Chuyên đề 09 tổ hợp xác suất kit1

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học LTĐH KIT1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 1. Hai quy tắc
đếm cơ bản. Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

I. Quy tắc cộng
Định nghĩa : G/S 1 công việc được hoàn thành (thực hiện) theo 1 trong n phương án khác nhau :
-

Phương án 1: m1 cách thực hiện

-

Phương án 2: m2 cách thực hiện

………………………………………………..
-

Phương án n: mn cách thực hiện

(Lưu ý: các cách thực hiện của phương án này không trùng bất kì cách nào của phương án kia)
Khi đó công việc được hoàn thành bởi: m1  m2  .........  mn cách.
Ví dụ 1. Một nhóm học sinh gồm 9 nam và 6 nữ. Giáo viên cần chọn 1 học sinh làm trực nhật. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn.
Ví dụ 2. Trong 1 cuộc thi tìm hiểu về đất nược Việt Nam người ta đưa ra: 10 đề tài về lịch sử, 8 đề tài
về thiên nhiên, 5 đề tài vè con người, 3 đề tài về văn hoá. Mỗi học sinh chỉ được chọn 1 đề tài. Hỏi mỗi

học sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài.
Ví dụ 3. Từ các chữ số tự nhiên 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác
nhau?
II. Quy tắc nhân
Định nghĩa : G/S 1 công việc được hoàn thành (thực hiện) bởi n hành động liên tiếp:
-

Hành động thứ 1: có k1 cách thực hiện

-

Hành động thứ 2: có k2 cách thực hiện

………………………………………………..
-

Hành động thứ n: có kn cách thực hiện

Khi đó có k1.k 2 .........kn cách hoàn thành công việc.
Ví dụ 1. Từ thành phố A đến thành phố B có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 3 con
đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến C (qua B).

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Ví dụ 2. Có 18 đội bóng tham gia thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách trao 3 loại huy chương vàng, bạc đồng
cho 3 đội nhất, nhì, ba. Biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 huy chương và đội nào cũng có
thể đoạt huy chương.
Ví dụ 3. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học

trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra 45p môn toán phần tổ hợp - xác suất. Trong ngân hàng câu hỏi

có 5 chủ đề, mỗi chủ đề có 4 câu. Để ra đề kiểm tra 45p gồm 5 câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo
viên có bao nhiêu cách ra đề ?
Bài 2: Có 3 bạn nữ và 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào 1 hàng dọc sao cho nam
nữ đứng xe kẽ nhau ?
Bài 3: Một lớp có 7 học sinh giỏi toán, 5 học sinh giỏi văn, 6 học sinh giỏi lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
ra 1 nhóm :
a. Gồm 1 học sinh giỏi bất kỳ ?
b. Gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả 3 môn ?
c. Gồm 2 học sinh giỏi khác nhau ?
Bài 4: cho các số tự nhiên sau : 1,2,5,6,7,9
a. Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau ?
b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?
c. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 ?
Bài 5: Cho các số tự nhiên 0,2,3,5,6,9
a. Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau ?
b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 ?
a. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601 ?

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra 45p môn toán phần tổ hợp - xác suất. Trong ngân hàng câu hỏi

có 5 chủ đề, mỗi chủ đề có 4 câu. Để ra đề kiểm tra 45p gồm 5 câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo
viên có bao nhiêu cách ra đề ?
Giải
Vì đề kiểm tra có 5 câu và bao gồm 5 chủ đề nên để thành lập đề kiểm tra mỗi chủ đề ta lấy một câu hỏi.
Chọn 1 câu hỏi trong chủ đề 1 có 4 cách chọn.
Tương tự đối với các chủ đề 2; 3; 4; 5.
Nên số cách ra đề là: 4.4.4.4.4  45 cách.
Bài 2: Có 3 bạn nữ và 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào 1 hàng dọc sao cho nam
nữ đứng xe kẽ nhau ?
Giải
Vị trí thứ nhất có 6 cách lựa chọn. (nam hoặc nữ)
Vị trí thứ hai có 3 cách lựa chọn. (nếu vị trí thứ nhất là nam thì bắt buộc vị trí thứ 2 phải chọn 1 trong 3 bạn

