Phá vỡ đối xứng trong lý thuyết su(3) biến dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
-----------------------

NGUYỄN THANH TÙNG

PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TRONG
LÝ THUYẾT SU(3) BIẾN DẠNG
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số

: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS-TS
Nguyễn Thị Hà Loan về sự quan tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn của cô
trong suốt quá trình học tập, hướng dẫn. Chính sự quan tâm chỉ bảo tận tình
của cô đã tạo cho tôi động lực, niềm tin và cố gắng để thực hiện luận văn này.
Tôi xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học và Ban
chủ nhiệm, các thầy cô giáo trong Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 đã quan tâm, tạo điều kiện và tận tình giảng dạy, chỉ bảo tôi trong suốt
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp
đã luôn sát cánh, động viên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu
hoàn thiện luận văn này.

Tác giả

Nguyễn Thanh Tùng


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các kết quả thu được trong đề tài: “Phá vỡ đối xứng
trong lý thuyết SU(3) biến dạng” là kết quả nghiên cứu và thu thập của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn của PGS-TS Nguyễn Thị Hà Loan. Luận văn này
không trùng lặp với các luận văn khác.
Tác giả

Nguyễn Thanh Tùng


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................... 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 3
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu......................................................................... 3
6. Dự kiến đóng góp mới ............................................................................ 3
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3) ............................ 4
1.1. Nhóm đối xứng SU(3) .......................................................................... 4
1.1.1. Nhóm đối xứng SU(3)................................................................. 4
1.1.2. Nhóm biến đổi SU(3) ................................................................. 6
1.1.3. Đa tuyến của nhóm đối xứng SU(3) ........................................... 6

1.2. Phá vỡ đối xứng SU(3)....................................................................... 13
CHƯƠNG 2. PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3)q ........................ 18
2.1. Dao động tử Boson biến dạng q ......................................................... 18
2.2. Biểu diễn dao động của nhóm đối xứng SU(3).................................. 20
2.3. Nhóm đối xứng SU(3)q ..................................................................... 24
2.4. Phá vỡ đối xứng SU(3)q .................................................................... 26
CHƯƠNG 3. PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3)pq ....................... 29
3.1. Dao động tử biến dạng p, q ................................................................ 29
3.2. Nhóm đối xứng SU(3)pq .................................................................... 31
3.3. Phá vỡ đối xứng SU(3)pq ................................................................... 34
KẾT LUẬN ................................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 42


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đối xứng đóng vai trò cơ bản trong vật lý lý thuyết. Ngôn
ngữ toán học của đối xứng là lý thuyết nhóm. Sau sự phát triển của mẫu quark
và lý thuyết Gauge không abelian của tương tác mạnh và tương tác điện yếu,
sự hiểu biết những nhóm Lie đã trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lý
thuyết hạt cơ bản. Nhóm Lie ngày càng trở thành công cụ chủ yếu của vật lý
lý thuyết hiện đại như giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lý thuyết
nhóm vô hạn ...
Trong những năm gần đây đối xứng lượng tử mà cấu trúc toán học của
nó dựa trên nhóm lượng tử là sự mở rộng của nhóm Lie đã xâm nhập vào
nhiều lĩnh vực của vật lý. Ý tưởng về nhóm đối xứng lượng tử là một ý tưởng
mới mẻ, có tính đột phá. Nội dung của ý tưởng này là đưa lý thuyết thoát khỏi
phạm vi các nhóm cổ điển, điều này dẫn đến nhiều thống kê mới với các hạt

được đoán nhận: thống kê phân số (hạt anyon), thống kê q - biến dạng (hạt
quon), thống kê g - biến dạng (hạt guon), thống kê para... Nhóm đối xứng
lượng tử có khả năng đưa đến một phát triển mới trong lý thuyết trường lượng
tử, lý thuyết các hạt cơ bản, vũ trụ học và đặt ra những vấn đề toán học như lý
thuyết biểu diễn của những nhóm lượng tử. Nghiên cứu nhóm đối xứng lượng
tử là một công việc cần thiết, hiện đại và có thể dẫn đến nhiều kết quả mới.
Đại số của nhóm Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đòi hỏi ứng
dụng của nó trong nghiên cứu vật lý mà V.I. Drinfeld đã lượng tử hóa đại số
của nhóm Lie làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số
lượng tử. Gần đây nhóm lượng tử và đại số của chúng đã thu hút được sự
quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm
ứng dụng của chúng trong các mẫu vật lý và trong mối liên quan với lời giải
các phương trình vi phân phi tuyến. Chúng liên quan đến những vấn đề đa


