Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRỊNH THỊ HỒNG NHUNG

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM
ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Anh

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Anh.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Thành Anh,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người
thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Tác giả

Trịnh Thị Hồng Nhung


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Anh, luận
văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Sự tồn tại và tính
ổn định của nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian
hữu hạn chiều” do tôi tự làm. Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ
rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Tác giả

Trịnh Thị Hồng Nhung


Mục lục

Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Giải tích đa trị

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Tính nửa liên tục (trên, dưới ) của ánh xạ đa trị . .

5

1.1.2

Hàm đa trị đo được và tích phân của ánh xạ đa trị . 12

1.1.3

Bậc tôpô cho hàm đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2

Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3

Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . 22

1.3.2

Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.3

Bất đẳng thức Minkowshi . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.4

Bất đẳng thức Ky Fan . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.5

Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng
thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều

24

2.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3

Sự ổn định của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Kết luận

48
1


Tài liệu tham khảo

49

2


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bất đẳng thức vi biến phân là mô hình tổng quát của nhiều bài toán
trong các lĩnh vực tài chính, kinh tế, giao thông, tối ưu hoá và khoa học kĩ
thuật. Đến nay bất đẳng thức vi biến phân được nhiều nhà toán học quan
tâm nghiên cứu và nhận được nhiều kết quả phong phú, bao gồm các kết
quả về sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, cấu trúc và dáng điệu
của tập nghiệm và vấn đề giải số.
Gần đây bất đẳng vi biến phân vectơ cũng được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác

nhau. Nó có thể được xét như là một sự mở rộng của bất đẳng vi biến
phân. Trong luận văn này chúng tôi muốn giới thiệu và nghiên cứu một lớp
bất đẳng vi biến phân vectơ trong không gian Euclid hữu hạn chiều. Bởi
vậy dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Anh tôi đã chọn đề tài “
Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng vi biến phân trong
không gian hữu hạn chiều”. Luận văn sẽ được hoàn thành dựa trên kết
quả được công bố công trình “ Differential Vector Variational Inequalities
in Finite-Dimensional Spaces”, J Optim Theory Appl (2013) 158:109–129,
của các tác giả Xing Wang và Nan-Jing Huang. Chúng tôi dự nhận được
sự tồn tại của một nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến
phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều Euclid. Ngoài ra, chúng tôi còn
nghiên cứu tính đóng, nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ
3


nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong
không gian hữu hạn chiều Euclid khi cả ánh xạ và tập ràng buộc bị nhiễu
loạn bởi tham số.

2. Mục đích nghiên cứu
Nhận được kết quả về tính giải được và tính ổn định bất đẳng thức vi
biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu:

• Sự tồn tại của nghiệm yếu Carathéodory.
• Tính ổn định của nghiệm

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong phạm vi không gian hữu hạn
chiều

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: hệ thống lại các kiến
thức có liên quan, phân tích, tổng hợp những định nghĩa, tính chất của
giải tích đa trị, bất đẳng thức biến phân và một số bất đẳng thức .

6. Dự kiến đóng góp
Luận văn trình bày một cách tổng quan về bất đẳng thức vi biến phân
trong không gian hữu hạn chiều.
4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Giải tích đa trị
Tính nửa liên tục (trên, dưới ) của ánh xạ đa trị

Cho X , Y là các tập bất kì và P (Y ) là tập tất cả các tập con khác rỗng
nằm trong Y . BX (0, r) là hình cầu tâm 0 bán kính r trong X , ∂BX (0, r)
là một mặt cầu.
Định nghĩa 1.1.1. Ánh xạ đa trị F : X → Y là một tương ứng mà mỗi

x ∈ X cho ta một tập khác rỗng F(x) ⊆ Y , F(x) được gọi là giá trị của
x. Vì vậy ánh xạ đa trị F có thể viết như sau
F : X → P (Y ).