nữ và ngược lại.)
Vị trí thứ ba có 2 cách lựa chọn.
Vị trí thứ 4 sẽ có 2 cách lựa chọn.
Vị trí thứ 5 có 1 cách lựa chọn.
Vị trí thứ 6 chỉ có 1 cách lựa chọn.
Nên có 6.3.2.2.1  72 cách.
Bài 3: Một lớp có 7 học sinh giỏi toán, 5 học sinh giỏi văn, 6 học sinh giỏi lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
ra 1 nhóm :
a. Gồm 1 học sinh giỏi bất kỳ ?
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

b. Gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả 3 môn ?
c. Gồm 2 học sinh giỏi khác nhau ?
Giải
a. Số cách chọn 1 học sinh giỏi trong lớp là: 7  5  6  18 (cách).
b. Số cách chọn 1 học sinh giỏi toán là 7 cách.
Số cách chọn 1 học sinh giỏi văn là 5 cách.
Số cách chọn 1 học sinh giỏi lý là 6 cách.
Nên số cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả các môn là: 7.5.6  210 cách.
c. Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi toán, một giỏi văn là 7.5  35 cách.
Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi toán, 1 giỏi lý là 7.6  42 cách.

Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi lý, 1 giỏi văn là 5.6  30 cách.
Vậy số cách chọn ra một nhóm gồm 2 học sinh giỏi là 35  30  42  107 cách.
Bài 4: cho các số tự nhiên sau: 1,2,5,6,7,9
a. Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau ?
b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?
c. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 ?
Giải
a. Gọi số cần lập là abc  a  0 .
Vì số cần lập là số lẻ nên c có thể là 1;5;7;9  c có 4 cách chọn.
Vì a; b ;c khác nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn.
Vậy số số lẻ có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là 4.5.3  60 số.
b. Gọi số cần lập là abc  a  0 .
Vì số cần lập là số chia hết cho 5 nên c có thể là 5  c có 1 cách chọn.
Vì a; b ;c khác nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn.
Vậy số số lẻ có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là 5.3  15 số.
c. Các số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 có các dạng sau: 2ab; a 2b; ab 2.
Dạng 2ab có: 6.6  36 số.
Dạng a 2b có: 6.6  36 số.
Dạng ab 2 có: 6.6  36 số.
Vậy số số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 thành lập từ các số đã cho là: 36  36  36  108 số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Bài 5: Cho các số tự nhiên 0,2,3,5,6,9
a. Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau ?
b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 ?
a. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601 ?
Giải
Ta phân các số trên thành 2 nhóm:
Nhóm 1 gồm các số 2;5 .
Nhóm 2 gồm các số 0;3;6;9 .
Gọi số cần lập là abc thỏa mãn abc3   a  b  c 3  a; b; c sẽ không đồng thời thuộc cả hai nhóm trên.
Số các số chia hết cho 3 có 2 chữ số được thành lập từ nhóm 1 là:
+ Có 3 chữ số giống nhau có 2 số.
+ Có 1 chữ số 2 và 2 chữ số 5 có 3 số. (có 3 cách chọn vị trí để chữ số 5 có 1 cách chọn để vị trí 2 chữ số 2).
+ Có 1 chữ số 5 và 2 chữ số 2 có 3 số.
Vậy từ nhóm 1 ta thành lập được 2 + 3 + 3 = 8 số chia hết cho 3.
Số các số chia hết cho 3 lập được từ nhóm thứ 2 là:
+ Có 3 cách chọn chữ số a.
+ Có 4 cách chọn chữ số b.
+ Có 4 cách chọn chữ số c.
Vậy có tất cả 3.4.4  48 số có 3 chữ số được thành lập từ nhóm 2 chia hết cho 3.
Vậy số các số chia hết cho 3 được thành lập từ các chữ số đã cho là 48  8  56 số.
b. Gọi số cần lập là abc thỏa mãn abc  601.
Vì abc  601 nên a chỉ có 2 cách chọn. ( a  6 hoặc a  9 ).
Chữ số b có 6 cách chọn.
Chữ số c có 6 cách chọn.
Vậy có tất cả 6.6.2  72 số abc  601 được thành lập từ các số trên.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 4. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH
KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 4. Nhị
thức Newton (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

