Phổ khối lượng của higgs trong mô hình 3 3 1 tối thiểu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
--------------------------------------------

KIỀU DUY THẮNG

PHỔ KHỐI LƯỢNG CỦA HIGGS TRONG
MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và Vật lí Toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Huy Thảo

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Vật lý, đặc biệt
là các thầy cô giáo Phòng sau Đại học – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
đã quan tâm giúp đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với TS. Nguyễn
Huy Thảo - người thầy đã tận tâm hướng dẫn em hoàn thành luận văn này.
Xin gửi tới người thân – gia đình, bè bạn – những người đã luôn động
viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu lời cảm ơn sâu
sắc.
Hà Nội, ngày 03 tháng 08 năm 2015
Người thực hiện

Kiều Duy Thắng

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan
rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc.
Tác giả luận văn

Kiều Duy Thắng


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 3
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 4
5. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 4
6. Dự kiến đóng góp mới .............................................................................. 4
NỘI DUNG ....................................................................................................... 5
Chương 1. MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU ........................................................ 5
1.1.

Sắp xếp các hạt trong mô hình .......................................................... 5

1.2.

Lagrangian của mô hình .................................................................... 7

1.3.

Các boson chuẩn của mô hình .......................................................... 7

Chương 2. KHỐI LƯỢNG CÁC HIGGS TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI
THIỂU. ............................................................................................................ 11
2.1. Thế Higgs của mô hình ........................................................................ 11
2.2. Khối lượng các Higgs trung hòa của mô hình ..................................... 14
2.3. Khối lượng các Higgs mang điện của mô hình .................................... 16
Chương 3. TƯƠNG TÁC CỦA CÁC HIGGS TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI
THIỂU ............................................................................................................. 19
3.1. Tương tác của các Higgs với các boson chuẩn .................................... 19
3.2. Tương tác của các Higgs với các fermions .......................................... 24
3.3. Tự tương tác của các Higgs……………………………………….
KẾT LUẬN ................................................................................................... 365
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................. 377


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mô hình chuẩn đã rất thành công, với các tiên đoán về lý thuyết đã
được thực nghiệm kiểm chứng như: khối lượng W-boson và Z-boson, góc
trộn Weinberg, tham số Michel ρ… Đặc biệt, sự hoạt động trở lại của máy gia
tốc LHC đã cho nhiều dữ liệu thực nghiệm hữu ích, góp phần khẳng định sự
tồn tại của Higgs-boson và giải thích nguồn gốc khối lượng của các hạt trong
tự nhiên [2]. Sự kiện này đã mang lại giải Nobel về vật lý năm 2013 cho
Francois Englert và Peter W.Higg. Tuy nhiên, mô hình chuẩn vẫn còn tồn tại
nhiều hạn chế, chưa giải tích được các vấn đề quan trọng sau: (1) tại sao thế

hệ các fermions là 3, (2) sự dao động và khối lượng neutrino khác không, (3)
nguồn gốc của vật chất tối và năng lượng tối và tính bất đối xứng số baryon
của vũ trụ quan sát được hiện nay.
Một trong các hướng phát triển của vật lý để khắc phục các hạn chế
trên của mô hình chuẩn là các mô hình 3-3-1. Các mô hình 3-3-1 dựa trên
nhóm đối xứng chuẩn là 𝑆𝑈(3)𝑐 ⨂𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1)𝑋 đã kế thừa những kết
quả đạt được của mô hình chuẩn đồng thời đang tiếp tục giải quyết các vấn đề
còn tồn tại của mô hình chuẩn. Các công bố gần đây của các mô hình 3-3-1 đã
chỉ ra: khối lượng neutrino sẽ được giải thích qua cơ chế seesaw TeV, vật chất
tối sẽ xuất hiện như là hệ quả của đối xứng mới trong các mô hình [2].. Các
hạt mới với số lepton sẽ cho rã vi phạm CP dẫn đến cơ chế leptogenesis cho
giải tích bất đối xứng số baryon. Ngoài việc giải quyết các vấn đề quan trọng
trên, một số các kết quả khác cũng xuất hiện một cách rất tự nhiên trong các
mô hình 3-3-1 như là hệ quả tất yếu của lý thuyết, đó là: số thế hệ các
fermions trong mô hình phải là 3, các điện tích được lượng tử hóa, khối lượng
và sự dao động của các neutrinos...


2

Có hai phiên bản của mô hình 3-3-1, việc phân chia này phụ thuộc vào
phần lepton được đưa vào trong mô hình. Phiên bản thứ nhất, gọi là mô hình
3-3-1 tối thiểu, được đề xuất bởi Pisano, Pleitez và Frampton vào năm 1992
[1], trong đó, ta đưa lepton mang điện phân cực phải vào đáy của ba tam
tuyến lepton của nhóm nhóm 𝑆𝑈(3)𝐿 . Phiên bản này đòi hỏi ba tam tuyến và
một lục tuyến vô hướng Higgs để thực hiện phá vỡ đối xứng tự phát, sinh
khối lượng cho tất cả các fermions. Việc đưa vào lục tuyến Higgs giúp cho
việc giải thích nguồn gốc khối lượng của các hạt một cách rõ ràng. Tuy nhiên,
do số lượng lớn các vô hướng xuất hiện trong mô hình dẫn đến việc xác định
trạng thái vật lý của các hạt, cũng như các tính toán từ lý thuyết để cung cấp

tín hiệu cho việc tìm kiếm các hạt Higgs từ các máy gia tốc gặp khó khăn.
Đây cũng chính là vấn đề hiện nay đang được các nhà khoa học quan tâm và
tiếp tục phát triển. Trong [3], tác giả M.D. Tonasse mới đưa ra các kết quả
cho phổ khối lượng các Higgs và khối lượng các fermions gần đúng ở bậc cây
(tree level). Phiên bản thứ hai được các tác giả Foot, Long và Tuan đề xuất
năm 1994, trong đó thành phần thứ ba của các tam tuyến lepton của nhóm
𝑆𝑈(3)𝐿 là các neutrinos phân cực phải [4]. So với phiên bản thứ nhất phiên
bản thứ hai có ưu điểm hơn là số lượng các vô hướng đưa vào là ít hơn và giải
thích nguồn gốc khối lượng các neutrinos tốt hơn, tương tác của các boson
trung hòa có khối lượng trùng hợp với mô hình chuẩn. Tuy nhiên, hạn chế của
phiên bản này là giới hạn của góc trộn Weinberg lớn hơn mô hình chuẩn. Hạn
chế này vẫn đang được các nhà khoa học phát triển mô hình này để khắc
phục.
Đóng góp của các Higgs-boson trong các mô hình 3-3-1 đem lại nhiều
hiện tượng vật lý mới. Nhiều công bố gần đây dựa vào đóng góp này cho thấy
giá trị của một số đại lượng tính toán từ lý thuyết rất phù hợp với giá trị thực


