Đề tài infimun của phổ của toán tử laplace beltrami trên miền giả lồi bị chặn với metric begrman

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - o0o - - - - - - - -

TRẦN THỊ MAI

INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ
LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN
VỚI METRIC BERGMAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - o0o - - - - - - - -

TRẦN THỊ MAI

INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ
LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN
VỚI METRIC BERGMAN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THẠC DŨNG

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn
Thạc Dũng - Người thầy đã luôn bên tôi động viên, chỉ dạy và giúp đỡ
tận tình để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này. Thật khó có thể nói
hết sự quan tâm lớn lao mà thầy đã dành cho tôi trong suốt thời gian qua.
Thầy không quản ngại không gian, thời gian cũng như vật chất, dành hết
tâm huyết cho công việc, không ngừng mong mỏi học trò của mình lĩnh
hội được nhiều kiến thức. Thầy quả là một người thầy mẫu mực, là tấm
gương sáng để lớp lớp thế hệ học trò chúng tôi noi theo.
Qua đây, tôi cũng xin phép được gửi lời cảm ơn tới tập thể các thầy cô
Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong suốt quá trình học tập.
Tôi cảm ơn gia đình, cảm ơn bạn bè, cảm ơn tất cả mọi người đã luôn
quan tâm, góp ý, giúp đỡ cho tôi.
Trong quá trình làm luận văn, mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do thực
tế sức khỏe không được tốt, kiến thức còn hạn chế lại thêm hoàn cảnh khá
đặc biệt nên luận văn khó tránh khỏi có thiếu sót. Tôi kính mong quý thầy
cô cùng các bạn bổ sung, góp ý những ý kiến quý báu để luận văn được
hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng, tôi xin kính chúc quý thầy cô cùng các bạn sức khỏe, hạnh
phúc và thành đạt! Chúc một năm mới an khang, thịnh vượng!
Hà Nội, tháng 12 năm 2015.

i


Mục lục

Phần mở đầu

1

1 Một số kiến thức về giải tích phức nhiều biến

4

1.1

1.2

Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Miền giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler . . . . . . . .

7

2 Cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami
trên miền giả lồi bị chặn

11

2.1

Ước lượng cận dưới của λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2

Ước lượng cận trên của λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3

Giá trị cực đại của λ1 trên một vài miền đặc biệt . . . . . . 30

Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36

ii


Phần mở đầu
Cho (M n , g) là một đa tạp K¨ahler n chiều với metric K¨ahler
n

gij dzi ⊗ dz j .

g=
i,j=1

Giả sử
n

∂2
∆g = −4
g
∂zi ∂z j
i,j=1
ij

là toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric g . Ở đây ta dùng ký
hiệu g ij

t

= gij

−1

. Khi đó, cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử

Laplace-Beltrami được xác định bởi

n

∂f ∂f
λ1 (∆g , M ) = inf 4
dVg : f ∈ C0∞ (M ), f
g ij
 M
∂zi ∂z j
i,j=1

L2



=1


trong đó dVg là dạng thể tích trên M tương ứng với metric K¨ahler g .
Bài toán đặt ra là tính giá trị λ1 hoặc cho một đánh giá về λ1 . Tất nhiên
việc đánh giá này là phụ thuộc vào đa tạp M và metric K¨ahler g .
Người ta đã chứng minh được rằng khi M là đa tạp compact và ∆g
là toán tử elliptic đều thì λ1 (∆g ) là giá trị riêng dương đầu tiên của ∆g

với điều kiện biên Dirichlet. Việc nghiên cứu λ1 có nhiều ứng dụng trong
các bài toán hình học và vật lý. Chẳng hạn, với các giả thiết về độ cong
1


phù hợp và giả thiết về λ1 có cận dưới phù hợp, Li-Wang-Munteanu-KongZhou đã chỉ ra rằng khi đó đa tạp phải có dạng hình học đặc biệt (xem
[6, 10, 11, 12, 17]).
Trước hết ta chú ý rằng λ1 (∆g ) có thể không phải là giá trị riêng của

∆g . Ví dụ, nếu M là một không gian hyperbolic phức thì λ1 (∆g ) không
phải là giá trị riêng của ∆g . Tuy nhiên, nó là cận dưới của phổ dương của