I. Công thức
+

Cnk 

n!
,
k !(n  k )!

0k n

n

+ (a  b) n   Cnk a n  k b k
k 0

n

x
 
 x1
Ví dụ 1 (ĐHKA – 2002). Tìm n và x biết C  5C và số hạng thứ tư trong khai triển  2 2  2 3  bằng


20n.
3
n

1
n

n

 nx 2 1 
  ; x  0 biết 5Cnn 1  Cn3 , n  Z 
Ví dụ 2 (ĐHKA – 2012). Tìm số hạng chứa x trong khai triển 
 14 x 
5

 a


Ví dụ 3. Tìm số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau trong khai triển  3
b


21

b
3
a


 (a, b  0)


n

28



Ví dụ 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:  x 3 x  x 15  biết Cnn  Cnn 1  Cnn  2  79


Ví dụ 5. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển

a)  x3  xy 

30

b)  x3  xy 

31

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 4. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 1) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 1) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

7

1 

Bài 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  3 x  4  , x  0
x

3n

Bài 2. Tìm hệ số của x

5/3

2

trong khai triển:  3 x 2   , x  0 , biết n là số nguyên dương thoả mãn:
x


2n4  Cnn2  Cn12  n   Cnn12



Bài 3. Cho khai triển 1  3. x



2n

 a0  a1x  a 2 x 2  ...  a 2 nx 2 n, n  N *

Tính hệ số a9 biết n thoả mãn hệ thức:

2
14
1


2
3
Cn 3.Cn n
n

1 

Bài 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  2 x  2  , x  0 . Biết n  N * và 2Cn1  Cn2  90
2x 


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 4. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 1)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 1) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 1) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

7

1 

Bài 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  3 x  4  , x  0
x

Giải:
28 7 k
7
7
7k  1 
1 
3
k 3
k
12
Ta có:  x  4    C7 x
 4    C7 x

x  k 0

 x  k 0
Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k thoản mãn:
28  7k
0k 4
12
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: C74  35 (số hạng thứ 5)
7

x

 

3n

Bài 2. Tìm hệ số của x

5/3

2

trong khai triển:  3 x 2   , x  0 , biết n là số nguyên dương thoả mãn:
x


2n4  Cnn2  Cn12  n   Cnn12
Giải:

Ta có: 2n4  Cnn2  Cn12  n   Cnn12

 2n  4  n 2  5n  4   2  n  1
 2n  4  n  1 n  4   2  n  1

  n  1  2n4  n  4   2  0
 n  1 (loai)
  n4
 2  2 (*)
n4

Ta nhận thấy phương trình (*) có một nghiệm x  5 , mặt khác vế trái là hàm đồng biến còn vế phải là hàm
nghịch biến, nên (*) có nghiệm duy nhất n  5
15

15
2

Khi n  5 thì:  3 x 2     C15k
x

k 0
15

=C 2 x
k 0

k
15

k

 
3

x2

15 k

 2
. 
 x

30  5 k
3

Mỗi số hạng trong khai triển đều có dạng C15k 2k x
Do đó hệ số của x 5/3 ứng với:

k

30  5 x
3

, trong đó C15k 2 k là hệ số của x

30 5 x
3

.