3

nghiệm đo được: mômen từ dị thường của muon (g-2), khối lượng các
neutrinos, hàm β trong lý thuyết tái chuẩn hóa…
Ngoài ra, dựa vào tương tác của Higgs-boson trong các mô hình 3-3-1
ở các bổ đính bậc cao đã tìm ra các ứng cử viên cho các đối tượng vật lý mới
như: vật chất tối, năng lượng tối, radion, axion…
Việc tính toán tìm ra các đặc tính mới để cung cấp tín hiệu phục vụ cho
việc tìm kiếm các Higgs-boson ở các máy gia tốc cũng đang được hết sức
quan tâm. Công trình tìm kiếm Higgs qua kênh rã ra hai photon của William
J. Marciano, Cen Zhang và Scott Winlenbrock [5], hay qua kênh rã ra hai
lepton [1] có thể coi là khởi đầu cho việc tìm kiếm Higgs-boson, qua đó định

hướng cho việc phát triển các mô hình lý thuyết.
Với hướng phát triển của khoa học như hiện nay, chúng tôi tập trung
vào việc nghiên cứu mô hình 3-3-1 tối thiểu có lục tuyến vô hướng, qua đó
chúng tôi tìm ra các đặc tính của Higgs-boson trong mô hình cũng như những
đóng góp của nó. Trên cơ sở tìm ra phổ khối lượng của các Higgs-boson,
chúng tôi hy vọng sẽ cung cấp kết quả quan trọng, tạo cơ sở cho việc nghiên
cứu các hiện tượng vật lý mới trong mô hình này cũng như việc tìm kiếm
Higgs-boson ở các máy gia tốc.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài cần đạt được các kết quả sau:
- Tìm hiểu các nội dung cơ bản của mô hình 3-3-1 tối thiểu: nội dung
sắp xếp hạt, Lagrangian của mô hình, thế Higgs của mô hình…
- Khối lượng các Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thiểu.
- Tương tác của các Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thiểu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm ra khối lượng các Higgs trung hòa và Higgs mang điện trong mô
hình 3-3-1 tối thiểu.


4

- Xác định các tương tác của Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thiểu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu là các Higgs và tương tác của nó trong mô
hình 3-3-1 tối thiểu.
- Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết trường và vật lý năng lượng cao.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp Vật lý lý thuyết
- Sử dụng các phần mềm Mathlab và Mathematical để tính toán
6. Dự kiến đóng góp mới

- Phổ khối lượng của Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thiểu.
- Tương tác của các Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thiểu. Các hiện
tượng vật lý trong mô hình 3-3-1 tối thiểu thông qua đóng góp của các Higgs.


5

NỘI DUNG
Chương 1. MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU
1.1. Sắp xếp các hạt trong mô hình
Mô hình 3-3-1 nói chung là sự mở rộng của mô hình chuẩn (standard
model), bằng cách mở rộng nhóm đối xứng chuẩn thành 𝑆𝑈(3)𝐶  𝑆𝑈(3)𝐿 
𝑈(1)𝑋 , tùy theo việc đưa neutrino phân cực phải hay lepton mang điện vào
thành phần thứ ba của tam tuyến lepton mà chúng ta có hai phiên bản tương
ứng của mô hình 3-3-1.
Các lepton được sắp xếp theo ba thế hệ, các thành phần trái là các tam
tuyến của 𝑆𝑈(3)𝐿 , còn các thành phần phải là các đơn tuyến của 𝑆𝑈(3)𝐿 . Đặc
biệt, phần đáy của tam tuyến không phải là neutrino mà là lepton mang điện
phân cực phải.
Ψ𝑎𝐿 =

𝜐𝑎
( 𝑙𝑎𝑐 )
𝑙𝑎 𝐿

~(1,3,0) , 𝑙𝑎𝑅 ~(1,1, −1), 𝑎 = 1,2,3

(1)

Trong đó, a là chỉ số thế hệ, còn các giá trị trong ngoặc đơn bên phải

tương ứng là biểu diễn các đa tuyến của 𝑆𝑈(3)𝐶 , 𝑆𝑈(3)𝐿 và tích của 𝑈(1)𝑋 .
Với các quark, ta cũng có cách sắp xếp tương tự. Tuy nhiên, để đảm
bảo điều kiện khử dị thường QCD thì thế hệ quark thứ nhất ta xếp vào tam
tuyến của 𝑆𝑈(3)𝐿 , còn hai thế hệ sau ta xếp vào phản tam tuyến của 𝑆𝑈(3)𝐿 .
𝑢1
𝑑1

𝐽𝛼
𝑢
( 𝛼)

𝑄1𝐿 = ( ) ~(3,3,2/3), 𝑄𝛼𝐿 =
𝐽1 𝐿
𝑑𝛼
2

𝑢1𝑅 ~ (3,1, ), 𝑑1𝑅 ~ (3,1,
3
2

−1

𝑢𝛼𝑅 ~ (3,1, ), 𝑑𝛼𝑅 ~ (3,1,
3

3

𝐿

1

~ (3, 3∗ , − ) , 𝛼 = 2,3 .
3
5

), 𝐽1𝑅 ~ (3,1, 3),

−1

), 𝐽𝛼𝑅 ~ (3,1,
3

−4
3

)

(2)


6

Để sinh khối lượng cho các fermion ta cần ba tam tuyến (𝜂, 𝜌, 𝜒) và
một lục tuyến vô hướng S. Trong đó, lục tuyến vô hướng S đóng vai trò sinh
khối lượng cho tất cả các lepton [2].
𝜂0

𝜌+

𝜒−

𝜂2+

𝜌++

𝜒0

𝜂 = (𝜂1−) ~(1,3,0), 𝜌 = ( 𝜌0 ) ~(1,3,1), 𝜒 = (𝜒−−) ~(1,3, −1)
𝜎10
𝑆=

𝑠2+
√2
𝑠1−

( √2

𝑠2+

𝑠1−

√2

√2
𝜎20

𝑠1++

√2

𝜎20

~(1, 6∗ , 0)

(3)

𝑠2−− )

√2

Với trung bình chân không
𝑢
√2

0

〈𝜂〉 = ( 0 ), 〈𝜌〉 = ( 𝑣 ) , 〈𝜒〉 =
√2

0

0
( 0 ),
𝜔
√2

0

0
〈𝑆〉 = (0

0

0
0
𝑣𝜎
2

0

𝑣𝜎

2)

(4)

0

Để phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm, chúng ta cần điều kiện [1].
𝑣 2 + 𝑢2 + 𝑣𝜎2 ≡ 𝑣𝑤2

(5)

𝑣𝑤 là VEV của trường Higgs trong mô hình chuẩn.
Toán tử điện tích được định nghĩa
𝑄
𝑒

=

𝜆3

2

−

√3
𝜆
2 8

+𝑋

(6)

Trong đó: λ3 và λ8 là ma trận Gell-Mann chéo. Chú ý rằng đối với phản tam
tuyến, chúng ta thay ma trận Gell-Mann bằng 𝜆̅ = -λ*.
Khung phá vỡ đối xứng tự phát như sau
〈𝜒〉

〈𝜌,𝜂〉

𝑆𝑈(3)𝐿 ⨂𝑈(1)𝐿 → 𝑆𝑈(2)𝐿 ⨂𝑈(1)𝑌 →

𝑈(1)𝑒𝑚 ,

(7)

