02 DU DOAN SO PHUC OXYZ loi giai chi tiet

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

DỰ ĐOÁN CÂU SỐ PHỨC – TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ 2016
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1. [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn 2 ( z − 1) = 3z + ( i − 1)( i + 2 ) . Tìm phần thực của số phức
w = 2z2 −1

Lời giải

Đặt z = a + bi ⇒ z = a − bi

a = 1
1

Ta có 2 ( a + bi − 1) = 3 ( a − bi ) + i − 3 ⇔ (1 − a ) + i ( 5b − 1) = 0 ⇔ 
1 ⇒ z = 1+ i
5
b = 5
2

23
23 4
 1 
w = 2 1 + i  − 1 =
+ i nên phần thực của w là
.
25
25 5
 5 

Câu 2. [ĐVH]: Cho số phức z = −1 + 3i . Tính mô-đun của số phức w = z + 3z − z 2
Lời giải
2
Ta có w = −1 + 3i + 3 ( −1 − 3i ) − ( −1 + 3i ) = −1 + 3i − 3 − 9i − (1 − 6i − 9 ) = 4 ⇒ w = 4

(

)

Câu 3. [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn ( 3 + i ) z + (1 + i )( 2 + i ) = 5 − i . Tìm phần ảo của số phức w = z − 1
Lời giải
Giả thiết ⇔ ( 3 + i ) z + 3i + 1 = 5 − i ⇔ ( 3 + i ) z = 4 − 4i ⇔ z =

2

4 − 4i
4 8
⇔z= − i
3+i
5 5

2

63 16
4 8

⇒ w =  + i − 1 = − − i
25 25
5 5


16
Nên phần ảo của w là − .
25

Câu 4. [ĐVH]: Cho số phức z = 3 − 2i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức w = iz − z + (1 + i ) z 2
3

(

)

w = i ( 3 − 2i ) − ( 3 + 2i ) + 1 + 3i + 3i 2 + i 3 ( 3 − 2i )

2

Lời giải
= 3i − 2i 2 − 3 − 2i + ( −2 + 2i )( 5 − 12i ) = 13 + 35i

Nên w có phần thực là 13 và phần ảo là 35.

Câu 5. [ĐVH]: Gọi z1 ; z2 là các nghiệm của phương trình 3 z 2 − z + 2 = 0.
Tính giá trị biểu thức A = ( z1 − z2 ) + z1 + z2
2

2

2

Lời giải
1


 z1 + z2 = 3
1 8
23
2
2
Theo định lí Vi-et ta có 
⇒ ( z1 − z2 ) = ( z1 + z2 ) − 4 z1 z2 = − = −
9 3
9
z z = 2
 1 2 3
Do 3 z 2 − z + 2 = 0 ⇒ z1 =

1
23
1
23
−
i, z2 = +
i
6
6
6
6

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

1 23 2
+
=
36 36 3
23
2
11
Suy ra A = − + 2. = −
9
3
9
Câu 6. [ĐVH]: Cho các số phức z1 = 2 + i; z2 = 1 − 3i .

Suy ra z1 = z2 =
2

2

Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = 2 z1 + z2 − z1.z2

w = 2 ( 2 + i ) + (1 − 3i ) − ( 2 + i )(1 + 3i ) = 6 − 8i
Nên w có phần thực là 6 và phần ảo là –8.

Lời giải

Câu 7. [ĐVH]: Cho các số phức z1 = 3 − 2i; z2 = 1 + 4i . Tìm số phức liên hợp của số phức

w = z1 + z2 + 3z1.z2
Lời giải

Ta có z1 = 3 + 2i , z2 = 1 − 4i
Khi đó, w = z1 + z2 + 3 z1 z2 = 3 + 2i + 1 + 4i + 3 ( 3 − 2i ) . (1 − 4i ) = −11 − 36i ⇒ w = −11 + 36i

Câu 8. [ĐVH]: Tìm số phức z thỏa mãn

z +1 z
+ =1
z
z
Lời giải

Giả thiết ⇔ z 2 + z + z 2 = zz
2
2
Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ta có ( a + bi ) + a + bi + ( a − bi ) = a 2 + b 2

a 2 − 3b 2 + a = 0
 a = 0, b = 0
⇔ 2a 2 − 2b 2 + a + bi = a 2 + b 2 ⇔ a 2 − 3b 2 + a + bi = 0 ⇔ 
⇔
 a = −1, b = 0
b = 0
Vậy z1 = 0 và z2 = −1 là các số phức thỏa mãn đề bài.
Câu 9. [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn iz + 2 z = 1 − i . Tìm phần ảo của số phức w = i z .
Lời giải:
Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi . Khi đó ta có: iz + 2 z = 1 − i ⇔ i ( a + bi ) + 2 ( a − bi ) = 1 − i
a − 2b + 1 = 0
a = 1
⇔ ( a − 2b + 1) i + 2a − b − 1 = 0 ⇔ 
⇔

.
 2a − b − 1 = 0
b = 1
Do đó z = 1 + i ⇒ w = i (1 − i ) = i − i 2 = i + 1 .
Vậy phần ảo của w bằng 1.

