận và mêtric riêng p trên S = S1 = S2
sao cho (S, p) là không gian mêtric riêng 0-đầy đủ. G là trò chơi với hai người chơi. Giả
sử phương án quyết định tối ưu là hàm đơn điệu, liên tục C : S → S sao cho
1) Tồn tại F ∈ F và τ > 0 sao cho
τ + F p(C(x), C(y)) ≤ F (p(x, y))

(3.10)

với mọi x, y ∈ S thỏa mãn y ≥ x.
2) Tồn tại x0 , y0 ∈ S sao cho x0 ≤ C(y0 ) và y0 ≥ C(x0 ).
Khi đó, trò chơi với hai người chơi G có điểm cân bằng không cộng tác.

Kết luận Chương 3
Trong Chương này, chúng tôi thu được những kết quả chính sau
• Đưa ra Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.5, Định lý 3.1.7 và Hệ quả 3.1.6 khẳng định sự
tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động bộ đôi cho lớp ánh xạ kiểu F -co trong không
gian mêtric riêng sắp thứ tự bộ phận.
• Áp dụng Định lý 3.1.7 để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương
trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm.
• Áp dụng Định lý 3.1.4 để chứng tỏ trò chơi với hai người chơi là cân bằng không
cộng tác.
Các kết quả này được công bố trên bài báo: Tran Duc Thanh, Aatef Hobiny and Erdal
Karapinar (2015), A solution for the non-cooperative equilibrium problem of two person
via fixed point theory, Journal of Inequalities and Applications, 2015:158, 18 pages, doi:
10.1186/s13660-015-0679-3.