2

dạng như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-Baxter lượng tử, lý
thuyết trường Conformal hữu tỷ, lý thuyết trường hai chiều với những thống
kê phân số. Đại số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng phụ thuộc vào
một hoặc nhiều thông số của đại số Lie thông thường.
Đại số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng của đại số Lie cổ
điển. Trong trường hợp tổng quát sự biến dạng này có thể phụ thuộc vào một
hoặc nhiều thông số. Đại số lượng tử SU(3) mô tả đối xứng spin đồng vị của
các hạt cơ bản. Từ đại số SU(3) có nhu cầu mở rộng thành SU(3) biến dạng
phụ thuộc một thông số hoặc nhiều thông số. Sự biến dạng phụ thuộc vào một
thông số q đưa đến đại số biến dạng SU(3) q. Đại số lượng tử SU(3)pq được
khảo sát như sự biến dạng phụ thuộc hai thông số (pq) của đại số Lie thông
thường của nhóm Unita SU(3), để đạt được điều này cần xây dựng dao dộng
điều hòa biến dạng hai thông số (pq). Đại số lượng tử SU(3)q là một trường

hợp đặc biệt của đại số SU(3)pq trong trường hợp giới hạn p = q. Khi thông số
biến dạng tiến đến một giá trị giới hạn nào đó thì đại số biến dạng sẽ trở về
đại số chưa biến dạng, và như thế đại số biến dạng sẽ tổng quát hơn đại số
chưa biến dạng. Từ đó hy vọng đại số biến dạng sẽ mô tả hiện tượng vật lý
gần với thực nghiệm hơn.
Vào khoảng 1960 số hạt cơ bản phát hiện được đã tăng rất nhiều so với
30 năm trước đó, khi Heisenberg đề xuất ý tưởng về spin đồng vị. Mặt khác
những kết quả thu được từ lý thuyết đối xứng đồng vị SU(2) đã mở ra ý tưởng
mở rộng nhóm đối xứng rộng hơn có chứa SU(2) như một nhóm con. Lúc đó
ta có thể kết hợp nhiều đa tuyến đồng vị lại với nhau thành một đa tuyến lớn
hơn thực hiện biểu diễn của nhóm đối xứng mở rộng này, đó chính là nhóm
đối xứng SU(3). Nếu đối xứng SU(3) là chính xác thì khối lượng tất cả các
hạt trong cùng một đa tuyến phải bằng nhau. Nhưng thực tế các hạt trong
cùng một đa tuyến có khối lượng hơi khác nhau, điều này có nghĩa là đối


3

xứng SU(3) không hoàn toàn chính xác và đây là nguồn gốc của sự phá vỡ đối
xứng. Việc nghiên cứu phá vỡ đối xứng của nhóm SU(3), vấn đề tách khối
lượng cho phá vỡ đối xứng bên trong SU(3) trên quan điểm của khái niệm
nhóm lượng tử SU(3)q và khái niệm nhóm lượng tử phụ thuộc hai thông số
SU(3)pq là một vấn đề mới và cần thiết.
Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “Phá vỡ đối xứng trong lý thuyết
SU(3) biến dạng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phá vỡ đối xứng của nhóm SU(3), SU(3) biến dạng một
thông số, SU(3) biến dạng hai thông số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu nhóm đối xứng SU(3), các đa tuyến, phá vỡ đối xứng

SU(3). Dao động tử Boson biến dạng q, nhóm đối xứng SU(3)q, nghiên cứu
phá vỡ đối xứng SU(3)q. Dao động tử biến dạng pq, nhóm đối xứng SU(3)pq,
nghiên cứu phá vỡ đối xứng SU(3)pq.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu phá vỡ đối xứng của nhóm đối xứng SU(3) chưa biến dạng,
SU(3) biến dạng một thông số, SU(3) biến dạng hai thông số và tính hệ thức
khối lượng của các hạt trong các đa tuyến.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý
toán. Sử dụng các phương pháp của nhóm đối xứng và đại số lượng tử.
6. Dự kiến đóng góp mới
Đưa ra một cách nghiên cứu về nhóm đối xứng SU(3) phụ thuộc một
thông số và hai thông số biến dạng, viết một tài liệu tổng quan về sự phá vỡ
đối xứng SU(3) biến dạng.


