Luyện thi đại học chuyên đề tổ hợp xác suất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (251.08 KB, 27 trang )
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 1
A. Lý thuyết cơ bản :
I. Qui tắc ñếm :
1. Qui tắc cộng : Một công việc nào ñó có thể thực hiện một trong hai phương án A hoặc B. Nếu
phương án A có m cách tực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kỳ cách nào
trong phương án A thì công việc ñó có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân : Một công việc nào ñó có thể bao gồm hai công ñoạn A và B. Nếu công ñoạn A có m
cách thực hiện và ứng với mỗi cách ñó có n cách thực hiện công ñoạn B thì công việc ñó có m.n cách
thực hiện
II .Hoán vị:
1. Giai thừa :
+ n! = 1.2.3…n = (n -1)!n.
+ Qui ước : 0! = 1.
+
( )( )
!
1 2
!
n
p p n
P
= + +
(Với
n P
>
).
+
( )
( ) ( )
!
1 . 2
!
n
n p n p n
n p
= − + − +
−
(V
ớ
i
n P
>
).
2. Hoán vị Không lặp :
M
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p g
ồ
m n ph
ầ
n t
ử
(
)
1
n
≥
. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là
một hoán vị của n phần tử.
Số các hoán vị của n phần tử là :
!
n
P n
=
.
3. Hoán vị lặp :
Cho k phần tử khác nhau :
1 2
, , ,
k
a a a
. Một cách sắp xếp n phần tử trong ñó gồm
1
n
phần tử
1
a
,
2
n
Chuyên ñề: Tổ Hợp – Xác suất
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 2
phần tử
2
a
,…,
k
n
phần tử
k
a
(với
1 2
k
n n n n
+ + + =
) theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là một hoán vị
lặp cấp n và kiểu
(
)
1 2
, , ,
k
n n n
c
ủ
a k ph
ầ
n t
ử
.
S
ố
các hoán v
ị
l
ậ
p c
ấ
p n, ki
ể
u
(
)
1 2
, , ,
k
n n n
của k phần tử là :
( )
1 2
1 2
!
, , ,
! ! !
n k
k
n
P n n n
n n n
=
4. Hoán vị vòng quanh :
Cho t
ậ
p h
ợ
p A g
ồ
m n ph
ầ
n t
ử
. M
ộ
t cách s
ắ
p x
ế
p n ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p A thành m
ộ
t dãy kín
ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
hoán v
ị
vòng quanh c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
.
S
ố
các hoán v
ị
vòng quanh c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
là :
(
)
1 !
n
Q n
= −
.
III. Chỉnh hợp:
1. Chỉnh hợp không lặp :
Cho t
ậ
p h
ợ
p A g
ồ
m n ph
ầ
n t
ử
. M
ỗ
i cách s
ắ
p x
ế
p k ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A
(
)
1
k n
≤ ≤
theo m
ộ
t th
ứ
t
ự
nào
ñ
ó
ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t ch
ỉ
nh h
ợ
p ch
ậ
p k c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A.
S
ố
ch
ỉ
nh h
ợ
p ch
ậ
p k c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
là :
( ) ( )
( )
!
1 1
!
k
n
n
A n n n k
n k
= − − + =
−
Chú ý :
+ Công thức trên cũng ñúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.
+ Khi k = n thì
!
n
n n
A P n
= =
.
2. Chỉnh hợp lặp :
Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong ñó mỗi phần tử có thể ñược lặp lại nhiều
lần, ñược sắp xếp theo một thứ tự nhất ñịnh ñược gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A là :
k k
n
A n
=
.
IV. Tổ hợp:
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 3
1. Tổ hợp không lặp :
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k
(
)
1
k n
≤ ≤
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A
ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p
ch
ậ
p k c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
.
S
ố
các t
ổ
h
ợ
p ch
ậ
p k c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
là :
( )
!
! !
k
n
n
C
k n k
=
−
.
+ Qui
ướ
c :
0
1
n
C
=
.
Tính chất :
+
0
1
n
n n
C C
= =
.
+
k n k
n n
C C
−
= .
+
1
1 1
k k k
n n n
C C C
−
− −
= + .
+
1
1
k k
n n
n k
C C
k
−
− +
=
.
2. Tổ hợp lặp :
Cho tập
{
}
1 2
, , ,
n
A a a a
= và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tập hợp
gồm k phần tử, trong ñó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là :
1
k k
n n k
C C
+ −
=
.
3. Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp :
+ Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bỡi công thức :
!
k k
n n
A k C
= .
+ Chỉnh hợp : Có thứ tự Tổ hợp : không có thứ tự.
⇒
Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử
→
chỉnh hợp. Ngược lại là tổ hợp.
+ Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử
(
)
k n
≤
.
- Không thứ tự, không hoàn lại :
k
n
C
.
- Có th
ứ tự, không hoàn lại :
k
n
A
.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 4
- Có thứ tự, có hoàn lại :
k
n
A
.
V. Các dạng bài tập cơ bản trong nguyên lý ñếm :
1. Phương pháp chung giải bài toán về cấu tạo số :
Giả sử
,
m n
là các số nguyên dương với
m n
≤
thì :
a. Số cách viết
m
trong
n
chữ số khác nhau vào
m
vị trí ñịnh trước là
m
n
A
.
b. Số cách viết
m
chữ số khác nhau trong
n
vị trí ñịnh trước là
m
n
A
(ở
n m
−
vị trí còn lại không thay
ñổi chữ số).
c. Số cách viết
m
chữ số giông nhau trong
n
vị trí ñịnh trước là
n m m
n n
C C
−
= .
d. Cho tập hợp gồm
n
chữ số, trong ñó có chữ số 0, số các số có
m
chữ số tạo thành từ chúng là
(
)
1
1
1
m
n
n A
−
−
− .
2. Các dạng toán thường gặp :
Dạng 1: Số tạo thành chứa các số ñịnh trước
Cho tập hợp gồm n chữ số, trong ñó có chữ số 0, từ chúng viết ñược bao nhiêu số có m chữ số khác
nhau sao cho trong ñó có k chữ số ñịnh trước (thuộc n chữ số nói trên) với
k m n
< ≤
.
