tài liệu ôn thi thpt đại học môn toán

CHUYÊN ĐỀ

TÍCH PHAÂN
A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM
I - NGUYÊN HÀM
1 - Tính chất của nguyên hàm:
1) ( ∫ f(x)dx )’ = f(x)
2) ∫ af(x)dx = a ∫ f(x)dx (a ≠ 0)
3) ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
4) ∫ f(t)dt = F(t) + C ⇒ ∫ f(u)du = F(u) + C
2 - Bảng các nguyên hàm thường gặp
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp

∫ du = u + C

∫ dx = x + C

x α +1
∫ x dx = α + 1 + C
1
∫ x dx = ln x + C
α

Hàm số hợp tương ứng
(dưới đây u = u(x))

( α ≠-1)
(x ≠ 0)

x

x
e
dx
=
e
+C
∫

ax
x
∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1)
∫ cos xdx = sin x + C

∫ sin xdx = − cos x + C

1
∫ cos 2 x dx = tan x + C
1
∫ sin 2 x dx = − cot x + C

u α +1
∫ u du = α + 1 + C
1
∫ u du = ln u + C
α

( α ≠ -1)
(u ≠ 0)

u

u
e
du
=
e
+C
∫

au
∫ a du = ln a + C
u

(0 < a ≠ 1)

∫ cos udu = sin u + C
∫ sin udu = − cos u + C
1

∫ cos

2

u

du = tan u + C

1
∫ sin 2 u du = − cot u + C

Hệ quả:

1


Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp

Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp

1 ( ax + b )α + 1
∫ ( ax + b ) dx = a . α + 1 + C (α ≠ -1)
1
1
dx
=
ln ax + b + C
∫ ax + b
a
α

1 ax +b
e
+C
a

ax + b
e
∫ dx =

∫a

mx + n

1 a mx + n
dx = .
+C
m ln a

∫ cos( ax + b )dx =

1
sin( ax + b ) + C
a

1
sin(
ax
+
b
)
dx
=
−
cos( ax + b ) + C
∫
a
1
1
dx
=

tan(ax + b) + C
∫ cos2 (ax + b)
a
1
1
dx
=
−
cot(ax + b) + C
∫ sin 2 (ax + b)
a

II – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1 – Định nghĩa:
b
b
∫ f(x)dx = F(x) a = F(b) – F(a)
a
(Trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x))
2 – Tính chất của tích phân xác định
a

(1)

∫ f ( x)dx = 0
a

(2)

b

a

a

b

b

b

a

a

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx

(3) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
b

b

b

a

a

a

(4) ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
(5)

c

b

c

a

a

b

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
2


b

(6) f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ 0
a

b

b

a

a

(7) f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)
b

(8) m ≤ f(x) ≤ M , ∀x ∈ [a; b] ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a)
a

B. CÁC DẠNG TOÁN

Chủ điểm 1
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp và công thức vi phân
Bài 1: Tính các tích phân bất định sau:
x 4 + 2x 3 + x 2 + 2x + 1
1) ∫
dx
x2
ln 2010 x
3) ∫
dx
x
3x 2 + 1
dx
5) ∫ 3
x +x
2

3

1 

2) ∫  x + 3 ÷ dx
x

cos x
dx
4) ∫
1 + sin x
1
dx
6) ∫ 2
(x + 3x + 2) 2
4 x 5 − 3x 4 − 1

1 

7) ∫  x + 3  dx

x

8) ∫

3
 x + 1  dx
9) ∫ 


x

10) ∫ ( x + 23 x ) dx

3
11) ∫ ( x + 1)( x -

x4

dx

3

x + 2 ) dx

4
 x 2 + 1  dx
13) ∫ 


x

3
 x + 1  dx
12) ∫ 


x

x 2 + 4x
dx
14) ∫

x
3


(

)

2

x4 + x−4 + 2

15) ∫ ax + b dx

16) ∫

17) ∫ x ( x + a )( x + b ) dx

x x
18) ∫ 2 e dx

3

(

)2

dx

x

-x
20) ∫ e + e + 2dx

19) ∫ 2 x − e x dx
21) ∫ e + e − 2dx
x

x3

22) ∫

-x

x-1

e 2-5x + 1
ex

dx

23) ∫ x + 1 dx

24) ∫ 1 - cos2xdx

4sin 2 x
dx
25) ∫
1 + cosx

26)

∫e

2009 x

1
dx
+ 2010

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2

1. f(x) = x – 3x +

1
x

x 3 3x 2
ĐS. F(x) =
−
+ ln x + C
3
2

2x 4 + 3
2. f(x) =
x2

2x3 3
ĐS. F(x) =

− +C
3
x

3. f(x) =

ĐS. F(x) = lnx +

x −1
x2
( x 2 − 1) 2
4. f(x) =
x2
5. f(x) =
6. f(x) =

x +3 x +4 x
1

−3

2

x
x
( x − 1) 2
7. f(x) =
x
x −1
8. f(x) = 3

x

9. f(x) = 2 sin 2

x
2

1
+C
x

x3
1
ĐS. F(x) =
− 2x + + C
3
x
4
3

3
2

5
4

ĐS. F(x) = 2 x + 3x + 4 x + C
3

4

5

ĐS. F(x) = 2 x − 33 x 2 + C
ĐS. F(x) = x − 4 x + ln x + C
ĐS. F(x) =

5
3

2
3

x − x +C

ĐS. F(x) = x – sinx + C
4


10. f(x) = tan2x

ĐS. F(x) = tanx – x + C

11. f(x) = cos2x

ĐS. F(x) =

12. f(x) = (tanx – cotx)2

ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C

1
1
x + sin 2 x + C
2
4

13. f(x) =

1
sin 2 x. cos 2 x

ĐS. F(x) = tanx - cotx + C

14. f(x) =

cos 2 x
sin 2 x. cos 2 x

ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C

1
3

15. f(x) = sin3x

ĐS. F(x) = − cos 3 x + C

16. f(x) = 2sin3xcos2x

ĐS. F(x) = − cos 5 x − cos x + C

17. f(x) = ex(ex – 1)