Nếu A ⊆ X thì

F(x)

F(A) =
x∈A

và được gọi là ảnh của A qua F .
Tập ΓF ⊆ X × Y được định nghĩa

ΓF = {(x, y) : (x, y) ∈ X × Y, x ∈ X, y ∈ F(x)}
là đồ thị của ánh xạ đa trị F .
Cho V ⊆ Y , F+−1 (V ) được định nghĩa

F+−1 (V ) = {x ∈ X : F(x) ⊂ V }
5


và F−−1 (V ) được định nghĩa

F−−1 (V ) = {x ∈ X : F(x) ∩ V = ∅}.
Cho X , Y là không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.2. Một ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) là nửa liên tục trên
tại một điểm x ∈ X nếu với mỗi tập mở V ⊂ Y sao cho F(x) ⊂ V thì
tồn tại một lân cận U (x) của x sao cho F(U (x)) ⊂ V .
Một ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục trên nếu nó là nửa liên tục
trên tại mọi điểm x ∈ X .
Định lý 1.1.1. Các điều kiện sau là tương đương :
(i) ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) là nửa liên tục trên;
(ii) tập F+−1 (V ) là mở với mỗi tập mở V ⊂ Y ;

(iii) tập F−−1 (Q) là đóng với mỗi tập đóng Q ⊂ Y .
Định nghĩa 1.1.3. Ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) được gọi là nửa liên tục
dưới tại một điểm x ∈ X nếu với mỗi tập mở V ⊆ Y sao cho F(x)∩V = ∅
thì tồn tại một lân cận U (x) của x sao cho F(x )∩V = ∅ với mọi x ∈ V (x).
Một ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó là nửa liên
tục dưới tại mọi điểm x ∈ X .
Định lý 1.1.2. Các điều kiện sau là tương đương :
(i) ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) là nửa liên tục dưới;
(ii) tập F−−1 (V ) là mở với mỗi tập mở V ⊂ Y ;
(iii) tập F+−1 (Q) là đóng với mỗi tập đóng Q ⊂ Y .
Định nghĩa 1.1.4. Một ánh xạ đa trị F vừa là nửa liên tục trên và vừa
là nửa liên tục dưới thì được gọi là liên tục.
6


Định nghĩa 1.1.5.

(i) Một ánh xạ đa trị F : Rn → Rn được gọi là đơn

điệu trên một tập lồi K ⊂ Rn khi và chỉ khi với mỗi cặp các điểm

x, y ∈ K và với mọi x∗ ∈ F(x), y ∗ ∈ F(y), x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0.
(ii) Một ánh xạ đa trị F : Rn → Rn được gọi là giả đơn điệu trên một
tập lồi K ⊂ Rn khi và chỉ khi với mỗi cặp các điểm x, y ∈ K và với
mọi x∗ ∈ F(x), y ∗ ∈ F(y), x∗ , y − x ≥ 0 hay y ∗ , y − x ≥ 0
(iii) Một ánh xạ F := (F1 , F2 , ..., Fp ) được gọi là giả đơn điệu trên một
tập lồi K ⊂ Rn khi và chỉ khi với mỗi ξ = {ξ1 , ξ2 , ..., ξp } ∈ Rp+ \{0}
và x, y ∈ K với x∗i ∈ Fi (x), yi∗ ∈ Fi (y) (i = 1, 2, ..., p),
p

p

ξi x∗i , y

−x

ξi yi∗ , y − x

≥ 0 =⇒

i=1

≥0

i=1

(iv) Một ánh xạ F := (F1 , F2 , ..., Fp ) được gọi là đơn điệu trên một tập
lồi K ⊂ Rn khi và chỉ khi với mỗi ξ = {ξ1 , ξ2 , ..., ξp } ∈ Rp+ \{0} và

x, y ∈ K với x∗i ∈ Fi (x), yi∗ ∈ Fi (y) (i = 1, 2, ..., p),
p

p

ξi yi∗
i=1

ξi x∗i , y − x

−

≥ 0.

i=1

Định nghĩa 1.1.6. Cho X là một không gian tôpô, L là một tập con khác
rỗng, đóng, lồi của X và cho

barr(L) = {x∗ ∈ X ∗ : sup x∗ , x < ∞}
x∈L

là kí hiệu hình nón bị chặn của L. Nón lõm của L là nón đóng và lồi được
định nghĩa bởi:

L∞ := {d ∈ X : ∃tn → 0, ∃xn ∈ L, tn xn
Ở đây

d}.