Cách giải :
S
ố
t
ạ
o thành g
ồ
m
m
v
ị
trí
1 2
m
a a a
. G
ọ
i t
ậ
p h
ợ
p
k
ch
ữ
s
ố
ñị
nh tr
ướ
c là
X
. Ta xét hai bài toán nh
ỏ
theo các kh
ả
n
ă
ng c
ủ
a gi
ả
thi
ế
t v
ề
t
ậ
p h
ợ
p
X
và ch
ữ
s
ố
0 nh
ư
sau :
a. Trong
X
chứa chữ số 0.
+ Ta có
(
)
1
m
−
cách chọn vị trí cho chữ số 0.
+ Số cách chọn
(
)
1
k
−
chữ số khác 0 thuộc
X
trong
(
)
1
m
−
vị trí còn lại là
1
m k
m
A
−
−
.
+ Theo quy tắc nhân, ta ñược số các số ñó là
(
)
1
1
1 .
k m k
m n k
S m A A
− −
− −
= −
.
b. Trong
X
không chứa chữ số 0.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 5
Bước 1: Tính các số tạo thành chứa chữ số 0.
+ Lần lượt có
(
)
1
m
−
cách ch
ọ
n v
ị
trí cho ch
ữ
s
ố
0.
+ S
ố
cách vi
ế
t
k
ch
ữ
s
ố
thu
ộ
c
X
vào
(
)
1
m
−
vị trí còn lại là
1
k
m
A
−
.
+ Số cách chọn
(
)
1
m k
− −
trong số
(
)
1
n k
− −
chữ số khác 0 mà không thuộc
X
vào
(
)
1
m k
− −
vị trí
còn lại là
1
1
m k
n k
A
− −
− −
.
+ Theo quy tắc nhân, ta ñược số các số ñó là
(
)
1
1 1 1
1 .
k m k
m n k
S m A A
− −
− − −
= − .
Bước 2: Tính số các số tạo thành không chứa chữ số 0.
+ Số cách viết
k
chữ số thuộc
X
trong
m
vị trí là
k
m
A
.
+ Số cách chọn
(
)
m k
−
trong số
(
)
1
n k
− −
chữ số khác 0 mà không thuộc
X
vào
(
)
m k
−
vị trí còn lại
là
1
m k
n k
A
−
− −
. Theo quy tắc nhân, ta ñược các số ñó là
2 1
.
k m k
m n k
S A A
−
− −
= .
Bước 3: Theo quy tắc cộng, ta ñược số các số tạo thành thỏa mãn bài toán là :
1 2
S S S
= +
.
Ví dụ : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho
trong các chữ số ñó có mặt chữ số 0 và 1.
Giải : Gọi số cần tìm có dạng
1 2 6
a a a
, với
1 2 6
, , ,
a a a
∈
{
}
0,1,2, ,9
và
1
0
a
≠
.
+ Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 0.
+ Với mỗi cách chọn trên lại có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 1 và có
4
8
A
cách chọn vị trí cho 4 trong 8
chữ số còn lại.
+ Vậy có tất cả
8
4
5.5. 42000
A =
số gồm 6 chữ số khác nhau và trong các chữ số ñó có mặt chữ số 0 và 1.
Dạng 2: Số tạo thành không chứa hai chữ số ñịnh trước cạnh nhau.
Cho tập hợp gồm n chữ số, từ chúng viết ñược bao nhiêu số có m
(
)
m n
≤
chữ số khác nhau sao cho
trong ñó có 2 chữ số ñịnh trước nào ñó không ñứng cạnh nhau.
Cách giải
:
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 6
Số tạo thành có dạng
1 2
m
a a a
và 2 ch
ữ
s
ố
ñị
nh tr
ướ
c là
,
x y
(thu
ộ
c
n
ch
ữ
s
ố
ñ
ã cho). Ta xét 3 bài toán
nh
ỏ
theo các kh
ả
n
ă
ng c
ủ
a gi
ả
thi
ế
t v
ề
2 ch
ữ
s
ố
,
x y
và ch
ữ số 0 như sau :
a. Nếu
n
chữ số ñã cho chứa chữ số 0 và hai chữ số ñịnh trước
,
x y
khác 0.
Bước 1: Tính số các số tạo thành một cách bất kì.
+ Có
1
n
−
cách chọn vị trí cho chữ số 0, Chọn các chữ số còn lại ñặt vào các vị trí còn lại có
1
1
m
n
A
−
−
.
+ Vậy, có tất cả là
(
)
1
1 1
1
m
n
S n A
−
−
= − số có dạng như thế.
Bước 2: Tính số các số có 2 chữ số
,
x y
cạnh nhua theo thứ tự
xy
và
yx
.
+ TH 1 :
1 2
a a xy
=
. Khi ñó mỗi số
3
m
a a
ứng với một chỉnh hợp chập
(
)
2
m
−
của
(
)
2
n
−
chữ số khác
,
x y
. Số các số ñó là :
2
2 2
m
n
S A
−
−
=
.
+ TH 2 :
1 2
a a xy
≠
. Lần lượt ta có
(
)
3
n
−
cách chọn chữ số cho
1
0, ,
a x y
≠ .
(
)
2
m
−
cách chọn vị trí
cho
xy
. Số cách chọn
(
)
3
m
−
trong
(
)
3
n
−
chữ số còn lại khác
1
, ,
a x y
cho
(
)
3
m
−
vị trí còn lại là
3
3
m
n
A
−
−
. Theo quy tắc nhân, số các số ñó là :
(
)
(
)
3
3 3
3 2
m
n
S n m A
−
−
= − − .
Từ hai trường hợp trên, ta ñược số các số có chứa
xy
là
2 3
S S
+
.
Tương tự cũng có
2 3
S S
+
số chứa
yx
.
Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là :
(
)
1 2 3
2
S S S S
= − + .
b. Nếu
n
chữ số ñã cho chứa chữ số 0 và một trong hai chữ số ñịnh trước bằng 0.
Bước 1: Tính số các số tạo thành bất kỳ.
Có
1
n
−
cách chọn vị trí cho chữ số 0 và khi ñó số các số ñó là :
(
)
1
1 1
1
m
n
S n A
−
−
= −
.
Bước 2: Tính số các số có hai chữ số
x
và 0 c
ạnh nhau :
(
)
2
2 2
2 3
m
n
S m A
−
−
= − . (Có
1
m
−
cách viết
0
x
và
có
2
m
−
cách viết
0
x
vào
m
vị trí)
Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là :
1 2
S S S
= −
.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 7
c. Nếu
n
chữ số ñã không chứa chữ số 0 :
(
)
2
2
2 1
m m
n n
S A m A
−
−
= − − .