ĐS. F(x) =

e−x
)
18. f(x) = e (2 +
cos 2 x

ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C

x

x

19. f(x) = 2a + 3

x

20. f(x) = e3x+1

2

2. f’(x) = 2 – x và f(2) = 7/3
3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0
1
+ 2 và f(1) = 2
x2

1 2x
e − ex + C
2

2a x 3 x
ĐS. F(x) =
+
+C
ln a ln 3
ĐS. F(x) =

Bài 3: Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5

4. f’(x) = x -

1
5

1 3 x +1
e
+C
3

ĐS. f(x) = x2 + x + 3

x3
ĐS. f(x) = 2 x −
+1

3
8 x x x 2 40
ĐS. f(x) =
−
−
3
2
3
2
x
1
3
+ + 2x −
ĐS. f(x) =
2 x
2

5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3
ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
b
x2 1 5
+ +
6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (− 1) = 2 ĐS. f(x) =
x
2 x 2
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau:
5


 e− x 

x
1. ∫ e 1 + 2 ÷dx
2. ∫ 2 x.3x +1dx
x 

dx
e x dx
3. ∫
4. ∫ 2x
x.ln 2 x
e −1
Bài 5: Tính các tích phân sau:
2
x
x
x

1. ∫  sin − cos ÷ dx
2. ∫ sin 2 dx
2
2
2

cos 2x
dx
4. ∫
5. ∫ cot 2 x dx
sin x + cos x
cot x
dx

7. ∫
8. ∫ cos3 x dx
9
1 + sin x
dx
5
10. ∫ tan x dx
11. ∫ 4 3
sin x cos5 x
π
2

16. ∫

π
3

dx
π
cos x.cos(x + )
4
4
13. ( )
3

ĐS (TPXĐ):

17. ∫

π

6

6. ∫ tan 3 x dx
9. ∫ sin 4 x dx
12. ∫

3

dx
π
sin x.sin(x + )
6

4
14. ( )
3

ln(ex)
dx
1 + x ln x

sin 3 x − sin x
cotx dx
15. ∫
3
sin x
π

14. ∫ dx
4

0 cos x

4

cos 2x
dx
cos 2 x.sin 2 x

π
2 3

π
4

dx
13. I = ∫ 4
π sin x

3. ∫

15. ( −

3
(ds:2.ln )
2

1
83 3

Bài 6: Tính các tích phân bất định sau:

2

1 

1. ∫  3 x −
÷ dx
x


x 4 + 2x 2 + x + 2
2. ∫
dx
x2 + x + 1

3. ∫

dx
x + x5

dx
4. ∫ 3
x −x

x3
5. ∫ 8
dx
x −2

6. ∫

(3x + 1)
dx
3
(x + 1)

3

6


2x

dx
7. ∫
x − 2 − x +1

8. ∫

10. ∫ (2x + 3) 2x + 1 dx

11. ∫

dx
3 − 2x

12. ∫

3x + 1
dx
2x − 3

2x 2 − 7x + 7
13. ∫
dx
x−2

14. ∫

4x − 7
dx
2x 2 − 7x + 7

15. ∫

x−2
dx
x 2 − 3x + 2

dx
16. ∫
x(x n + a) m

1 − ex
17. ∫
dx
1 + ex

18. ∫

dx

dx
e 2x + 3

x + x −1
2

dx

9. ∫ (4x 2 − 4x + 1)5 dx

Vấn đề 2: Phương pháp đổi biến số
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính các tích phân sau:

dx
2) ∫
(3 − 2 x) 5

1) ∫ (5 x − 1) dx
4)

∫

7)

∫

dx
2x −1

x + 1.xdx
dx

∫

13)

∫ sin

16)

tan xdx
∫ cos2 x

∫

x (1 +

e

4

x )2

17)

x

x

2

+ 1) 7 xdx

ln 3 x
11) ∫
dx
x
sin x
dx
14) ∫
cos 5 x

x cos xdx

dx

∫ (2 x

x
dx
8) ∫ 2
x +5

2

10)

20)

5)

21)

dx
∫ sin x
e x dx

∫

e −3
x

18)

3)

∫

6)

∫ (x

9)

∫

12)

5 − 2 x dx
3

+ 5) 4 x 2 dx

3x 2
5 + 2x

∫ x.e

3

x 2 +1

dx

dx

1 − ex
dx
∫
x
0 1+ e

ln 2

15)

dx
∫ cos x

e tan x
22) ∫
dx
cos 2 x

19)

∫ tan xdx

23)

∫

1 − x 2 .dx

7


24)

dx

∫

25)

4 − x2

∫x

dx
26) ∫
1 +x2

1 − x .dx

2

2

27)

∫

x 2 dx

1− x2
dx
dx
3
2
28) ∫ 2
29) ∫ cos x sin xdx
30) ∫ x x − 1.dx
31) ∫ x
x + x +1
e +1
xdx
2