Câu 10. [ĐVH]: Cho z = 1 + 2i . Tìm số phức nghịch đảo của w = z 2 + z.z .
Ta có: w = (1 + 2i )

2

Lời giải:
+ (1 + 2i )(1 − 2i ) = 4i + 4i + 1 + 1 − 4i 2 = 4i + 2 .
2

1
1
2 − 4i
2 − 4i
2 − 4i 1 1
=
=
=
=
= − i.
2
w 4i + 2 ( 2 + 4i )( 2 − 4i ) 4 − 16i
20
10 5
1 1

Vậy số phức nghịch đảo của w là số phức ω = − i .
10 5
⇒ω=

Câu 11. [ĐVH]: Tìm modun của số phức z thỏa mãn điều kiện

( 2 + 4i ) z
1+ i

= z + 2 + 19i

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Lời giải

Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi , ( a, b ∈ ℝ )

( 2 + 4i ) z

= z + 2 + 19i ⇔

( 2 + 4i )( a + bi )

= a − bi + 2 + 19i ⇔

( 2 + 4i )(1 − i )( a + bi )

1+ i
1+ i
2
⇔ ( 3 + i )( a + bi ) = a + 2 + (19 − b ) i ⇔ 3a − b + ( a + 3b ) i = a + 2 + (19 − b ) i

= a + 2 + (19 − b ) i

3a − b = a + 2
 2a − b = 2
a = 3
⇒
⇔
⇔
⇒ z = 3 + 4i
a + 3b = 19 − b
 a + 4b = 19
b = 4
Do đó z = 32 + 42 = 5

(

3 z + 3i = ( z − 1) 2 3 − i

Câu 12. [ĐVH]: Tìm modun của số phức z thỏa mãn điều kiện

( a, b ∈ ℝ )
3 z + 3i = ( z − 1) ( 2 3 − i ) ⇔ a

Lời giải

Gọi z = a + bi

(

)

(

3 + b 3i + 3i = ( a + bi − 1) 2 3 − i

)

(

)

)

⇔ a 3 + b 3 + 3 i = 2 3a − 2 3 + b + 2 3b − a + 1 i
a 3 = 2 3a − 2 3 + b
 3a + b = 2 3
a = 1
⇒
⇔
⇔
⇒ z = 1 + 3i
b 3 + 3 = 2 3b − a + 1
− a + 3b = 2
b = 3
Do đó z = 12 +

( 3)

2

=2

Câu 13. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( −4; −2; 4 ) và đường thẳng

 x = −3 + 2t

d :  y = 1− t
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt và vuông góc với d .
 z = −1 + 4t

Lời giải:
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương là ud = ( 2; −1; 4 ) .
Lấy M ( −3 + 2t ;1 − t ; −1 + 4t ) ∈ d ⇒ AM = (1 + 2t ;3 − t ; −5 + 4t ) .
Ta có AM ⊥ ( d ) ⇔ AM .ud = 0 ⇔ 2 + 4t − 3 + t − 20 + 16t = 0 ⇔ 21t = 0 ⇔ t = 1.

Đường thẳng ∆ đi qua A có véctơ chỉ phương là AM = ( 3; 2; −1) .

x = 1+ t

d1 :  y = 1 + 2t
 z = 1 + 2t


x+4 y+2 z−4
Vậy phương trình ∆ là:

=
=
.
3
2
−1

Câu 14. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu tâm I (1; 2; −4 ) , bán kính 5 cm. Viết
phương trình mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ, đi qua M ( −2; 4;0 ) và cắt mặt cầu theo một thiết diện là
đường tròn có bán kính 3 cm.
Lời giải:
(α) đi qua gốc tọa độ nên phương (α) có dạng ax + by + cz = 0 a 2 + b 2 + c 2 > 0 .

(

(α) đi qua M ( −2; 4;0 ) nên −2a + 4b = 0 ⇔ a = 2b .
Ta có: d ( I ; (α ) ) = 52 − 32 = 4 ⇔

a + 2b − 4c
a +b +c
2

2

2

=4⇔

)

4b − 4c
5b + c
2

2

= 4 ⇔ 2b 2 + bc = 0 ⇔ b = 0 ∨ c = −2b .