∆g . Tổng quát hơn khi M là đa tạp K¨ahler không compact thì λ1 (∆g )
không còn chắc là giá trị riêng của ∆g dù đa tạp đó có thể là đa tạp đầy.
Khi M là một đa tạp đầy không compact, đã có nhiều người nghiên cứu
bài toán đánh giá cho λ1 (∆g ) mà điển hình là các công trình của Li và
Wang ([10]). Với giả thiết độ cong song nhát cắt chỉnh hình của M bị chặn
dưới bởi −1, họ đã chứng minh rằng λ1 (∆g ) ≤ n2 . Đánh giá của họ là
chặt và đẳng thức đạt được khi M là không gian hyperbolic phức. Sau đó
Munteanu ([17]) đã chứng minh được một cách tốt hơn rằng λ1 (∆g ) ≤ n2
chỉ với giả thiết độ cong Ricci của M bị chặn dưới bởi −2(n + 1). Ước
lượng của Munteanu là chặt và dấu đẳng thức đạt được đối với không gian
hyperbolic phức.
Luận văn này trình bày một cách chi tiết các kết quả chính trong bài
báo của Song-Ying Li và My-An Tran ([16]). Nội dung chính của luận văn
là đưa ra các ví dụ về đa tạp K¨ahler đầy đủ mà đối với chúng giá trị chính
xác của λ1 có thể tính toán được. Nói một cách cụ thể, ta sẽ ước lượng
chính xác λ1 (∆u ) trên các miền D là miền giả lồi bị chặn trong Cn với
∂ 2u
metric K¨ahler uij dzi ⊗ dz j , trong đó uij =

với u là hàm đa điều
∂zi ∂z j
hòa dưới chặt, vét cạn miền D. Trong trường hợp tổng quát, khi D là miền
2


giả lồi bị chặn thì việc tính được chính xác giá trị của λ1 (∆u ) là rất phức
tạp. Vì thế, chúng ta cần phải đưa vào những điều kiện phụ khác nhau
đối với hàm u vét cạn trên D. Nhờ các điều kiện đó, chúng ta sẽ xấp xỉ
cận trên và cận dưới của λ1 bằng cách xây dựng các hàm đặc biệt và tiến
hành phân tích trên miền con của D.
Luận văn bao gồm hai chương. Trong chương mở đầu, tôi nhắc lại một
vài kiến thức cơ bản về hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi và toán tử
Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler. Trong chương hai, tôi xét ước lượng
cận dưới và cận trên của cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử LaplaceBeltrami. Ước lượng cận dưới được xét trong mục 2.1, ước lượng cận trên
được trình bày trong mục 2.2. Đặc biệt, trong mục 2.2 tôi đưa ra một cách
chứng minh khác cho Định lý 2.2. Chứng minh này là mới và đơn giản hơn
so với chứng minh trong bài báo gốc. Trong mục 2.3, tôi đưa ra các ước
lượng của cận dưới nhỏ nhất của phổ trên các miền giả lồi đặc biệt với
metric K¨ahler-Einstein và metric Bergman.

3


Chương 1

Một số kiến thức về giải tích phức
nhiều biến

1.1

1.1.1

Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi

Hàm đa điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω là một miền trong Cn , u : Ω → R là một hàm
thuộc lớp C 2 . Khi đó u được gọi là hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu
n

∂ 2u
(z)ξi ξ j ≥ 0 ∀z ∈ Cn , ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ Cn .
∂zi ∂z j
i,j=1
Do uij =

∂ 2u
= uij + i uij , đặt ξj = xj + iyj , ∀j = 1, n, ta có
dzi dz j

uij ξi ξ j = ( uij +
= ( uij +

√
√

−1 uij )(xi +

√

−1yi )(xj −

−1 uij )(xi xj + yi yj +
4

√

√

−1yj )

−1(yi xj − xi yj ))


= uij (xi xj + yi yj ) + uij (yi xj − xi yj +

√

−1( uij (yi xj − xi yj )
+ uij (xi xj + yi yj )).