2
25 3
3
2
33
)
2x
x
+
1dx
34)
x
1
−
x
dx
35)
x
x
+
2dx
36
)
32) ∫ x x + 1.dx
∫
∫
∫
∫ 2
x +1

37)

xdx

∫

38)

x2 + 1

41) ∫ sin 3 x cos xdx

45) ∫ e sin(e )dx
x

49)

x

e x dx

∫ ex + 1

∫

∫

42)

39)

x5 + 4
cosxdx

∫3

46) ∫
50)

53) ∫ tan 3xdx
57)

x 4 dx

43)

sin 2 x
(2x-3)dx

e 2x dx

∫ e2x + a 2

2x − 4

61) ∫ ( 3x + 1) 4 dx

62) ∫

65) ∫ x x + 1dx

66) ∫ e x + 1 dx

69) ∫

x3
2

x − 2x + 1
4

(

dx

70) ∫

2

x − 4x + 2

(x

dx

)3

x7
4

+1

)

2

dx

dx

73) ∫ cos xdx

74) ∫

3
77) ∫ tan xdx

78) ∫ 2x 3 + 1 x 2dx

sin 2 xcos 2 x

(

ln x
dx
x

44)

xdx

)3

55) ∫

sin2x
1 + cos2 x

dx

2

dx

1 + x2

∫ cos2 x

dx
1 + tan x

x 2 dx

∫ x3 +1

56)

dx

xdx

71) ∫ ( x + 1) 3
75) ∫ x 2x - 1dx

dx
∫ x ln x
3

60) ∫ e − x x 2dx

64) ∫

63) ∫
xlnx
x

2 3x2 − 5x + 6

52) ∫ cot xdx

59) ∫ e x xdx

67) ∫

(6x-5)dx

48)

1 + x2

51) ∫ tan xdx

58) ∫ esin x cos xdx

x

∫

40) ∫

x4 + 1

47) ∫

x 2 − 3x + 8

54) ∫ cot( 2x + 1)dx

( lnx ) m dx

∫3

x3dx

68) ∫

2x
2

x + x −1

x+4
x 2 − 2x + 1

dx
dx

2
72) ∫ x x + 1dx

76) ∫

x 3 dx

(x 4 − 4) 2
1

x
5
79) ∫ sin x cos xdx 80) ∫ x e dx

8


81) ∫

e tgx
cos 2 x

82) ∫

dx

1
1− x

2

ln

1+ x
dx
1− x

dx

33
2
83) ∫ x 1 + x dx 84) ∫ x ln x . ln( ln x )

Bài 2: Tính các tích phân sau:
3

1) I = ∫ (2x − 3). x − 3x + 5 dx
2

dx
2) J = ∫
x ln x

1

3) T = ∫

0

dx
1 + x2

1
1
x2 −1
x3 − x
x4
dx 7) ∫
dx 5) L = ∫ 6
dx 6) ∫
dx
4) K = ∫ 4
X
1 + 8X
1
+
2
x +1
x + 4x 4 + 4x 2 + 1
−1

HD và ĐS: 3) Đặt x = tant ⇒ T = ln( 2 + 1)
4) Giả sử x ≠ 0, chia tử và mẫu cho x2
1

1
x 2 − 2x + 1
ln | 2
| +C
Sau đó đặt u = x + ⇒ ĐS: K =
x
2 2
x + 2x + 1
5) Giả sử x ≠ 0, chia tử và mẫu cho x3, Sau đó đặt u = x +

1
x

1 x 4 + 2x 2 + 1
+C
⇒ ĐS: K = ln 4
2 x + 2x 2 + 1
1
8x
ln
+C
Câu 6; 7: Đặt t = -x ; câu 7: ĐS: 1/5 ; câu 6: ĐS: −
ln 8 1 + 8x

Vấn đề 3: Phương pháp tích phân từng phần
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
B. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:
Bài 1:
1

1) ∫ (x + 2x).e dx
0

2

x

e

2) ∫ (1 + x).ln x dx
1

e

2
3) ∫ ln x dx
1

9


HD-ĐS: 1) e

e2 5
2)
+
4 4

3) Đặt u = ln2x, dv = dx: ĐS: e-2

Bài 2:
1

e

1) ∫ (1 + x) .e dx (Đặt u = (1 + x) , dv = e dx)
2

2x

2

2
2) ∫ x.ln x dx

2x

0

1

e

ln x
1
3) 1∫ (x + 1) 2 dx (Đặt u = lnx , dv =
.dx)
(1 + x) 2

2

ln x
dx
2
1 x

4) ∫

e

1

2
5) ∫ x + 1 dx (Đặt u =
0

x 2 + 1 , dv = dx)

∗

π
4

π
2

6 ) ∫ dx
3
0 cos x

6) ∫ x.cos 2 x dx
0

π
2

π

2
7) ∫ x.sin x.cos x dx (Đặt u = x, dv = sin x.cos 2 x dx )

8) ∫ e x .cos 2 x dx

0

0

eπ

9) ∫ cos(lnx) dx (Đặt u = cos(lnx), dv = dx)
1

π
2

11) ∫ 1 + sin x e x dx
0 1 + cos x

ĐS:

e

π
2

2

1
2
10) ∫ x ln(1+ ) dx
x
1

(x 2 + 1) x
e dx
12) ∫
2
0 (x + 1)
1

ĐS: 1

HD & ĐS:
5e 2 − 1
1)
4
∗

e2 − 1
2)