Vì lepton và phản lepton được đặt trong cùng một tam tuyến, do đó
trong mô hình này số lepton không được bảo toàn. Tốt hơn chúng ta làm việc
với một toán tử mới là ℒ mà giao hoán với đối xứng chuẩn [4,5] và quan hệ
với số lepton thông thường như sau L =

4

𝑇
√3 8

+ℒ


7

Dựa vào mối quan hệ này, chúng ta có thể xác định được số lepton mới
của các hạt trong mô hình. Đặc biệt, do xuất hiện các hạt mới nên sẽ có các
hạt với số lepton (ℒ = 2) mang lại các hiện tượng vật lý mới cho mô hình.
Các tính chất này vẫn đang tiếp tục được nghiên cứu.
1.2. Lagrangian của mô hình
Trong mô hình 3-3-1 tối thiểu, Lagrangian tổng quát của mô hình được
đưa ra
1
1
𝜇𝜈
𝜇𝜈
ℒ𝑡𝑜𝑡 = ∑ 𝐹̅ 𝑖ɣ𝜇 𝐷𝜇 𝐹 + ∑(𝐷𝜇 𝑆)+ (𝐷𝜇 𝑆) − 𝐺𝑖𝜇𝜈 𝐺𝑖 − 𝐴𝑖𝜇𝜈 𝐴𝑖 −
4

1
4

4

𝐵𝜇𝜈 𝐵𝜇𝜈 + 𝐿𝑌 − 𝑉

(8)

với:
𝐷𝜇 = 𝜕𝜇 − 𝑖𝑔𝑠 𝑡𝑖 𝐺𝑖𝜇 − 𝑖𝑔𝑇𝑖 𝐴𝑖𝜇 − 𝑖𝑔𝑥

𝑋
√6

𝐵𝜇

𝐺𝑖𝜇𝜈 = 𝜕𝜇 𝐺𝑖𝜈 − 𝜕𝜈 𝐺𝑖𝜇 − 𝑔𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑘 𝐺𝑗𝜇 𝐺𝑘𝜈
𝐴𝑖𝜇𝜈 = 𝜕𝜇 𝐴𝑖𝜈 − 𝜕𝜈 𝐴𝑖𝜇 − 𝑔𝑓𝑖𝑗𝑘 𝐴𝑗𝜇 𝐴𝑘𝜈
𝐵𝜇𝜈 = 𝜕𝜇 𝐵𝜈 − 𝜕𝜈 𝐵𝜇
∑ 𝐹̅ 𝑖ɣ𝜇 𝐷𝜇 𝐹 tương tác của các lepton với các boson chuẩn, với ɣ𝜇 là các ma
trận Dirac.
∑(𝐷𝜇 𝑆)+ (𝐷𝜇 𝑆) tương tác của các boson chuẩn với các vô hướng của mô
hình
𝜇𝜈

𝐺𝑖𝜇𝜈 𝐺𝑖

tương tác chuẩn của các nhóm 𝑆𝑈(3)𝐶

𝜇𝜈

𝐴𝑖𝜇𝜈 𝐴𝑖 tương tác chuẩn của các nhóm 𝑆𝑈(3)𝐿
𝐵𝜇𝜈 𝐵𝜇𝜈 tương tác chuẩn của các nhóm 𝑈(1)𝑋
𝐿𝑌 tương tác Yukawa
𝑉 thế Higgs tổng cộng của mô hình

1.3. Các boson chuẩn của mô hình


8

Các boson chuẩn xuất hiện trong các thành phần sau của đạo hàm hiệp
biến
𝜆𝑎

𝐷𝜇 = 𝜕𝜇 − 𝑖𝑔𝐴𝜇𝑎

2

− 𝑖𝑔𝑥 𝑋

𝜆9
2

𝐵𝜇

(9)

2

Với λ9 = √ diag(1,1,1).
3

Trong đó: 𝑃 = 𝑖𝑔𝐴𝜇𝑎

𝜆𝑎

2

+ 𝑖𝑔𝑋 𝑋

𝜆9
2

̅̅̅̅
𝐵𝜇 ; 𝑎 = 1,8

(10)

Để xác định khối lượng các boson chuẩn, chúng ta sử dụng số hạng sau:
+

+

+

+

ℒ = (𝐷𝜇 χ) (𝐷𝜇 χ) + (𝐷𝜇 ρ) (𝐷𝜇 ρ) + (𝐷𝜇 η) (𝐷𝜇 𝜂) + (𝐷𝜇 S) (𝐷𝜇 S)

(11)

Hằng số tương tác của SU(3)L và U(1)X thỏa mãn mối quan hệ sau:
2
𝑔𝑋2
6𝑠𝑊
=

2
𝑔2
1 − 4𝑠𝑊

(12)

Trong đó cW = cos 𝜃W, sW = sin 𝜃W, tW = tan 𝜃W với θW là góc trộn Weinberg.
Thay thế khai triển trong phương trình (10) chúng ta dẫn ra được trạng
thái riêng của các boson chuẩn và khối lượng tương ứng của chúng có
dạng như sau:
𝑊± =
𝑌± =

𝐴1 ∓𝑖𝐴2
√2

𝐴4 ±𝑖𝐴5

𝑌 ±± =

√2

→ 𝑀𝑌2± =

𝐴6 ±𝑖𝐴7
√2

2
→ 𝑀𝑊
± =

𝑔2 (𝑣 2 +𝑢2 +𝑣𝜎2 )

,

4

(13)

𝑔2 (𝑣 2 +𝜔2 +𝑣𝜎2 )

→ 𝑀𝑌2±± =

4
𝑔2 (𝑣 2 +𝜔2 +2𝑣𝜎2 )

(14)

4

Từ (5) với 𝑀𝑊 = 246 GeV thì ta thu được mối quan hệ
𝑣 2 + 𝑢2 + 𝑣𝜎2 ≡ 𝑣𝑤2 ≈ (246 𝐺𝑒𝑉)2

(15)

Đạo hàm hiệp biến của các tam tuyến lepton là
1
2
𝜇

𝑔𝑇𝑖 𝐴𝑖 =
(

(𝐴𝜇3 +

1

𝐴8 )
√3 𝜇
√2𝑊𝜇−

√2𝑌𝜇++

√2𝑊𝜇+
1
2

(−𝐴𝜇3 +

1

√3
√2𝑌𝜇+

√2𝑌𝜇−−
𝐴𝜇8 )

√2𝑌𝜇−
−

1
√3

𝐴𝜇8

(16)
)


9

Đối với các phản tam tuyến chúng ta có
𝑔

− (𝐴𝜇3 +
2

𝑔
2

𝜆̅𝐴𝜇 =

√3
𝑔
− 𝑊𝜇+
√2

−

(

1

𝑔
√2

𝐴𝜇8 )

−

𝑔

√2
𝑔
− (−𝐴𝜇3
2

𝑊𝜇−
+

1

√3
𝑔 −−
− 𝑌𝜇
√2

𝑌𝜇−

𝑔

𝑌𝜇+
2
√
𝑔 ++
− 𝑌𝜇
√2
−

𝐴𝜇8 )

𝑔

1
√3

𝐴𝜇8

(17)
)