4

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3)
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày về nhóm đối xứng SU(3), phá
vỡ đối xứng SU(3) và các hệ thức khối lượng trong phá vỡ đối xứng SU(3).
1.1. Nhóm đối xứng SU(3) 1 ,  2
1.1.1. Nhóm đối xứng SU(3)
Tập hợp tất cả các ma trận 3  3 unita, có định thức bằng 1 thỏa mãn
tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(3).
Bất kì một phần tử nào của SU(3) đều có thể viết dưới dạng:

g  SU (3),

ia

g ()  e

a
2

( a  1,8)

(1.1.1)

Các ma trận a phải thỏa mãn điều kiện:

a  a
Spa  0

(1.1.2)

Các ma trận a này thường được chọn là các ma trận Gell-Mann:

0
1   1
0

0
4   0
1


1 0

0


0 0  , 2   i
0
0 0 

0 1
0


0 0  , 5   0
i
0 0 


i 0 
1


0 0  , 3   0
0
0 0 

0 i 
0


0 0  , 6   0
0

0 0 


0 0 0 
1 0 0 
1


7   0 0 i  , 8 
0 1 0

3
0 i 0 



 0 0 2 

0 0

1 0  ,
0 0 
0 0

0 1,
1 0 


5

Các ma trận a thỏa mãn hệ thức sau:

c
 a b 
,

if
abc
2 2
2



(a, b, c  1,8)

(1.1.3)

c 1
 a b 
 ,   d abc   ab
2 2
2 2

(1.1.4)

Trong đó, f abc là hằng số cấu trúc nhóm SU(3) hoàn toàn phản đối
xứng theo 3 chỉ số a, b, c; d abc là hằng số hoàn toàn đối xứng theo các chỉ số
a, b, c.
Dùng tính chất:
Sp(a b )  2 ab

Ta tính được:

i
f abc   Sp  a b  c 
4

(1.1.5)

1
Sp a , b  c 
4

(1.1.6)

d abc 
Giá trị cụ thể:

f123  1,
1
f147  f 246  f 257  f345  f516  f376  ,
2
3
f 458  f 678 
2

(1.1.7)

1
,

3
1

,
2 3

d118  d228  d338  d888 
d 448  d558  d668  d778

d146  d157  d247  d256  d344  d355  d366  d377 

(1.1.8)

1
2


6

1.1.2. Nhóm biến đổi SU(3)
Đó là nhóm các toán tử unita phụ thuộc vào 8 thông số:

 a  1,8

U a   eia M a

Trong đó M a là vi tử biến đổi tuân theo hệ thức giống (1.1.3):

 M a , M b   ifabc M c

(1.1.9)

Và:

M a  M a
1.1.3. Đa tuyến của nhóm đối xứng SU(3)
Nếu ta có n hạt mà các toán tử trường tương ứng của chúng là

 i (i  1, n) biến đổi theo quy luật sau dưới tác dụng của nhóm biến đổi SU(3)

 i  i '  U ( ) iU 1 ()   ei   ( x) 
a a

i

(1.1.10)

τ a là các ma trận vuông cấp n thỏa mãn điều kiện (1.1.2) và (1.1.3) của các
ma trận Gell-Mann:

τ a  τ a

 τa , τb   ifabc τc

 a, b, c  1,8

(1.1.11)

Sp τ a  0
Khi đó ta nói rằng n hạt này lập thành 1 đa tuyến n chiều của SU(3)

(biểu diễn n chiều).
Khi  a vô cùng bé, (1.1.10) suy ra:

 M a , i   ( a )i

(1.1.12)

Lưu ý:
a. Các vi tử M1 , M 2 , M 3 liên hệ với nhau bởi hệ thức:

 M i , M j   i ijk M k

i, j, k  1, 2,3

( fijk   ijk )


7

Các vi tử này tạo thành một đại số Lie đối với nhóm SU(2). Vì thế
M1 , M 2 , M 3 được đồng nhất với toán tử spin đồng vị.

b. M 8 giao hoán với M1 , M 2 , M 3 (thấy được từ giá trị của hằng số cấu
trúc nhóm) điều đó cho phép ta đồng nhất M 8 với siêu tích Y (trong một đa
tuyến SU(2), giá trị siêu tích không đổi nên toán tử siêu tích giao hoán với
toán tử spin đồng vị).
Từ thực nghiệm ta thu được các đa tuyến sau:

1
 Tám baryon J 

2



p

p

Σ

Ξ

Ξ0
12

1
1 2

12

Σ

Σ0

12

I
I3

n

1

0

1

0
1 2

12

λ

0

Y

1

0

-1

0

S

0

-1

-2

-1

3
 Mười hạt cộng hưởng J 
2



p

N  , N  , N 0 , N 
32

I
I3

Σ  ,

32 12

Σ0 ,

Σ 

12

1

1 2 3 2

1

0

Ξ*

Ξ*0 ,

-1

0
1 2

12

Ω

0

Y

1

0

-1

-2

S

0

-1

-2

-3

Đối với baryon:

Y=B+S

Hay:

Y=1+S

Vì baryon của các hadron bằng 1.

(1.1.13)


8

 Tám meson J p  0
K

π

12

I
I3

K0

π

K

0

0

K
12

1
1 2 1

12

π0

-1

0
1 2

12

η

0

Y

1

0

-1

0

S

1

0

-1

0

 Tám meson J p  1

K 

ρ

12

I
I3

K 0

ρ

K

0

0

K 
12

1
1 2 1

12

ρ0

-1

0
1 2

12

Φ(ω)

0

Y

1

0

-1

0

S

1

0

-1

0

Đối với meson do B = 0
Nên:

Y=S

(1.1.14)

Các tuyến trên chính là các biểu diễn khác nhau của nhóm SU(3). Thật
vậy, từ (1.1.10) nếu:
a.  a 

a
2

 3 3 đây là biểu diễn cơ sở cho các hạt quark.

b.  a  Fa 8  8

a  1,8, ( Fa )bc  if abc


1
, 0 ,1
Đây là biểu diễn chính quy ứng với các tuyến tám:
2


1


0

0


: p, n,  ,  ,  , ,  , 
2


9

Ta sẽ chứng minh rằng các hàm sóng tương ứng:

1
 4  i 5  ,
2
1
n 
 6  i 7  ,
2
1
  
 1  i 2  ,
2
1
  
 1  i 2  ,
2
 0   3 ,

p 

1
 6  i 7  ,
2
1
  
 4  i 5  ,
2
   8

 
0

Thật vậy:

 I3 , 1   ( F3 )1c c  if31c c  i 2
 I3 , 2   ( F3 )2c c  if32c c  i 1
Do đó:

 I3 ,1  i 2    1  i 2 
Tương tự ta tính được:

 I 3 , 3   0,
 I 3 , 8   0,
1
2
1
 I 3 , 6  i 7     6  i 7 
2

 I 3 , 4  i 5     4  i 5  ,

Ta thấy rằng:
+/ Hàm sóng  1  i 2 ứng với hạt có I 3 bằng  1


10

+/ Hàm sóng  3 và  8 ứng với hạt có I 3 bằng 0
+/ Hàm sóng  4  i 5 ứng với hạt có I 3 bằng

1
2

+/ Hàm sóng  6  i 7 ứng với hạt có I 3 bằng 

1
2

Muốn gán các hàm sóng này cho các hạt ta phải tìm trị riêng của Y ứng
với chúng. Ta biết rằng:

M 8  CY
Chấp nhận hàm sóng của proton là:

1
 4  i 5 
2

(Các hệ số suy ra từ điều kiện chuẩn hóa). Vì siêu tích bằng 1 cho nên:

Y , p    p
Do đó:
1
1
1

M
,


i





 4  i 5 
8
4
5

C 
2
2


Mặt khác:

 M8 , 4  i 5   i 845 5  854 4
   4  i 5 
Suy ra:
Vậy:

C

Y

3
2

3
2

2
M8
3

Sau đó thực hiện tương tự như trên ta sẽ thấy cách gán như trên là hoàn
toàn chính xác.


