Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn (LV01182)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
————————–o0o————————–
PHẠM THỊ BÍCH HẠNH
TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG
TRUNG TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
————————–o0o————————–
PHẠM THỊ BÍCH HẠNH
TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG
TRUNG TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Anh
HÀ NỘI - 2014
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn TS. Nguyễn Thành Anh, người
đã luôn quan tâm, động viên và tận tình giúp đỡ, truyền đạt lại những kiến thức quý báu
cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, các thầy cô
giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư
Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời
gian học tập tại trường.
Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã động viên,
tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K16 nói chung và
chuyên ngành Toán giải tích nói riêng đã giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Phạm Thị Bích Hạnh
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của
TS. Nguyễn Thành Anh.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong
bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Phạm Thị Bích Hạnh
1
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Lý thuyết nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân
đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn 10
2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Sự tồn tại nghiệm mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Sự ổn định của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 43
i
Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ xuất phát từ nhiều mô hình
trong lĩnh vực kỹ thuật và vật lý. Trong khi đối với phương trình vi phân đạo hàm
riêng trung tính với trễ hữu hạn nhiều kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm và
tính ổn định của nghiệm là khá phong phú thì trường hợp với trễ vô hạn chưa được
nghiên cứu kĩ lưỡng. Vì vậy, tôi xin chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là:
"Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm
riêng trung tính với trễ vô hạn".
2. Mục đích nghiên cứu
Mở rộng ý tưởng sử dụng một toán tử không trù mật được kế thừa cho phương
trình vi phân đạo hàm riêng với trễ hữu hạn và vô hạn cho phương trình vi phân
đạo hàm riêng trung tính (PNFDE) với trễ vô hạn.
1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Tìm hiểu lý thuyết nửa nhóm;
+ Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén;
+ Chứng minh tính giải được của bài toán (2.1);
+ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1) là ổn định và duy nhất.
+ Đưa ra một ví dụ ứng dụng các kết quả tổng quát ở trên cho một trường hợp
phi tuyến đặc biệt dạng (2.22).
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn;
+ Phạm vi: dưới điều kiện Hille-Yosida và nghiên cứu trên một số không gian
hàm.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:
+ Lý thuyết nửa nhóm ;
+ Thiết lập các đánh giá, sử dụng lý thuyết điểm bất động.
2
6. Đóng góp của luận văn

Tồn tại nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn
và nghiệm đó là ổn định và duy nhất.
7. Kết cấu luận văn
Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục tài liệu tham
khảo.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương
trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn
3
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Lý thuyết nửa nhóm
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử E là không gian Banach, một họ (S(t))
t≥0
⊂ L(E) được
gọi là nửa nhóm tích phân nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) S(0) = 0,
(ii) Với mọi x ∈ E, S(t)x là một hàm liên tục theo t với các giá trị trong E,
(iii) Với mọi t, s ≥ 0, S(s)S(t) =
s

0
(S(t + τ ) − S(τ))dτ.
Định nghĩa 1.1.2. Một nửa nhóm tích phân (S(t))
t≥0
được gọi là bị chặn lũy thừa
nếu tồn tại hằng số β ≥ 1 và ω ∈ R sao cho
||S(t)|| ≤ βe
ωt
t ≥ 0.

Định nghĩa 1.1.3. Một toán tử A được gọi là một phần tử sinh của nửa nhóm tích
phân, nếu tồn tại ω ∈ R sao cho (ω, +∞) ⊂ ρ(A) (giải thức của A), và tồn tại một
4
họ (S(t))
t≥0
của toán tử tuyến tính bị chặn, họ này liên tục mạnh bị chặn lũy thừa
và
S(0) = 0 và (λI − A)
−1
= λ
+∞