Trong đó 𝜆̅ = - 𝜆∗
Trong thành phần boson chuẩn trung hòa, ( 𝐴𝜇3 , 𝐴𝜇8 , 𝐵𝜇 ), các trường
photon Aμ cũng như boson có khối lượng Z và Z’ [5] có dạng:
2
Aμ = 𝑠𝑊 𝐴𝜇3 + 𝑐𝑊 (√3 𝑡𝑊 𝐴𝜇8 + √1 − 3𝑡𝑊
𝐵𝑊 ),
2
Zμ = 𝑐𝑊 𝐴𝜇3 − 𝑠𝑊 (√3 𝑡𝑊 𝐴𝜇8 + √1 − 3𝑡𝑊
𝐵𝑊 ),

(18)

2 8
𝑍𝜇′ = −√1 − 3𝑡𝑊
𝐴𝜇 +√3 𝑡𝑊 𝐵𝜇

(19)

Và

Trong đó bình phương khối lượng của {𝑍, Z’ } là
2
𝑀𝑍𝑍
′

𝑀𝑍2

2

𝑀 =( 2
𝑀𝑍𝑍 ′

𝑀𝑍2′

)

(20)

Với

𝑀𝑍2 =

𝑔2

1

𝑣2,
4 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑊 𝜌

𝑀𝑍2′ =
2
𝑀𝑍𝑍
′ =

1
3

𝑔2 [
1
4√3

𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑊
1−4𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑊

𝑔2

𝑣𝜒2 +

√1−4𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑊
𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑊

1−4𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑊
4𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑊

𝑣𝜌2 ],

𝑣𝜌2 .

(21)

Chéo hóa ma trận khối lượng cho ra các trạng thái riêng (các khối
lượng) của Z1 và Z2 mà chúng trộn lẫn với nhau như sau:
Z1 = Zcos 𝜙 - Z’sin 𝜙,
Z2 = Zsinϕ + Z’cosϕ.
Gốc trộn Φ có dạng:

(22)


10

tan 2Φ =

𝑀𝑍2 −𝑀𝑍21

(23)

𝑀𝑍22 −𝑀𝑍2

Trong đó 𝑀𝑍1 và 𝑀𝑍2 là các trị riêng vật lí

𝑀𝑍21
𝑀𝑍22

=
=

1

{𝑀𝑍2′
2
1

{𝑀𝑍2′
2

+

𝑀𝑍2

+

𝑀𝑍2

−

[(𝑀𝑍2′

+

[(𝑀𝑍2′

1

−

𝑀𝑍2 )2

−

𝑀𝑍2 )2

−

2
2 2
4(𝑀𝑍𝑍
′ ) ] },

−

2
2 2
4(𝑀𝑍𝑍
′ ) ] }.

(24)

1

(25)

Khi phá vỡ đối xứng, 𝑣𝜒 ≫ 𝑣𝜌 thì thu được giới hạn khối lượng của Z2 [5]
𝑀𝑍2 > ~√

4

𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑊 (𝑀𝑍2 )

3

√1−4𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑊 (𝑀𝑍2 )

𝑀𝑍1 > ~ 400 GeV

(26)

Chúng ta có mối quan hệ sau, được sử dụng khi cần biểu thị mối quan hệ giữa
các các boson chuẩn và các trường chuẩn (hay các Goldstone).
𝐴𝜇3 = 𝑐𝑊 𝑍𝜇 + 𝑠𝑊 𝐴𝜇 ,
2 ′
𝐴𝜇8 = √3𝑡𝑊 𝑠𝑊 𝑍𝜇 + √1 − 3𝑡𝑊
𝑍𝜇 − √3𝑠𝑊 𝐴𝜇 ,
2
2
𝐵𝜇 = −𝑠𝑊 √1 − 3𝑡𝑊
𝑍𝜇 + √3𝑡𝑊 𝑍𝜇′ + 𝑐𝑊 √1 − 3𝑡𝑊
𝐴𝜇 .

(27)

Trong chương này chúng ta đã trình bày về Mô hình 3-3-1 tối thiểu,
qua đó chỉ ra được sự sắp xếp các hạt trong mô hình, Lagrangian của mô hình
và các boson chuẩn của mô hình. Đồng thời, còn chỉ ra cách xác định khối
lượng, điện tích cũng như mối liên hệ với các trường chuẩn của các boson
chuẩn


11

Chương 2
KHỐI LƯỢNG CÁC HIGGS TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU
2.1. Thế Higgs của mô hình
Thế vô hướng trong mô hình M3-3-1 có dạng [3,6]
𝑉𝐸 (𝜂, 𝜌, 𝜒, 𝑆) = 𝑉𝑠 (𝜂, 𝜌, 𝜒, 𝑆) + 𝜆15 𝜂 † 𝑆 † 𝑆𝜂 + 4𝜆16 𝜌† 𝑆 † 𝑆𝜌 +
4𝜆17 𝜒 † 𝑆 † + 2√2𝜆18 𝜌† 𝑆 † 𝜌𝜂 + 2√2𝜆19 𝜒 † 𝑆 † 𝜒𝜂 + 𝜆20 𝑆 † 𝑆 † 𝜂𝜂 + ℎ. 𝑐.

(28)

Trong đó:
𝜌† 𝑆 † 𝜌𝜂 = 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜌𝑙† 𝑆𝑙𝑖† 𝜌 𝑗 𝜂𝑘
𝜒 † 𝑆 † 𝜒𝜂 = 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜒𝑙† 𝑆𝑙𝑖† 𝜒 𝑗 𝜂𝑘
𝑆 † 𝑆 † 𝜂𝜂 = 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜀𝑙𝑚𝑛 𝜂𝑘 𝜂𝑛 𝑆 𝑖𝑙† 𝑆𝑗𝑚†
𝑉𝑇 (𝜂, 𝜌, 𝜒) = 𝜇12 𝜂† 𝜂 + 𝜇22 𝜌† 𝜌 + 𝜇32 𝜒 † 𝜒 + 𝜆1 (𝜂† 𝜂)2 +𝜆2 (𝜌† 𝜌)2 +
𝜆3 (𝜒 † 𝜒)2 + 𝜆4 (𝜂† 𝜂)(𝜌† 𝜌) + 𝜆5 (𝜒 † 𝜒)(𝜂† 𝜂) +
𝜆6 (𝜌† 𝜌)(𝜒 † 𝜒) + 𝜆7 (𝜌† 𝜂)(𝜂† 𝜌) + 𝜆8 (𝜒 † 𝜂)(𝜂† 𝜒) +
𝜆9 (𝜌† 𝜒)(𝜒 † 𝜌) +√2ƒ1 (𝜀 𝑖𝑗𝑘 𝜂𝑖 𝜌𝑗 𝜒𝑘 + ℎ. 𝑐. )

(29)

𝑉𝑠 (𝜂, 𝜌, 𝜒, 𝑆) =

𝑉𝑇 (𝜂, 𝜌, 𝜒) + 𝜇42 𝑇𝑟(𝑆 † 𝑆) + 𝜆10 𝑇𝑟 2 (𝑆 † 𝑆) +
2

𝜆11 𝑇𝑟 [(𝑆 † 𝑆) ] + [𝜆12 𝜂 † 𝜂 + 𝜆13 𝜌† 𝜌 + 𝜆14 𝜒 † 𝜒]𝑇𝑟(𝑆 † 𝑆) +
2ƒ2 (𝜌𝑇 𝑆𝜒 + ℎ. 𝑐. )