viết tắt của sự hội tụ yếu. Nó được biết rằng, đối với mỗi

x 0 ∈ L,
7


L∞ := {d ∈ X : x0 + λd ∈ L ∀λ > 0}.
Đối với một tập khác rỗng D trong X ,

D− := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x ≤ 0 ∀x ∈ D}.
Định nghĩa 1.1.7. Một hàm f : Ω → Rm , tương ứng, B : Ω → Rm×n ,

được gọi là một hàm liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số Lf > 0,
tương ứng, LB > 0, sao cho, với bất kì (t1 , x), (t2 , y) ∈ Ω,

f (t1 , x) − f (t2 , y) ≤ Lf (|t1 − t2 | + x − y ),
tương ứng,

B(t1 , x) − B(t2 , y) ≤ LB (|t1 − t2 | + x − y ).
Ta xét một lớp các ánh xạ đa trị quan trọng hơn.
Định nghĩa 1.1.8. Một ánh xạ đa trị F được gọi là đóng nếu đồ thị của
nó ΓF = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ F(x)} là một tập con đóng của không gian

X ×Y.
Định lý 1.1.3. Các điều kiện sau là tương đương :
(i) ánh xạ đa trị F là đóng;
(ii) với mỗi dãy suy rộng {xα } ⊂ X , {yα } ⊂ Y , sao cho yα ∈ F(xα ) nếu

xα → x và yα → y thì y ∈ F(x).
Điều kiện sau cùng có thể sử dụng dãy thông thường với điều kiện X
và Y là các không gian metric.

8


Ta có một vài khái niệm sau

C(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là đóng};
K(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là compact};
P v(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là lồi};
Cv(Y ) = P v(Y ) ∩ C(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là đóng và lồi};
Kv(Y ) = P v(Y ) ∩ K(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là compact và lồi}.

Khi ánh xạ đa trị F nhận giá trị trong các tập C(Y ), K(Y ) hoặc P v(Y )
thì ta nói F tương ứng có giá trị đóng, compact hoặc lồi.
Từ định nghĩa ta thấy rằng một ánh xạ đa trị đóng có giá trị đóng.
Cho Y là không gian metric. Hàm số h : K(Y ) × K(Y ) → R+ xác định
như sau

h(A, B) = inf{ > 0 : A ⊂ V (B), B ⊂ V (A)},
ở đây V là một − lân cận của một tập, được gọi là metric Hausdorff trên

K(Y ).
Mệnh đề 1.1.1. Cho X là không gian tôpô, Y là không gian metric. Ánh
xạ đa trị F : X → K(Y ) là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục như là một
ánh xạ đơn trị từ X vào không gian metric (K(Y ), h).
Mệnh đề 1.1.2. Cho X là không gian tôpô, Y là không gian metric và

F : X → C(Y ) là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên. Khi đó F là đóng.
Để xây dựng điều kiện đủ cho ánh xạ đa trị đóng trở thành nửa liên tục
trên, ta cần các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1.9. Một ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) được gọi là:
(i) compact nếu miền giá trị F(X) là compact tương đối trong Y , tức là

F(X) là compact trong Y
F(X) =

F(x);
x∈X

9

(ii) compact địa phương nếu với mọi điểm x ∈ X có lân cận U (x) sao
cho hạn chế của F trên U (x) là compact;
(iii) tựa compact nếu hạn chế của nó trên mọi tập compact A ⊂ X là
compact.
Rõ ràng (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii).
Mệnh đề 1.1.3. Cho F : X → K(Y ) là ánh xạ đa trị đóng và compact
địa phương. Khi đó F là nửa liên tục trên.
Định nghĩa 1.1.10. Cho X là không gian metric. Một ánh xạ đa trị nửa
liên tục trên F : X → K(Y ), compact trên mỗi tập con bị chặn của X
được gọi là nửa liên tục trên hoàn toàn.
Sau đây chúng ta sẽ đề cập đến tính chất quan trọng của ánh xạ đa trị
nửa liên tục trên.
Mệnh đề 1.1.4. Cho F : X → K(Y ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên.
Nếu A ⊂ X là một tập compact thì ảnh của nó F(A) là tập compact nằm
trong Y .
Tiếp theo là những khẳng định về tính liên tục tuyệt đối của các phép
toán trên ánh xạ đa trị.
Cho X , Y và Z là các không gian tôpô.
Mệnh đề 1.1.5. Nếu các ánh xạ đa trị F0 : X → P (Y ) và F1 : Y →