4

3) 0

1
4) (1 − ln 2)
2

1
dx
2 1
, dv =
, ĐS:
+ ln( 2 + 1)
6 ) Đặt u =
2
cos x
cos x
2 2

1
9) - (e π + 1)
2

π2 1
5)
−
16 4
π
7)

3

π

1
8) (2e 2 − 3)
5

1
10
1
10) Đặt u = ln(1+ ) , dv = x2dx, ĐS: 3ln3- ln2+
x
3
6
10


Vấn đề 4: Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
b0

b0

b0

b1

- Nắm các dạng cơ bản: b , b , b , b .
1

k
2
2
- Dạng tổng quát: ∫

Pm (x)
dx
Q n (x)

B. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:
4x + 3
dx
2x + 1
x 2 + 4x + 2
dx
4) I = ∫
(x + 1)3
1
5x − 13
dx
7) I = ∫ 2
x
−
5x
+
6
0
1) I = ∫

x4 + 1

10) I = ∫ 6 dx
0 x +1
1

dx
x 2 − 4x + 1
x5
5) I = ∫ 4
dx
x + 3x 2 + 2
e
2x − 5
dx
8) I = ∫ 3
2
x
−
3x
+
4
1

2x + 3
dx
x 3 + x 2 − 2x
3x 2 + 3x + 3
6) I = ∫ 3
dx
x − 3x + 2
3

x3
dx
9) I = ∫ 2
x
+
2x
+
1
0

3x 3
dx
11) I = ∫ 2
0 x + 2x + 1

x2
dx
12) I = ∫ 2
x
−
7x
+
12
1

2) I = ∫

2

1

1
dx
2
x
+
x
+
1
0

13) I = ∫

14) ∫

x3 − 1
3

4x − x

3) I = ∫

2

dx

1
1
x−2− 3
ln | 2x + 1| +C

ln |
| +C
2) I =
2
2 3
x −2+ 3
2x + 3
A
B
C
3
5
1
=
+
+
3) 3
⇒
A
=
,
B
=
,
C
=
2
3
6
x + x 2 − 2x x x − 1 x + 2

A
B
C
+
+
4) I =
⇒ A = 1, B = 2, C = - 1
x + 1 (x + 1) 2 (x + 1)3
Ax + B Cx + D
+ 2
5) I = 2
⇒ B = D = 0, C= -1, A = 4
x +2
x +1
x2
1
ĐS:
-2ln(x 2 +2)+ ln(x 2 +1)+C
2
2

HD & ĐS: 1) I = 2x +

11


A
B
C
+

+
⇒ A = 3, B = 2, C = 1
(x − 1) 2 x − 1 x + 1
1
7
x−2
9
+
ln
|
| +C
7) -ln18 8)
9) 3ln4 3(x − 2) 9
x +1
4
π
9
3
10)
11) – 8 + ln9
12) 1 + 25ln2 – 16ln3 13)
π
3
2
9
6) I =

Vấn đề 5: Tích phân hàm vô tỉ
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:

β

1)

∫

f ( x, ax + b )dx

α
β

2)

β

n

∫α f ( x ,
k

β

3) ∫ f (

m

10)
k −1

ax + b ).x dx

n

k

β

4)

∫
α
∫
α
β

6)

∫
α
β

7)

∫α
β

8)

∫

a 2 ± x 2 dx
...
a ±x
2

2

...
x −a
2

1
x +k
2

2

∫
α

β

α
β

dx
14)
15)

ax + bx + c

2

( x + a)( x + b) dx
1
dx
( x + a )( x + b)
x−a
dx, a>0
x+a

∫ (mx + n)
β

16)

∫

α
β

17)
dx

∫

α

dx

ax 2 + bx + c dx

α

dx

ax + bx + c
2

∫

α
β

dx

1

∫
α

13) ∫

x 2 + k dx

β

∫α
β

α

9)

11)
12)

β

5)

β

ax k + b , n ax k + b ).x k −1dx

α

∫
α

1

dx
ax 2 + bx + c

dx
p( x) + a ± p( x) + b
dx
p( x) ±

[ p ( x) ]

2

+b
12


B. Bài tập tự luyện:
Tính các tích phân sau đây:
Bài 1:
1) ∫ (2x + 3) dx
2

3

dx
4) ∫
01+ x
7) ∫ x

1 + x dx

5

2

0

x2 + 1

− 2

10) ∫

−2

x 1+ x

2

2

dx

13) ∫ x 3 x 2 − 1dx
1

x2

∫

1 − x2

0

2

19)

∫x

1

5) ∫ x + 1 dx
3
0 3x + 1
7
x3
dx
8) ∫ 3
2
0
1+ x
e
ln x
dx
11) ∫
1 x 1 + ln x
2
dx
dx
∫
14) 2
2
x x −1
3

2 /2

16)

(2x + 3)3

7
3

1

3

dx

2) ∫

1

dx

dx
2

1 + x2

dx

∫

17)
2

20) ∫ x

0

2

1

3
2
6) ∫ x 1 − x dx
0

1

2 3
9) ∫ (1 − x ) dx
0

x2 + 1
dx
12) ∫
0 x +1
3

2
2

x2

15) ∫

1− x

0

2

dx

1

18)

1 + x2

0

3) ∫ (x + 2) 2x + 3 dx

∫

1 + x 2 dx

0

4 − x dx
2

1

21) ∫

0 (x

3x + 2
2

+ 1) x + 3x + 3

dx

HD & ĐS:
(Cbú ý: Ngoài căn, trong căn cùng bậc 2 thì nên dùng hàm lượng giác)
2
141
46
4) 2(1 – ln2)
5)
6)
7)14,2
8)
10)
15
15
20
2.( 3 − 1)
2
106
8
3 − 5 + ln
) 11) (2 − 2) 12)