(30)

Thế này là dạng đơn giản nhất vì số các tham số tự do được giảm
xuống, từ 13 chỉ còn 6.
Để xác định điều kiện cực tiểu thế, các trường Higgs trung hòa được
khai triển theo các thành phần thực và phức cùng với các VEVs [4]
𝜈
𝑢
𝜂0 =
+ 𝜉𝜂 + 𝑖𝜉𝜂
𝜌0 =
+ 𝜉𝜌 + 𝑖𝜉𝜌
√2
√2
0

𝜒 =

𝜔
√2

+ 𝜉𝜒 + 𝑖𝜉𝜒

𝜎20

√2

=

𝑣𝜎
+ 𝜉𝜎 + 𝑖𝜉𝜎
2


12

𝜎10 = 𝜉𝜎′ + 𝑖𝜉𝜎′

(31)

Các VEVs là các giá trị thực, các trường 𝜉 là vô hướng, còn các trường
𝜁 là giả vô hướng.
Quá trình phá vỡ đối xứng thứ nhất 𝑆𝑈(3)𝐿 × 𝑈(1)𝑋 → 𝑆𝑈(2)𝐿 ×
𝑈(1)𝑌 do tác động của 〈𝜒〉 và sinh khối lượng cho các exotic quark và các
boson nặng. Quá trình phá vỡ đối xứng thứ hai 𝑆𝑈(2)𝐿 × 𝑈(1)𝑌 → 𝑈(1)𝑄 do
tác động của 〈𝜂〉, 〈𝜌〉, 〈𝑆〉 và sinh khối lượng cho các thế hệ quark và lepton
còn lại. Đặc biệt, điều kiện để mô hình 3-3-1 phù hợp với vật lý ở phần năng
lượng thấp thì
𝜔 ≫ 𝑣, 𝑢, 𝑣𝜎

(32)

Điều kiện cực tiểu thế Higgs đòi hỏi đạo hàm bậc nhất của thế Higgs theo các
trường phải triệt tiêu. Tức là:
𝜕𝑉𝐸

𝜕𝜂
𝜕𝑉𝐸
𝜕𝜌
𝜕𝑉𝐸
𝜕𝜒
𝜕𝑉𝐸

=0
=0
(33)
=0

{ 𝜕𝑆 = 0
Tương ứng, mối liên hệ của 𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 , 𝜇4 với các VEVs được đưa ra
𝜆4 2 𝜆5 2
𝜆12
𝜆18 𝑢2 𝑣𝜎 𝜆19 𝜔2 𝑣𝜎
2
= −𝜆1 𝑣 − 𝑢 − 𝜔 − (
− 𝜆20 ) 𝑣𝜎 +
−
2
2
2
𝑣
𝑣
𝑓1 𝑢𝜔
−
,
𝑣

𝜆4
𝜆6
𝜆13
𝑓1 𝑢𝜔
𝜇22 = −𝜆2 𝑢2 − 𝑣 2 − 𝜔2 − (
+ 𝜆16 ) 𝑣𝜎2 + 2𝜆18 𝑣𝑣𝜎 −
2
2
2
𝑢
𝑓2 𝑣𝜎 𝜔
−
,
𝑢

𝜇12

2


13

𝜇32 = −𝜆3 𝜔2 −
𝜆11

𝜇42 = − (

2

+2

𝜆5 2 𝜆6 2
𝜆14
𝑓1 𝑣𝑢 𝑓2 𝑣𝜎 𝑢
𝑣 − 𝑢 −(
+ 𝜆17 ) 𝑣𝜎2 − 2𝜆19 𝑣𝑣𝜎 −
−
,
2
2
2
𝜔
𝜔
𝜆12

+ 𝜆10 ) 𝑣𝜎2 − (

𝜆18 𝑢2 𝑣
𝑣𝜎

−2

2

𝜆19 𝜔2 𝑣
𝑣𝜎

−

𝜆13

− 𝜆20 ) 𝑣 2 -(

2

𝜆14

+ 𝜆16 ) 𝑢2 − (

𝑓2 𝜔𝑢

2

+ 𝜆17 ) 𝜔2
(34)

𝑣𝜎

Thế này cho chúng ta hai Goldstones boson mang điện là 𝜌± và 𝜒 ± mà
chúng bị ăn bởi các boson chuẩn 𝑊 ± và 𝑉 ± .
Trong thành phần vô hướng mang điện, ma trận khối lượng của (χ++,
ρ++) có dạng:
1

(1

𝜆4

1

𝑣𝜒2

𝜆 𝑣 𝑣
2 4 𝜒 𝜌
)
1
2
𝜆 𝑣
2 4 𝜌

𝜆 𝑣 𝑣
2 4 𝜒 𝜌

(35)

Ma trận này cho giá trị bình phương khối lượng như sau:
2
𝑚ℎ2̃
−− = 0 𝑎𝑛𝑑 𝑚ℎ
−− =
̃

𝜆4
2

(𝑣𝜒2 + 𝑣𝜌2 ),

(36)

Trong đó các trạng thái riêng tương ứng là:

++
𝑐𝛼
̃
(ℎ++ ) = (𝑠
𝛼
ℎ̃

−𝑠𝛼 𝜒 ++
𝑐𝛼 ) (𝜌++ )

(37)

Với
𝑐𝛼 =

𝑣𝜒
2 +𝑣 2
√𝑣𝜒
𝜌

, 𝑠𝛼 =

𝑣𝜌
2 +𝑣 2
√𝑣𝜒
𝜌

(38)

Thành phần vô hướng trung hòa, (Rχ, Rρ) với ma trận khối lượng có

dạng
(1
2

𝜆2 𝑣𝜒2
𝜆3 𝑣𝜒 𝑣𝜌

1

𝜆 𝑣 𝑣
2 3 𝜒 𝜌
)
𝜆1 𝑣𝜌2

(39)

Ma trận này cho chúng ta hai trị riêng
1

𝑚ℎ21 = 𝑣𝜒2 (𝜆1 𝑡 2 + 𝜆2 − ∆),
2
1

𝑚ℎ22 = 𝑣𝜒2 (𝜆1 𝑡 2 + 𝜆2 + ∆),
2

(40)


14

Trong đó t ≡

𝑣𝜌
𝑣𝜒

và
∆= (𝜆1 𝑡 2 − 𝜆2 )2 − 𝜆23 𝑡 2 ,

(41)

Và hai trạng thái riêng là:
(

𝑐𝛽
ℎ1
) = (𝑠
𝛽
ℎ2

−𝑠𝛽 𝑅𝜌
𝑐𝛽 ) (𝑅𝜒 )

(42)

Với
𝑐𝛽 =

1
√2

(1 +

𝜆1 𝑡 2 −𝜆2 1
√∆

)2 ,

𝑠𝛽 =

1
√2

(1 −

𝜆1 𝑡 2 −𝜆2 1
√∆

)2

(43)