P (Z) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì tích hợp thành F1 ◦ F0 :
X → P (Z) được xác định như sau
(F1 ◦ F0 )(x) = F1 (F0 )(x))
là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
10


Mệnh đề 1.1.6. Nếu các ánh xạ đa trị F0 : X → K(Y ) và F1 : Y →

K(Z) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì tích Đề-các F0 × F1 :

X → K(Y × Z) được xác định như sau
(F0 × F1 )(x) = F0 (x) × F1 (x)
là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
Mệnh đề 1.1.7. Cho ánh xạ đa trị F0 : X → C(Y ), ánh xạ đa trị

F1 : X → K(Y ) là nửa liên tục trên và F0 (x) ∩ F1 (x) = ∅, ∀x ∈ X . Khi
đó F0 ∩ F1 : X → K(Y ), (F0 ∩ F1 )(x) = F0 (x) ∩ F1 (x) là nửa liên tục
trên.
Cho X là không gian tôpô, Y là không gian véctơ tôpô.
Mệnh đề 1.1.8. Nếu các ánh xạ đa trị F0 , F1 : X → K(Y ) là nửa liên
tục trên (nửa liên tục dưới) thì tổng của chúng F0 + F1 : X → K(Y ),

(F0 + F1 )(x) = F0 (x) + F1 (x)
là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
Mệnh đề 1.1.9. Nếu ánh xạ đa trị F : X → K(Y ) là nửa liên tục trên
(nửa liên tục dưới) và hàm số f : X → R là liên tục, thì tích của chúng

f · F : X → K(Y ),
(f · F)(x) = f (x) · F(x)
là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
Mệnh đề 1.1.10. Cho Y là không gian Banach. Nếu ánh xạ đa trị F :

X → K(Y ) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì bao lồi của nó
coF : X → Kv(Y ),
(coF)(x) = co(F(x))
là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
11


1.1.2

Hàm đa trị đo được và tích phân của ánh xạ đa trị

Cho I ⊂ R là đoạn compact, µ là độ đo Lebesgue trên I và E là không
gian Banach.
Định nghĩa 1.1.11. Một hàm đa trị F : I → K(E) được gọi là đo được
nếu với mỗi tập mở V ⊂ E thì nghịch ảnh nhỏ F+−1 (V ) là đo được.
Rõ ràng định nghĩa là tương đương về tính đo được của nghịch ảnh hoàn
toàn F−−1 (Q) với tập con đóng Q ⊂ E . Khẳng định sau cho ta hai định
nghĩa tương đương về tính đo được của hàm đa trị.
Mệnh đề 1.1.11. Một hàm đa trị F : I → K(E) là đo được khi và chỉ
khi:
(i) với mỗi tập đóng Q ⊂ E thì nghịch ảnh nhỏ F+−1 (Q) là đo được;
(ii) với mỗi tập mở V ⊂ E thì nghịch ảnh hoàn toàn F−−1 (V ) là đo được.
Ta có mọi hàm đa trị nửa liên tục trên hoặc nửa liên tục dưới là đo
được.
Để mô tả thêm tính chất của hàm đa trị đo được ta cần các khái niệm
sau đây.
Định nghĩa 1.1.12. Hàm f : I → E được gọi là lựa chọn đo được của
một hàm đa trị F : I → K(E) với điều kiện f là đo được và

f (t) ∈ F (t) đối với µ − hầu khắp t ∈ I.
Tập tất cả các lựa chọn đo được của F kí hiệu là S(F ).
Định nghĩa 1.1.13. Một họ đếm được {fn }∞
n=1 ⊂ S(F ) được gọi là biểu
diễn Castaing của F nếu
∞

f (t) = F (t)
n=1

đối với µ − hầu khắp t ∈ I.
12


Hàm đa trị F : I → K(E) là một hàm đa trị bậc thang nếu tồn tại một
phân hoạch của I trong một họ hữu hạn các tập con đo được rời nhau