0
e
−λt
S(t)dt, với mọi λ > ω.
Định nghĩa 1.1.4. Cho X là không gian Banach. Giả sử ánh xạ:
S : R
+
→ L(X)
t → S(t)
thỏa mãn:
1. S(0) = I
2. S(t + s) = S(t) · S(s), ∀t, s ≥ 0
3. t → S(t)x liên tục với mỗi x ∈ X.
Khi đó, S được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh hay C
0
- nửa nhóm.
Nếu thay (3) bởi (3


): t → S(t) liên tục thì ta nói S là nửa nhóm liên tục đều.
Định nghĩa 1.1.5. (Phần tử sinh của C
0
-nửa nhóm)
Giả sử S là C
0
- nửa nhóm trên X.
D(A) :=

x ∈ X : ∃ lim
h→0
+
S(h)(x) − x
h

.
Với x ∈ D(A), định nghĩa Ax = lim
h→0
+
S(h)(x)−x
h
. Khi đó, (A, D(A)) được gọi là
phần tử sinh của nửa nhóm S.
Định nghĩa 1.1.6. Giả sử S(t) ∈ L(X). Khi đó, S được gọi là nửa nhóm compact
nếu S(t) là toán tử compact với mọi t > 0.
5
1.2 Nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm
- Liên tục Lipschitz: Giả sử X là không gian Banach, f : X → R
Định nghĩa 1.2.1. Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x


∈ X, hay Lips-
chitz ở gần x

, nếu tồn tại lân cận U của x

, số k > 0 sao cho:
|f(x) − f(x

)| ≤ k(x − x

, ∀x, x

∈ U,
Định nghĩa 1.2.2. Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y ⊂ X, nếu
f Lipschitz địa phương tại mọi x ∈ Y
Định nghĩa 1.2.3. Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz
K trên tập Y ⊂ X, nếu f Lipschitz địa phương tại mọi x, x

∈ Y
Định nghĩa 1.2.4. Cho V là không gian Banach phức, Ω ⊂ V - mở, u : Ω → R là
một hàm
Với mỗi tập A ⊂ Ω ta xét chuẩn sau:
| u |
0,A
= sup
z∈A
| u(z) |, | u |
1,A
= sup
z=w∈A

| u(z) − u(w) |
 z − w 
.
Khi A = Ω ta viết | u |
0
, | u |
1
thay cho | u |
0,A
, | u |
1,A
. Nếu | u |
0,A
< ∞, | u |
1,A
< ∞
ta nói u là liên tục Lipshitz trên A.
Cho f là dạng vi phân trên Ω với A ⊂ Ω, B là hình cầu đơn vị trong V . Xét 2
chuẩn của f như sau:
| f |
0,A
= sup
(z,ξ)∈A×B
| f(z, ξ) |, | f |
1,A
= sup
z=w∈A,ξ∈B
| f(z, ξ) − f(w, ξ) |
 z − w 
.

Ta nói f là liên tục Lipshitz trên A nếu | f |
0,A
< ∞, | f |
1,A
< ∞.
Ta ký hiệu | f |
0
, | f |
1
nếu A = Ω.
6
Định nghĩa 1.2.5. Một nửa nhóm tích phân (S(t))
t
≥ 0 được gọi là liên tục Lips-
chitz địa phương, nếu với mọi τ > 0 tồn tại một l(τ) > 0 sao cho
||S(t) − S(s)|| ≤ l(τ)|t − s| với mọi t, s ∈ [0, τ].
trong trường hợp này ta hiểu rằng (S(t))
t≥0
là lũy thừa bậc bị chặn.
Định nghĩa 1.2.6. Ta nói một toán tử liên tục A là một toán tử Hille-Yosida nếu
tồn tại β ≥ 1, ω ∈ R sao cho (ω, +∞) ⊂ ρ(A) và
sup{(λ − ω)
n
||(λI − A)
−n
|| : n ∈ N, λ > ω} ≤ β.
Định lí 1.2.7. Các khẳng định sau đây là tương đương
(i) A là phần tử sinh của một nửa nhóm tích phân liên tục Lipschitz địa phương.
(ii) A là một toán tử Hille-Yosida.
Nhận xét: A là một toán tử Hille- Yosida và (S(t))