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

b = 0 ⇔ a = 0 . Chọn c = 1 ⇒ Phương trình (α ) là z = 0 .

c = −2b . Cho b = 1 ⇒ a = 2, c = −2 ⇒ Phương trình (α ) là 2 x + y − 2 z = 0 .

Vậy z = 0 và 2 x + y − 2 z = 0 là các mặt phẳng cần tìm.

Câu 15. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x + 2 y −1 z − 2
=
=
và mặt
1
−1
2

phẳng ( Q ) : x − 2 y − 2 z + 7 = 0. Tìm tọa độ điểm B là giao điểm của d và ( Q ) . Viết phương trình mặt cầu

( S ) có tâm

I thuộc d và bán kính R = IB = 6.

Lời giải:

 x = −2 + t

Phương trình tham số của d là d :  y = 1 − t ⇒ B ( b − 2;1 − b; 2b + 2 ) .
 z = 2 + 2t

Mà B ∈ ( Q ) ⇒ ( b − 2 ) − 2 (1 − b ) − 2 ( 2b + 2 ) + 7 = 0 ⇔ b = 1 ⇒ B ( −1; 0; 4 ) .
Do I ∈ d ⇒ I ( t − 2;1 − t ; 2t + 2 ) ⇒ BI = ( t − 1;1 − t ; 2t − 2 ) ⇒ BI =
Bài ra BI = 6 ⇒ 6 ( t − 1)

2

( t − 1) + (1 − t ) + ( 2t − 2 )
2

2

2

= 6 ( t − 1) .
2

t = 0 ⇒ I ( −2;1; 2 ) ⇒ ( S ) : ( x + 2 ) 2 + ( y − 1)2 + ( z − 2 )2 = 6
= 6⇔

t = 2 ⇒ I ( 0; −1;6 ) ⇒ ( S ) : x 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 6 )2 = 6


( S ) : x 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 6 )2 = 6
Đ/s: B ( −1;0; 4 ) và 
( S ) : ( x + 2 )2 + ( y − 1) 2 + ( z − 2 ) 2 = 6


Câu 16. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x + 2 y −1 z − 2
=
=
và hai mặt
1
2
−1

phẳng ( P ) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0, ( Q ) : x − 2 y − 2 z + 7 = 0. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với (P) và (Q).
Tính độ dài đoạn thẳng AB. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I là trung điểm của AB và bán kính
R = AB.

Lời giải:

 x = −2 + t

Phương trình tham số của d là d :  y = 1 − t
 z = 2 + 2t

Do A, B ∈ d ⇒ A ( a − 2;1 − a; 2a + 2 ) , B ( b − 2;1 − b; 2b + 2 ) .

7
 13 10 8 
Mà A ∈ ( P ) ⇒ ( a − 2 ) + 2 (1 − a ) + 2 ( 2a + 2 ) + 3 = 0 ⇔ a = − ⇒ A  − ; ; −  .
3
 3 3 3

B ∈ ( Q ) ⇒ ( b − 2 ) − 2 (1 − b ) − 2 ( 2b + 2 ) + 7 = 0 ⇔ b = 1 ⇒ B ( −1; 0; 4 ) .
 8 5 2
Bài ra I là trung điểm của AB ⇒ I  − ; ;  .
 3 3 3
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

2

2

2

188
 8 10 20 
 8   10   20 
Ta có AB =  ; − ;  ⇒ R = AB =   +  −  +   =
.
3
3 3 3 
 3  3   3 
2

2

2

8 
5 
2  188

Do đó ( S ) :  x +  +  y −  +  z −  =
.
3 
3 
3
3

2

Vậy AB =

2

2

188
8 
5 
2  188

và ( S ) :  x +  +  y −  +  z −  =

.
3
3 
3 
3
3


Câu 17. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A (1; 2; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2;3; −2 ) . Tính
khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng trung trực của AB.
Lời giải:
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực cảu AB. Ta có trung điểm của AB là I ( 2;1;0 ) , AB ( 2; −2; 2 )
Do mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và vuông góc với AB nên ta chọn nP =
Khi đó : ( P ) : x − y + z − 1 = 0 . Khi đó d ( C ; ( P ) ) =
Vậy d =

2 − 3 − 2 −1
12 + ( −1) + 12
2

1
AB (1; −1;1) .
2

4
3

=

4

.
3

Câu 18. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A ( 2;1; 0 ) , B ( −2;1; 2 ) , C (1;1; −3) .
Chứng minh rằng điểm C không nằm trên mặt phẳng trung trực của AB. Viết phương trình mặt cầu tâm C
tiếp xúc với mặt phẳng đó.
Lời giải:
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực cảu AB. Ta có trung điểm của AB là I ( 0;1;1) , AB ( −4; 0; 2 )
−1
AB ( 2; 0; −1) .
2
Khi đó : ( P ) : 2 x − z + 1 = 0 . Thay toạ độ điểm C vào phương trình mặt phẳng ( P )
Do mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và vuông góc với AB nên ta chọn nP =
ta có: 2.1 + 3 + 1 ≠ 0 nên điểm C không thuộc mặt phẳng (P).
6

Gọi ( S ) là mặt cầu cần tìm ta có tâm mặt cầu là C (1;1; −3) và bán kính R = d ( C ; ( P ) ) =
Khi đó ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 3)
2

2

2

2

=

6
.

