- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
Khử phân kỳ bằng phương pháp cắt xung lượng lớn trong lý thuyết trường lượng tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.53 MB, 82 trang )
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
………………………………………
Nguyễn Thị Thu
KHỬ PHÂN KỲ BẰNG PHƢƠNG PHÁP CẮT XUNG
LƢỢNG LỚN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2012
2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
………………………………………
Nguyễn Thị Thu
KHỬ PHÂN KỲ BẰNG PHƢƠNG PHÁP CẮT XUNG LƢỢNG LỚN
TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CÁN BỘ HƢỚNG DẪN:
GS.TSKH.TOÁN LÝ. NGUYỄN XUÂN HÃN
Hà Nội - 2012
3
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu 1
CHƢƠNG I. CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÕNG
1.1. S-ma trận và giản đồ Feynman 4
1.2. Hàm Green và hàm đỉnh 6
1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feyman 9
CHƢƠNG II . TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÕNG
2.1. Giản đồ phân cực của photon 15
2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron 22
2.3. Hàm đỉnh bậc ba 32
2.4. Đồng nhất thức Ward – Takahashi 42
CHƢƠNG III: TÁI CHUẨN HÓA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƢỢNG CỦA
ELECTRON
3.1. Kỳ dị trong lý thuyết trường lượng tử 44
3.2. Tái chuẩn hóa điện tích 46
3.3. Tái chuẩn hóa khối lượng 50
3.4. Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED 58
KẾT LUẬN 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO 61
PHỤ LỤC A: Metric giả Euclide 63
PHỤ LỤC B: Phương pháp cắt xung lượng lớn 68
PHỤ LỤC C: Khử phân kỳ trong mô hình
3
int
Lgf=
74
4
DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không 7
Hình 1.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng lượng
riêng 8
Hình 1.3. Đỉnh riêng đầy đủ
m
G
và sơ đồ xương
m*
L
.Các đường ngoài bị bỏ đi 8
Hình 1.4. Giản đồ năng lượng riêng của electron 12
Hình 1.5. Giản đồ năng lượng riêng của photon 12
Hình 1.6. Giản đồ đỉnh bậc 3 12
Hình 1.7. Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng 12
Hình 2.1. Giản đồ phân cực photon 15
Hình 2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron. 22
Hình 2.3. Giản đồ đỉnh 32
Hình 2.4. Chứng minh bằng giản đồ đồng nhất thức Ward. Dấu chéo ký hiệu việc
thay đường photon với xung lượng bằng không vào đường electron 43
Hình 3.1. Tán xạ hai electron khá nặng 47
Hình 3.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng lượng
riêng 50
Hình 3.3 51
Hình 3.4 53
Hình 3.5 53
Hình 3.6. Tán xạ ánh sáng –ánh sáng bậc bốn 54
Hình 3.7. Tán xạ electron với trường ngoài 56
Hình 3.8 Tán xạ electron ở trường ngoài để tính moment từ dị thường 57
Hình 3.9. Đỉnh đầy đủ có thể biểu diễn bằng tích của đỉnh riêng đầy đủ và các hàm
truyền đầy đủ 58
Hình C.1 74
Hình C.2 74
5
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Trang
Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng 5
Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED 13
Sự khác nhau cơ bản giữa cơ học lượng tử và lý thuyết trường 45
Ma trận Dirac có sự liên hệ với nhau 65
6
MỞ ĐẦU
Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics -
QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn
hóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá
tốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ theo hằng
số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn
2
1
4 137
e
a
p
==
. Trong các lý thuyết trường
tương tác thì QED là lý thuyết được xây dựng hoàn chỉnh nhất. Mô phỏng các
phương pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED người ta có thể xây dựng
công cụ tính toán cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) –
lý thuyết tương tác giữa các hạt quark - gluon, tương tác yếu hay các lý thuyết thống
nhất các dạng tương tác như lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh và được gọi là
mô hình chuẩn [5, 6,7, 14,17, 22].
Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp của lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp
các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thu
được, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng
với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo. Các giản đồ này diễn tả sự tương
tác của hạt với chân không vật lý của các trường tham gia tương tác và quan niệm
hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích.
Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân phân kỳ phải tiến
hành theo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được giải
thích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được cho quá trình
vật lý là hữu hạn. Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường là nhiệm vụ
trọng yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu,
tìm hiểu và giải quyết.
7
Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng của
electron đầu tiên được Kraumer – Bethe, sau được các tác giả Schwinger Feynman
Tomonaga hiện thực hóa trong QED [14,20]. Cách xây dựng chung
S - ma trận và phân loại các phân kỳ thuộc Dyson F [10]. Cách chứng minh tổng
quát sự triệt tiêu phân kỳ trong các số hạng được tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết
nhiễu loạn do Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8]. Trong QED sử dụng việc tái
chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân
kỳ trong tính toán, kết quả ta thu được thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc
trưng cho tương tác (bao gồm tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của
hạt). Khi so sánh với thực nghiệm kết quả thu được, khá phù hợp với số liệu thực
nghiệm. Lý thuyết trường lượng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối
với đặc trưng của các quá trình vật lý, được gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá
[7,11,18,22]. Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trường hiện
nay bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars,
phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và phương pháp R - toán tử do N.N
Bogoliubov khởi xướng [8].
Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại
bằng phương pháp cắt xung lượng lớn của hạt ảo trong gần đúng một vòng kín và
minh họa quá trình tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron trong QED ở
bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý.
Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu tham
khảo và một số phụ lục.
Chương 1: Các giản đồ phân kỳ một vòng.
Chương này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Trong mục
1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả các quá trình vật lý.
Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green của photon, electron, và hàm đỉnh
8
trong QED. Phân tích các bậc phân kỳ trong QED ở bậc thấp nhất được trình bầy ở
mục 1.3. Phương pháp cắt xung lượng lớn được giới thiệu và các ví dụ minh họa.
Chương 2: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp cắt
xung lượng lớn.
Trong chương này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng phương
pháp cắt xung lượng lớn trong QED. Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai của
photon – giản đồ năng lượng riêng của photon. Trong mục 2.2 xem xét giản đồ năng
lượng riêng của electron. Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh ở bậc thấp nhất. Đồng
nhất thức Ward –Takahashi được chứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4.
Chương 3: Tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng trong QED.
Trong chương này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED. Mục 3.1
dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron. Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóa
khối lượng. Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh. Chứng minh một cách định tính: trong
việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, các tích phân phân kỳ “biến
mất” vào điện tích vật lý và khối lượng vật lý của electron. Trong mục 3.4 trình bầy
việc chứng minh việc tái chuẩn hóa trong gần đúng một vòng QED.
Phần kết luận: Tóm tắt lại các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận
khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường tương tự.
Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử
1c==h
và metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [8]) tất cả bốn
thành phần véctơ 4 - chiều ta chọn là thực
( )
0
,A A A=
r
gồm một thành phần thời
gian và các thành phần không gian, các chỉ số
( )
0,1,2,3m=
,và theo quy ước ta
gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4 - chiều và ký hiệu các thành phần này
với chỉ số trên.
9
CHƢƠNG 1
CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÕNG
Trong chương này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến. S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, các
giản đồ phân kỳ thường gặp trong gần đúng một vòng.
1.1. S - ma trận và giản đồ Feynman
Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yếu tố của S –
ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng đầu và các trạng thái cuối của quá trình
vật lý:
( )
4
int
exp ( )S T i L x d x=
ò
(1.1)
Trong đó
( ) ( )
int 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L x N J x A x e N x x A x
mm
mm
y g y==
là Lagrangian
của tương tác điện từ,
0
e
là điện tích “trần” của electron. Mỗi đỉnh tương tác sẽ có
ba đường vào ra, trong đó có một đường photon, hai đường electron hay positron.
Sử dụng phép khai triển hàm mũ
2
0
1
! 2!
n
z
n
zz
ez
n
¥
=
= = + + +
å
ta có thể viết
biểu thức S – ma trận (1.1) dưới dạng:
( ) ( ) ( )
( )
0 1 2
2
4 4 4
int int int
1 ( ) ( ) ( )
2!