Ví dụ :
T
ừ
các ch
ữ
s
ố
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
có th
ể
l
ậ
p
ñượ
c bao nhiêu ch
ữ
s
ố
có 6 ch
ữ
s
ố
khác nhau.
Trong
ñ
ó có bao nhiêu s
ố
mà ch
ữ
s
ố
1 và ch
ữ
s
ố
6 không
ñứ
ng c
ạ
nh nhau.
Giải :
+ B
ướ
c 1: Tính s
ố
các s
ố
t
ạ
o thành b
ấ
t k
ỳ
.
Có 6 cách ch
ọ
n ch
ữ
s
ố
ñầ
u tiên khác 0 và có
5
6
A
cách ch
ọ
n 5 trong 6 s
ố
vào 5 v
ị
trí còn l
ạ
i. V
ậ
y có
5
6
6.
A
s
ố có 6 chữ số tạo thành từ các số trên.
+ Bước 2: Tính số các số có 2 chữ số 1, 6 cạnh nhau theo tứ tự 16 và 61.
- TH 1: Nếu 2 chữ số ñầu tiên là 1, 6. Khi ñó có 2! Cách ñảo vị trí 2 số này. Có
4
5
A
cách chọn 4 trong 5
số vào 4 vị trí còn lại. Vậy có 2!.
4
5
A
số có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số trên và có hai số ñầu tiên là
1 và 6.
- TH 2: Nếu số ñầu tiên khác 1 và 6, khi ñó có 4 cách chọn ñể số này khác 0. Có 4 cách chọn vị trí cho 2
số 1 và 6 cạnh nhau. Có
3
4
A
cách chọn 3 trong 4 số vào 3 vị trí còn lại. Mặt khác ta có 2! Cách ñảo vị trí
2 số 1 và 6 cạnh nhau. Vậy có 4.4.
3
4
A
.2! số có 6 chữ số có 2 số 1 và 6 ñứng cạnh nhau và không ñứng
ñầu tiên.
+ Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là :
(
)
5 4 3
6 5 4
6. 2 4.4. 3312
S A A A= − + =
số.
Dạng 3: SỐ tạo thành chứa chữ số lập lại
Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho trong ñó có một chữ số xuất hiện 3 lần, một chữ số
khác xuất hiện 2 lần và một chữ số khác hai chữ số trên xuất hiện 1 lần.
Giải :
+ Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 ñứng ñầu, lần lượt là :
- Có 10 cách chọn chữ số xuất hiện 3 lần và có
3
6
C
cách ch
ọn 3 trong 6 vị trí cho chữ số ñó.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 8
- Có 9 cách chọn chữ số xuất hiện 2 lần và có
2
3
C
cách chọn 2 trong 3 vị trí còn lại cho chữ số ñó.
- Có 8 cách chọn chữ số cho vị trí còn lại cuối cùng.
Vậy ta ñược số các số ñó là :
3 2 3 2
6 3 6 3
10. .9. .8 720. .
S C C C C
= = .
+ Do vai trò của 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9 là như nhau nên số các số có chữ số ñứng ñầu khác 0 thỏa mãn
bài toán là :
3 2
6 3
9
648. .
10
S C C
=
số.
Bài toán tổng quát : Cho tập hợp gồm n chữ số, từ chúng viết ñược bao nhiêu số có m chữ số sao
cho trong ñó có một chữ số xuất hiện k lần, một chữ số q lần với k + q = m.
Cách giải : Ta xét hai bài toán nhỏ sau ñây.
a. Nếu n chữ số ñã cho có chứa chữ số 0.
Bước 1: Nếu kể cả chữ số 0 ñứng ñầu, ta thấy :
+ Có n cách chọn chữ số xuất hiện k lần và có
k
m
C
cách chọn k trong m vị trí cho chữ số ñó.
+ Sau ñó có
(
)
-1
n
cách chọ
n chữ số xuất hiện q lần cho q vị trí còn lại.
+ Theo qui tắc nhân ta tính ñược số các số ñó là :
(
)
. 1 .
k
m
S n n C
= − s
ố
.
Bước 2:
Vai trò c
ủ
a n ch
ữ
s
ố
nh
ư
nhau nên s
ố
các s
ố
có ch
ữ
s
ố
ñứ
ng
ñầ
u khác 0 th
ỏ
a mãn bài toán là :
1
.
n
S
n
−
b. Nếu n chữ số ñã cho không chứa chữ số 0 :
(
)
. 1 .
k
m
S n n C
= −
số.
3. Các dạng bài toán số học tích hợp sự vật, hiện tượng.
Dạng 1: Bài toán chọn vật.
a. ðặc trưng của bài toán :
Ch
ọ
n m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p g
ồ
m k ph
ầ
n t
ử
t
ừ
n ph
ầ
n t
ử
khác nhau, k ph
ầ
n t
ử
không có tính ch
ấ
t gì thay
ñổ
i n
ế
u
nh
ư
hoán v
ị
k v
ị
trí c
ủ
a nó.
ð
ây chính là
ñặ
c
ñ
i
ể
m
ñể
nh
ậ
n d
ạ
ng s
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c t
ổ
h
ợ
p.
b. Phương pháp :
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 9
Bước 1: Liệt kê các tính chất có thể có của tập con cần chọn.
Bước 2: Phân chia trường hợp (nếu có).
Bước 3: Tính số cách chọn bằng cách dựa vào công thức
k
n
C
.
Bước 4: Dùng qui tắc nhân và qui tắc cộng suy ra kết quả.
Ví dụ : Một hợp ñựng 7 viên bi xanh, 5 viên bi ñỏ và 4 viên bi vàng.
a. Có bao nhiêu cách lấy ra 7 viên bi ñủ 3 màu, trong ñó có 3 viên bi xanh và nhiều nhất 2 viên bi ñỏ.
b. Có nhiêu cách lấy ra 8 viên bi có ñủ 3 màu.
Giải :
a. Xét 2 trường hợp sau :
+ TH 1: Có 1 viên bi ñỏ :
- Khi ñó có
1
5
C
cách lấy 1 viên bi ñỏ, có
3
7
C
cách lấy ra 3 viên bi xanh và có
3
4
C
cách lấy ra 3 viên bi
vàng. Vậy có
1
5
C
.