13)
3
15
15
( 5 − 1)
π
1π
14)
15) ( − 1)
12
4 2
2
2
dx
2
2
x
+
2x
+
3
x
4
−
x
dx (π)
Bài 2: 1) ∫ 2
2)
3)
∫

dx
∫
2
x 1− x
0
x +1
13


dx
2x + 1 − 3 2x + 1
dx
Bài 4: 1) ∫
x(4 x − 3 x)
Bài 3: 1) ∫

dx
2x − 1 − 4 2x − 1
dx
2) ∫
x+3x

2) ∫

2
1
−
x
HD – ĐS: Bài 2: 1) ĐS: −
+ C Với x = sint

x
1
u −1 1
| + ] + C Với u = cost, x + 1 =
2) ĐS: 2[ ln |
2
u +1 u
t3 t 2
Bài 3: 1) ĐS: 3[ + + t + ln | t − 1| ] + C Với t = 6 2x + 1 )
3 2
2) ĐS: 2x − 1 + 2 4 2x − 1 + 2ln | 4 2x − 1 − 1| +C
t2
Bài 4: 1) ĐS: -12[
+ t + ln | t − 1| ] + C Với t = 12 x
2
3
t
t2
2) ĐS: 6[ − + t + ln | t + 1| ] + C Với t = 6 x )
3 2

2 tgt

Vấn đề 6: Tích phân các hàm số lượng giác
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
- Đổi biến trong tích phân hàm lượng giác.
- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:
1) ∫ (sin, cos, ...)ndx
2) ∫ (tan, cot, ...)ndx
1

3 ∫ (sin, cos, ...)n dx
4) ∫ tích( sin, cos)dx
dx
5) ∫
a sin x + bcosx + c
6) ∫

a sin x + bcosx + c
dx
msin x + pcosx + q

dx

7) ∫ sin(ax + α ).sin(ax + β )
dx

8) ∫ sin(ax + α ).cos(ax + β )
dx

9) ∫ cos(ax + α ).cos(ax + β )
10) ∫ tan(ax + α ).tan(ax + β )dx
11) ∫ tan(ax + α ).cot(ax + β )dx
12) ∫ cot(ax + α ).cot(ax + β )dx
14


β

π

2
0

sin α x / cos α x
13) ∫
dx
sin α x + cos α x

dx
dx
2
asin
x
+
b
sin
x
cos
x
+
c
cos
x
α

14) I = ∫

2

B. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân

π
2

8
dx
Bài 1: I = ∫ sin 5 x dx ( ) I2 = ∫
2
1
15
sin
x.cos
x
0
sin 2 x
I4 = ∫
dx
cos 6 x

I5 = ∫ cos 4 x dx

I7 = ∫ sin 2 x.cos3 x dx I8 = ∫
I10 = ∫

dx
sin x.cosx

I6 = ∫ sin 2 x.cos 4 x dx

dx
sin x.cos 2 x

I11 = ∫

4

3

3

sin x.cos xdx
1 + cos 2 x
π
2

dx
I13 = ∫
sin 2x − 2sin x

sin 3 x dx
I3 = ∫
cosx. 3 cosx

4sin 3 x
I14 = ∫
dx
1
+
cos
x
0

I9 = ∫

dx
sin x.cos5 x
3

π
2

3π
I12 = ∫ cos 4 2x dx ( 16 )
0
π
4

sin 6 x + cos6 x
I15 = ∫
dx
x
6
+
1
π
−
4

x
x
I2 = ∫ cos x.cos .cos dx

2
4
π
dx
π
π
I4 = ∫π3
4
I3 = ∫0 tan x.tan(x − )dx
π
6 sin x.cos(x + )
4
6
dx
dx
dx
I2 = ∫
(m ≤ 1)
I3 = ∫
Bài 3: I1 = ∫
1 + sin x + cosx
sin x + m
sin x
Bài 2: I1 = ∫ sin 2x.cos5x dx

π
2

π

1 + sin 2x + cos2x
dx (→1) I = 2 cos 2x(sin 4 x + cos 4 x) dx (→0)
Bài 4: I1 = ∫
∫
2
sin x + cosx
π
0

6
π
3

sin x
dx
sin
x
+
cosx
0

I3 = ∫

0

Bài 5: I1 = ∫π (sin x + cos x) dx
−

4

4

π
2

π
I4 = ∫ cos 2 x.cos 2 2x dx (→ 8 )
0
π
2

sin x + 7 cos x + 6
dx
4sin
x
+
3cosx
+
5
0

I2 = ∫

15


π
2

5

sin x
I3 = ∫ 5
dx
5
sin
x
+
cos
x
0

π
3

cos 2 x
I4 = ∫
dx
0 sin x + 3cosx
b

Vấn đề 7: Tích phân các hàm trị tuyệt đối ∫ | f(x) | dx
a

A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
B. Bài tập tự luyện:
1

π
1

I1 = ∫ 4x − 4x + 1 dx (ĐS: ) I2 = ∫ 1 + cos2x dx (ĐS: 2 2 )
2
0
0
2

3π
4

π

I4 = ∫ 1 + sin 2x dx (ĐS: 2 2 )

I3 = ∫ | sin 2x | dx (ĐS: 1)
π
4
π

I5 = ∫ | cos x | sin x dx
0

0

4
(ĐS: )
3

2π

I6 = ∫ 1 + sin x dx

0

(ĐS: 4 2 )