Vì vậy, nếu u là hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp C 2 thì
n

uij (xi xj + yi yj ) + uij (yi xj − xi yj ) ≥ 0
i,j=1

và
n

uij (yi xj − xi yj ) + uij (xi xj + yi yj ) = 0

∀ xi , yi ∈ R.

i,j=1

Định nghĩa 1.2. Một hàm u thuộc lớp C 2 được gọi là hàm đa điều hòa
dưới chặt khi và chỉ khi tồn tại một hằng số > 0 sao cho u − |z|2 là một
hàm đa điều hòa dưới.
Vì vậy, nếu u là một hàm đa điều hòa dưới (chặt) thì ma trận Hessian
phức (uij )của nó là một ma trận Hermit và xác định dương (chặt). Chú
ý rằng nếu u là một hàm đa điều hòa dưới chặt thì (uij ) khả nghịch và

u−1 = (uij )t cũng là một ma trận Hermit và xác định dương chặt.
Ví dụ. Xét không gian phức C2 , cho u(z, w) = |z|2 + |w|2 và v(z, w) =

|z|2 + |w|2 với (z, w) ∈ C2 . Khi đó, u là hàm đa điều hòa dưới chặt còn v
là hàm đa điều hòa dưới.
Thật vậy, dễ thấy u, v là các hàm trơn, hơn nữa, ma trận Hessian phức
của u và v lần lượt là




1 0


Hu (z, w) = 
 = I2 ,



0 1





1 0 


và Hv (z, w) = 
.


0 |w|2
5


Cả hai ma trận trên đều là Hermite. Ma trận Hu là xác định dương chặt
và Hv là xác định dương.

1.1.2

Miền giả lồi

Cho Ω ⊂ Rn là một tập con mở. Ta nói rằng Ω có biên lớp C k , k ≥ 2
nếu tồn tại một lân cận U của ∂Ω và một hàm r lớp C k xác định trên U
sao cho
1. Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0}.

2. dr = 0 trên ∂Ω trong đó với mọi z ∈ ∂Ω
n

dr(z) =
j=1

∂r
(z)dxj .
∂xj

Định nghĩa 1.3. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Cn , n ≥ 2 và r là
một hàm xác định trên D. D được gọi là miền giả lồi hay miền giả lồi Levi
tại p ∈ ∂Ω nếu dạng Levi
n

∂ 2r
Lp (r, ξ) =
(p)ξi ξ j ≥ 0
∂z
∂z
i
j
i,j=1

∀ξ ∈ Tp(1,0) (∂Ω).

Ω được gọi là miền giả lồi chặt tại p nếu dạng Levi xác định dương chặt
∀ξ = 0. Ω là miền giả lồi chặt nếu Ω là miền giả lồi chặt tại mọi điểm của
nó.
Ví dụ. Xét không gian phức C2 và hình cầu đơn vị B2 = {(z, w) ∈ C2 :

|z|2 + |w|2 < 1}. Khi đó B2 là miền giả lồi chặt.
Thật vậy, ta có thể chọn hàm xác định của ∂B2 là hàm r(z, w) =

|z|2 + |w|2 − 1. Hàm này là hàm đa điều hòa dưới chặt tại mọi điểm
(z, w) ∈ ∂B2 .
6


1.2

Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨
ahler

Giả sử M là một đa tạp Riemann định hướng, n chiều và Ωp (M ) là
một không gian p-dạng trên M , đặt d : Ωp (M ) ⇒ Ωp+1 (M ) là toán tử vi
phân thông thường, p ≥ 0. Giả định rằng ds2 =

i,j

gij dxi ⊗ dxj là một

metric Riemann trên T ∗ M ⊗ T ∗ (M ), (gij ) là ma trận thực cấp n và xác
định dương chặt. Khi đó ds2 chứa một metric Riemann trên T (M )⊗T (M )
xác định bởi

dS 2 =

g ij
i,j

∂
∂
⊗
∂xi ∂xj

trong đó (g ij ) là ma trận nghịch đảo của (gij ).
Giả sử d∗ là toán tử liên hợp của d trên
metric Riemann

i,j

n
p
p=0 Ω (M )

tương ứng với

gij dxi ⊗ dxj nghĩa là
d∗ : Ωp (M ) → Ωp−1 (M )

và

(dα, β) = (α, d∗ β) =

< dα, β >ds2 ∗

∀α ∈ Ωp−1 (M ), β ∈ Ωp (M )

M

trong đó * là toán tử Hogde.
Định nghĩa 1.4. Toán tử Hogde-Laplace trên Ωp (M ) là

∆H = −(dd∗ + d∗ d) : Ωp (M ) → Ωp (M ).
Toán tử Hogde-Laplace được liên hệ với toán tử Laplace-Beltrami như
sau.