t≥0
là nửa nhóm tích phân
liên tục Lipschitz địa phương sinh bởi A. Đạo hàm (S

(t))
t≥0
trên D(A) là một nửa
nhóm liên tục mạnh sinh bởi phần tử A
0
của toán tử A trong D(A), được định
nghĩa bởi
D(A
0
) = {x ∈ D(A
0
) : Ax ∈ D(A),
A
0
x = Ax, x ∈ D(A
0
).
Bổ đề 1.2.8. Cho (S(t))
t≥0
là một nửa nhóm tích phân liên tục Lipschitz địa phương
trên E và G : [0, a] → E, a > 0 là một hàm tích phân Bochner. Thì hàm B : [0, a] → E
được định nghĩa bởi
B(t) =
t

0

S(t − s)G(s)ds
7
là khả vi liên tục trên [0, a] và thỏa mãn,




d
dt
B(t)




≤ 2l
t

0
|G(s)|ds với t ∈ [0, a],
Ở đó l = l(a) là liên tục Lipschitz của S(.) trên [0, a].
- Bất đẳng thức Holder: Giả sử f ∈ L
p
(Ω), g ∈ L
q
(Ω) với
1
p
+
1
q

= 1. Khi đó,
fg ∈ L
1
(Ω) và

Ω
|fg|dx ≤


Ω
|f|
p
dx

1
p
+


Ω
|g|
q
dx

1
q
.
- Bổ đề Gronwall: Nếu f; R
+
→ R

+
là bị chặn trên mỗi đoạn đóng [0, T] và thỏa
mãn:
f(T ) ≤ a(T ) +

T
0
b(t)y(t)dt
Cho hàm tăng a(t) và hàm tích phân dương b(t) thì
y(T ) ≤ a(T) + a(T )exp{

T
0
b(t)dt}.
a, b là những hằng số bất kì.
Chứng minh. Xét hàm
v(t) = e
−

t
0
b(s)ds

t
0
f(s)b(s)ds,
Lấy vi phân và sử dụng bất đẳng thức f(T ) ≤ a(T) +

T
0

b(t)y(t)dt, được
dv(t)
dt
= − b(t)e
−

t
0
b(s)ds

t
0
f(s)b(s)ds + b(t)f(t)e
−

t
0
b(s)ds
≤ −b(t)e
−

t
0
b(s)ds

t
0
f(s)b(s)ds + b(t)a(t)e
−


t
0
b(s)ds
+
8
b(t)e
−

t
0
b(s)ds

t
0
f(s)b(s)ds
= b(t)a(t)e
−

t
0
b(s)ds
.
Lấy tích phân và nhớ rằng a(t) là tăng dẫn đến:
e
−

T
0
b(t)dt


T
0
f(t)b(t)dt = v(T ) ≤

T
0
a(t)b(t)e
−

t
0
b(s)ds
≤ a(T )

T
0
b(t)e
−

t
0
b(s)ds
= a(T )[1 − e
−

T
0
b(s)ds
].
Do đó, sử dụng bất đẳng thức giả thiết cho là: f (T ) ≤ a(T ) +


T
0
b(t)y(t)dt và ràng
buộc trên ta có
f(T ) ≤ a(T ) +

T
0
f(t)b(t)dt
≤ a(T ) + a(T )e
−

T
0
b(t)dt
a(T )[1 − e
−

t
0
b(s)ds
] = a(T )exp{−

T
0
b(t)dt}.
9
Chương 2
Tính giải được và tính ổn định của

nghiệm đối với phương trình vi phân
đạo hàm riêng trung tính với trễ vô
hạn
2.1 Giới thiệu bài toán
Cho không gian Banach E, B là không gian pha các hàm từ (−∞, 0] vào E, G và F
là hai hàm liên tục từ (−∞, 0] × B vào E và với mỗi x : (−∞, b] −→ E, b > 0, t ∈ [0, b]
ta xác định x
t
: (−∞, 0] −→ E cho bởi
x
t
(θ) = x(t + θ), θ ∈ (−∞, 0].
Trong khóa luận này chúng ta xét bài toán sau:







d
dt
[x(t) − G(t, x
t
)] = A[x(t) − G(t, x
t
)] + F (t, x
t
), t ≥ 0,
x

0
= ϕ ∈ B.
(2.1)
10
Trong đó A thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida (H1) (với miền xác định không trù
mật).
(H1) Tồn tại hai hằng số M ≥ 1, ω ∈ R thỏa mãn (ω, +∞) ⊂ ρ(A) và
sup ||(λ − ω)
n
R(λ, A)
n
|| : λ > ω, n ∈ N ≤ M,
trong đó ρ(A) là tập giải thức của A và R(λ, A) = (λI − A)
−1
.
Định nghĩa 2.1.1. Cho hàm ϕ ∈ B, ta nói rằng hàm x : (−∞, a] −→ E, a > 0 là
nghiệm tích phân của bài toán (2.1) trong (−∞, a] nếu thỏa mãn các điều kiện sau
1. x liên tục trên [0, a];
2. x(t) = ϕ(t), −∞ < t ≤ 0;
3.
t

0
(x(s) − G(s, x
s
)) ds ∈ D(A) với t ∈ [0, a];
4. x(t) = G(t, x
t
) + ϕ(0) − G(0, ϕ) + A
t


0
(x(s) − G(s, x
s
)) ds +
t

s
F (s, x
s
)ds với 0 ≤
t ≤ a.
Định nghĩa 2.1.2. Cho ϕ ∈ B. Chúng ta nói rằng hàm x : (−∞, a] −→ E là nghiệm
mạnh của bài toán (2.1) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. t −→ x(t) − G(t, x
t
) ∈ C
1
([0, a]; E) ∩ C([0, a]; D(A)) ;
2. x thỏa mãn phương trình (2.1) trên (−∞, a].
Từ tính chất đóng của toán tử A, chúng ta có thể chứng minh các nhận xét sau
11
2.2 Một số kết quả bổ trợ
- Giả thiết về không gian pha. Giả sử (E, |.|) là không gian Banach và (B, ||.||
B
)
là không gian nửa chuẩn tắc các hàm tuyến tính đi từ (−∞, 0] vào E và thỏa mãn
các tiên đề cơ bản sau:
(A) Tồn tại hằng số dương H và các hàm K(.), M(.) : R
+

−→ R
+
trong đó K liên
tục và M bị chặn địa phương sao cho với σ ∈ R, a > 0 nếu x : (−∞, σ + a] −→
E, x
σ
∈ B và x(.) liên tục trên [σ, σ + a] thì với mỗi t ∈ [σ, σ + a] các điều kiện
sau được thỏa mãn
(i) x
t
∈ B,
(ii) |x(t)| ≤ H||x
t
||
B
, điều này tương đương với
(ii

) |ϕ(0)| ≤ H||ϕ||
B
, ϕ ∈ B,
(iii) ||x
t
||
B
≤ K(t − σ) sup
σ≤s≤t
|x(s)| + M(t − σ)||x
σ
||

B
.
(A1) Hàm x(.) trong (A) cho bởi t −→ x
t
là hàm liên tục nhận giá trị trong B với
t ∈ [σ, σ + a].
(B) Không gian B là đầy.
Sau đây là một vài ví dụ về không gian pha, đầu tiên là một không gian pha được
cho bởi:
C
γ
= {φ ∈ C((−∞, 0]; X) : ∃ lim
θ→−∞
e
γθ
φ(θ) trong X},
ở đó γ > 0 . Không gian pha này thỏa mãn (i)-(iii) với
K(t) = 1, M(t) = e
−γt
12
và nó là một không gian Banach với chuẩn
|φ|
γ
= sup
θ≤0
e
γθ
φ(θ).
Xét một ví dụ khác, giả sử 1 ≤ p < +∞, 0 ≤ r < +∞ và
g : (−∞, −r] → R không âm, là hàm đo được Borel trên (−∞, −r). Cho CL

p
g
là
một lớp các hàm ϕ : (−∞, 0] → X sao cho ϕ liên tục trên [−r, 0] và g(θ)ϕ(θ)
p
X
∈
L
1
(−∞, −r). Nửa chuẩn trong CL
p
g
được cho bởi:
|ϕ|
CL
p
g
= sup
−r≤θ≤0
{ϕ(θ)
X
} +