11

Sử dụng cách biểu diễn các hạt trong đa tuyến của biểu diễn chính quy
vào ma trận có số chiều bằng chiều của ma trận trong biểu diễn cơ sở:
 Đối với tuyến



1
, đưa vào ma trận:
2



1
a a
2

a 

Do đó:

a  1,8

1
Sp  a 
2

Với cách biểu diễn như trên:





 






1
1
3  8
2
6
1
 1  i 2 
2
1
 4  i 5 
2

1
 1  i 2 
2
1
1
 3 
8
2
6
1
 6  i 7 
2

1


 4  i 5  
2

1

 6  i 7  
2

2

 8 
6


Hay:

 1 0 1






p


6
 2

1 0 1



 


 

n 
2
6


2 

 
0



6 

 Tương tự đối với tuyến 0 :

 1 0 1
  

2
6







K 






1 0 1
  
2
6
K0


K 


K0 

2 


6 


12

Các ma trận , thỏa mãn các điều kiện của a , chẳng hạn

Sp  Sp  0...
Quy luật biến đổi của nó:
ia M a

  '  e

e

ib Mb

e

ia

a
2

ib

e

b
2

Trong phép biến đổi vô cùng bé:




 M a , i     a , 
2
i

j

j



 M a , i     a , 
2
i

j

(1.1.15)

j

Hoàn toàn tương tự đối với Φ


3
c. Đối với tuyến mười
, các hạt được mô tả bởi hàm sóng phụ thuộc
2

vào ba chỉ số hoàn toàn đối xứng:  ijk , i, j, k  1,3

Quy tắc tính số thành phần độc lập của một tenxơ hoàn toàn đối xứng
hạng p  i1 ,i2 ,...,i p  trong đó mỗi chỉ số nhận n giá trị. Số thành phần độc lập cần
tìm chính là số cách phân phối n  1 dấu phẩy giữa p vị trí tương đương với
số cách chọn n  1 vị trí từ p  n  1 vị trí:

N  C pn1n1 

 p  n  1!
 n  1! p !

Khi p = 3, n = 3, thì:

N

5!
 10
2!3!

Mười thành phần độc lập của  ijk :

 111 , 112 , 122 , 222 , 113 , 223 , 133 , 233 , 333 ,123


13

Quy luật biến đổi của chúng:

 ijk  'ijk  ei M  ijkei M
a

a

a

a

i'

j'

k'

 ia 2a   ia 2a   ia 2a 
 e
 e
 e
  i ' j ' k '

i 
j 
k
Trong phép biến đổi vô cùng bé:

 M a , ijk     a   i ' jk   a   ij ' k   a   ijk '


 2 i
 2 j
 2 k
i'

j'

k'

Từ đó tính được các hàm sóng tương ứng:

1 *
1 *0
N , 122 
N , 222  N *
3
3
1 *
1 *0
1 *

 , 123 
 , 223 

3
6
3
1 *0
1 *
1 

 , 233 
 , 333 


3
3
3

 111  N * , 112 
 113
 133

Các hệ số được chọn thế nào để trong tổng được chuẩn hóa

 ijk ijk    *0*0  ...
1.2. Phá vỡ đối xứng SU(3) 1 ,  2
Nếu đối xứng SU(3) là chính xác thì khối lượng các hạt trong cùng một
đa tuyến sẽ như nhau. Nếu gọi  là toán tử khối lượng thì lúc đó:

Ma ,    0 ,

a  1,8

(1.2.1)

Nhưng thực tế các hạt trong cùng một đa tuyến có khối lượng hơi khác
nhau, điều này có nghĩa là đối xứng SU(3) không hoàn toàn chính xác. Lúc đó:

  inv   '
 ' gọi là khối lượng vi phạm đối xứng.

(1.2.2)

14

Giả sử đối xứng SU(3) vi phạm nhưng đối xứng SU(2) vẫn còn đúng và
siêu tích được bảo toàn.
Nghĩa là:

SU (3)  SU N (2)  UY (1)

(1.2.3)

Lúc đó  vẫn thỏa mãn các điều kiện của nhóm SU(3) tức là:

Mi ,    0
M8,    0

i  1,3

(1.2.4)

Muốn vậy   phải tỷ lệ với thành phần thứ tám của bát tuyến  a . Bát
tuyến này thực hiện biểu diễn chính quy:

 M a , b   ifabc c

 a, b, c  1,8
(1.2.5)

1
a 
Sp  a  

2


1
Xét khối lượng các hạt trong đa tuyến , trường mô tả các hạt này là  .
2

Có thể chứng minh rằng các vô hướng sau:

Sp a  biến đổi như  a
Sp a  biến đổi như  a
Cụ thể là chúng thỏa mãn:

 M a , Sp b    if abc Sp c 
 M a , Sp b    if abc Sp c 

(1.2.6)

Dạng bất biến duy nhất thỏa mãn điều kiện (1.2.4):