S S S S
i
iT L x d x T L x L y d xd y
= + + + =
= + + +
òò
(1.2)
Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn dưới dạng:
( )
( )
4
4
| | 2
fi f i f i
f S i i P P Md p d< > = + -
(1.3)
10
Ở đây
|i<
và
|f<
là các véctơ trạng thái đầu và cuối của hệ,
fi
M
là biên độ
xác suất dời chuyển, có ý nghĩa trong việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã
hay thời gian sống của hạt. Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn năng xung lượng
của quá trình vật lý. Thay công thức (1.2) vào
||f S i<>
ta có:
( ) ( ) ( )
( )
0 1 2
4
int
2
44
int int
| | | | | | | |
| 1 | | ( ) |
| ( ) ( ) |
2!
f S i f S i f S i f S i
f i iT f L x d x i
i
T f L x L y d xd y i
< > = < > + < > + < > +
= < > + < > +
+ < > +
ò
ò
(1.4)
Sử dụng khai triển (1.4), cụ thể các hạt ở trạng thái đầu và trạng thái cuối ta có
thể viết được các biểu thức tường minh cho từng số hạng của khai triển nhiễu loạn
cho các quá trình như sau: tán xạ của electron (hay positron) với trường điện từ
ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon trên
electron, hay sự hủy cặp electron – positron và quá trình tán xạ không đàn
tính, v.v
Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng:
Hạt và trạng thái của
nó
Thừa số trong yếu tố ma
trận
Yếu tố giản đồ
Electron ở trạng thái
đầu
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Electron ở trạng thái
cuối
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
11
Positron ở trạng thái
đầu
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Positron ở trạng thái
cuối
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Photon ở trạng thái
đầu hay hay ở trạng thái
cuối
( )
( )
3
0
2
11
2
2
ek
k
l
m
p
Thế điện từ ngoài
( )
ext
Ak
m
Chuyển động của
electron từ
12®
(hay
positron theo chiều
ngược lại
21®
)
( )
( )
4
4 2 2
1
()
ˆ
2
ˆ
2
i
Sp
pm
i p m
pm
p
p
==
-
+
=
-
Chuyển động photon
giữa hai đỉnh
( )
42
1
()
2
g
Dk
k
mn
mn
p
=
Đỉnh cùng với chỉ số
lấy tổng
m
( )
( )
( )
4
4
21
2ie p p k
m
g p d
1.2. Hàm Green và hàm đỉnh
12
Trong QED các giản đồ Feynman sau đây:
Các phần năng riêng của photon
Các phần năng lượng riêng của của electron
Các phần đỉnh
Phần tán xạ photon – photon
diễn tả sự tương tác của hạt với chân không vật lý. Các giản đồ này liên quan đến
việc tính các số hạng bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ
thể hơn là tính hàm Green của photon, hàm Green của electron và hàm đỉnh trong lý
thuyết tương tác giữa trường electron – positron với trường điện từ.
Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của
nó là giản đồ liên kết mạnh
1
của một hạt.
Hàm Green của photon, được xác định bằng công thức:
( ) 0 ( ) ( ) 0G x y i T A x A y
mn m n
éù
- = < >
êú
ëû
(1.5)
Trong đó
|0>
là véctơ trạng thái chân không của các trường tương tác, còn
()Ax
m
và
()Ay
n
là các toán tử trường điện từ trong biểu diễn Heisenberg Hàm
Green của photon (1.5) có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:
i
i
i
i
13
Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không
Hàm Green của electron, được xác định tương tự bằng công thức sau:
( )
0 | ( ) ( ) | 0G x y i T x y
ab a b
yy
éù
- = < >
êú
ëû
(1.6)
Trong đó
()x
a
y
,
()y
b
y
là các toán tử trường electron – positron trong biểu
diễn Heisenberg. Hàm Green của electron có thể được biểu diễn bằng tổng các giản
đồ sau:
Hình 1.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng
lượng riêng
Hàm đỉnh được cũng được xác định bằng:
( ) ( ) ( )
( )
, , 0 ( ) 0z x y T A z x y
mab m a b
yyG = < >
(1.7)
Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng :
*
i
i
i
i
14
1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman
Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc
chung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản
đồ.
Tất cả các tích phân này đều có dạng:
4 4 4
1 2 1 2
( , , , )
nn
J F p p p d pd p d p=
ò
(1.8)
Trong đó:
12
( , , , )
n
F p p p
là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số
đường xung lượng trong. Tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của fermion -
electron ta có hàm truyền
S
~
1
p
, tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của
photon ta có hàm truyền
D
~
2
1
p
.