7


Với mọi hàm trơn f , ta có thể định nghĩa gradient của nó là

f := gradf := g ij

∂f ∂
∂xi ∂xj

trong đó g = det(gij ).
Khi đó với mọi trường véc tơ X ta có

< gradf, X >= X(f ) = df (X).
Mặt khác, toán tử div tác động lên một trường véc tơ Z = Z i

∂
được
∂xi

định nghĩa là
divZ :=

1 ∂ √ j
( gZ ).
g ∂xj

Định nghĩa 1.5. Toán tử Laplace-Beltrami trên Ωp (M ) là

∆f = −div(gradf ).
Khi đó, chúng ta biết rằng trên không gian các hàm khả vi trên M , ta
có

∆ = −∆H .
Dễ dàng nhận thấy rằng

1 ∂
∆f = − √
g ∂xj

√

∂f
gg
∂xi
ij

∂2
= −g
f + ...
∂xi ∂xj
ij

Vì (gij ) là xác định dương chặt, −∆f là một toán tử elliptic.
Định nghĩa 1.6. Giả sử M là một đa tạp phức với tọa độ địa phương

z = (z1 , ..., zn ). Một metric Hermit trên M được xác định bởi
hik (z)dzj ⊗ dz k zk
8


trong đó hjk (z) là ma trận Hermit, xác định dương và phụ thuộc vào z .
Ngoài ra, các hàm thành phần hjk (z) là các hàm trơn.
Dạng vi phân song bậc (1, 1) xác định bởi

i
h (z)dzj ∧ dz k
2 jk
được gọi là dạng K¨ahler của metric Hermit.
Định nghĩa 1.7. Một metric Hermit hjk dzj ⊗ dz k được gọi là một metric
K¨ahler nếu với mọi z tồn tại một lân cận U của z và một hàm F : U → R
i
với hjk dzj ∧ dz k = ∂∂F , ∂∂F được gọi là dạng K¨ahler, F được gọi là thế
2
vị K¨ahler.
Giả sử hjk dzj ⊗ dz k là một metric K¨ahler trên một đa tạp phức M .
Do mỗi metric Hermit đều cảm sinh ra một metric Riemann nên ta có
thể định nghĩa toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric Riemann

< v, w >R,h . Trong metric này, toán tử Laplace-Beltrami có dạng
1 ∂
∆ = −4

h ∂zi

n

∂2
,
= −4
h
i ∂z
∂z
j
i,j=1

∂
hh
∂z j
ij

ij

trong đó h = det(hjk ). Công thức trên có thể suy ra trực tiếp nhờ sử dụng
kết quả sau ([16])
n

i=1

∂
(hhij ) =
∂zi

n

j=1

∂
(hhij ) = 0.
∂z j

Lưu ý rằng, chúng ta sẽ dùng công thức này để chứng minh một công thức
tích phân cho toán tử Laplace–Beltrami trong chương sau.
Định nghĩa 1.8. Cho Ω ⊂ M là một tập con mở. Một số thực dương λ
được gọi là một giá trị riêng của toán tử ∆ đối với bài toán Dirichlet trên
9


Ω nếu tồn tại một hàm trơn v ∈ C ∞ (Ω) sao cho
∆v = λv.
Hàm v khi đó được gọi là một hàm riêng của ∆ ứng với giá trị riêng λ.
Do ∆ là toán tử elliptic tự liên hợp, nhờ lý thuyết phương trình đạo
hàm riêng chúng ta biết rằng tập hợp các giá trị riêng {λk }∞
k=1 lập thành
một dãy tăng

0 < λ1 < λ2 ≤ . . . λk ≤ . . .
và lim λk = ∞.
k→∞

Trong giải tích phức nhiều biến, chúng ta biết rằng nếu D là hình cầu
đơn vị Bn trong Cn và u(z) = − log(1 − |z|2 ) thì
n

2

uij dzi ∧ dz j

ds =
i,j=1

vừa là metric Bergman đồng thời cũng là metric K¨ahler-Einstein trên Bn .
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng λ1 (Bn ) = n2 .
Để tính giá trị chính xác của λ1 (∆u ) trên Bn , chúng ta sẽ đồng thời
đánh giá cận trên và cận dưới của nó. Trước hết, chúng ta giả thiết f (z) =
n

(1 − |z|2 ) 2 . Khi đó, áp dụng nguyên lý Rayleigh ta có
λ1 ≤

Bn

f |2

|

Bn

|f |2

= n2 .

