QUÁ TRÌNH tán xạ SIÊU hạt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Thị Yến

QUÁ TRÌNH TÁN XẠ SIÊU HẠT

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. PHẠM THÚC TUYỀN

Hà Nội-2011


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời biết ơn chân thành tới Thầy giáo, TS. Phạm Thúc
Tuyền người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình và giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và
hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học này.

Em cũng gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong Khoa vật lý, tới tất cả các Thầy
Cô, Tập thể cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết , đã hết lòng dạy dỗ trang bị cho em
những kiến thức và tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và thời gian hoàn
thành luận văn.

Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn tới tất cả người thân, bạn bè. Sự quan tâm
của mọi người đã giúp em có thêm quyết tâm để em hoàn thành luận văn một cách tốt

nhất.
Hà Nội, 15 tháng 12 năm 2011
Học viên

Nguyễn Thị Yến

1


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 4
CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TRƯỜNG SIÊU ĐỐI XỨNG ......................................... 6
1.1.Siêu đối xứng. ........................................................................................................... 6
1.2. Siêu không gian và siêu trường ............................................................................ 8
1.2.1.Siêu không gian.................................................................................................. 8
1.2.2. Siêu trường ......................................................................................................... 9
1.2.3.Siêu trường vô hướng thuận tay (siêu trường chiral) ..................................... 11
1.2.4. Siêu trường vectơ............................................................................................. 15
1.3. Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng .............................................................. 17
1.3.1. Lý thuyết trường chuẩn Abel .......................................................................... 17
1.3.2. Lý thuyết trường chuẩn non-Abel.................................................................. 20
1.3.3. Vi phạm siêu đối xứng .................................................................................... 22
1.3.4. Trường vật lý của MSSM................................................................................ 24
CHƯƠNG 2: MA TRẬN VÀ TIẾT DIỆN TÁN XẠ .................................................. 27
2.1. Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong cơ học lượng tử. ............................. 27
2.1.1. Khái niệm ma trận tán xạ S. ............................................................................ 27
2.1.2. Ý nghĩa vật lí của ma trận tán xạ S ................................................................. 29
2.1..3. Khái niệm tiết diện tán xạ. ............................................................................. 31
2.1.4.Các biến Mandelstam. ...................................................................................... 31

2.1.5.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân. ................................................................... 34
2.2.Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử. ............. 39

2


2.2.1. S- ma trận và khai triển Dyson. ...................................................................... 39
2.2.2 Tiết diện tán xạ................................................................................................. 48
CHƯƠNG 3: QUÁ TRÌNH TÁN XẠ

e e    ................................................. 52



3.1. Yếu tố ma trận....................................................................................................... 52
3.2. Tiết diện tán xạ vi phân ....................................................................................... 59
KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 63

3


MỞ ĐẦU
Siêu đối xứng có một tiên đoán rất kịch tính, đó là, mỗi hạt chất và trường đã
biết đều có siêu hạt đồng hành với spin sai khác 1/2 đơn vị [1]. Như vậy, mỗi lepton
có siêu đồng hành gọi là slepton, mỗi quark có siêu đồng hành là squark. Squark và
slepton là boson vô hướng. Mỗi hạt gauge truyền tương tác sẽ có siêu đồng hành là
gaugino: photon truyền tương tác điện tử có photino, hạt Yang-Mills truyền tương tác
yếu sẽ có Yang-Millsino, hạt gluon truyền tương tác mạnh sẽ có gluino. Các gaugino là
fermion Majorana.