−r

−∞
g(θ)ϕ(θ)
p
X
dθ


1
p
. (2.2)
Giả sử
−r

s
g(θ)dθ < +∞, với ∀ s ∈ (−∞, −r) và (2.3)
g(s + θ) ≤ G(s)g(θ) với s ≤ 0, θ ∈ (−∞, −r), (2.4)
ở đó G : (−∞, 0] → R
+
là hàm bị chặn địa phương. Nếu (2.3)-(2.4) đúng thì CL
p
g
thỏa mãn(i)-(iii) và (A1). Hơn nữa, có thể lấy
K(t) =









1 với 0 ≤ t ≤ r,
1 +

−r


−t
g(θ)dθ

1/p
với t > r;
M(t) =











max

1 +

−r

−r−t
g(θ)dθ

1/p
, G(−t)
1/p


với 0 ≤ t ≤ r,
max


−t

−r−t
g(θ)dθ

1/p
, G(−t)
1/p

với t > r.
Bổ đề 2.2.1. (i) Nếu x là nghiệm tích phân của bài toán (2.1) trên (−∞, a] thì
với mọi t ∈ [0, a], x(t) − G(t, x
t
) ∈ D(A). Đặc biệt ϕ(0) − G(0, ϕ) ∈ D(A).
13
(ii) Nếu x là nghiệm tích phân của bài toán (2.1) trên (−∞, a] cho bởi t −→
x(t) − G(t, x
t
) thuộc C
1
([0, a]; E) hoặc C([0, a]; D(A)) thì x là nghiệm mạnh.
Chứng minh. Giả sử x là nghiệm tích phân của bài toán (2.1). Để chứng minh (i)
ta cần chứng minh với mọi t ∈ [0, a],
x(t) − G(t, x
t

) = lim
h→0
1
h
t+h

t
(x(s) − G(s, x
s
)) ds
và
t+h

t
(x(s) − G(s, x
s
)) ds ∈ D(A)vớih > 0, t + h ≥ a.
Ta chứng minh (ii) trước. Từ định nghĩa, với mọi t ∈ [0, a], h > 0 sao cho t + h ≤ a,
A
1
h
t+h

t
(x(s) − G(s, x
s
)) ds =
1
h
{x(t + h) − G(t + h, x

t+h
) − x(t) + G(t, x
t
)}
−
1
h
t+h

t
F (s, x
s
)ds.
Nếu x(s) − G(s, x
s
) khả vi thì vì F là liên tục ta có vế phải tiến tới
d
dt
(x(t) − G(t, x
t
)) − F (t, x
t
)
khi h → 0
+
và
lim
h→0
+
1

h
t+h

t
(x(s) − G(s, x
s
)) ds = x(t) − G(t, x
t
).
Từ tính chất đóng của toán tử A ta có x(t) − G(t, x
t
) ∈ D(A) và
A (x(t) − G(t, x
t
)) =
d
dt
(x(t) − G(t, x
t
)) − F (t, x
t
), t ∈ [0, a].
Khi đó, x là nghiệm mạnh.
14
Mặt khác, nếu giả sử t → x(t) − G(t, x
t
) thuộc C ([0, a]; D(A)) thì với mọi t ∈
[0, a], h > 0 chúng ta có
1
h