{Ij }, ∪j Ij = I sao cho F là không đổi trên mỗi Ij .
Định nghĩa 1.1.14. Một hàm đa trị F : I → K(E) được gọi là đo được
mạnh nếu tồn tại một dãy {Fn }∞
n=1 hàm đa trị bậc thang sao cho

h(Fn (t), F (t)) → 0
khi n → ∞ đối với µ - hầu khắp t ∈ I , ở đây h là metric Hausdorff trên

K(E).
Bằng cách giống như vậy ta có thể định nghĩa một hàm đo được mạnh,
hơn thế nữa là lựa chọn đo được mạnh. Một hàm đa trị đo được không
phải là đo được mạnh. Nhưng hàm đa trị nhận giá trị compact trong một
không gian Banach tách được thì các khái niệm này là trùng nhau. Điều
đó được thể hiện trong khẳng định sau.
Mệnh đề 1.1.12. Cho E là không gian Banach tách được. Khi đó đối với
ánh xạ đa trị F : I → K(E) thì các điều kiện sau là tương đương:
(a) F là đo được;
∞
(b) với mỗi tập con đếm được trù mật {xn }∞
n=1 của E thì hàm {ϕn }n=1 ,

ϕn : I → R,

ϕn (t) = dist(xn , F (t))
là đo được;
(c) F có biểu diễn Castaing;
(d) F là đo được mạnh;
(e) F là đo được như một ánh xạ đơn trị từ I vào không gian metric

(K(E), h);
13


(f) F có tính chất Lusin: với mỗi δ > 0 tồn tại một tập con đóng Iδ ⊂ I
sao cho µ(I\Iδ ) ≤ δ và hạn chế của F trên Iδ là liên tục.
Mệnh đề 1.1.13. Cho E là không gian Banach, F : I → K(E) là hàm
đa trị đo được mạnh. Khi đó F là đo được và có biểu diễn Castaing bao
gồm các hàm đo được mạnh.
Cho E là không gian Banach, F : I → P (E) là hàm đa trị. Kí hiệu

S 1 (F ) là tập tất cả các lựa chọn khả tích Bochner, tức là
S 1 (F ) = {f ∈ L1 (I; E) : f (t) ∈ F (t) đối với µ − với mỗi t ∈ I}.
Nếu S 1 (F ) = ∅, thì hàm đa trị F được gọi là khả tích và tích phân của
nó được định nghĩa như sau

f (s) ds : f ∈ S 1 (F )

F (s) ds =
τ

τ

với tập con đo được bất kì τ ⊂ I .

Dễ thấy, nếu một hàm đa trị F : I → K(E) là đo được mạnh và bị
chặn khả tích, tức là tồn tại một hàm khả tổng ν ∈ L1+ (I) sao cho

F (t) := max{ y : y ∈ F (t)} ≤ ν(t) đối với µ − với mỗi t ∈ I
thì F là khả tích.
Nhận xét 1.1.1. Nếu hàm đa trị F là không đổi, F (t) ≡ A ∈ Kv(E),
thì

I

F (s) ds = Aµ(I).

Cho E là không gian Banach, E0 là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.15. Ánh xạ đa trị F : I × E0 → K(E) được gọi là ánh
xạ đa trị Carathéodory trên nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(F1) với mỗi x ∈ E0 , hàm đa trị

F (·, x) : I → K(E)
chứa một lựa chọn đo được mạnh;
14


(F2) với hầu khắp t ∈ I ánh xạ đa trị F : E0 → K(E) là nửa liên tục
trên.
Nhận xét 1.1.2. Khi không gian E là tách được, "đo được mạnh" trong
điều kiện (F1) có thể thay thế bởi "đo được". Điều kiện (F1) là đủ để cho
rằng F (·, x) là đo được mạnh với mỗi x ∈ E0 .
Tính chất chính của ánh xạ đa trị Carathéodory trên được trình bày
trong khẳng định sau đây.
Mệnh đề 1.1.14. Nếu F : I × E0 → K(E) là ánh xạ đa trị Carathéodory

trên, khi đó với mỗi hàm đo được mạnh q : I → E0 tồn tại một lựa chọn
đa trị f : I → E của hàm đa trị Φ : I → K(E),