3
7
C
.
3
4
C
cách lấy ra 7 viên bi trong ñó có 3 viên bi xanh, 1 bi ñỏ và 3 bi vàng.
+ TH 2: Có 2 viên bi ñỏ :
- Khi ñó có
2
5
C
cách lấy 2 viên bi ñỏ, có
3
7
C
cách lấy ra 3 viên bi xanh và có
2
4
C
cách lấy ra 2 viên bi
vàng.
Vậy có
2
5
C
.
3
7
C
.
2
4
C
cách lấy ra trong ñó có 2 bi ñỏ, 3 bi xanh và 2 bi vàng.
Vậy có tất cả
1
5
C
.
3
7
C
.
3
4
C
+
2
5
C
.
3
7
C
.
2
4
C
= 2800 cách.
b. - Số cách lấy ra 8 viên bi bất kỳ có
8
16
C
cách.
- Số cách lấy ra 8 viên bi không có màu vàng mà chỉ có màu ñỏ và màu xanh là
7 1 6 2 5 3 4 4 3 5
7 5 7 5 7 5 7 5 7 5
. . . . . 495
C C C C C C C C C C+ + + + = cách.
- Số cách lấy ra 8 viên bi không có màu ñỏ mà chỉ có màu vàng và màu xanh là
7 1 6 2 5 3 4 4
7 4 7 4 7 4 7 4
. . . . 165
C C C C C C C C+ + + =
cách.
- S
ố cách lấy ra 8 viên bi không có màu xanh mà chỉ có màu vàng và màu ñỏ là
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 10
5 3 4 4
5 4 5 4
. . 9
C C C C
+ =
cách.
Vậy có tất cả
(
)
8
16
495 165 9 12201
C − + + = cách.
Dạng 2: Bài toán chọn người
Ví dụ : Lớp 11A của Tuấn có 11 học sinh nam và 18 học sinh nữ.
a. Có bao nhiêu cách chọn ra một ñội văn nghệ gồm 10 người có nam và có nữ.
b. Chọn ra một tổ trực nhật gồm 13 người, trong ñó có một tổ trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu
Tuấn luôn có mặt trong tổ và chỉ là thành viên.
Giải :
a. - Chọn 10 người trong 29 người cả nam và nữ có
10
29
C
cách.
- Chọn 10 người ñều là nam có
10
11
C
cách.
- Chọn 10 người ñều là nữ có
10
18
C
cách.
Vậy có
10 10 10
29 11 18
19986241
C C C− − = cách chọn.
b. - Do Tuấn luôn có mặt trong tổ nên chỉ chọn 12 người trong 28 người còn lại.
- Chọn một tổ trưởng có
1
28
C
cách.
- Chọn 11 thành viên còn lại trong 27 người có
11
27
C
cách.
Vậy có tất cả
1
28
C
.
11
27
C
= 216332480 cách chọn.
Dạng 3: Bài toán sắp xếp vật.
Ví dụ : Tại cuộc thi Theo Dòng Lịch Sử, ban tổ chức sử dụng 7 thẻ vàng và 7 thẻ ñỏ, ñánh dấu mỗi loại
theo các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai
thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau.
Giải :
- Nếu các thẻ vàng nằm ở vị trí lẻ thì các thẻ ñỏ nằm ở vị trí chẵn, ta có 7!.7! cách xếp khác nhau.
- N
ếu các thẻ ñỏ nằm ở vị trí lẻ thì các thẻ vàng nằm ở vị trí chẵn, ta có 7!.7! cách xếp khác nhau.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 11
Vậy có tất cả 7!.7! + 7!.7! = 50803200 cách.
Dạng 4: Bài toán sắp xếp người.
Ví dụ : Một tổ có 8 học sinh gồm 5 nữ và 3 nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh trong tổ
ñứng thành một hàng dọc vào lớp sao cho.
a. Các bạn nữ ñứng chung với nhau.
b. Nam nữ không ñứng chung nhau.
Giải :
a. Các bạn nữ ñứng chung với nhau xem như một nhóm ñoàn kết nên ta có 4! Cách. Và có 5! Hoán vị
các bạn nữ với nhau. Vậy có 4!.5! = 2880 cách.
b. Các bạn nam ñứng riêng có 3! Cách. Các bạn nữ ñứng riêng ta có 5! Cách. Có 2! Cách ñổi chỗ 2
nhóm nam và nữ nên có tất cả 2!.3!.5! = 1440 cách.
Dạng 5: Bài toán ñếm trong hình học.
Ví dụ : Cho 15 ñiểm trong mặt phẳng, trong ñó không có 3 ñiểm nào thẳng hàng. Xét tập hợp các ñường
thẳng ñi qua hai ñiểm của 15 ñiểm ñã cho. Số giao ñiểm khác 15 ñiểm ñã cho do các ñường thẳng này
tạo thành nhiều nhất là bao nhiêu.
Giải :
- Vì cứ 2 ñiểm có một ñường thẳng nên số ñường thẳng từ 15 ñiểm là
2
15
105
C =
ñường.
- Nếu cứ 2 ñường thẳng cho 1 giao ñiểm thì sẽ có
2
105
C
giao ñiểm.
- Nhưng mỗi ñiểm ñã cho có 14 ñường thẳng ñi qua nên ñiểm này phải là giao của
2
14
C
cặp ñường thẳng.
Như vậy với 15 ñiểm ñã cho sẽ có 15.
2
14
C
giao ñiểm trong
2
105
C
giao ñiểm nói trên. Suy ra số giao ñiểm
cần tiềm là
2
105
C
- 15.
2
14
C
= 4095 giao ñiểm.
Dạng 6: Bài toán phân chia tập hợp.
Cho tập A có n phần tử khác nhau. Chia tập A thành các tập con
1 2
, , ,
k
A A A
, trong ñó mỗi tập
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 12
con
(
)
1,
i
A i k
=
có
(
)
1,
i
n i k
=
phần tử. Khi ñó việc chọn
i
n
phần tử trong n phần tử là phép chọn
và loại trừ dần các phần tử ñã ñược chọn.
Ví dụ : Cần phải phát 6 ñề thi khác nhau cho 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách phát ñề thi nếu mỗi em
học sinh ñều làm ít nhất 1 bài thi.