{x(t + h) − G(t + h, x
t+h
) − x(t) + G(t, x
t
)}
=
1
h
t+h

t
A (x(s) − G(s, x
s
)) ds +
1
h
t+h

t
F (s, x
s
)ds.
Từ A(x(s) − G(s, x
s
)) và F liên tục ta có vế phải tiến tới A(x(t) − G(t, x
t
)) + F (t, x
t
)
khi h → 0

+
. Điều này kéo theo x(t) − F (t, x
t
) khả vi phải đối với t và thỏa mãn
d
+
dt
(x(t) − G(t, x
t
)) = A (x(t) − G(t, x
t
)) + F (t, x
t
).
Ta biết rằng nếu một hàm có đạo hàm phải liên tục thì các tính chất trong C
1
được
giữ nguyên do đó t → x(t) − G(t, x
t
) khả vi liên tục trên [0, a] và thỏa mãn
d
dt
(x(t) − G(t, x
t
)) = A (x(t) − G(t, x
t
)) + F (t, x
t
).
Điều này kết thúc chứng minh bổ đề.

Theo [17] với điều kiện (H1), A là toán tử của nửa nhóm liên tục Lipschitz địa
phương lấy tích phân được (S(t))
t≥0
trên E. Thêm vào đó, đạo hàm (S

(t))
t≥0
tạo
thành C
0
−nửa nhóm trên D(A) thỏa mãn
|S

(t)x| ≤ Me
ωt
|x|, ∀t ≥ 0, x ∈ D(A).
Sau đây, ta nhắc lại một số tính chất quan trọng của (S(t))
t≥0
trên.
Mệnh đề 2.2.2. [6] Với mọi x ∈ E, t ≥ 0,
t

0
S(s)xds ∈ D(A), S(t)x = A


t

0
S(s)xds



+ tx.
15
Ngoài ra, với mọi x ∈ D(A), t ≥ 0,
S(t)x ∈ D(A), AS(t)x = S(t)Ax, S(t)x =
t

0
S(s)Axds + tx.
Hệ quả 2.2.3. [6] Với mọi x ∈ E, t ≥ 0, ta có S(t)x ∈
D(A). Hơn nữa, với x ∈ E,
S(.)x là khả vi phải với t ≥ 0 khi và chỉ khi S(t)x ∈ D(A), và trong trường hợp đó
ta có S

(t)x = AS(t)x + x.
Mệnh đề 2.2.4. [7] Cho f : [0, a] → E, a > 0 là hàm khả tích Bocher. Khi đó, hàm
B : [0, a] → E được định nghĩa bởi B(t) =
t

0
S(t− s)f(s)ds là khả vi liên tục trên [0, a]
và thỏa mãn
|B

(t)| ≤ M
t

0
e

ω(t−s)
|f(s)|ds.
2.3 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân
Để có được sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm tích phân, ta thiết lập các giả
thiết sau:
(H2) Cho G : [0, +∞) × B −→ E là hàm liên tục và tồn tại α
0
> 0 với α
0
K(0) < 1
thỏa mãn
|G(t, ϕ
1
) − G(t, ϕ
2
)| ≤ α
0
||ϕ
1
− ϕ
2
| |
B
, với ϕ
1
, ϕ
1
∈ B, t ≥ 0.
(H3) Cho F : [0, +∞) × B −→ E là hàm liên tục và tồn tại β
0

> 0 sao cho
|F (t, ϕ
1
) − F (t, ϕ
2
)| ≤ β
0
||ϕ
1
− ϕ
2
| |
B
, với ϕ
1
, ϕ
1
∈ B, t ≥ 0.
16
Xét ánh xạ G : [0, +∞] × B −→ E cho bởi
G(t, ϕ) = ϕ(0) − G(t, ϕ), (t, ϕ) ∈ [0, +∞) × B.
Trước khi kiểm tra các kết quả chúng ta viết lại bài toán (2.1) dưới dạng tích phân.
Giả sử ϕ ∈ B thỏa mãn G(0, ϕ) ∈ D(A). Ta biết rằng một hàm x : (−∞, a] −→ E, a >
0 là nghiệm của bài toán (2.1) khi và chỉ khi x là nghiệm phương trình