Φ(t) = F (t, q(t)).
Định nghĩa 1.1.16. Cho số nguyên p ≥ 0, một ánh xạ đa trị Carathéodory
trên F : I × E0 → K(E) được gọi là Lp − Carathéodory trên nếu nó thỏa
mãn điều kiện bổ sung sau của tính bị chặn khả tích địa phương:
(F3) với mỗi r > 0 tồn tại hàm νr ∈ Lp+ (I) sao cho

F (t, x) := sup{ y : y ∈ F (t, x)} ≤ νr (t)
đối với µ - hầu khắp t ∈ I , với mỗi x ∈ E0 , x ≤ r.
Mỗi ánh xạ đa trị Lp − Carathéodory trên F : I × E0 → K(E) tạo ra
sự chồng chất toán tử đa trị PF : C(I; E0 ) → P (Lp (I, E)),

PF (x) = {f ∈ Lp (I, E) : f (t) ∈ F (t, x(t))vớiµ − hầu khắp, t ∈ I}.
Giả sử ánh xạ đa trị F có giá trị lồi, ta có tính chất chính xác sau đây
của sự chồng chất toán tử đa trị.

15


Mệnh đề 1.1.15. Cho F : I × E0 → Kv(E) là một ánh xạ đa trị Lp −
Carathéodory trên, E1 là không gian định chuẩn và A : Lp (I, E) → E1 là
toán tử tuyến tính bị chặn. Khi đó tích hợp thành

A ◦ PF : C(I; E0 ) → Cv(E1 )
là một ánh xạ đa trị đóng.
Trong thực hành chúng ta thường sử dụng tiêu chuẩn (F3’) sau đây về
cấp tăng tuyến tính dưới.
(F3’) tồn tại một hàm α ∈ Lp+ (I) sao cho

F (t, x) ≤ α(t)(1 + x ) với mỗi t ∈ I,
với mọi x ∈ E0 .
Định nghĩa 1.1.17. Với số nguyên p ≥ 1, một ánh xạ đa trị F : I ×E0 →

K(E) thỏa mãn điều kiện (F1) -(F2) và (F3’) được gọi là ánh xạ đa trị
Lp − Carathéodory trên với cấp tăng α − tuyến tính dưới.
Định nghĩa 1.1.18. Một ánh xạ đa trị F : R × E0 → K(E) được gọi là

T − tuần hoàn nếu nó thỏa mãn điều kiện tuần hoàn sau:
(FT ) F (t, x) = F (t + T, x) với t ∈ R và x ∈ E0 .
1.1.3

Bậc tôpô cho hàm đa trị

Cho X ⊆ Y là các tập đã biết, F : X → P (Y ) là một ánh xạ đa trị.
Một điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị F nếu

x ∈ F(x). Tập tất cả các điểm bất động của F kí hiệu là F ixF.
Cho X và Y là không gian metric.
Định nghĩa 1.1.19. Ánh xạ đa trị F : X → K(Y ) thuộc về lớp CJ(X, Y )
(hay một CJ − ánh xạ đa trị) nếu tồn tại một không gian metric Z , một
16


J − ánh xạ đa trị F : X → K(Z), và một ánh xạ liên tục ϕ : Z → Y sao
cho

F = ϕ ◦ F.
Ánh xạ F và ϕ là dạng phân tích của F và viết là F = (ϕ ◦ F).

Trong toàn bộ mục này E là không gian Banach thực.
Cho X ⊆ E ; mỗi ánh xạ đa trị F : X → P (E) định nghĩa ánh xạ đa
trị Φ : X → P (E),

Φ(x) = i − F(x)
gọi là miền vectơ đa trị hay miền đa trị tương ứng với F .
Kí hiệu i : X → E là ánh xạ bao hàm thức, ta viết

Φ = i − F.
Nếu Λ là một không gian của tham số, và G : X × Λ → P (E) là một
họ ánh xạ đa trị, khi đó Ψ : X × Λ → P (E),