Thành phần giả vô hướng trung hòa, có hai Goldstones boson Iρ và Iχ
bị ăn bởi các boson trung hòa Z và Z’.
Trong giới hạn hiệu dụng: 𝑣𝜒 ≫ 𝑣𝜌 chúng ta có
𝑐∝ ≈ 1,
𝑐𝛽 ≈

1
√2

𝜆2

𝑠∝ ≈ 0, √∆≈ 𝜆2 − 𝜆1 𝑡 2 + 3 𝑡 2 ,
2𝜆
2

(1 +

𝜆3 𝑡 2
𝜆1 𝑡 2 −𝜆2

1

)2 , 𝑠𝛽 ≈

1
√2

(1 −

𝜆3 𝑡 2
𝜆1 𝑡 2 −𝜆2

1

)2

(44)

Điều này cho ra các hệ quả sau:
1. Các Goldstones boson ℎ̃-- ≈ 𝜒-- và một lưỡng tuyến Higgs vật lí
mang điện tích đôi là ℎ++ ≈ 𝜌++ .
2. Khối lượng của các Higgs trung hòa.
𝑚ℎ21

= (𝜆1 −

𝜆23

)𝑣 2 ,
4𝜆2 𝜌

𝑚ℎ22

=

𝜆2 𝑣𝜒2

+

𝜆23

𝑣2
4𝜆2 𝜌

(45)

3. Để có khối lượng dương: λ1 > 0, λ2 > 0, 4λ1λ2 > 𝜆23 .
Thành phần Higgs của mô hình này bao gồm: Higgs ℎ++ mang điện

tích đôi và hai Higgs trung hòa ℎ1 và ℎ2 . ℎ1 là một thành phần của 𝑆𝑈(2)𝐿
trong thành phần tuyến tính như trong Eq nên nó được xem như Higgs tựa mô
hình chuẩn (Standard model like-Higgs). Trong đó, ℎ−− mang số lepton bằng 2.
2.2. Khối lượng các Higgs trung hòa của mô hình
Phổ khối lượng các trường Higgs trung hòa bao gồm cả phần vô hướng
và phần giả vô hướng. Trước hết, chúng ta tính cho phần vô hướng.


15

Trường vô hướng 𝜎10 không có VEV nên 𝜉𝜎′ và 𝜁𝜎′ không trộn với các
trường khác nên ta có trạng thái vật lý của trường Higgs 𝐻𝜎′ ≈ 𝜉𝜎′ [3].
2
𝑚𝐻
′ =
𝜎

𝑓2 𝑢𝜔

+

𝑣

𝜆11
2

𝜆15

𝑣𝜎2 − (

2

+ 𝜆20 ) 𝑣 2 + 𝜆16 𝑢2 +𝜆17 𝜔2 −

𝜆18 𝑢2 𝑣
𝑣

+

𝜆19 𝜔2 𝑣
𝑣

(46)

Sử dụng điều kiện |𝑓1 |, |𝑓1 |~𝜔 kết hợp với điều kiện (32), ta có ma trận
trộn khối lượng giữa các trường 𝜉𝜂 , 𝜉𝜌 , 𝜉𝜒 là
−
2
𝑀3𝜉
≅𝜔

(

𝑓1 𝑢 𝜆19 𝜔𝑣𝜎
−
𝑣
𝑣

𝑓1

𝜆19 𝜔

𝑓1

1
− (𝑓1 𝑣 + 𝑓2 𝑣𝜎 )
𝑢

𝑓2

𝜆19 𝜔

𝑓2

−

(47)

𝑓2 𝑢 𝜆19 𝜔𝑣
−
𝑣𝜎
𝑣𝜎 )

Từ đây, ta xác định được khối lượng của ba Higgs, trong đó có một Higgs
khối lượng rất nhỏ (𝐻1 ) và hai Higgs khối lượng lớn hơn (𝐻2 , 𝐻3 ).
2
𝑚𝐻
1

𝑥2,3 = −

𝑢2 𝑣
= −2𝜆18
𝑣𝜎

(48)

𝜔 𝑓1 2
𝑓2
𝜆19 𝜔 2
(𝑣𝜎2 + 𝑢2 ) +
(𝑣 + 𝑣𝜎2 )]
[ (𝑢 + 𝑣 2 ) +
2 𝑢𝑣
𝑢𝑣𝜎
𝑣𝑣𝜎
𝜔
𝑓1
𝑓2
𝜆19 𝜔 2
(𝑣𝜎2 + 𝑢2 ) +
(𝑣 + 𝑣𝜎2 )]]
± {[[ (𝑣 2 + 𝑢2 ) +
2
𝑣𝑢
𝑢𝑣𝜎
𝑣𝑣𝜎

2

1
2

𝑓1 𝑓2 𝜆19 𝜔 𝑓1 𝑓2
2
− 4𝑣𝜔2 [
+
( + )]} ≡ 𝑚𝐻
2,3
𝑣𝑣𝜎
𝑢 𝑣𝜎 𝑣

(49)

Tương tự, với các trường giả vô hướng, chú ý ở đây có trường vật lý 𝜁𝜎
và 𝜁𝜎′ có khối lượng bằng khối lượng trường 𝐻𝜎′ , nên ma trận trộn khối lượng
𝜁𝜂 , 𝜁𝜌 , 𝜁𝜒 là


16

𝑓1 𝑢 𝜆19 𝜔𝑣𝜎
−
𝑣
𝑣

−

−𝑓1

𝜆19 𝜔

−𝑓1

1
− (𝑓1 𝑣 + 𝑓2 𝑣𝜎 )
𝑢

−𝑓2

𝜆19 𝜔

−𝑓2

2
𝑀3𝜉
=𝜔

(

−

(50)

𝑓2 𝑢 𝜆19 𝜔𝑣
−
𝑣𝜎
𝑣𝜎 )

Chéo hóa ma trận này, ta thu được khối lượng của các giả vô hướng

𝑚𝐴22 = 𝑥2,

𝑚𝐴23 = 𝑥3,

(51)

𝑚2 ′ = 𝑚2 ′
𝐴𝜎

𝐻𝜎

2.3. Khối lượng các Higgs mang điện của mô hình
Với các Higgs mang điện đơn, ma trận trộn khối lượng 𝜂1+ , 𝜌+ , 𝑠1+ là
−

𝑓1 𝑢

−𝜆19 𝜔

−𝑓1

− (𝑓1 𝑣 + 𝑓2 𝑣𝜎 )

𝑓2

−𝜆19 𝜔

𝑓2

2

𝑀+1
=𝜔

(

𝜆19 𝜔𝑣𝜎

−𝑓1

𝑣

−

𝑣
1

𝑢

−

𝑓2 𝑢
𝑣𝜎

−

(52)
𝜆19 𝜔𝑣
𝑣𝜎

)