Giải :
TH 1: Mỗi em ñều làm một bài thi
- Có
4
6
15
C
=
cách chọn ñề thi.
- Chọn 4 ñề thi phát cho 4 học sinh có 4! cách phát.
Vậy có tất cả 4!.15 = 360 cách phát ñề thi mà mỗi em làm 1 bài.
TH 2: Có một em nào ñó làm 2 bài thi.
- Có
2
6
C
cách chọn 2 bài thi trong 6 bài thi và có 4.
2
6
C
cách phát 2 bài thi cho 1 trong 4 học sinh.
- Với 4 bài thi còn lại sẽ có
3
4
A
cách chia cho 3 thí sinh.
Vậy có 4.
2
6
C
.
3
4
A
= 1440 cách phát ñề thi mà trong ñó có 1 em làm 2 bài thi.
TH 3: Có hai em nào ñó làm 2 bài thi.
- Có
2
6
C
cách chọn 2 bài thi trong 6 bài thi và có 4.
2
6
C
cách phát 2 bài thi cho 1 trong 4 học sinh.
- Có
2
4
C
cách chọn 2 bài thi trong 4 bài thi còn lại và có 3.
2
4
C
cách phát 2 bài thi cho 1 trong 3 thí sinh
còn lại.
- Với 2 bài thi còn lại sẽ có 2! cách phát cho 2 thí sinh còn lại.
Vậy có tất cả 4.
2
6
C
.3.
2
4
C
.2! = 2160 cách phát ñề thi mà trong ñó có 2 em làm hai bài thi.
TH 4: Có một em nào ñó làm 3 bài thi.
- Có
3
6
C
cách chọn 3 bài thi trong 6 bài thi và có 4.
3
6
C
cách phát 3 bài thi cho 1 trong 4 học sinh.
- Với 3 bài thi còn lại có 3! Cách phát cho 3 thí sinh còn lại.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 13
Vậy có 4.
3
6
C
.3! = 480 cách phát ñề thi mà trong ñó có 1 em làm 3 bài thi.
Vậy số cách phát ñề thi theo yêu cầu bài toán là 360 + 1440 + 2160 + 480 = 4440 cách.
B. Bài tập :
I. Dạng Quy tắc ñếm :
Bài 1: Từ thành phố A ñến thành phố B có 3 con ñường, từ thành phố A ñến thành phố C có 2 con
ñường, từ thành phố C ñến thành phố D có 3 con ñường. Không có con ñường nào nối thành phố
B với thành phố C. Hỏi có bao nhiêu ñường ñi từ thành phố A ñến thành phố D.
ðS : 12 cách.
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn
8
2.10
, chia hết cho 3, có thể ñược viết bỡi các chữ
số 0, 1, 2. ðS :
7
2.3 1 4373
− =
số.
Bài 3: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên thỏa
1. Gồm 6 chữ số.
2. Gồm 6 chữ số khác nhau.
3. Gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
ðS : a.
6
6
b. 6! c. 3.5!.
Bài 4: Có 25 ñội bóng tham gia tranh cúp. Cứ 2 ñội phải ñấu với nhau 2 trận. Hỏi có bao nhiêu trận ñấu.
ðS : 25.24 = 600 trận.
Bài 5: Một bó hoa gồm có 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng ñỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách
chọn ra 5 bông hồng có ñủ 3 màu.
Bài 6: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập ñược bao nhiêu số thỏa
1. Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
2. Số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau.
3. Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
4. Số lẻ có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 400.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 14
Bài 7: Một ñội văn nghệ chuẩn bị ñược 2 vở kịch, 3 ñiệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi ñội chỉ
ñược trình diễn 1 vở kịch, 1 ñiệu múa và 1 bài hát. Hỏi ñội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn
chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, ñiệu múa và bài hát là như nhau.
ðS : 36 cách.
Bài 8: Một người có 7 cái áo trong ñó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong ñó có 2 cái màu vàng. Hỏi
người ñó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu :
1. Chọn áo nào, cà vạt nào cũng ñược.
2. ðã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng.
ðS : a. 35 b. 29.
Bài 9: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người ñàn ông và 2 người phụ nữ ngồi trên một chiếc ghế dài sao
cho hai người cùng phái phải ngồi gần nhau.
Bài 10: Một ñội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 ñội văn nghệ
có 8 người sao cho có ít nhất 3 nữ.
Bài 11: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9.
ðS : 18.
Bài 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập ñược bao nhiêu số có 8 chữ số, trong ñó chữ số 1 có mặt
ñúng 3 lần, chữ số 2 có mặt ñúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt ñúng một lần.
ðS : 3360.
Bài 13: Từ 0, 1, 2,…,9 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số thỏa.
1. Các chữ số khác nhau.
2. Hai chữ số kề nhau phải khác nhau.
3. Khác nhau và bắt ñầu bằng 345
ðS : a.
4
9
9
A
. b.
5
9
c. 6.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 15
Bài 14: Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ñôi một ñược tạo thành từ 6 chữ số 1, 3,
4, 5, 7, 8.
ðS : 37332960.
Bài 15: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng ñỏ, người ta muốn chọn ra một bó hoa
gồm 7 bông. Hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong ñó
1. Có ñúng 1 bông hồng ñỏ.
2. Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng ñỏ.
ðS : a. 112 b. 150.
II. Dạng Rút gọn biểu thức :
Bài 1: Rút gọn cá biểu thức sau
1.
( )( ) ( )( )
(
)
( )
(
)
( )
1 ! 1 !
6! 1
.
2 3 1 4 5 !5! 12 4 !3!
m m m
A
m m m m m m
+ −
= −
− − + − − −
(V
ớ
i
5
m
≥
).
2.
7!4! 8! 9!
10! 3!5! 2!7!
B
= −
.
3.
( )
(
)
( )
1 !
5!
.
1 1 !3!
m
C
m m m
+
=
+ −
.
4.
2 5
5 10
2 5
7
A A
D
P P
= +
.
5.
1 2 3 4
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4
E P A P A P A P A PP P P
= + + + −
.
6.
2 3
. .
n n n
n n n
F C C C
= .
7.
2
1
1 1 1
2
k n
n n n
n
k n
n n n
C C C
G C k n
C C C
− −
= + + + + + .