Ψ (x, λ) = x − G(x, λ)
được gọi là họ các miền đa trị.
Một điểm x ∈ Φ(x) sao cho

0 ∈ Φ(x)
được gọi là điểm kì dị của miền đa trị Φ. Dễ thấy rằng điểm x là điểm kì
dị của miền đa trị Φ = i − F khi và chỉ khi nó là điểm cố định của ánh xạ
đa trị F.
Cho U ⊂ E là một tập mở bị chặn, bao đóng của nó kí hiệu là U và
biên là ∂U . Cho F : U → K(E) là một CJ − ánh xạ đa trị compact sao
cho

F ixF ∩ ∂U = ∅.
Sau đây là những tính chất chính của bậc tôpô của miền đa trị Φ = i−F.
17


Bổ đề 1.1.1. Nếu Φ = i − F là miền đa trị tương ứng với ánh xạ đa trị

F thì tập Φ(∂U ) là tập con đóng của E .
Tập Φ(∂U ) không chứa 0, giá trị δ0 = dist(0, Φ(∂U )) là dương. Lấy tập
compact K = F(U ) và chọn 0 < δ < δ0 , một không gian con hữu hạn
chiều E ⊂ E và ánh xạ liên tục π : K → E sao cho

x − π(x) < δ.
Định nghĩa CJ − ánh xạ đa trị hữa hạn chiều F : U → K(E) bởi tích
hợp thành

F = (πϕ ◦ F)
được gọi là một xấp xỉ hữu hạn chiều của F = (ϕ ◦ F).
Định nghĩa 1.1.20. Bậc tôpô

deg(i − F, U )
của miền giá trị tương ứng với ánh xạ đa trị F là bậc tôpô của xấp xỉ hữu
hạn chiều của nó

deg(i − F , U ).
Kí hiệu CJ∂U (U , E) là tập tất cả các CJ − ánh xạ đa trị compact F :

U → K(E) thỏa mãn điều kiện F ixF ∩ ∂U = ∅.
Định nghĩa 1.1.21. Các ánh xạ đa trị F0 , F1 ∈ CJ∂U (U , E);

F0 = (ϕ0 ◦ F0 ),

F1 = (ϕ1 ◦ F1 )

và miền đa trị tương ứng

Φ0 = i − F0 ,

Φ 1 = i − F1

được gọi là đồng luân

Φ0 ∼ Φ1 ,
18


nếu tồn tại một ánh xạ đa trị H ∈ J(U × [0, 1], Z) và một ánh xạ liên tục

k : Z × [0, 1] → E thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) H(·, 0) = F0 , H(·, 1) = F1 ;
(ii) k(·, 0) = ϕ0 , k(·, 1) = ϕ1 ;
(iii) ánh xạ đa trị k ◦ H : U × [0, 1] → K(E), được xác định

(k ◦ H)(x, λ) = k(H(x, λ), λ) với mọi (x, λ) ∈ U × [0, 1],
là compact và điểm cố định trên ∂U × [0, 1]:

x∈
/ H(x, λ),

∀(x, λ) ∈ ∂U × [0, 1].

Ánh xạ đa trị k ◦ H được gọi là đồng luân trong lớp CJ∂U (U , E) liên
thông ánh xạ đa trị F0 và F1 (và liên thông miền đa trị Φ0 và Φ1 ).
Sau đây là các tính chất quan trọng của bậc tôpô cho hàm đa trị.
(1) Tính bất biến của phép đồng luân.
Cho F0 , F1 ∈ CJ∂U (U , E) và miền đa trị tương ứng Φ0 = i − F0 và

Φ1 = i − F1 là đồng luân. Khi đó
deg(Φ0 , U ) = deg(Φ1 , U ).
Bổ đề 1.1.2. Cho F0 ∈ CJ∂U (U , E) và F : U → K(Y ) là một CJ −
ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện biên

F(x) ≤ min{ z : z ∈ Φ0 (x)}, ∀x ∈ ∂U,
ở đây Φ0 = i − F0 . Khi đó đối với ánh xạ đa trị F1 = F0 + F ta có

F1 ∈ CJ∂U (U , E) và
Φ1 = i − F1 ∼ Φ0
nghĩa là deg(Φ0 , U ) = deg(Φ1 , U ).
19


Bổ đề 1.1.3. Cho các ánh xạ đa trị F0 , F1 ∈ CJ∂U (U , E) thỏa mãn điều
kiện biên

z1
z0
=
z0
z1
với mọi z0 ∈ Φ0 (x), z1 ∈ Φ1 (x), x ∈ ∂U , ở đây Φk = i − Fk , k = 0, 1.
Khi đó Φ0 ∼ Φ1 và hơn nữa
deg(Φ0 , U ) = deg(Φ1 , U ).
(2) Sự phụ thuộc cộng tính trên miền xác định.
Cho {Uj }m
j=1 là một họ các tập con mở rời nhau của U và CJ −
ánh xạ đa trị compact F : U → K(Y ) không có điểm cố định trên tập

U\

m
j=1 Uj .