30  5 x 5

 k 5.
3
3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Vậy hệ số của x 5/3 là C155 25



Bài 3. Cho khai triển 1  3. x



2n

 a0  a1x  a 2 x 2  ...  a 2 nx 2 n, n  N *

Tính hệ số a9 biết n thoả mãn hệ thức:
Giải:
2

14
1
 
Ta có: 2 
3
Cn 3.Cn n

2
14
1


2
3
Cn 3.Cn n

2
14
1


n!
3.n !
n
2! n  2  ! 3! n  3

 n2  7n  18  0  n  9



Với n  9 , ta có: 1  3.x



18

18



  C18k  3
k 0





k

xk

Hệ số a9 là hệ số của x 9 và ta có: a9  C189  3



9

n

1 


Bài 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  2 x  2  , x  0 . Biết n  N * và 2Cn1  Cn2  90
2x 

Giải:
 n  1 n  90
Ta có 2Cn1  Cn2  90  2n 
2
 n 2  3n  180  0
 n  15 (loai )

 n  12
12

k

12
12
1 

 1 
  2 x  2    C12k (2 x)12k  2    C12k .2123k.x123k
2x 

 2 x  k 0
k 0

Mỗi số hạng trong triển khai đều có dạng: C12k .2123k .x12 3k . Trong đó C12k .212 3 k là hệ số của x12 3k .
Số hạng không chứa x ứng với 12  3k  0  k  4
Vậy số hạng không chứa x cần tìm là C124

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 5. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 5. Nhị thức Newton (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH
KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 5. Nhị
thức Newton (Phần 2). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

I. Công thức
+

Cnk 

n!

,
k !(n  k )!

0k n

n

+ (a  b) n   Cnk a n  k b k
k 0

II. Bài tập
Dạng 1: Tìm hệ số trong khai triển Niutơn
40

1

Ví dụ 1. Tìm hệ số của x31 trong khai triển  x  2  , x  0 .
x 

n

1

Ví dụ 2 (ĐHKA – 2005) Tìm hệ số của x trong khai triển  3  x5  , x  0 biết Cnn41  Cnn3  7(n  3)
x

8

Ví dụ 3. Tìm hệ số của x 7 trong khai triển (2  3 x) 2 n biết: C21n 1  C23n 1  C25n 1  ...  C22nn11  1024
n

Ví dụ 4 (ĐHKA – 2006). Tìm hệ số của x

26

 1

trong khai triển  4  x7  ; x  0
x


Biết C21n 1  C22n 1  C 23n  1  ...  Cn2n  1  220  1
Ví dụ 5. Tìm hệ số của x12 trong khai triển ( x 2  1) n biết rằng tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng
1024.
Ví dụ 6. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển P( x)  (2 x  1) 4  (2 x  1)5  (2 x  1) 6  (2 x  1) 7
8

Ví dụ 7 (ĐHKA – 2005) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển 1  x 2 (1  x)  .

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 5. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 5. Nhị thức Newton (Phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 5. Nhị thức Newton (Phần 2) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

n

1

Bài 1. Tìm hệ số của x 6 trong khai triển   x3  , biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024.
x

Bài 2. Tìm hệ số của x 2 trong khai triển  x 2  x  1

6

n

2

Bài 3 Tìm hệ số của x trong khai triển:  x 2   , x  0 , biết: C21n  C23n  ...  C22nn 1  223
x


3

n

 lg103x  5  x  2 lg3 
Bài 4. Tìm các giá trị của x trong khai triển:  2
 2
 , biết rằng số hạng thứ 6 của khai


triển bằng 21 và: Cn1  Cn3  2Cn2

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 5. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 2)

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 5. Nhị thức Newton (Phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 5. Nhị thức Newton (Phần 2) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

n

1

Bài 1. Tìm hệ số của x 6 trong khai triển   x3  , biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024.
x