8.
8 9 10
2 15 15 15
10
17
2
.
n
k
n n k
P C C C
H
A P C
+
−
+ +
= + .
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 16
III. Dạng Chứng minh :
Bài 1: Chứng minh rằng
1.
(
)
1 1
1
n n n
P P n P
− −
− = − .
2.
(
)
(
)
1 2 2 1
1 2 2 1
n n n
P n P n P P P
− −
= − + − + + + +
.
3.
1 1 1 1
1 3
1! 2! 3! !
n
+ + + + + <
.
4.
( ) ( )
2
1 1
! 1 ! 2 !
n
n n n
= +
− −
.
Bài 2: Chứng minh rằng
1.
2 2 2
2 3
1 1 1 1
n
n
A A A n
−
+ + + =
với
, 2
n n
∈ ≥
ℕ
.
2.
2 1 2
.
n n n
n k n k n k
A A k A
+ +
+ + +
+ =
.
3.
. .
k p k p k
n n k n p
C C C C
−
−
= v
ớ
i
k p n
≤ ≤
.
4.
1
1
r r
n n
n
C C
r
−
−
=
. V
ớ
i
r n
≤
.
5.
1 1 1
2
2
m m m m
n n n n
C C C C
+ − +
+
+ + =
. Với
m n
≤
.
6.
1 2 3
3
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
− − −
+
+ + + =
với
3
k n
≤ ≤
.
7.
(
)
(
)
2
2
1 1
k k
n n
k k C n n C
−
−
− = − với
2
k n
< <
.
8.
0 1 1 0
. . .
p p p p
r q r q r q r q
C C C C C C C
−
+
+ + + = với
p r q
≤ ≤
HD: Sử dụng khai triển
( ) ( ) ( )
1 . 1 1
r q r q
x x x
+
+ + = + . So sánh hệ số
p
x
ở 2 vế.
9.
(
)
(
)
(
)
2 2 2
0 1
2
n n
n n n n
C C C C
+ + + =
.
HD: Sử dụng câu 8 với
p q r n
= = =
.
10.
0 2 4 2 1 3 5 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2
p p
p p p p p p p p
C C C C C C C C
−
+ + + + = + + +
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 17
HD: Sử dụng
( )
2
p
x y
+ và
( )
2
p
x y
− .
IV. Dạng giải phương trình – Hệ phương trình – Bất phương trình :
Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau.
1.
(
)
( )
! 1 !
1
1 ! 6
x x
x
− −
=
+
.
2.
(
)
( )
(
)
( ) ( )
1 ! . 1 !
1 5
. 5
2 1 3 !4! 12 3 . 4 !2!
n n n
n n n n n
+ −
− ≤
− + − − −
.
3.
2
2 3
. . 8
P x P x
− =
.
4.
1
1
1
6
x x
x
P P
P
−
+
−
=
.
Bài 2:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình và b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau.
1.
(
)
3 2
5 2 15
n n
A A n+ = + .
2.
2 2
2
3 42 0
n n
A A
− + =
.
3.
2
4
1 3
210
.
n
n
n
P
A P
+
−
−
= .
4.
(
)
2 2
. 72 6 2
x x x x
P A A P
+ = +
.
5.
( ) ( )
4
4
15
2 ! 1 !
n
A
n n
+
<
+ −
.
6.
4
2
2 1
143
0
4
n
n n
A
P P
+
+ −
− <
.
Bài 3: Giải các phương trình và bất phương trình sau.
1.
4
3 4
1
24
23
n
n
n n
A
A C
−
+
=
−
.
2.
4 5 6
1 1 1
x x x
C C C
− = .
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 18
3.
1 2 3 10
1023
x x x x
x x x x
C C C C
− − − −
+ + + + =
.
4.
2 2 1
4 3 3
. . 0
x
x C x C C
− + =
.
5.
1 2 3 2
6 6 9 14
x x x
C C C x
+ + = −
.
6.
3
1
4
1 3
1
14
n
n
n
C
A P
−
−
+
< .
7.
( )
2
5
3
60
!
k
n
n
P
A
n k
+
+
+
≤
−
.
8.
4 3 2
1 1 2
5
0
4
n n n
C C A
− − −
− − <
.
Bài 4: Giải các hệ phương trình và hệ bất phương trình sau.
1.
1
1
126
720
x
y
y x
y
x
x
A
C
P
P
−
+
+
+ =
=
2.
1
1
0
4 5 0
y y
x x
y y
x x
C C
C C
+
−
− =
− =
3.
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
+ =
+ =
4.
2
1
:
3
1
:
24
x x
y y
x x
y y
C C
C A
+
=
=
VI. Nhị thức newton :
1. Công thức khai triển nhị thức newton : Với mọi
n
∈
ℕ
và với mọ cặp số a, b ta có :
( )
0
n
n
k n k k
n
k
a b C a b
−
=
+ =
∑
.
2. Tính chất :
+ Số các số hạng trong khai triển bằng n + 1.
+ Tổng các số mũ của a và b trong khai triển bằng n.
+ Số hạng tổng quát (thứ k + 1) có dạng :
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
với
0,
k n
=
.
+ Các hệ số của các cặp số hạng cách ñều số hạng ñầu và số hạng cuối thì bằng nhau :
k n k
n n
C C
−
=
.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 19
+
0
1
n
n n
C C
= =
và
1
1
k n k
n n n
C C C
−
+
+ =
.
3. Nhận xét : Nếu trong khai triển nhị thức newton, ta gán cho a và b những giá trị ñặc biệt thì ta sẽ thu
ñược những công thức ñặc biệt, chẳng hạn :
+
( )
0 1 1 0 1
1 2
n
n n n n n
n n n n n n
x C x C x C C C C
−
+ = + + + ⇒ + + + =
+
( ) ( ) ( )
0 1 1 0 1
1 1 1 0
n n n
n n n n
n n n n n n
x C x C x C C C C
−
− = − + + − ⇒ − + + − =
.
VII. Các dạng bài tập thường gặp :
1. Dạng 1 : Xác ñịnh các hệ số trong khai triển nhị thức newton.
Bài 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức.
1.
10
4
1
x
x
+
. 2.
12
2
4
1
x
x
+
.
3.
5
3
2
1
x
x
−
. 4.
6
2
1
x
x
−
.