Khi đó
m

deg(i − F, U ) =

deg(i − F, Uj ).
j=1

(3) Nguyên lý ánh xạ thu hẹp.
Cho E1 ⊂ E là một không gian con đóng và F ∈ CJ∂U (U , E) sao cho

F(U ) ⊂ E1 . Khi đó
deg(i − F, U ) = degE1 (i − F, U 1 ),
ở đó U1 = U ∩ E1 và degE1 là bậc đánh giá trong không gian E1 .
(4) Nguyên lý điểm bất động.
Cho F ∈ CJ∂U (U , E) và
deg(i − F, U ) = 0.
Khi đó ∅ = F ixF ⊂ U .

1.2

Bất đẳng thức biến phân

Cho K là một tập lồi đóng trong Rn và F : K → Rn là liên tục. Xét

bài toán
20


Tìm u ∈ K thỏa mãn bất đẳng thức biến phân sau

v − u, F (u) ≥ 0,
Ở đây

∀v ∈ K.

(1.2.1)

n

vi wi với v, w ∈ Rn .

v, w =
i=1

Ta có một số kết quả sau đây.
Định lý 1.2.1. [5] Cho K ⊂ Rn là compact và lồi, F : K → Rn là liên
tục. Khi đó tồn tại u ∈ K sao cho

F (u), v − u ≥ 0,

∀v ∈ K.

Định lý 1.2.2. [5] Cho K ⊂ Rn là đóng và lồi, F : K → Rn là liên tục.
Điều kiện cần và đủ để tồn tại một nghiệm cho bài toán (1.2.1) là tồn tại

R > 0 sao cho một nghiệm uR ∈ KR của (1.2.1) thỏa mãn
|uR | < R,

(1.2.2)

với KR = B(0, R) ∩ K .
Chứng minh. Dễ thấy rằng nếu tồn tại một nghiệm cho bài toán (1.2.1),
thì u là một nghiệm của (1.2.1) đối với miền KR , ở đây |u| < R.
Giả sử rằng uR ∈ KR thỏa mãn (1.2.2). Khi đó uR cũng là một nghiệm
của bài toán (1.2.1). Thật vậy, |uR | < R, cho v ∈ K ,

w = uR + (v − uR )

∈ KR với

≥ 0 đủ nhỏ.

Suy ra uR ∈ KR ⊂ K :

0 ≤ F (uR ), w − uR =

F (uR ), v − uR

tức là uR là nghiệm của bài toán (1.2.1).
Định lí được chứng minh.
21

với v ∈ K,

1.3
1.3.1

Một số bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Với x, y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì

| x, y |2 ≤ x, x . y, y .
Trong trường hợp không gian Euclide n chiều Rn , bất đẳng thức trên
trở thành

2

n

n

≤

x i yi
i=1

1.3.2

n

x2i

yi2 .

i=1

i=1

Bất đẳng thức Holder

Với mọi x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn ta có
n

1
p

n

i=1

trong đó 1 < q, p < +∞,

1.3.3

|yi |q

|xi |p

xi yi ≤

1
q

n

i=1

i=1

1 1
+ = 1.
p q

Bất đẳng thức Minkowshi

Với mọi x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn và 1 ≤ p ≤ +∞ ta
có

1
p

n

|xi + yi |p

|xi |p

≤

i=1

1.3.4

1
p

n

1
p

n

|yi |p

+

i=1

.

i=1

Bất đẳng thức Ky Fan

Cho K là tập lồi, compact trong không gian Banach X , ϕ : K × K → R
là hàm số thoả mãn các điều kiện
(i) ∀y ∈ K, ϕ(., y) là hàm số nửa liên tục dưới;
22