Chủ điểm 2
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Tính diện tích hình phẳng
A. Phương pháp
∇ . Diện tích hình thang cong S giới hạn bởi các đường:
x = a ; x = b (a < b) ; y = f(x) và y = g(x) = 0 (trục hoành) được cho
bởi công thức sau:
b
S = ∫ | f(x) | dx
a

(1)

∇ . Tổng quát: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường: x = a ; x = b
(a < b) ; y = f(x) và y = g(x) được cho bởi công thức sau:
16


b
S = ∫ | f(x) - g(x) | dx (2)
a
Chú ý: • Công thức (2) trở thành công thức (1) nếu g(x) = 0.
• Tính các tích phân (1), (2): Dùng pp ở vấn đề tính tích phân
hàm chứa giá trị tuyệt đối hay dùng đồ thị để phá trị tuyệt đối.
• Dùng (1): Nếu (S) giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục Ox thì (C)
b

phải cắt Ox tại hai điểm có hoành độ là a, b ⇒ S = ∫ | f(x) | dx .
a
’
• Dùng (2): Gọi (C): y = f(x), (C ): y = g(x) thì ta phải tìm điểm
chung của (C) và (C’) trên [a, b]:
∗ Nếu tìm được hai điểm chung mà hoành độ là a, b hoặc
b
không có điểm chung ⇒ S = ∫ | f(x) - g(x) | dx .
a
∗ Nếu tìm được một điểm chung c ∈ [a, b]
c
b
b
|
f(x)
g(x)
|
dx
⇒ S = ∫ | f(x) - g(x) | dx = ∫
+ ∫ | f(x) - g(x) | dx
a
a
c
’
(Dựa vào hình vẽ của (C) và (C ) hoặc xét dấu để phá trị tuyệt đối)
Nói chung:
- Nếu miền giới hạn bởi hai đường, không cho a, b: Tìm các nghiệm
x 1 < x2 < ... < xn . Khi đó S =

xn

∫ | f − g | dx =…

x1

- Nếu miền giới hạn bởi ba đường trở lên thì ta phải vẽ đồ thị để xác định cận.

B.

Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 – 2x + 2,
4
trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (S = đvdt)
3
4
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x – 2x2 + 1,
16
trục hoành.
(S =
đvdt)
15
−2x
Bài 3: Tính diện tích giới hạn bởi (H): y =
x+2
17


trục hoành Ox và đường thẳng x = 2.
(S = 4(1-ln2) đvdt)
Bài 4: Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = - x3 + 3x2 - 2, (0 ≤ x ≤ 2)

5
trục hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = 2. (S = đvdt)
2
2
x − 2x
Bài 5: a) Vẽ (C): y = f(x) =
x −1
b) Tính diện tích S(a) giới hạn bởi (C), tiệm cận xiên của (C) và hai
đường thẳng x = a, x = 2a (a > 1). Tìm a để S(a) = ln3.
( b S(a) = ln

2a − 1
đvdt, a = 2)
a −1

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = 2 - x2 và đường thẳng
9
(d): y = x
(S = đvdt)
2
2
2
Bài 7: Cho (C): y = f(x) = (x – 1) và (P): y = g(x) = - 3x2 + 2x + 1
a) Tìm điểm chung của (C) và (P)
b) Vẽ (C) và (P) trong cùng mặt phẳng (Oxy)
7
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P). (S =
đvdt)
15
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:

27
x2
2
y=x , y=
, y=
(S = 27.ln3 đvdt)
x
27
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
a2
2
2
ax = y , ay = x
(a > 0)
(S = đvdt)
3
Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
7−x
x 2 8x 7
y=và y =
(S = 9 – 8ln2 đvdt)
+
−
x −3
3
3 3
Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
5
3
8

y = x2 − x + 1
và y = - x 2 + x + 1
(S = đvdt)
2
2
3
Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x 3 − 2x 2 + 4x − 3 (C) và tiếp tuyến của đường cong (C) tại
64
điểm có hoành độ bằng 2.
(S =
đvdt)
3
18


Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(P): y2 = 2x , trục Ox và tiếp tuyến của (P) tại A(2; 2) (S =

4
đvdt)
3

Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(P): y = x2 – 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) kẻ tại hai điểm A(1; 2)
39
và B(4; 5)
(S =
đvdt)
9

Bài 15: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong:
x2 + 3
(C) và đường thẳng y = - x + 3
(S = 3 – 4ln2 đvdt)
y=
x +1
Bài 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau đây:
1
y = 2x2 và x = y2
(S = đvdt)
6

Vấn đề 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay
A.Phương pháp
∇ . Thể tích của vật thể tròn xoay Vox sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi
các đường: x = a ; x = b (a < b) ; y = 0 và y = f(x) quay xung quanh trục
b 2
π
Ox, được cho bởi công thức sau đây: Vox = ∫ f (x)dx
a
∇ . Thể tích của vật thể tròn xoay Voy sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y = a ; y = b (a < b) ; x = 0 và x = g(y) quay xung
b
quanh trục Oy, được cho bởi công thức sau đây: Voy = π ∫ g 2 (y)dy
a
’
∇ . Nếu hình phẳng giới hạn bởi (C): y = f(x) và (C ): y = g(x) liên tục trên
[a ,b] và f(x) > g(x) ∀x∈[a ,b] và hai đường thẳng x = a, x = b. Khi đó
thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng này quay quanh trục Ox
b 2

b 2
b 2
2
π
[
f
(x)
g
(x)
]dx
=
π
f
(x)
dx
−
π
được tính bởi: Vox = ∫
∫
∫ g (x) dx
a
a
a
(V = V1 – V2)
∇ . (Tượng tự khi hai đường quay quanh Oy)