Và ma trận trộn khối lượng 𝜂2+ , 𝜒 + , 𝑠2+ là
2
𝑀+2

−𝑚𝜒2 +𝜒−

1
( 𝜆15 + 𝜆20 ) 𝑣𝑣𝜎 + 𝜆18 𝑢2
4
𝑓2 𝑢 + 𝜆17 𝜔𝑣𝜎 + 𝜆19 𝜔𝑣

0

−𝑚𝑠2+ 𝑠2−

−𝑚𝜂22 − 𝑓1 𝑢 +
=
(

𝜆8 𝜔𝑣
2

(53)
)

2

Với
𝑚𝜂22

𝑓1 𝑢𝜔
1
𝜆18 𝑢2 𝑣𝜎 𝜆19 𝜔2 𝑣𝜎
2
2
=
− 𝜆8 𝜔 − ( 𝜆15 + 𝜆20 ) 𝑣𝜎 −
+
,
𝑣
4
𝑣
𝑣

𝑚𝜒2 +𝜒−

𝑢
𝜆8 𝑣 2
= (𝑓1 𝑣 + 𝑓2 𝑣𝜎 ) −
+ 𝜆17 𝑣𝜎2 + 2𝜆19 𝑣𝑣𝜎 ,
𝜔
2

𝑚𝑠2+𝑠2− =
2

𝑓2 𝑢𝜔
𝑣𝜎

+

𝜆11 𝑣𝜎2
4

−(

𝜆15
4

+𝜆20 )𝑣 2 + 𝜆17 𝜔2 −

𝜆18 𝑢2 𝑣
𝑣𝜎

+

𝜆19 𝜔2 𝑣
𝑣𝜎

(54)

Chéo hóa các ma trận này ta thu được hai trường Goldton boson là
𝐺3 = ℎ1+ ,

𝐺4+ ≈ 𝜒 +

(55)

17

và bốn Higgs mang điện đơn có khối lượng
𝑚ℎ2 +
2

=

2
𝑚𝐻
,
2
𝑓2 𝑢𝜔

𝑚𝑠2+ 𝑠2− ≈

𝑣𝜎

2

𝑚ℎ2 +
3

=

2
𝑚𝐻
,
3

+ 𝜆17 𝜔2 +

𝑚𝜂22

𝜆19 𝜔2 𝑣
𝑣𝜎

𝑓1 𝑢𝜔 𝜆8 𝜔2 𝜆19 𝜔2 𝑣𝜎
≈
−
+
,
𝑣
2
2𝑣

,

(56)

Tương tự với các Higgs mang điện đôi, ta thu được một Goldstone boson
𝐺3++ ~ 𝜒 ++ và một trường vật lý 𝑠1++ với khối lượng
𝑚𝑠2++𝑠1−− =
1

𝑓2 𝑢𝜔
𝑣𝜎

+ 𝜆17 𝜔2 +

𝜆19 𝜔2 𝑣

(57)

𝑣𝜎

Ngoài ra, còn hai Higgs mang điện đôi với ma trận trộn khối lượng
2
𝑀2++

=𝜔

1
𝜆9 𝜔
− (𝑓1 𝑣 + 𝑓2 𝑣𝜎 ) +
𝑢
2
√2𝑓2

(

√2𝑓2
(58)

𝑓2 𝑢
𝜆19 𝜔𝑣
−
+ 𝜆17 𝜔 −
𝑣𝜎
𝑣𝜎 )

Chéo hóa ma trận này, thu được thêm khối lượng của hai Higgs mang
điện đôi

𝑥4,5 =

𝜔 𝜆9 𝜔
𝜆19 𝜔𝑣
𝑢 𝑣𝜎
𝑓1 𝑣
+ 𝜆17 𝜔 −
− 𝑓2 ( + ) −
[
]
2 2
𝑣𝜎
𝑣𝜎 𝑢
𝑢
𝜔 𝜆9 𝜔
𝜆19 𝜔𝑣
𝑢 𝑣𝜎
𝑓1 𝑣 2
± {[
+ 𝜆17 𝜔 −
− 𝑓2 ( + ) −
]
2
2
𝑣𝜎
𝑣𝜎 𝑢

𝑢
+

2√2
𝜆9 𝑢𝜔
𝜆17 𝜔𝑣𝜎
+ 𝜆19 𝜔𝑣)
[(𝑓1 𝑣 + 𝑓2 𝑣𝜎 ) −
] (𝑓2 𝑢 −
𝑢𝑣𝜎
2
√2
1
2

− 𝑓22 } ≡ 𝑚𝑑21,𝑑2

(59)

Trong chương này chúng ta đã trình bày về khối lượng các Higgs trong
mô hình 3-3-1 tối thiểu, qua đó chỉ ra được những vấn đề cụ thể như: thế
Higgs của mô hình, khối lượng các Higgs trung hòa và khối lượng các Higgs
mang điện của mô hình. Đây là các Higgs vật lý, tức là chúng ta có thể đo


18

được khối lượng của nó từ các dữ liệu thực nghiệm và các kết quả mà chúng
ta thu được ở đây là các kết quả ở phép tính gần đúng.

19

Chương 3
TƯƠNG TÁC CỦA CÁC HIGGS TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU
3.1. Tương tác của các Higgs với các boson chuẩn
Trong mô hình 3-3-1 tối thiểu, Lagrangian tổng quát của mô hình được đưa ra
1
1
𝜇𝜈
𝜇𝜈
ℒ𝑡𝑜𝑡 = ∑ 𝐹̅ 𝑖ɣ𝜇 𝐷𝜇 𝐹 + ∑(𝐷𝜇 𝑆)+ (𝐷𝜇 𝑆) − 𝐺𝑖𝜇𝜈 𝐺𝑖 − 𝐴𝑖𝜇𝜈 𝐴𝑖 −
4

1

𝐵 𝐵
4 𝜇𝜈

𝜇𝜈

4

+ 𝐿𝑌 − 𝑉

(60)

với:
𝐷𝜇 = 𝜕𝜇 − 𝑖𝑔𝑠 𝑡𝑖 𝐺𝑖𝜇 − 𝑖𝑔𝑇𝑖 𝐴𝑖𝜇 − 𝑖𝑔𝑋

𝑋
√6

𝐵𝜇

𝐺𝑖𝜇𝜈 = 𝜕𝜇 𝐺𝑖𝜈 − 𝜕𝜈 𝐺𝑖𝜇 − 𝑔𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑘 𝐺𝑗𝜇 𝐺𝑘𝜈
𝐴𝑖𝜇𝜈 = 𝜕𝜇 𝐴𝑖𝜈 − 𝜕𝜈 𝐴𝑖𝜇 − 𝑔𝑓𝑖𝑗𝑘 𝐴𝑗𝜇 𝐴𝑘𝜈
𝐵𝜇𝜈 = 𝜕𝜇 𝐵𝜈 − 𝜕𝜈 𝐵𝜇
Trong đó, ℒ𝑌 là tương tác Yukawa của mô hình và V là thế Higgs tổng
cộng bao gồm cả các số hạng chứa lục tuyến của mô hình.
Số hạng đầu tiên trong ℒ𝑡𝑜𝑡 chứa tất cả các tương tác của các đa tuyến
Fermion với các boson chuẩn, còn số hạng thứ hai chứa tương tác của các vô
hướng với các boson chuẩn.
Do vậy, để xác định tương tác của các Higgs với các boson chuẩn, ta
bắt đầu với số hạng thứ hai của ℒ𝑡𝑜𝑡 .
Với các Higgs trung hòa ta có:
∑ (𝐷𝜇 < 𝜑 >)+ (𝐷𝜇 < 𝜑 >) = ∑ < 𝜑 >+ 𝐷𝜇+ 𝐷𝜇 < 𝜑 >
𝜂,𝜌,𝜒,𝑠