Giải:
Điều kiện: x  0
n

n
1

1
Ta có:   x3    Cnk  
x
 k 0  x 

=C C x
0
n

1
n

4n

8 n

C 4
2
n

nk

3 12  n
n

C x

.  x3    Cnk x 4 k n
n

k

k 0

 ...  C x 3n
n
n

Theo giả thiết ta có: Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ...  Cnn  1024

1  1

n

 1024  2n  1024  210  n  10
10

10
1

Do đó, ta có:   x3    C10k x 4 k 10
x

k 0

Mỗi số hạng trong khai triển đều có dạng C10k x 4 k 10 , trong đó C10k là hệ số của x 4 k 10 .
Số hạng có x 6 tương ứng với 4k 10  6  k  4 .
Vậy hệ số của x 6 trong khai triển đã cho là C104
Bài 2. Tìm hệ số của x 2 trong khai triển  x 2  x  1

6

Giải:
Ta có:  x 2  x  1   x 2   x  1    C6k .x 6 k .  x  1
6

6

6

k

k 0

 C60 x6  C61 x5  x  1  C62 x4  x  1  C63 x3 ( x  1)3  C64 x2  x  1  C65 x  x  1  C66  x  1
2

4

5

6

Vậy hệ số của x 6 trong khai triển là:

 C60  C61  C62  C63  C64  C65  C66  1  1  26  64
6

n

2

Bài 3 Tìm hệ số của x 3 trong khai triển:  x 2   , x  0 , biết: C21n  C23n  ...  C22nn 1  223
x

Giải:
Ta có: 1  1  C20n  C21n  C22n  C23n  ...  C22nn1  C22nn
2n

1 1

2n

 C20n  C21n  C22n  C23n  ...  C22nn1  C22nn

Trừ hai vế ta có: 22 n  2(C21n  C23n  ...  C22nn 1 )
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

 C21n  C23n  ...  C22nn 1  22 n 1

Do đó ta có: C21n  C23n  ...  C22nn 1  223  2n  1  23  n  12
12

k

12
12
12  k  2 
2


Với n  12 , thì:  x 2     C12k  x 2      2k C12k x 243k
x

 x
k 0
k

Mỗi số hạng trong khai triển đều có dạng 2k C12k x 243k , trong đó 2 k C12k là hệ số của x 243k .
Số hạng chứa x 3 tương ứng với 24  3k  3  k  7
Vậy hệ số của x 3 cần tìm là 2 7 C127
n

 lg103x  5  x  2 lg3 
Bài 4. Tìm các giá trị của x trong khai triển:  2
 2
 , biết rằng số hạng thứ 6 của khai


triển bằng 21 và: Cn1  Cn3  2Cn2
Giải:
Điều kiện 10  3x  0
Ta có: Cn1  Cn3  2Cn2  n 

 n  2  n  1 n  2.  n  1 .n
6

2

n  2
 n2  9n  14  0  

n  7
+) Với n  2 thì khai triển trên không có số hạng thứ 6 nên n  2 loại
+) Với n  7 ta có:
7

7
 lg103x  5  x 2 lg3 
lg 10 3x  
k 
2

2


  C7  2


 k 0 


7

 C7k .2



7k
lg 103x
2



.2

7k



5

2 x 2 lg3



k

k  k  2
.lg3
5

k 0

Số hạng thứ 6 trong khai triển ứng với k  5 , mà theo giả thiết thì số hạng thứ 6 bằng 21 nên ta có:
C75 .2



lg 10 3x

.2 x 2.lg3  21  2lg103  x 2 lg3  1

x

 lg 10  3x    x  2  lg 3  0
 lg 10  3x   lg 3x  2  0
 lg 10  3x  .3x  2   0

 10  3x  .3x  2  1

 10.3x  2  32 x  2  1
 10.