B. Bài tập tự luyện
19

Bài 1: Miền D giới hạn bởi các đường y = 0 và y = 2x – x2. Tính thể tích
của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay:
16π
a) Quanh trục Ox
(ĐS:
đvtt)
15
8π
b) Quanh trục Oy
(ĐS:
đvtt)
3
Bài 2: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox
hình phẳng S giới hạn bởi (C): y = lnx , trục Ox , đường thẳng x = e.
(ĐS: π(e − 2) đvtt)
π
Bài 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = tgx , x = 0, x = , y = 0
3
a) Tính diện tích của D
b) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh Ox
π
( ĐS: S = ln2 đvdt , V = π( 3 − ) đvtt )
3
Bài 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo ra bởi hình phẳng giới hạn bởi
3π
hai đường cong y = x2 , y = x quay quanh trục Ox. (ĐS:
đvtt)
10
Bài 5: Miền D giới hạn bởi các đường y = 4 và y = (x – 2)2. Tính thể tích
của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay:

256π
a) Quanh trục Ox
(ĐS:
đvtt)
5
128π
b) Quanh trục Oy
(ĐS:
đvtt)
3
Bài 6: Miền D giới hạn bởi các đường x2 + y – 5 = 0 và x + y - 3 = 0.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox
153π
(ĐS:
đvtt)
5
Bài 7: Miền D giới hạn bởi các đường y = 4 - x và y = x2 + 2
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox
(ĐS: 16π đvtt)
x3
Bài 8: Miền D giới hạn bởi các đường y =
và y = x2
3
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox
5
2.3π
(ĐS:
đvtt)
35
20

TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013
Bài 1 (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = x2 − 2x + 3 . y = x + 3

ĐS : S =

109
6

Bài 2 (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
x2
4
x2
y
=
và
ĐS : S = 2π +
y = 4−
3
4 2
4
Bài 3 (ĐH A2003) : Tính tích phân :
2 3
dx
1 5
I= ∫
I
=

ln
ĐS
:
2
4
3
x
x
+
4
5
Bài 4 (ĐH B2003) : Tính tích phân :
π
4

1 − 2sin 2 x
dx
1
+
sin
2
x
0
Bài 5 (ĐH D2003) : Tính tích phân :
I=∫

1
ĐS : I = ln 2
2

2

I = ∫ x 2 − x dx

ĐS : I = 1

0

Bài 6 (ĐH A2004) : Tính tích phân :
2
x
I =∫
x −1
1 1+
Bài 7 (ĐH B2004) : Tính tích phân :
e

I =∫
0

1 + 3ln x ln x
dx.
x

ĐS : I =

ĐS :

I=

11
− 4 ln 2
3

116
135

Bài 8 (ĐH D2004) : Tính tích phân :
3

I = ∫ ln( x 2 − x) dx.
2

ĐS : I = 3ln 3 − 2

Bài 9 (ĐH A2005) : Tính tích phân :
π
2

I=∫

sin 2 x + sin x

dx
1 + 3cos x
Bài 10 (ĐH B2005) : Tính tích phân :
0

ĐS :

I=

34
27

π
2

sin 2 x cos x
dx.
1 + cos x
0

I=∫

ĐS :

I = 2 ln 2 − 1

Bài 11 (ĐH D2005) : Tính tích phân :
21


π
2

I = ∫ (esinx + cos x ) cos xdx.
0

ĐS :

I =e+

π
−1
4

Bài 12 (ĐH A2006) : Tính tích phân :
π
2

I=∫
0

sin 2 x
cos x + 4sin x
2

2

dx

Bài 13 (ĐH B2006) : Tính tích phân :
ln 5
dx
I= ∫ x
.
−x
e
+

2
e
−
3
ln 3

ĐS :

ĐS :

I=

2
3

I = ln

3
2

Bài 14 (ĐH D2006) : Tính tích phân :
1

I = ∫ ( x − 2)e 2 x dx.

5 − 3e 2
I
=
0
ĐS :

4
Bài 15 (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = (e + 1) x , y = (1 + e x ) x Error: Reference source not found.
ĐS :
e
S = −1
2
Bài 16 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường . y = x ln x , y = 0 , x = e Error: Reference
source not found. Tính thể
π (5e3 − 2)
tích của khối tròn xoay tọa thành khi quay hình H quanh trục Ox. ĐS : V =
27
Bài 17 (ĐH D2007) : Tính tích phân :
e
5e 4 − 1
I = ∫ x 3 ln 2 xdx .
ĐS : I =
32
1
Bài 18 (ĐH A2008) : Tính tích phân :
π
6

1
10
tan 4 x .
ĐS : I = ln(2 + 3) −
dx
2
9 3

cos2 x
0
Bài 19 (ĐH B2008) : Tính tích phân :
π
π
sin( x − )dx
4
4−3 2
4
ĐS : I =
I=∫
dx .
4
sin2 x + 2(1 + s inx + cos x)
0
Bài 20 (ĐH D2008) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
2
ln x
3 − 2 ln 2
I = ∫ 3 dx
ĐS : I =
x
16
1
Bài 21 (ĐH A2009) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
I=∫