Đồng thời áp dụng Mệnh đề 9.2 trong [8] ta lại có λ1 ≥ µ > 0 nếu tồn tại
một hàm dương h sao cho ∆u h ≥ µh. Thực tế, hàm f định nghĩa ở trên

luôn thỏa mãn điều kiện ∆u f ≥ n2 f . Do vậy λ1 (∆u ) = n2 trên Bn (xem
[16]).
10


Chương 2

Cận dưới nhỏ nhất của phổ của
toán tử Laplace-Beltrami trên miền
giả lồi bị chặn

2.1

Ước lượng cận dưới của λ1

Nhắc lại, giả sử D là một miền giả lồi bị chặn trong Cn với hàm xác
định r(z) ∈ C 2 (Cn ) và u(z) = − log(−r(z)) là hàm đa điều hòa dưới
chặt trong D. Khi đó, toán tử Laplace-Beltrami ∆u tương ứng với metric
K¨ahler uij dzi ⊗ dz j trên D xác định bởi
n

∂2
∆u = −4
u
∂zi ∂z j
i,j=1
ij

trong đó [uij ]t = H(u)−1 = [uij ]−1 .
11

(2.1)


Trước hết, để ước lượng cận dưới của phổ λ1 , ta có bổ đề tính toán quan
trọng sau.
Bổ đề 2.1. Giả sử Ω ⊂ Cn và uij dzi ⊗ dz j là metric K¨
ahler bất kỳ trên

Ω, trong đó uij = ∂ij u và u ∈ C 2 (Ω) là hàm đa điều hòa dưới chặt. Đặt
f (z) = e−αu(z) với α > 0. Khi đó
(i)

∆u f (z) = 4αf (z) n − α|∂u|2u ,

(2.2)

trong đó
n

n

|∂u|2u

uij ∂i u∂j u.

ij

u ui uj =

=

(2.3)

i,j=1

i,j=1

(ii) Nếu r(z) = −e−u(z) là hàm đa điều hòa dưới chặt thì |∂u|2u < 1 trong

Ω.
(iii) Giả thiết rằng Ω bị chặn với ∂Ω ∈ C 1 . Khi đó với h1 , h2 ∈ C 2 (Ω) ∩

C 1 (Ω) thì
(h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu



 
n
n
∂h1 
∂h2 
h2 −
− h1 −
g(z)dσ(z).
=4
uij νj
uij νi
∂z

∂z
j
i
∂Ω
i,j=1
i,j=1
Ω

(2.4)
Trong đó

g(z) = detH(u),

dVu (z) = g(z)dv(z),

và ν(z) = (ν1 (z), ..., νn (z)) là véc tơ pháp tuyến phức hướng ngoài ∂Ω sao
cho |ν(z)|2 = 4.
12


Đặc biệt, nếu







∆u h1 (z) ≥ 0 trong Ω








h1 (z)











h2 (z)

= 0 trên ∂Ω
≥ 0 trên ∂Ω

thì

(h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu ≥ 0.

(2.5)

Ω

Chứng minh. Từ giả thiết f (z) = e−αu(z) với α > 0, bằng tính toán trực
tiếp, ta có

∂f (z)
= e−αu(z)
∂zi
∂ 2 f (z)
∂
=
∂zi ∂zj
∂zj

zi

= [−αu(z)]zi e−αu(z) = −αui e−αu(z) ,

∂f
∂zi

= −αui e−αu(z)

zj

= −αuij e−αu(z) + α2 ui uj e−αu(z)
= −αuij f (z) + α2 ui uj f (z).
Từ hai biểu thức trên và định nghĩa của ∆u , ta nhận được
n

uij [−αuij f (z) + α2 ui uj f (z)]

∆u f (z) = −4
i,j=1

n

uij uij − αui uj

= 4αf (z)
i,j=1



n

n

uij uij − α

= 4αf (z) 
i,j=1

13



uij ui uj 
i,j=1





n

uij uij − α|∂u|2u  .