Ta gọi:
e
F
: số đường xung lượng trong của electron.
e
N
: số đường xung lượng ngoài của electron.
p
F
: số đường xung lượng trong của photon.
p
N
: số đường xung lượng ngoài của photon.
v
: số đỉnh.
Trong mỗi vòng kín (loop) các đường xung lượng trong, số các đường trong
bằng số đỉnh:
nv=
, đồng thời lưu ý hai điểm sau:
Hình 1.3. Đỉnh riêng đầy đủ
m
G
và sơ đồ xương
m*
L
.Các đường ngoài bị bỏ đi
15
+ Mỗi đỉnh tương ứng với 1 đường photon, như vậy số đỉnh bằng tổng số
đường photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nó
nối với hai đỉnh:
2
pp
v F N=+
(1.9)
+ Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh bằng
một nửa số đường xung lượng electron:
22
ee
v F N=+
(1.10)
Từ (1.9) và (1.10) ta thu được:
11
22
pp
F v N=-
(1.11)
1
2
ee
F v N=-
(1.12)
Số biến lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lượng vào ra phải
tuân theo định luật bảo toàn năng xung lượng. Định luật này được thể hiện ở dạng
của hàm delta. Theo tính chất của hàm delta:
4
00
( ) ( ) ( )f p p d p f pd =
ò
thì số biến
độc lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống.
Nếu có n đường trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là
(n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi. Tổng số đường trong là
()
ep
FF+
.
Vậy số các biến độc lập sẽ là:
1
( ) ( 1)
ep
K F F n= + - -
(1.13)
Do
S
~
1
p
và
D
~
2
1
p
, bậc luỹ thừa của mẫu sẽ là:
2
2
pe
K F F=+
(1.14)
16
Thay (1.11) và (1.12) vào (1.13) và (1.14) ta thu được:
1
1 1 1
1
2 2 2
pe
K v N N= - - +
(1.15)
2
1
2
2
pe
K v N N= - -
(1.16)
Với
1
K
là số biến độc lập,
2
K
là bậc của mẫu, ta có thể viết định tính:
1
2
4
()
()
K
K
dp
J
p
=
ò
(1.17)
Đưa vào tham số mới:
21
4K K K=-
(1.18)
Thay (1.15) và (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu được:
3
4
2
ep
K N N= + -
(1.19)
Từ tham số này ta có thể đưa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.17):
+ Nếu
0K >
: tích phân này hội tụ.
+ Nếu
0K £
: tích phân này phân kỳ.
-
0K =
: phân kỳ lôgarit.
-
1K =-
: phân kỳ tuyến tính.
-
2K =-
: phân kỳ bậc hai.
-
3K =-
: phân kỳ bậc ba
Khi phân tích các giản đồ Feynman trong QED, các giản đồ Feynman tiêu biểu
chứa phân kỳ có dạng cho dưới đây:
17
+ Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên:
Hình 1.4: Số đường phôtôn ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc
phân kỳ là:
1K = - Þ
Phân kỳ tuyến tính.
Hình 1.5: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là:
2K = - Þ
Phân kỳ bậc hai.
Hình 1.6: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bậc
phân kỳ là:
0K =Þ
Phân kỳ loga.
Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là:
0K =Þ
Phân kỳ loga.
+ Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của các hạt với chân không.
Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tương tác của electron với các dao động không (các
thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác với chân không
Hình 1.6. Giản đồ đỉnh bậc 3
Hình 1.7. Quá trình tán xạ
ánh sáng – ánh sáng
Hình 1.4. Giản đồ năng lượng
riêng của electron
Hình 1.5. Giản đồ năng lượng
riêng của photon
18
của trường điện từ. Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng trường điện
từ của electron (hiệu ứng tự tương tác).
Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường
electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lượng riêng của phôtôn.
Giản đồ Hình 1.7 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường
electron - positron hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặp
electron - positron và sau đó lại hủy cặp này. Đây là một quá trình vật lý đặc biệt
của điện động lực học lượng tử chúng tôi không xem xét ở đây. Nghiên cứu quá
trình này chúng ta sẽ tính được những bổ chính phi tuyến cho phương trình
Maxwell. Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng - ánh sáng
không tồn tại vì sự tuyến tính của phương trình Maxwell.