22

π
2

I = ∫ (cos3 − 1)cos 2 xdx

ĐS : I =

0

8 π
−
15 4

Bài 22 (ĐH B2009) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
3
3 + ln x
1
27
I=∫
dx
ĐS : I = (3 + ln )
2
4
16
1 ( x + 1)

Bài 23 (ĐH D2009) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
3
dx
I=∫ x

ĐS :
e −1
1
Bài 24 (ĐH A2010) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
1 2
x + e x + 2 x 2e x
I =∫
dx
ĐS :
2e x + 1
0
Bài 25 (ĐH B2010) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
e
ln x
I =∫
dx
ĐS :
2
x
(ln
x
+
2)
1
Bài 26 (ĐH D2010) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
e
3
I = ∫ (2 x − ) ln xdx
ĐS :
x

1
Bài 27 (ĐH A2011) : Tính tích phân : Error: Reference source not found

I = ln(e 2 + e + 1) − 2
1 1 1 + 2e
I = + ln
3 2
3
1
3
I = − +l n
3
2
I=

e2
−1
2

π
4

 2 π
π

x sin x + ( x + 1) cos x
I
=
+
l

n
+
1
ĐS
:

÷

I=∫
dx
 2 4 ÷
4
÷
x
sin
x
+
cos
x


0
Bài 28 (ĐH B2011) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
π
3

1 + x sin x
ĐS :
dx
2

c
os
x
0
Bài 29 (ĐH D2011) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
4
4x −1
I =∫
dx
ĐS :
2
x
+
1
+
2
0
Bài 30 (ĐH A2012) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
3
1 + ln( x + 1)
I =∫
dx
ĐS :
2
x
1
Bài 31 (ĐH B2012) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
1
x3
I =∫ 4

dx.
ĐS :
x + 3x 2 + 2
0
Bài 32 (ĐH D2012) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
I =∫

I=

π/ 4

∫

x(1 + sin 2x)dx

0

I = 3+

2π
+l n 2− 3
3

(

I=

34
3
+ 10l n  ÷

3
5

I=

2
2
+ l n 3 − ln 2
3
3

)

3
I = l n 3 − ln 2
2

ĐS : I =

π2 1
+
32 4

Bài 33 (ĐH A2013) : Tính tích phân : Error: Reference source not found

23


2

x2 −1
5
3
ln x dx
ĐS : I = ln 2 −
2
x
2
2
1
Bài 34 (ĐH B2013) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
I =∫
1

I = ∫ x 2 − x 2 dx

ĐS : I =

0

2 2 −1
3

Bài 35 (ĐH D2013) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
1
( x + 1) 2
I =∫ 2
dx
ĐS : I = 1 + ln 2
x

+
1
0
Bài 36 (ĐH A, A12014) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x 2 − x + 3 và đường
1
thẳng y = 2x + 1 .
ĐS : I =
6
2 2
x + 3x + 1
dx
Bài 37 (ĐH B2014) : Tính tích phân ∫
ĐS: 1 + ln3
x2 + x
1
Bài 38 (ĐH D2014) : Tính tích phân I =

π
4

∫ (x + 1)sin 2xdx

ĐS : I =

0

3
4

MỘT SỐ ĐỀ CĐ, ĐH KHÁC

Bài 1. Tham khảo 2005
7
x+2
I=∫3
dx
x
+
1
0
Bài 2. Tham khảo 2005

KQ:

π
3

141
10

KQ: ln 2 −

I = ∫ sin 2 xtgxdx
0

3
8

Bài 3. Tham khảo 2005
I=

π
4

∫ ( tgx + e

sin x

)

. cos x dx

1

KQ: ln 2 + e 2 − 1

0

Bài 4. Tham khảo 2005
e

I = ∫ x 2 ln xdx

KQ:

2 3 1
e +
9
9

KQ:

6 3 −8
5

1

Bài 5. CĐ Khối A, B – 2005
1

I = ∫ x 3 . x 2 + 3dx
0

Bài 6. CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005

24


I=

3

∫3

x−3

x +1 + x + 3
Bài 7. CĐ GTVT – 2005

dx

KQ: 6 ln 3 − 8

−1
1

I = ∫ x 5 1 − x 2 dx

KQ:

0

8
105

Bài 8. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005
π
2

KQ: 3.e

I = ∫ e 3x sin 5xdx
0

3π
2

+5

34

Bài 9. CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005
I=

3

∫

x 3 + 1.x 5 dx

KQ:

0

848
105

Bài 10. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005
π
4

1 − 2 sin 2 x
I=∫
dx
0 1 + sin 2x

KQ:

1
ln 2
2

Bài 11. CĐSP Tp.HCM – 2005
0
dx
3π
I=∫ 2
KQ:
18
−1 x + 2x + 4
Bài 12. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005
e
ln x
2
I = ∫ 2 dx
KQ: 1 −
e
1 x
Bài 13. CĐSP Vĩnh Long – 2005
7
3

I=∫3

x +1

KQ:

dx

3x + 1

Bài 14. CĐ Bến Tre – 2005
0

I=

π
2

cos 3x

46
15

KQ: 2 − 3ln 2

∫ sin x + 1 dx
0

Bài 15. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
π
2

I=∫

sin xdx

,

sin 2 x + 2 cos x.cos 2

e

I = ∫ x ln xdx

x sin 2 xdx
π
3
KQ: I = ln 2 , J = −
2
sin
2
x
cos
x
0
3 4

J =∫

x
2
Bài 16. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005
0

π
3

KQ:

1

e2 + 1
4

Bài 17. CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005
I=

π2
4

∫
0

x sin x dx

KQ:

π2
−4
2
25