  C0 Sp    C1Sp 
8   C2 Sp 8 
 1 0 0   0 0 0  
1 0 0 
1 
1 

   0 0 0 
0
1

0


0
1
0
Vì: 8 

 

3 
3 





 0 0 2 
 0 0 1   0 0 3  

(1.2.7)


15

0 0 0 


Kí hiệu:  0 0 0    '8
 0 0 3 



Do đó:

Sp 8    ml  8 l  km
k





k
1 l k
 m  l    '8 l  km
3
1

Sp    3 m3 3m
3



Tương tự:

Sp 8  

1
Sp    3 3m m3
3

Bởi thế:

  m0 Sp  m1 m3 3m  m2 3m m3
Tính khối lượng của proton, hàm sóng của p:  1

3

  m0 31 13  m2 31 13
Suy ra:

m p  m0  m2

Tương tự ta cũng tính được:

mn  m0  m2
m  m0  m  m0
2
2
m  m0  m1  m2
3
3
m0  m  m0  m1
Từ đó suy ra công thức Gell-Mann-Okubo nổi tiếng:

mn  m 

1
 3m  m 
2

16

Hệ thức này phù hợp với các giá trị thực nghiệm với độ chính xác
khoảng 1%.
Trường hợp với tuyến 0 lưu ý rằng đối với các meson thì  được hiểu
là toán tử bình phương của khối lượng. Tính toán tương tự, ta thu được:

mk2  mk2 

1
3m2  m2 

2

2
2
Do: mk  mk , hệ thức trên trở thành:

mk2 

1
3m2  m2 

4

Hệ thức này phù hợp với thực nghiệm với độ chính xác khoảng 5%.
Áp dụng cho tuyến tám meson 1 , ta thu được hệ thức:

mK2 * 

1
3m2 0  m2 

4

Hệ thức này sai số cỡ 14%, nguyên nhân là do ngoài các hạt
K * , K *0 ,...,  0 còn có hạt  0 giống hạt 0 , cho nên trên thực tế có sự pha

trộn   ( các hạt  0 và 0 không phải là các trạng thái vật lý bởi vì yếu tố
2
0
2
0
ma trận không chéo    của toán tử  khác không).

Các trạng thái vật lý, ký hiệu là  và  mà đối với chúng yếu tố ma
2
trận không chéo của toán tử  bằng không.

 2    2   0
Các hàm sóng của các trạng thái  và  là tổ hợp tuyến tính trực
chuẩn của các hàm sóng trạng thái 0 và  0

  0cos   0 sin 
 sin 0  cos0

   0cos  0 sin 

17

Góc  đo được cỡ 32 .
Đối với các baryon cộng hưởng, khi đối xứng SU(3) là chính xác thì:

  m0 Dijk Dijk
Trường hợp vi phạm đối xứng theo kiểu (1.2.2):

 ~ Dijk  8 k Dkij
l

~ D  Dijk  3D  Dij 3
ijk

ij 3

 
 
Bởi vậy:   m0 D Dijk  m1D Dij 3
ijk

ij 3

Tính toán ta thu được:

1
mN *  m0 , m*  m0  m1
3
2
m*  m0  m1 , m  m0  m1

3
Từ đây ta thu được công thức khoảng cách (cách đều) như sau:

m  m*  m*  m*  m*  mN *
Hệ thức này có độ chính xác 98% - 99%.
Kết luận chương 1
Nếu đối xứng SU(3) là chính xác thì khối lượng của các hạt trong cùng
một đa tuyến sẽ như nhau nhưng trong thực tế khối lượng của các hạt lại khác
nhau nên đối xứng SU(3) bị phá vỡ. Trong chương này chúng tôi đã trình bày
về phá vỡ đối xứng của nhóm SU(3). Cụ thể đã trình bày về nhóm đối xứng
SU(3) và thông qua việc áp dụng lý thuyết nhóm đối xứng để tính khối lượng
của các hạt trong một đa tuyến đưa đến kết quả phù hợp với thực nghiệm.


18

CHƯƠNG 2. PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3)q
Nhóm đối xứng SU(3)q là nhóm đối xứng SU(3) biến dạng phụ thuộc
vào một thông số q, là mở rộng của SU(3) thông thường. Khi q→1 thì SU(3)q
chứa các kết quả như SU(3) thông thường.
Trong chương này chúng tôi trình bày về nhóm đối xứng SU(3) biến
dạng q, đồng thời xét bài toán về tách khối lượng của nhóm tám baryon

1
2



cho phá vỡ đối xứng bên trong SU(3) trên quan điểm của khái niệm nhóm
lượng tử SU(3)q .