5

6
= .
5

Vậy ( P ) : 2 x − z + 1 = 0 và ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 3) =
2

2 +1
2

2

2

6
5

 x = 1 + 2t

Câu 19. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A ( 4;3; 4 ) , và đường thẳng d :  y = 2 − t .
z = 3 + t

Chứng minh rằng đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán kính bằng
Lời giải:

5.

Phương trình mặt cầu tâm A ( 4;3; 4 ) bán kính R = 5 là ( S ) : ( x − 4 ) + ( y − 3) + ( z − 4 ) = 5 .

2

2

2

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Gọi H (1 + 2t ; 2 − t ;3 + t ) là hình chiếu chiếu của A trên d ta có : AH ( −3 + 2t ; −1 − t ; −1 + t )
Khi đó: AH .ud = 0 ⇔ 2 ( −3 + 2t ) − 1( −1 − t ) + 1( −1 + t ) = 0 ⇔ 6t = 6 ⇒ t = 1
Do đó AH ( −1; −2; 0 ) ⇒ AH = d ( A; d ) = 5 = R nên đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán kính
bằng

5.

Câu 20. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

điểm

A (1; −1;3)

và mặt phẳng

( P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Viết phương trình mặt phẳng trung trực
của AH.
Lời giải:
x = 1+ t


Phương trình đường thẳng AH qua A và vuông góc với ( P ) là:  y = −1 − 2t
z = 3 + t

Gọi H (1 + t ; −1 − 2t ;3 + t ) , do H thuộc ( P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 nên (1 + t ) − 2 ( −1 − 2t ) + 3 + t − 1 = 0

 7 −1 31 
I ; ; 
 12 6 12 
Phương trình mặt phẳng trung trực của AH nhân nP = (1; −2;1) là VTPT và đi qua I nên có phương trình là:
5
 1 2 13 
⇔ 6t = 5 ⇔ t = − ⇒ H  ; ;  . Gọi I là trung điểm của AH ta có:
6
6 3 6 

7
= 0.
2
Câu 21. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A (1; −2;1) , B ( 2; 2;1) và mặt phẳng
x − 2y + z −

( P ) : x − y + 2 z − 5 = 0 . Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông
góc của trung điểm đoạn AB trên (P). Tính độ dài đoạn thẳng MH.
Lời giải:
x = 1+ t

Ta có: AB (1; 4;0 ) nên phương trình đường thẳng AB là:  y = −2 + 4t .
z = 1


Gọi M (1 + t ; −2 + 4t ;1) là giao điểm của AB và (P) ta cho M ∈ ( P ) ta có: 1 + t − ( −2 + 4t ) + 2 − 5 = 0

3

⇔ t = 0 ⇒ M ≡ A (1; −2;1) . Gọi trung điểm của AB là I  ; 0;1 ta có MH = MI 2 − IH 2
2

17
31
3
Trong đó IH = d ( I ; ( P ) ) =
và MI 2 = ⇒ MH =
.
4
8
2 6
62
là giá trị cần tìm.
4
Câu 22. [ĐVH]: Trong không gian toạ độ Oxy cho điểm A ( 4; −2; 0 ) và đường thẳng
Vậy MH =

x − 3 y −1 z − 4
=
=
. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng d và viết phương trình
2
1
2
mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.

Lời giài:
 x = 3 + 2t

Phương trình tham số của d:  y = 1 + t . Gọi H ( 3 + 2t ;1 + t ; 4 + 2t ) ta có: AH ( −1 + 2t ;3 + t ; 4 + 2t )
 z = 4 + 2t

d:

Ta có: AH .ud = 0 ⇔ −2 + 4t + 3 + t + 8 + 4t = 0 ⇔ t = −1 ⇒ H (1;0; 2 ) .

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có tâm A ( 4; −2; 0 ) và bán kính R = AH = 32 + 22 + 22 = 17 .
Vậy ( S ) : ( x − 4 ) + ( y + 2 ) + z 2 = 17
2

2

Thầy Đặng Việt Hùng
CHÚC CÁC EM CHINH PHỤC THÀNH CÔNG SỐ PHỨC – OXYZ TRONG ĐỀ THI 2016

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2016!