G(t, x
t
) = S

G(0, ϕ) +
d
dt
t

0
S(t − s)F (s, x
s
)ds, t ≥ 0,
x
0
= ϕ.
(2.5)
Chú ý rằng (2.2.3) và (2.2.4) kéo theo tương ứng, S(t)G(0.ϕ) và
t

0
S(t − s)F (s, x
s
)ds
là khả vi theo t.
Định lí 2.3.1. Giả sử các điều kiện (H1) - (H3) được thỏa mãn. Khi đó, với ϕ ∈ B
thỏa mãn G(0, ϕ) ∈ D(A) thì bài toán (2.1) có nghiệm tích phân duy nhất x(., ϕ) xác

định trên (−∞, +∞).
Chứng minh. Cho a > 0 và C([0, a]; E) là không gian các hàm liên tục từ [0, a] vào
E với chuẩn thông thường, ϕ ∈ B thỏa mãn G(0, ϕ) ∈ D(A). Xét tập con đóng khác
rỗng trong C([0, a]; E) được định nghĩa bởi
Z
a
(ϕ) := {z ∈ C([0, a]; E) : z(0) = ϕ(0)} .
Với z ∈ Z
a
(ϕ) ta định nghĩa z : (−∞, a] → E bởi
z(t) =







z(t), t ∈ [0, a],
ϕ(t), t ≤ 0.
17
Đặt K
a
:= max
0≤t≤a
K(t). Do điều kiện (H3) và Tiên đề (A1) nên ánh xạ s → F(s, z
s
)
liên tục trên [0, a]. Khi đó, Mệnh đề 2.2.4 kéo theo ánh xạ t →


t
0
S(t − s)F (s, z
s
)ds
khả vi liên tục trên [0, a].
Xét toán tử J : Z
a
(ϕ) → Z
a
(ϕ) được định nghĩa bởi
(Jz)(t) := G(t, z
t
) + S

(t)G(0, ϕ) +
d
dt
t

0
S(t − s)F (s, z
s
)ds.
Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử ω ≥ 0. Sử dụng các giả thiết, tiên đề
(A)(iii) và Mệnh đề 2.2.4 chúng ta có thể chỉ ra rằng với mỗi z
1
, z
2
∈ Z

a
(ϕ) và
t ∈ [0, a], ta được


(Jz
1
)(t) − (Jz
2
)(t)


≥ (α
0
+ βMe
ωa
a)K
a
||z
1
− z
2
||
∞
.
Vì K liên tục và α
0
K(0) < 1 nên ta có thể chọn a > 0 đủ nhỏ sao cho (α
0
+

βMe
ωa
a)K
a
< 1. Khi đó, J là phép co mạnh trong Z
a
(ϕ) và điểm bất động của J
xác định nghiệm tích phân suy nhất x(., ϕ) trên (−∞, a].
Tương tự, ta có thể chứng minh trên [0, na], n ≥ 2 sự tồn tại duy nhất nghiệm
tích phân trong (−∞, +∞). Điều này kết thúc chứng minh.
2.4 Sự tồn tại nghiệm mạnh
Định lí sau khẳng định, với các điều kiện hạn chế hơn thì nghiệm tích phân là
nghiệm mạnh. Để tính tích phân trong B từ tích phân trong E ta giả sử rằng B
thỏa mãn một trong các tiên đề sau:
(C1) Nếu (φ
n
)
n≥0
là dãy Cauchy trong B và nếu (φ
n
)
n≥0
hội tụ compact tới φ trên
(−∞, 0] thì φ ∈ B và ||φ
n
− φ||
B
→ 0 khi n → ∞.
18
(D) Một dãy (ϕ