2.1. Dao động tử Boson biến dạng q 5 , 7
Dao động tử Boson biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và sinh

dao động tử a, a tuân theo hệ thức giao hoán sau:

aa   qa  a  q  N

(2.1.1)

trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động.
Trong phương trình (2.1.1) khi q = 1 thì trở về hệ thức dao động tử điều
hòa:
a, a    1

Toán tử số dao động tử N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:
N n

Nên:

 N q

n

q

q

n n

  nq n

Trong đó:

a 

 n

n
Sử dụng ký hiệu:

q



 nq !

(2.1.2)

q

0

q


19

qn  qn
 nq 
q  q 1

nq !  nq n 1q n  2q ...1q
N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

 N , a    a,
(2.1.3)

 N , a    a 
Ta chứng minh được:

aa n
aa  n

q

  n q n q ,

q

  n  1q n

(2.1.4)
q


Liên hệ giữa các toán tử sinh, hủy dao động tử a , a và toán tử số dao

động N, được biểu diễn bởi các hệ thức:

a  a   N q

aa    N  1q

(2.1.5)

Các toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P được biểu diễn theo các

toán tử sinh và hủy dao động tử biến dạng q a , a như sau:

Q

a
2m

Pi

m  
a  a
2



 a

Hệ thức giao hoán giữa P và Q là:

 P, Q  i  N q   N  1q 

(2.1.6)

Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa biến dạng q được biểu

diễn qua P, Q có dạng:

H

1 2 1
P  m 2Q 2
2m
2


20



1
 (a  a  aa  )
2



1
  N q   N  1q
2





(2.1.7)

Phổ năng lượng của dao động điều hòa biến dạng q:

H n

q

E n





1
  N q   N  1q n
2


En 



(2.1.8)

q

q



1

  n q   n  1q ;
2

 En n

q

n  0,1, 2,...

(2.1.9)

Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ
trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:

En 

1
  2n  1 ,
2

n  0,1, 2,...

2.2. Biểu diễn dao động của nhóm đối xứng SU(3)
Giả sử có các toán tử Boson ai (i = 1,2,3) thỏa mãn các hệ thức giao
hoán:

 ai , a j    ij ,
 ai , a j   0

(2.2.1)

Ta hãy định nghĩa toán tử số hạt:

N i  ai ai
 N i , N j   0

(2.2.2)

Xét toán tử:
3
 
I a   ai  a  a j
 2 ij
i, j

(2.2.3)


21

 
Trong đó: a là những ma trận Gell-Mann,  a  là phần tử của ma
 2 ij

trận a ở hàng i cột j.
Ta có các vi tử I1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 , I 7 , I8 :
 
 
 
• I1  a  1  a1  a1  1  a2  a1  1  a3 

 2 1
 2 1
 2 1
1

2

3


1

 
 
 
 a  1  a1  a2  1  a2  a2  1  a3 
 2 2
 2 2
 2 2
1

2

3


2

 
 

 
 a  1  a1  a3  1  a2  a3  1  a3
 2 3
 2 3
 2 3
1

2

3


3







1  0.a1 a1  1.a1 a2  0.a1 a3   1.a2 a1  0.a2 a2  0.a2 a3   

2    0.a3 a1  0.a3 a2  0.a3 a3 



1
 I1   a1 a2  a2 a1 
2

 
 
 
• I 2  a  2  a1  a1  2  a2  a1  2  a3 
 2 1
 2 1
 2 1
1

2

3


1

 
 
 
 a  2  a1  a2  2  a2  a2  2  a3 
 2 2
 2 2
 2 2
1

2

3



2

 
 
 
 a  2  a1  a3  2  a2  a3  2  a3
 2 3
 2 3
 2 3
1

2

3


3







1  0.a1 a1  (i ).a1 a2  0.a1 a3    i.a2 a1  0.a2 a2  0.a2 a3  

2    0.a3 a1  0.a3 a2  0.a3 a3 




i
 I 2   a1 a2  a2 a1 
2

Tính toán tương tự ta tìm được các vi tử có dạng:
I1 

1 
a1 a2  a2 a1  ,

2