Bài 2:
1. Tìm hệ số của
12 13
x y
trong khai triển
( )
25
2 3
x y
+ .
2. Tìm các số hạng giữa của hai triển
(
)
15
3
x xy
−
.
Bài 3: Trong khai triển và thu gọn các ñơn thức ñồng dạng ña thức :
( ) ( ) ( ) ( )
9 10 14
1 1 1
P x x x x
= + + + + + +
ta sẽ thu ñược ña thức
(
)
2 14
0 1 2 14
P x a a x a x a x
= + + + + .
Hãy xác ñịnh hệ số
9
a
.
Bài 4: Cho ña thức
( ) ( ) ( ) ( )
2 20
1 2 1 20 1
P x x x x
= + + + + + + ñược viết dưới dạng
(
)
2 20
0 1 2 20
P x a a x a x a x
= + + + + . Tìm h
ệ
s
ố
15
a
.
Bài 5:
Khai tri
ể
n
( ) ( )
80
80
0 1 80
2
P x x a a x a x
= − = + + +
. Tìm hệ số
78
a
.
Bài 6: Khai triển
( ) ( )
50
50
0 1 50
3
P x x a a x a x
= + = + + +
.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 20
1. Tìm hệ số
46
a
.
2. Tính tổng
0 1 50
S a a a
= + + +
.
Bài 7:
1. Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức
(
)
5
3
3 2
+ .
2. Tìm số mũ n của biểu thức
3
1
12
n
b
+
. Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 5 và thứ 3
trong khai triển của nhị thức ñó là 7 : 2 . Tìm số hạng thứ 6.
Bài 8: Trong khai triển của nhị thức
21
3
3
a b
b a
+
, tìm các số hạng chứa a, b với lũy thừa giống nhau.
Bài 9:
1. Trong khai triển
4
1
n
a a
a
+
cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ 3 và thứ 2 là 44. Tìm n.
2. Cho biết trong khai triển
2
1
n
x
x
+
, tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ 2 và thứ 3 bằng
46. Tìm hạng tử không chứa x.
3. Trong khai triển
( )
1
n
x
+ theo lũy thừa tăng của x, cho biết
3 5
4 6
4
40
3
T T
T T
=
=
. Tìm n và x.
4.
Cho khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c
10
9 10
0 1 9 10
1 2
3 3
x a a x a x a x
+ = + + + +
. Hãy tìm s
ố
h
ạ
ng
k
a
l
ớ
n nh
ấ
t.
2. Dạng 2 : Áp dụng khai triển nhị thức newton ñể chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp.
Phương pháp:
+
k k
n
a C
liên quan
ñế
n
( )
1
n
a
+
.
+
.
k i
n m
C C
liên quan
ñến so sánh hệ số của
( ) ( ) ( )
1 . 1 1
n m n m
x x x
+
+ + = +
.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 21
+
k
n
kC
liên quan ñến ñạo hàm của
( )
1
n
x
+ . ( Nếu có dạng
(
)
1
k
n
k k C
− hoặc
2
k
n
k C
thì ta tính ñến ñạo hàm
cấp 2).
+
1
1
k
n
C
k
+
hoặc
( )( )
1
1 2
k
n
C
k k+ +
liên quan
ñế
n tích phân c
ủ
a
( )
1
n
x
+ .
Bài 1:
Tính các t
ổ
ng sau.
1.
0 1
1
n
n n n
S C C C
= + + +
.
2.
0 2 4
2
n n n
S C C C
= + + +
3.
1 3 5
3
n n n
S C C C
= + + +
4.
0 1 2 2
4
2 2 2 2
k k n n
n n n n n
S C C C C C
= + + + + + +
.
5.
0 2 2 4 4
5
2 2
n n n
S C C C
= + + +
Bài 2: Biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức
(
)
2
1
n
x
+
b
ằ
ng 1024, hãy tìm h
ệ
s
ố
a (a là s
ố
t
ự
nhiên) c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng
12
a
x
trong khai tri
ể
n
ñ
ó.
Bài 3:
Tính các t
ổ
ng sau.
1.
6 7 8 9 10 11
1 11 11 11 11 11 11
S C C C C C C
= + + + + + .
2.
16 0 15 1 14 2 16
2 16 16 16 16
3 3 3
S C C C C
= − + − +
.
Bài 4:
Cho
( ) ( ) ( )
1 2
n
f x x n= + ≤ ≤
ℤ
.
1.
Tính
(
)
'' 1
f .
2.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :
(
)
(
)
2 3 2
2.1 3.2 1 1 2
n n
n n n
C C n nC n n
−
+ + + − = −
.
Bài 5:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1.
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
n
C C C C
n
−
−
+ + + + =
+
.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 22
2.
( )
( )
0 2 1 3 2 1
1
1 1 1
2 2 2 2 1 1
2 3 1 1
n
n
n n
n n n n
C C C C
n n
+
−
− + + + = + −
+ +
.
3.
(
)
1 2 3 1 1
2 1 .2
n n n
n n n n n
C C C n C nC n
− −
+ + + + − + = .
4.
(
)
(
)
2 3 2
2.1 3.2 1 . 1 2
n n
n n n
C C n n C n n
−
+ + + − = − .
VIII. Xác suất :
1. Biến cố và xác suất :
a. Biến cố :
+ Không gian mẫu
Ω
: Là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
+ Biến cố A : Là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A và
A
⊂ Ω
.
+ Biến cố không :
φ
+ Biến cố chắc chắn :
Ω
.
+ Biến cố ñối của A :
\
A A
= Ω .
+ Giao hai biến cố :
A B
∩
.
+ Hợp hai biến cố :
A B
∪
.
+ Hai biến cố xung khắc :
A B
φ
∩ =
.
+ Hai biến cố ñộc lập : Nếu việc xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng ñến việc xảy ra biến cố kia.
b. Xác xuất.
+Xác suất của biến cố :
( )
(
)
( )
n A
P A
n
=
Ω
.
+
(
)
(
)
(
)
0 1, 1, 0
P A P P
φ
≤ ≤ Ω = =
.
+ Quy tắc cộng : Nếu
A B
φ
∩ =
thì
(
)
(
)
(
)
P A B P A P B
∪ = + .
Mở rộng : A, B bất kì thì
(
)
(
)
(
)
(
)
.