Giản đồ Hình 1.6 được gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta cũng
thu được biểu thức phân kỳ.
+ Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED:
Ví dụ
Nhận xét
Giản đồ chân không có thể không xét
Giản đồ năng lượng riên của electron. Sơ bộ, nó
phân kỳ tuyến tính, song thực tế nó phân kỳ
loga
19
Đỉnh phân kỳ loga
Giản đồ năng lượng riêng của photon. Sơ
bộ nó phân kỳ bình phương. Thực tế từ bất biến
chuẩn nó phân kỳ loga.
Nó bị triệt tiêu với giản đồ cùng với hướng
ngược lại của electron (Định lý Furry). Nó có
thể không xét.
Gồm 4 Giản đồ khác nhau bằng việc hoán
vị của các đường ngoài. Thực tế, nó hội tụ từ
bất biến chuẩn.
20
CHƢƠNG 2
TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÕNG
Trong chương này, chúng ta sử dụng phương pháp cắt xung lượng lớn để tách
phần phân kỳ và phần hữu hạn của một số giản đồ một vòng bậc thấp nhất của
QED.
2.1. Giản đồ phân cực photon
Hình 2.1. Giản đồ phân cực photon.
Giản đồ phân cực của photon ở bậc thấp nhất trên Hình 2.1 tương ứng với biểu
thức:
2
(2) 4
4 2 2 2 2
ˆ
ˆˆ
( ) ( )
()
(2 ) ( )
e p m p k m
k Sp d p
p m p k m
mn m n
gg
p
- - -
P=
+ - +
ò
(2.1)
Bây giờ ta biểu diễn tenxo
(2) 2
()k
qua hàm vô hướng
(2) 2
()k
:
(2) (2) 2 (2) 2
/
22
( ) ( ) ( )
k k k k
k g k k
kk
m n m n
mn mn
æö
÷
ç
÷
ç
P = - P + P
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(2.2)
Trong đó:
(2) 2 (2)
2
1
( ) ( )
3
kk
k g k
k
(2.3)
21
( )
( )
2
(2) 2
/
2
()
kk
kk
k
mn
mn
P = P
(2.4)
Nhân hai vế của (2.2) với
2
kk
g
k
ta nhận được công thức (2.3):
22
(2) 2 2 2
/
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
k k k k k k k k
g k g g k g k
k k k k
2 2 2 2 2 4
22
2
/
2 2 4 2 4
k k k k k k
g g k k
k k k k k
Từ đây suy ra:
(2) 2 (2)
2
1
( ) ( )
3
kk
k g k
k
Nhân hai vế của (2.2) với
2
kk
k
ta nhận được công thức (2.4)
4 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
//
2 2 2 4 2 4
k k k k k k
k k k k
k g k k k k
k k k k k k
Từ đây suy ra:
( )
( )
2
(2) 2
/
2
()
kk
kk
k
mn
mn
P = P
Để chứng minh mối liên hệ này ta chỉ cần thay (2.3) và (2.4) vào (2.2), với chú
ý các hệ thức liên hệ :
4gg
và
2 2 2
11
44
k k g k g k k g g k k
;
2 2 2
gg
, sẽ thu được đồng nhất thức đúng.
Chúng ta chỉ quan tâm đến phần ngang
2
k
của tenxơ
2
()k
, vì chỉ phần
này là có ý nghĩa vật lý do sóng điện từ là sóng ngang.