= 4αf (z) 
i,j=1

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng

n
ij
i,j=1 u uij

= n.

Thật vậy, do (uij )t = (uij )−1 nên (uij )(uij )t = I . Điều này tương đương
với

 u11 u12



u
 21 u22



 ..
..
 .
.



un1 un2





. . . u1n   u11 u21



 12 u22
. . . u2n 
 u


 ..
..
. . . .. 
 .
. 
.




. . . unn
u1n u2n



. . . un1  1
 
 
 
n2 
... u  
0
=
 
 ..
. . . .. 

. 
 .
 
 
nn
... u
0



0 . . . 0




1 . . . 0

.

.. . . .. 
. .
.



0 ... 1

Đặc biệt thực hiện phép nhân trên đường chéo chính của tích ma trận
trên, ta có hệ phương trình







u11 u11 + u12 u12 + . . . + u1n u1n = 1












...







ui1 ui1 + ui2 ui2 + . . . + uin uin = 1











...











n1
n2
nn

un1 u + un2 u + . . . + unn u = 1

14

.


Cộng tất cả n phương trình trong hệ trên vế với vế, ta nhận được


n

n

n

ij

u uij =
i,j=1

uij uij 


i=1

j=1

n

ui1 ui1 + ui2 ui2 + . . . + uin uin = n.

=
i=1

Do đó, ∆u f (z) = 4αf (z)[n − α|∂u|2u ].
Vậy (i) được chứng minh.
Tiếp theo, ta chứng minh (ii).
Trước tiên, ta tính uij .
Do r(z) = −e−u(z) nên u(z) = − ln(−r(z)). Vì vậy, ta có

ui =

(−r(z))zi
∂u
ri
=
=− ,
∂zi
r(z)

r

uj =

(−r(z))z j
rj
∂u
=
=− .
∂z j
r(z)
r

Từ đó, ta tính được

∂r
−
∂ 
∂zi 


=
∂z j  r 


∂ 2u
∂
=
uij =
∂zi ∂z j

∂z j

∂u
∂zi

∂r ∂r
∂ 2r
−
r+
∂zi ∂z j
∂z j ∂zi
=
r2
−rij r + ri rj
ri rj
1
=
−
r
−
.
ij
r2
r
r

=
Sử dụng các ký hiệu
n

|∂r|2r

n
ij

=

r ui uj ,
i,j=1

i

n
ij

r =

r rj
j=1

15

và

j

rij ri ,

r =
i=1

bằng cách tính toán trực tiếp, ta có

uij = −r rij −

rirj
|∂r|2r − r

.

Từ đó
n

|∂u|2u

n

rirj
=
u ui uj =
−r r −
|∂r|2r − r
i,j=1
i,j=1


n
i j
r r ri rj

1

=− 
rij ri rj −
2
r i,j=1
|∂r|r − r


n
n
i j
1
i,j=1 r r ri rj 
rij ri rj −
=− 
r i,j=1
|∂r|2r − r
ij

ij

(
1
= − |∂r|2r −
r

n
n
i

j
i=1 ri r )( j=1 rj r )
|∂r|2r − r

(
1
= − |∂r|2r −
r

n
i=1 ri

(
1
= − |∂r|2r −
r

n
n
ij
ij
i,j=1 r ri rj )( i,j=1 r ri rj )
|∂r|2r − r

n
n
ij
j=1 r rj )( j=1 rj
|∂r|2r − r

ri rj
r r

n
ij
i=1 r ri )

1
1
|∂r|2r |∂r|2r
|∂r|4r
2
2
= − |∂r|r −
= − |∂r|r −
r
|∂r|2r − r
r
|∂r|2r − r
1 |∂r|4r − r|∂r|2r − |∂r|4r
|∂r|2r
=−
=
.
r
|∂r|2r − r
|∂r|2r − r
Do −r(z) > 0 với mọi z ∈ Ω nên |∂r|2r − r > |∂r|2r trong Ω. Điều này dẫn
tới

|∂r|2r
< 1, ∀z ∈ Ω.
|∂r|2r − r
Vậy (ii) đã được chứng minh.
Tiếp theo, ta chứng minh (iii).