𝜂,𝜌,𝜒,𝑠
𝜇

= ∑ < 𝜑 >+ (𝑔𝑇𝑖 𝐺𝑖 + 𝑔𝑋
𝜂,𝜌,𝜒,𝑠

𝑋𝜑
√6

𝐵𝜇 ) (𝑔𝑇𝑖 𝐺𝑖𝜇 + 𝑔𝑋

𝑋𝜑
√6

𝐵𝜇 ) < 𝜑 >


20

= ∑ < 𝜑 >+ ×
𝜂,𝜌,𝜒,𝑠

𝑋𝜑 𝜇
1 3
1 8
(𝐺𝜇 +
𝐺𝜇 ) + 𝑔𝑋
𝐵
2
√3
√6

√2𝑊𝜇+

√2𝑌𝜇−−

√2𝑊𝜇−

𝑋𝜑 𝜇
1
1 8

(−𝐺𝜇3 +
𝐺𝜇 ) + 𝑔𝑋
𝐵
2
√3
√6

√2𝑌𝜇−

√2𝑌𝜇++

√2𝑌𝜇+

(
1
(𝐺𝜇3
2

+

1
𝐺 8) +
√3 𝜇
√2𝑊𝜇−

𝑔𝑋

𝑋𝜑
√6

𝐵𝜇

1
√3

√2𝑊𝜇+
1
(−𝐺𝜇3
2

+

√2𝑌𝜇++

(

−

1
𝐺 8) +
√3 𝜇

𝐺𝜇8 + 𝑔𝑋

×
𝑋𝜑
√6

𝐵𝜇

)

√2𝑌𝜇−−
𝑔𝑋

𝑋𝜑
√6

√2𝑌𝜇+

𝐵𝜇

√2𝑌𝜇−
−

1
𝐺8
√3 𝜇

+ 𝑔𝑋

<𝜑>
𝑋𝜑
√6

(61)

𝐵𝜇 )

với:

𝑔 là hằng số tương tác của nhóm 𝑆𝑈(3)𝐿
𝑔𝑋 là hằng số tương tác của nhóm 𝑈(1)𝑋 và 𝑋 là tích 𝑈(1)𝑋 của đa tuyến
tương ứng.
̅̅̅̅) và 𝐵𝜇 là các trường chuẩn.
còn 𝐺𝑖𝜇 (𝑖 = 1,8
Sử dụng (61) kết hợp với phần mềm Mathmetical ta có các đỉnh tương tác
như bảng sau:
Các đỉnh

Hệ số tương ứng

𝜁𝜂 𝜁𝜂 𝑊 + 𝑊 − , 𝜁𝜌 𝜁𝜌 𝑊 + 𝑊 − , 𝜉𝜂 𝜉𝜂 𝑊 + 𝑊 − , 𝜉𝜌 𝜉𝜌 𝑊 + 𝑊 −
𝜁𝜎 𝜁𝜎 𝑊 + 𝑊 − , 𝜉𝜎 𝜉𝜎 𝑊 + 𝑊 − , 𝜁𝜎 𝜁𝜎 𝑌 + 𝑌 − , 𝜉𝜎 𝜉𝜎 𝑌 + 𝑌 −
𝜁𝜒 𝜁𝜒 𝑌 + 𝑌 − , 𝜁𝜂 𝜁𝜂 𝑌 + 𝑌 − , 𝜉𝜒 𝜉𝜒 𝑌 + 𝑌 − , 𝜉𝜂 𝜉𝜂 𝑌 + 𝑌 −
𝜁𝜒 𝜁𝜒 𝑌 ++ 𝑌 −− , 𝜁𝜌 𝜁𝜌 𝑌 ++ 𝑌 −− , 𝜉𝜒 𝜉𝜒 𝑌 ++ 𝑌 −− , 𝜉𝜌 𝜉𝜌 𝑌 ++ 𝑌 −−

𝑔2
2

𝜁𝜎 𝜁𝜎 𝑌 ++ 𝑌 −− , 𝜉𝜎 𝜉𝜎 𝑌 ++ 𝑌 −−
𝜉𝜂 𝑊 + 𝑊 − , 𝜉𝜂 𝑌 + 𝑌 −

𝑢𝑔2
√2

𝜉𝜌 𝑊 + 𝑊 − , 𝜉𝜌 𝑌 ++ 𝑌 −−

𝑣𝑔2
√2

21

𝜉𝜎 𝑊 + 𝑊 − , 𝜉𝜎 𝑌 + 𝑌 − , 𝜉𝜎 𝑌 ++ 𝑌 −−

𝑘𝑔2
√2

𝜉𝜒 𝑌 ++ 𝑌 −− , 𝜉𝜒 𝑌 + 𝑌 −

𝜔𝑔2
√2

Bảng 1: Các đỉnh tương tác của các Higgs trung hòa với các boson mang điện.
Tương tự như phần trên, từ công thức (61), khi quan tâm đến các boson trung
hòa ta có các đỉnh tương tác là:
Các đỉnh

Hệ số tương ứng
𝑡𝑊
)
√3
2
2√3 − 𝑡𝑊

𝜁𝜂 𝜁𝜂 𝐺 3 𝐺 8 , 𝜁𝜌 𝜁𝜌 𝐺 3 𝐺 8 , 𝜉𝜂 𝜉𝜂 𝐺 3 𝐺 8 , 𝜉𝜌 𝜉𝜌 𝐺 3 𝐺 8

𝑔2 (1 −

𝜉𝜂 𝐺 3 𝐺 8

𝑢𝑔2 (1 −

𝜉𝜌 𝐺 3 𝐺 8

𝑣𝑔2 (1 −

𝑡𝑊
)
√3
2
√6 − 2𝑡𝑊
𝑡𝑊
)
√3
2
√6 − 2𝑡𝑊

𝜉𝜎 𝐺 3 𝐺 8

𝑡𝑊
)
3
√
−
2
√6 − 2𝑡𝑊

𝜁𝜎 𝜁𝜎 𝐺 3 𝐺 8 , 𝜉𝜎 𝜉𝜎 𝐺 3 𝐺 8

𝑡𝑊
)
3
√
−
2
2√3 − 𝑡𝑊

𝜁𝜌 𝜁𝜌 𝐺 3 𝐺 8 , 𝜉𝜌 𝜉𝜌 𝐺 3 𝐺 8

𝑡𝑊
)
3
√
−
2
√6 − 2𝑡𝑊

𝑘𝑔2 (1 −

𝑔2 (1 −

𝑔𝑔1 (1 −

𝜉𝜌 𝐺 3 𝐺 8

𝑔𝑔1 𝑣(1 −
−

𝑡𝑊

)
√3

2
√3 − 𝑡𝑊