Để tính
2
k
trước hết ta tính
2
()k
. Từ (2.1), suy ra:
22
2
2
4
2
4 2 2
2
ˆ
ˆ
ˆ
()
(2 )
p k m
pm
e
k Sp d p
pm
p k m
(2.5)
Lấy vết của tử thức (2.5):
2
2 2 2 2 2 2 2
ˆ
ˆˆ
16 8 ( )
8 2 8 2
Sp p m p k m m p p k
m pk p p pk k m m k pk
(2.6)
Thay (2.6) vào (2.5):
2 4 4 4
2
8
22
4 2 2
22
2 2 2 2 2 2
2
e d p p d p d p
k k m k
pm
p m p k m p m p k m
2
2
22
1 2 3
4
8
()
2
e
I k I m k I
(2.7)
Với
4
1
22
dp
I
pm
4
2
2
2 2 2
p d p
I
p m p k m
4
3
2
2 2 2
dp
I
p m p k m
Tính các tích phân I
1
, I
2
, I
3
theo xung lượng 4 chiều:
2
2 2 2
1
2
lnI i m
m
(2.8)
1
22
2
2
22
0
3
ln ln 1 (1 )
2
k
I i dx x x
mm
(2.9)
23
1
22
2
3
22
0
1 ln ln 1 (1 )
k
I i dx x x
mm
(2.10)
Thay I
1
, I
2
, I
3
vào (2.7) ta thu được:
2 2 2
1
2 2 2 2
ln 1 ln ln 1 1
2 2 2
22
2
0
8
4
22
1
2
3
ln ln 1 1
22
2
0
k
m m k dx x x
m m m
ei
k
k
k k dx x x
mm
(2.11)
Tiếp theo, chúng ta tính:
2
2
kk
k
k
:
2
2
4
42
2 2 2 2
2
ˆ
ˆ
ˆ
2
p k m
k k k k
pm
e
k Sp d p
k k p m
p k m
2
4
4
2
2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
( 2 )
k p m k p k m
e
Sp d p
k p m p k m
(2.12)
Vết của tử thức (2.12):
2
2 2 2
ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
4 3 2Sp k p m k i p k m p k m k pk k pk pk
(2.13)
Thay (2.13) vào (2.12) thu được:
44
2
22
2 2 2 2
4
2
2
4
2
2 2 2 2
4
2
2 2 2 2
( ) ( )
4
3
( ) ( )
2
2
( ) ( )
d p d p
k
pm
p m p k m
kk
p d p
e
kk
k
p m p k m
k k p p d p
k
p m p k m
(2.14)
24
Ba tích phân đầu chính là I
1
, I
2
, I
3
chúng ta đã tính ở trên theo biểu thức (2.8 –
2.10), ta chỉ còn phải tính tích phân thứ tư:
4
4
2
2 2 2
p p d p
I
p m p k m
2 2 2 2
2
53
1
2 2 2
22
1 ln ln 1 1
22
2
62
0
k x k x m
i
k
g dx m k x x x x
mm
1
22
22
22
0
11
ln ln 1 1
6
k
i k k x dx x x
mm
(2.15)
Thay I
1
, I
2
, I
3
vào (2.14) và rút gọn ta thu được biểu thức (2.16) sau:
2 2 2
1
2
41
2 2 2 2 2
3 1 ln 1 1
2 4 2
2
2
0
kk
i e k
k m dx m k x k x x x x
km
(2.16)
Thay (2.11) và (2.16) vào (2.3):
1
2 2 2 2 2
2
22
4
22
0
85
1 ln 1 1 ln
66
2
i e k k
k k x x x x dx
mm
(2.17)
Khai triển Taylor
2
k
theo
2
k
ta thu được:
2
2
2 2 2
22
2
0
0
R
k
k
k k k
k
(2.18)
Hơn nữa, từ công thức (2.18) ta rút ra:
1
2 2 2 2
2
2 2 2
4
22
0
8
0 ln ln 1 ln1
32
ie
m m dx
mm
25
22
22
4
8
32
ie
m
(2.19)
2
1
2
2
2
0
1 ln 1 1
k
k
x x x x dx
m
k
1
22
2
2 2 2
0
15
1 ln 1 1 ln
66
k
k x x x x dx
k m m
Vậy :
2
2
2
2
2
0
15
ln
66
k
k
m
k
(2.20)
Suy ra:
2
2
2 2 2
22
2
0
0
R
k
k
k k k
k
1
2 2 2 2
2
2 2 2 2
4
22
0
8
ln ln 1 ln1
32
R
ie
k m m dx
mm
1 1 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
0 0 0
ln 1 1 ln 1 1 1
k L k
m x x dx k dx k x x dx
m m m
1
2 2 2
2
4
2
0
8
1 ln 1 1
2
i e k
k x x x x dx
m
(2.21)
Chú ý:
11
0
00
ln 1 ax 2 ln 1 ax 1V a x dx x x dx
(2.22)
1
1
0
4
11
1 5 4 2 4
1 ln 1 ax 1 1 1 ln
63
4
11
a
V a x x x dx
a a a
a
(2.23)