16


Từ định nghĩa của ∆u , ta có
n

∂ 2 h1
h2 ∆u h1 = −4h2
u
,
∂z
∂z
i
j
i,j=1
ij

n

∂ 2 h2
h1 ∆u h2 = −4h1
u
.
∂z

∂z
i
j
i,j=1
ij

Do đó
Ω (h2 ∆u h1

− h1 ∆u h2 ) dVu

n

=4

−h2 uij


Ω

i,j=1



n

Ω

∂ h1
∂zi ∂z j



∂ h2 
gdv
∂zi ∂z j

2
∂ h2 
dv.
uij
∂zi ∂z j

−h1 uij
i,j=1

∂ 2 h1
u
∂zi ∂z j

i,j=1

2

−

ij

−gh2

=4

n

2

n

+ gh1
i,j=1

Đặt

J := −gh2

n
i,j=1

uij

∂ 2 h1
∂zi ∂z j

+ gh1

∂
∂h1
h2 − nj=1 uij g
∂zi
∂z j

Ta sẽ chứng minh K = J .
K :=

n
i=1

n
i,j=1

−

∂ 2 h2
,
∂zi ∂z j
∂
n
h1 −
j=1
∂z j
uij

Thật vậy, đặt
n

I1 :=
i=1







n

∂h1 
∂  
h2 −
uij g
∂zi
∂z j
j=1

và
n

I2 :=
j=1

∂
h1 −
∂z j

17

n

uij g
i=1

∂h2
∂zi

.

n
ij ∂h2
i=1 u g
∂zi

.


Ta có K = I1 − I2 . Hơn nữa,
 

n
n
∂h1 
h2 −
I1 =
uij g
∂zj
i=1
j=1
z

i 




n
n
n
∂h1  
∂h1 
 ∂h2 −
uij g
+ −
uij g
h2 
=
∂z
∂z
∂z
i
j
j
j=1
j=1
i=1
zi

 

n
n
n
∂(uij g) ∂h1
∂h2 

∂h1  
∂ 2 h1 
−
uij g
+ −
+ uij g
=
h2
∂z
∂z
∂z
∂z
∂z
∂z
i
j
i
j
i
j
j=1
j=1
i=1


n
n
n
n
n

n
∂h2 
∂(uij g) ∂h1
∂ 2 h1
ij
ij ∂h1 
h2 −
u gh2
=
−
u g
−
∂z
∂z
∂z
∂z
∂zi ∂z j
i
j
i
j
i=1 j=1
i=1
j=1
i=1 j=1
n