3x 32 x

1
9
9

 32 x  10.3x  9  0
3 x  1
x  0

(thỏa mãn)
 x
x  2
3  9

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 6. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 3)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 6. Nhị thức Newton (Phần 3) thuộc khóa học LTĐH
KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 6. Nhị
thức Newton (Phần 3). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Dạng 1 (tiếp)
Bài 8. Tìm hệ số của Cn1 3n 1  2Cn2 3n  2  3Cn3 3n 3  ...  nCnn  n.4n 1 x10 trong khai triển 1  x  1  x 2  

5

10

1 2 
Bài 9. Cho khai triển:   x   a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  ...  a10 x10
3 3 
Tìm số lớn nhất trong các số a0 ; a1 ; a2 ;...; a10 (tìm hệ số a k lớn nhất, k =0; 1; …10)
Dạng 2: Sử dụng nhị thức Niutơn để tính nghiệm của phương trình hoặc chứng minh đẳng thức.
Bài 1 (ĐHKD – 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho:

Cn0  2Cn1  4Cn2  ...  2n Cnn  243

Bài 2 (ĐHKD – 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
C21n  C23n  ...  C22nn 1  2048 (C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử).

Bài 3 (ĐHKA – 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho
C21n 1  2.2C22n 1  3.22 C23n 1  4.23 C24n   ...  (2n  1).2 2 n C22nn11  2005

(C nk là số tổng hợp chập k của n phần tử).

Bài 4. Chứng minh rằng: Cn1 3n 1  2Cn2 3n  2  3Cn3 3n 3  ...  nCnn  n.4n 1
Bài 5 (ĐHKA – 2007) Chứng minh rằng:
1 1 1 3 1 5
1
22 n 1
C2 n  C2 n  C2 n  ...  C22nn 1 
2
4
6
2n
2n  1

(n là số nguyên dương, C nk là tổ hợp chập k của n phần tử).

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 6. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 6. Nhị thức Newton (Phần 3) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 6. Nhị thức Newton (Phần 3) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1 (ĐHKA 2007): Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển:  2  x  , biết:
n

3n Cn0  3n 1 Cn1  3n  2 Cn2  3n 3 Cn3  ...  (1) n Cnn  2048

Bài 2 (ĐHKA 2008): Cho khai triển (1  2 x) n  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n , trong đó n  N * và các hệ số
Bài 3. Tìm hệ số của x3n3 trong khai triển ( x 2  1)n .( x  2) n . Gọi hệ số đó là a3n 3 , tìm n để a3n 3  26n .
Bài 4. Khai triển: p( x)  1(1  x)  2(1  x) 2  3(1  x)3  ...  20(1  x) 20
Ta được: p ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 . Tìm a19
1
1
1



Bài 5. Tìm n  Z * , sao cho 3n Cn0  Cn1  2 Cn2  ...  (1) n Cnn   512
3
3
3



Bài 6. CMR: C20n  C22n .32  C24n .34  ...  C22nn .32 n  22 n1  22 n  1
Bài 7. CMR: 2n 1 Cn1  2.2n  2 Cn2  3.2n 3 Cn3  4.2n  4 Cn4  ...  nCnn  n.3n 1
0
1
2
2013
 2C2013
 3C2013
 ...  2014C2013
Bài 8. Tính tổng: S  C2013

1
1
1
2n 1  1
Cnn 
Bài 9. CMR: Cn0  Cn1  Cn2  ... 
2
3
n 1
n 1

Bài 10. (ĐHKD 2003). Tính tổng: S  Cn0 

2 2  1 1 23  1 2
2n 1  1 n
Cn 
Cn  ... 
Cn
2
3
n 1

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 6. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 3)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 6. Nhị thức Newton (Phần 3) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 6. Nhị thức Newton (Phần 3) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1 (ĐHKA 2007): Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển: (2  x) n , biết:
3n Cn0  3n 1 Cn1  3n  2 Cn2  3n 3 Cn3  ...  (1) n Cnn  2048

Giải:
Ta có: 3n Cn0  3n 1 Cn1  3n  2 Cn2  3n 3 Cn3  ...  (1) n Cnn  (3  1) n  2 n
Do đó, từ giả thiết suy ra n = 11
11