P A B P A P B P A B
∪ = + −
.
+
(
)
( )
1
P A P A
= −
.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 23
+ Qui tắc nhân : Nếu A, B ñộc lập thì
(
)
(
)
(
)
. .
P A B P A P B
= .
2. Bài tập :
Bài 1:
Gieo m
ộ
t con súc s
ắ
c cân
ñố
i
ñồ
ng ch
ấ
t 2 l
ầ
n. Tính xác su
ấ
t c
ủ
a bi
ế
n c
ố
.
1.
T
ổ
ng hai m
ặ
t xu
ấ
t hi
ệ
n b
ằ
ng 8.
2.
Tích hai m
ặ
t xu
ấ
t hi
ệ
n là s
ố
l
ẻ
.
3.
Tích hai m
ặ
t xu
ấ
t hi
ệ
n là s
ố
ch
ẵ
n.
ðS : a.
5
36
. b.
1
4
c.
3
4
.
Bài 2: Một lớp học có 25 học sinh, trong ñó có 15 học sinh khá môn toán, 16 em học khá môn văn.
1. Tính xác suất ñể chọn ñược 2 em học khá cả 2 môn.
2. Tính xác suất ñể chọn ñược 3 em học khá môn toán nhưng không học khá môn văn.
ðS : a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
7
15 15 25 17
25
C
n A B n A n B n A B P A B∩ = + − ∪ = + − = ⇒ ∩ =
b.
3
8
25
C
.
Bài 3: Gieo hai con súc sắc cân ñối ñồng chất. Tính xác suất của biến cố :
1. Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.
2. Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.
ðS : a.
1
6
b.
1
6
.
Bài 4: Một bình ñựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi ñỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một viên bi,
rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai lấy ra ñược viên bi xanh.
ðS :
5
8
.
Bài 5: Một lớp có 30 học sinh, trong ñó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3
em
ñi dự ñại hội, tính xác xuất ñể.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 24
1. Cả 3 em ñều là học sinh giỏi.
2. Có ít nhất một học sinh giỏi.
3. Không có học sinh trung bình.
3. Biến ngẫu nhiên và rời rạc.
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc.
+
{
}
1 2
, , ,
n
X x x x
= .
+
(
)
k k
P X x P
= =
.
1 2 1
1
P P P
+ + + =
.
b. Kì vọng (Giá trị trung bình)
+
( )
1
n
i i
i
E X x P
µ
=
= =
∑
.
c. Phương sai và ñộ lêch chuẩn.
+
( ) ( )
2
2 2
1 1
n n
i i i i
i i
V X x P x P
µ µ
= =
= − = −
∑ ∑
.
+
( ) ( )
X V X
σ
=
.
Bài 6: Hai cầu thủ bóng ñá sút phạt ñền. Mỗi người ñá một lần với xác suất làm bàn của người thứ nhất là
0,8. Tính xác suất làm bàn của người thứ hai, biết rằng xác suất ñể cả hai người cùng làm bàn 0,56
và xác suất ñể bị thủng lưới ít nhất một lần là 0,94.
Bài 7: Một hộp ñựng 5 viên bi ñỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Gọi X là số bi ñỏ lấy ra. Tính
kỳ vọng, phương sai và ñộ lêch chuẩn của X.
Bài 8: Hai xạ thủ ñộc lập cùng bắn vào một bia. Mỗi người bắn một viên ñạn. Xác suất ñể xạ thủ thứ nhất
bắn trúng bia là 0,7. Xác suất ñể xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,8. Gọi X là số ñạn bắn trúng bia.
Tính kỳ vọng và phương sai của X.
Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội
Trang 25
IX. Các bài toán trong những kỳ thi ñại học :
Bài 1: Cho khai triển nhị thức :
1
1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 32 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
n n
x x x xx x x x
n n
n n n n
C C C C
−
−
− − − −− − − −
−
+ = + + + +
(n nguyên dương). Biết rằng trong khai triển ñó
3 1
5
n n
C C
= và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.
(Khối A – 2002)
Bài 2: Cho ña giác ñều
1 2 2
n
A A A
(
2
n
≥
, n nguyên) nội tiếp ñường tròn
(
)
O
. Biết rằng số tam giác có các
ñỉnh là 3 trong 2n ñiểm
1 2 2
n
A A A
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các ñỉnh là 4 trong 2n ñiểm
1 2 2
n
A A A
. Tìm n.
(Khối B – 2002)
Bài 3: Tìm số nguyên dương n sao cho
0 1 2
2 4 2 243
n n
n n n n
C C C C
+ + + + = . (Khối D – 2002)
Bài 4: Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức niuton của
5
3
1
n
x
x
+
, biết rằng
(
)
1
4 3
7 3
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
và (n là s
ố
nguyên d
ươ
ng,
0
x
>
).
(Khối A – 2003)
Bài 5:
Cho n là s
ố
nguyên d
ươ
ng, tính t
ổ
ng
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1
2 3 1
n
n
n n n n
C C C C
n
+
− − −
+ + + +
+
.
(Khối B – 2003)
Bài 6: Với n là số nguyên dương, gọi
3 3
n
a
−
là hệ số của
3 3
n
x
−
trong khai triển thành ña thức của
(
)
( )
2
1 2
n
n
x x+ +
. Tìm n
ñể
3 3
26
n
a n
−
=
.
(Khối D – 2003)
Bài 7:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
8
x
trong khai tri
ể
n thành
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
( )
8
2
1 1
x x
+ −
.
(Khối A – 2004).
Bài 8:
Trong m
ộ
t môn h
ọ
c, th
ầ
y giáo có 30 câu h
ỏ
i khác nhau g
ồ
m 5 câu h
ỏ
i khó, 10 câu h
ỏ
i trung bình, 15
câu h
ỏ
i d
ễ
. T
ừ
30 câu h
ỏ
i
ñ
ó ccos th
ể
l
ậ
p
ñượ
c bao nhiêu
ñề
ki
ể
m tra, m
ỗ
i
ñề
g
ồ
m 5 câu h
ỏ
i khác
nhau, sao cho trong m
ỗ
i
ñề
nh
ấ
t thi
ế
t ph
ả
i có
ñủ
3 lo
ạ
i câu h
ỏ
i (khó, trung bình ,d
ễ
) và s
ố
câu h
ỏ
i d
ễ