n

= −g

ij ∂h2 ∂h1

u
i=1 j=1
n

n

= −g

ij ∂h2 ∂h1

u
i=1 j=1

∂zi ∂z j

∂zi ∂z j

n

n

−
j=1 i=1
n

∂(uij g) ∂h1
h2 − gh2

∂zi ∂z j
n

∂ 2 h1
.
u
∂z
∂z
i
j
j=1
ij

− gh2
i=1

Ở đây, trong dấu bằng cuối cùng, ta đã sử dụng tính chất
n

i=1

∂(uij g)
= 0.
∂zi

18

n

n

∂ 2 h1
u
∂zi ∂z j
j=1
ij

i=1


Tương tự, ta có
n

n

uij g

h1 −

I2 =
j=1
n

=

i=1



n

 ∂h1
∂z j
j=1
n

j=1
n

=
j=1

i=1
n

−
i=1

i=1

= −g

u
n

= −g

ij ∂h2 ∂h1

u

∂zi ∂z j

i=1 j=1

uij g

+ −
i=1
n

i=1
n

n

−
j=1 i=1
n

n

−
i=1 j=1
n

∂h2
∂zi

h1 

zj

∂(uij g) ∂h2
∂ 2 h2
ij
+u g
∂z j ∂zi
∂z j ∂zi

+ −

∂h2
u g
∂zi

∂z j ∂zi

j=1 i=1
n

∂h2
∂zi

∂h2
u g
∂zi

ij ∂h1 ∂h2



n

ij

−
n

zj

ij

n

∂h1
∂z j
n

uij g

−

∂h1
∂z j

=

∂h2
∂zi

∂(uij g) ∂h2
h1 −
∂z j ∂zi

n

n

uij gh1
j=1 i=1
n

∂(uij g) ∂h2
h1 − gh1
∂z j ∂zi
j=1

n

n

∂ 2 h2
u
.
∂z
∂z
j
i
j=1
ij

− gh1
i=1

Ở đây, trong dấu bằng cuối cùng, ta đã sử dụng tính chất
n

∂(uij g)
= 0.
∂z j

j=1

Từ các tính toán cho I1 , I2 , ta nhận được
n

i=1

∂ 2 h1
u
∂zi ∂z j
ij

= −gh2
i,j=1

∂ 2 h1
u
+ gh1
∂z

∂z
i
j
j=1

n

ij

K = I1 − I2 = −gh2
n

n

n

i,j=1

19

∂ 2 h2
u
∂z j ∂zi
j=1
ij

i=1

∂ 2 h2
u

∂zi ∂z j
ij

+ gh1

n

= J.

∂ 2 h2
∂z j ∂zi

∂ 2 h2
u
∂z j ∂zi
ij

i=1

h1


Như vậy, ta có

Ω

(h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu

n

uij

−gh2

=4
Ω

i,j=1
n

=4
Ω

i=1



n

2

∂ h1
∂zi ∂z j

uij

+ gh1
i,j=1



n

∂ 
∂h1 
−
h2
−uij g
∂zi
∂z
j
j=1



2

n

j=1

∂ h2 
dv
∂zi ∂z j

∂
h1
∂z j

n

−uij g
i=1

∂h2
∂zi

Áp dụng định lý Stokes, ta có

Ω

(h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu




n

n

n

n

∂h1 
∂h2
νi −
h1
−uij g
−u g

=4
∂z j
∂zi
∂Ω
j=1
i=1
j=1
i=1



 
n
n
∂h1 
∂h2 
h2 −
− h1 −
gdσ.
=4
uij νj
uij νi
∂z
∂z
j
i
∂Ω
i,j=1
i,j=1
ij

h2

Vậy (2.4) đã được chứng minh.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu






∆u h1





h1

≥ 0 trong Ω
= 0 trên ∂Ω

thì theo Nguyên lý cực đại cho phương trình elliptic, ta có
n

uij νi

−
i,j=1

∂h1
≥ 0, trên ∂D.
∂z j

Giả thiết thêm h2 ≥ 0 trên ∂D, từ khẳng định (2.4), ta nhận được

(h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu ≥ 0.
Ω

Vậy bổ đề đã được chứng minh xong.
20

νj dσ

dv.


Như là hệ quả của bổ đề trên, ta có một mệnh đề quan trọng sau đây.
Mệnh đề 2.1. Giả sử Ω là một miền bất kỳ trong Cn và u ∈ C 2 (Ω) là
hàm điều hòa dưới chặt. Nếu

|∂u|2u ≤ β

trong Ω

(2.6)

với hằng số β > 0 nào đó thì

n2

λ1 (∆u , Ω) ≥
β

(2.7)

trong đó λ1 (∆u , Ω) là cận dưới nhỏ nhất của phổ dương của toán tử ∆u
trên Ω.
Chứng minh. Đặt f (z) = e−αu(z) với z ∈ Ω, α > 0.
Theo Bổ đề 2.1, ta có

∆u f (z) = 4α(n − α|∂u|2u )f (z) ≥ 4α(n − αβ)f (z), z ∈ Ω.
Ta sẽ chứng minh rằng, trên Ω, ta có

λ1 (∆u , Ω) ≥ 4α(n − αβ), α > 0.
Thật vậy, ∀ > 0, giả sử Ω ⊂ Ω là một miền con compact của Ω sao cho

∂Ω ∈ C ∞ và Ω ↑ Ω khi

→ 0+ . Giả sử λ1 ( )là giá trị riêng dương đầu

tiên của bài toán Dirichlet đối với ∆u với hàm riêng v(z) trên Ω . Khi đó
do tính chất chính quy của v mà hàm v(z) dương trên Ω . Hơn nữa v = 0
trên ∂Ω . Sử dụng bất đẳng thức (2.4) cho các hàm






h1 = v

,





h2 = f
21