 (2  x)11   C11k 211 k .x k
k 0

Hệ số của số hạng chứa x10 là C1110 21  22
Bài 2 (ĐHKA 2008): Cho khai triển (1  2 x) n  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n , trong đó n  N * và các hệ số
a0 , a1 , a2 ,..., an thoả mãn hệ thức: a0 

a
a1
 ...  nn  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 ,..., an
2
2

Giải:

n

Ta có: (1  2 x) n   Cnk 2k x k  Cn0  Cn1 2 x  Cn2 22 x 2  ...  Cnn 2n x n
k 0

a
a1 a2
 2  ...  nn  4096
2 2
2
0
1
2
 Cn  Cn  Cn  ...  Cnn  4096
 a0 

 (1  1) n  4096  2n  212  n  12
Do đó bài toán tương đương: Cho khai triển (1  2 x)12  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a12 x12 . Tìm số lớn nhất trong
các số a0 , a1 , a2 ,..., a12
12

Ta có: (1  2 x)12   C12k 2k x k
k 0

Đặt: ak  C 2
k
12

k

- Xét bất phương trình: ak  ak 1  C12k 2k  C12k 1.2k 1  k 

23
mà k  Z => k  7 .
3

Do đó a0  a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7
Xét bất phương trình ak  ak 1  k 

23
mà k  Z  k  8 .
3

Do đó: a8  a9  a10  a11  a12
Vậy ta có sơ đồ: a0  a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7 a8  a9  a10  a11  a12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

So sánh a 7 và a8 ta thấy a8  a7 . Vậy số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., a12 là a8  C128 28  126720
Bài 3. Tìm hệ số của x3n3 trong khai triển ( x 2  1)n .( x  2) n . Gọi hệ số đó là a3n 3 , tìm n để a3n 3  26n .
Giải
Ta có:

( x 2  1)n  Cn0 x 2 n  Cn1 x 2 n 2  Cn2 x 2 n 4  Cn3 x 2 n 6  ...  Cnn
( x  2)n  Cn0 x n  2Cn1 x n 1  22 Cn2 x n 2  23 Cn3 x n 3  ...  2n Cnn
Do đó nhân vế với vế, ta được hệ số của x3n3 trong khai triển ( x 2  1) n ( x  2) n là: 23 Cn0Cn3  2Cn1Cn1

 a3n 3  26n  23 Cn0Cn3  2Cn1Cn1  26n
7

n   (loai )
2n(2n 2  3n  4)


 26n 
2

3
n  5
Bài 4. Khai triển: p( x)  1(1  x)  2(1  x) 2  3(1  x)3  ...  20(1  x) 20
Ta được: p ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 . Tìm a19
Giải
Yêu cầu của bài toán, tương đương với việc tìm hệ số của số hạng chứa x19 .
Ta thấy x19 chỉ có trong tổng khai triển 19(1  x) 19  20(1  x) 20
Mà :
1
19 19
19(1  x)19  19(C190  C19
x  C192 x 2  ...  C19
x )
0
1

2 2
19 19
20 20
20(1  1)20  20(C20
 C20
x  C20
x  ...  C20
x  C20
x )
19
 Hệ số của x19 trong khai triển p  x  là: 19.C1919  20.C20

1
1
1


Bài 5. Tìm n  Z * , sao cho 3n Cn0  Cn1  2 Cn2  ...  (1) n Cnn   512
3
3
3


Giải
n

1
1
1
 1

Ta có: 1    Cn0  Cn1  2 Cn2  ...  (1) n Cnn
3
3
3
 3
Do đó phương trình đã cho
n

 1
 3 . 1    512
 3
 2n  512  29  n  9
n

Bài 6. CMR: C20n  C22n .32  C24n .34  ...  C22nn .32 n  22 n1  22 n  1
Giải:
Ta có:

(1  3)2 n  C20n  C21n .3  C22n .32  C23n .33  C24n .34  ...  C22nn1.32 n 1  C22nn .32 n
(1  3)2 n  C20n  C21n .3  C22n .32  C23n .33  C24n .34  ...  C22nn1.32 n 1  C22nn .32 n
Cộng hai vế ta có:
42 n  (2) 2 n  42 n  22 n  22 n (22 n  1)  2C20n  2C22n .32  2C24n .34  ...  2C22nn .32 n

Chia cả 2 vế cho 2, ta được: 22 n 1 (22 n  1)  C20n  C22n .32  C24n .34  ...  C22nn .32 n (đpcm)
Bài 7. CMR: 2n 1 Cn1  2.2n  2 Cn2  3.2n 3 Cn3  4.2n  4 Cn4  ...  nCnn  n.3n 1
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Giải:
Ta có: (2  x) n  Cn0 .2n  Cn1 .2n 1 x  Cn2 .2n 2 x 2  Cn3 .2n 3 x3  Cn4 .2n 4 x 4 ...  Cnn .x n
Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:
n(2  x) n 1  Cn1 .2n 1  2 xCn2 .2 n  2  3 x 2Cn3 .2 n 3  4 x 3Cn4 .2 n  4  ...  n.x n 1Cnn

Thay x  1 , ta có: n.3n 1  Cn1 .2n 1  2.2n  2 Cn2  3.2n 3 Cn3  4.2 n  4 Cn4  ...  nCnn (điều phải chứng minh)
0
1
2
2013
 2C2013
 3C2013
 ...  2014C2013
Bài 8. Tính tổng: S  C2013

Giải:
Ta có:
0
1
2
2013 2013
(1  x)2013  C2013
 C2013
x  C2013

x 2  ...  C2013
x
0
1
2
2013 2014
 x.(1  x)2013  C2013
x  C2013
x 2  C2013
x3  ...  C2013
x

Đạo hàm 2 vế ta có:
0
1
2
2013
(1  x) 2013  2013.(1  x) 2013 .x  C2013
 2 xC2013
 3 x 2C2013
 ...  2014 x 2013C2013
0
1
2
2013
 2C2013
 3C2013
 ...  2014C2013
Thay x  1 , ta có: 22013  2013.22013  C2013

 S  22013  2013.22013  22012 (1  2013)  22012.2014

1
1
1
2n 1  1
Cnn 
Bài 9. CMR: Cn0  Cn1  Cn2  ... 
2
3
n 1
n 1
Giải:
Ta có:
(1  x) n  Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n
1

1

n
0
1
2 2
n n
 (1  x) dx   (Cn x  Cn x  Cn x  ...  Cn x )dx
0

0

n 1

1
x2 1
x3 1
x n 1 1
 Cn0 x  Cn1
 Cn2
 ...  Cnn
0
0
2 0
3 0
n 1 0



(1  x)
n 1



2n 1  1
1
1
1
 Cn0  Cn1  Cn2  ... 
Cnn (dpcm)
n 1
2
3

n 1

1

Bài 10. (ĐHKD 2003). Tính tổng: S  Cn0 

2 2  1 1 23  1 2
2n 1  1 n
Cn 
Cn  ... 
Cn
2
3
n 1

Giải:
Ta có:
(1  x) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n
2

2

1

1

n
0
1
2 2

n n
 (1  x) dx   (Cn  Cn x  Cn x  ...  Cn x )dx

2
(1  x)n 1 2
x2 2
x3 2
x n 1 2
 Cn0 x  Cn1
 Cn2
 ...  Cnn
1
n 1 1
2 1
3 1
n 1 1
3n 1  2n 1
2 2  1 1 23  1 2
2n 1  1 n
 Cn0 
Cn 
Cn  ... 
Cn
n 1
2
3
n 1
3n 1  2n 1
S 
n 1



Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn
- Trang | 3 -