n
)
n≥0
trong B thỏa mãn ||ϕ
n
||
B
→ 0 khi n → 0 thì với mỗi θ ∈
(−∞, 0] ta có |ϕ
n
(0)| → 0 khi n → ∞.
Ta thấy tiên đề (D) suy ra không gian B là không gian định chuẩn.
Bổ đề 2.4.1. [10] Giả sử B là không gian định chuẩn thỏa mãn tiên đề (C1) và
f : [0, a] → B, a > 0 là hàm liên tục sao cho f(t)(θ) liên tục với (t, θ) ∈ [0, a]×(−∞, 0].
Khi đó,


a

0
f(t)dt


(θ) =
a

0
f(t)(θ)dt, θ ∈ (−∞, 0].
Bổ đề 2.4.2. Giả sử B là không gian định chuẩn thỏa mãn tiên đề (D) và f :
[0, a] → B, a > 0 là hàm liên tục. Khi đó, với mọi θ ∈ (−∞, 0] thì hàm f(.)(θ) liên

tục trên [0, a] và thỏa mãn


a

0
f(t)dt


(θ) =
a

0
f(t)(θ)dt, θ ∈ (−∞, 0].
Chứng minh. Ta có
a

0
f(t)dt = lim
n→+∞
a
n
n

k=1
f

ka
n


trong B.
Sử dụng tiên đề (D) ta được


a

0
f(t)dt


(θ) = lim
n→+∞
a
n
n

k=1
f

ka
n

(θ), θ ∈ (−∞, 0].
Mặt khác, tiên đề cũng kéo theo hàm f(.)(θ) liên tục trên [0, a]. Khi đó,
a

0
f(t)(θ)dt = lim
n→+∞
a

n
n

k=1
f

ka
n

(θ), θ ∈ (−∞, 0].
Điều này kết thúc chứng minh bổ đề.
19
Để chứng minh tính chính quy của các nghiệm tích phân, ta thêm vào giả thiết
sau:
(H4) Cho F, G là các hàm khả vi liên tục và có các đạo hàm riêng Lipschitz địa
phương đối với hai biến độc lập tức là với tập compact Q ⊂ [0, +∞) × B, tồn
tại hằng số β
1
> 0 sao cho
























||D
ϕ
F (t, ϕ) − D
ϕ
F (t, ψ)| |ψ ≤ β
1
||ϕ − ψ||
B
,
||D
t
F (t, ϕ) − D
t
F (t, ψ)| |ψ ≤ β
1
||ϕ − ψ||
B
,

||D
ϕ
G(t, ϕ) − D
ϕ
G(t, ψ)| |ψ ≤ β
1
||ϕ − ψ||
B
,
||D
t
G(t, ϕ) − D
t
G(t, ψ)| |ψ ≤ β
1
||ϕ − ψ||
B
,
với mọi (t, ϕ), (t, ψ) ∈ Q, t ≥ 0, trong đó D
t
F, D
ϕ
F, D
t
G, D
ϕ
G là các đạo hàm
riêng đối với t, ϕ.
Với mọi a > 0 và các hàm x, y thỏa mãn các điều kiện ở tiên đề (A) thì các tập
(s, x

s
: s ∈ [0, a]) và (s, y
s
) : s ∈ [0, a] là các tập compact của [0, a] × B, khi đó điều
kiện H
4
kéo theo
























||D
ϕ
F (s, x
s
) − D
ϕ
F (s, y
s
)| |ψ ≤ β
1
||x
s
− y
s
||
B
,
||D
t
F (s, x
s
) − D
t
F (s, y
s
)| |ψ ≤ β
1
||x
s
− y

s
||
B
,
||D
ϕ
G(s, x
s
) − D
ϕ
G(s, y
s
)| |ψ ≤ β
1
||x
s
− y
s
||
B
,
||D
t
G(s, x
s
) − D
t
G(s, y
s
)| |ψ ≤ β

1
||x
s
− y
s
||
B
,
Định lí 2.4.3. Giả sử B là không gian định chuẩn và thỏa mãn tiên đề (C1) hoặc
(D) và các điều kiện (H1) - (H4). Khi đó, với mỗi hàm khả vi liên tục ϕ ∈ B thỏa
20