Tiên đoán trên đây được coi là kịch tính vì cho đến nay, sau 40 năm tìm kiếm,
chúng ta chưa tìm được bất cứ siêu hạt đồng hành nào. Nếu tìm thấy, siêu đối xứng sẽ
là đối xứng thực sự của tự nhiên, nếu không tìm thấy, siêu đối xứng sẽ chỉ là một giả
định, chưa có gì đảm bảo là đúng.
Khi siêu đối xứng là đúng, thay cho một spinơ diễn tả hạt chất nào đó, ta có một
“siêu đa tuyến”, bao gồm cả trạng thái fermion (spinơ) lẫn trạng thái boson (vô hướng).
Thay cho một vectơ diễn tả trường một tương tác nào đó, ta có một “siêu đa tuyến”,
bao gồm cả trạng thái boson (vectơ) lẫn trạng thái fermion (spinơ Majorana) [2]-[3].
Khi đó, quá trình tán xạ giữa hai hạt trở nên rất phức tạp do sự tham gia của quá nhiều
hạt. Chính vì chưa tính được sự đóng góp của tất cả các hạt và hạt đồng hành, cho nên,
ta chưa thể tìm được vùng năng lượng có thể tìm thấy siêu hạt.
Nhiệm vụ được đặt ra cho tác giả luận văn thạc sỹ này là nghiên cứu một trong
số những quá trình tán xạ khi tính đến siêu đối xứng. Để tính đến sự đóng góp của tất
cả các hạt ta phải dùng đến các phần mềm chuyên dụng như FormCalc, FeynArts.
Trong luận văn này do tác giả chỉ tính bằng tay, cho nên cũng chỉ giới hạn ở một quá
trình cụ thể.
Luận văn được phân chia làm ba chương. Chương 1 đề cập đến những khái
niệm cơ bản về siêu đối xứng, viết tắt là SUSY, từ đó suy ra Lagrangian tương tác giữa

4


hạt với hạt, hạt với siêu hạt đồng hành và siêu hạt đồng hành với nhau. Chương 2 tóm
tắt các đặc trưng của bài toán tán xạ, các công thức cần thiết cho tính toán. Chương 3 là
tính một quá trình tán xạ phi đàn tính e e   .
Các kết luận được tách riêng thành mục cuối cùng.

Việc lựa chọn quá trình tán xạ có sinh ra siêu hạt từ sự hủy cặp e e  là có chủ ý.

Hiện nay mặc dù đã có máy va chạm hadron lớn (LHC), nhưng những số liệu thu được

từ các máy gia tốc lepton (LEP) vẫn rất phong phú và có vai trò quan trọng trong việc
tìm kiếm và kiểm chứng những lết luận của SUSY. Thêm nữa, các máy gia tốc cũng
đạt đến thang năng lượng không nhỏ (cỡ 1 TeV ), vì vậy, mọi tính toán lý thuyết đều có
thể kiểm tra được ở các trung tâm này.

5


CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT TRƯỜNG SIÊU ĐỐI XỨNG
1.1.Siêu đối xứng.
Siêu đối xứng (SUSY) là đối xứng giữa fermion và boson [1]-[4]. Các phép biến
đổi siêu đối xứng được sinh bởi các toán tử spinơ Q, Q , biến trường fermion thành
trường boson và ngược lại.

Q | Boson | Fermion ;

Q | Fermion | Boson  .

Do trường boson và trường fermion có thứ nguyên khác nhau 1/2, cho nên, thứ nguyên
Q phải bằng 1/2. Toán tử Q, Q được gọi là vi tử sinh lẻ. Chúng cùng với vi tử sinh
của nhóm Lorentz, được gọi là vi tử sinh chẵn, lập thành một đại số, trong đó, ngoài
đại số của nhóm Poincaré, ta còn có:

Q
  ,PQ , P   0

1
, J

Q
  2Q

1
 , J
Q
    Q
2

 Q , Q   2









P

 


Q





, Q   , QQ  0

Với:

6

(1.1a)






   1,   ,    1,  ,
1
  
4

  





1

4





(1.1a)

     

Trong đại số này phép toán giữa các vi tử sinh chẵn (hai toán tử boson B ) hoặc một
chẵn một lẻ (một toán tử boson B và một toán tử fermion F ) là giao hoán tử, phép
toán cho hai vi tử sinh lẻ (hai toán tử fermion F ) là phản giao hoán tử. Kết quả của các
phép toán đó là:

B, B  B, F , F  B,  B, F   F

(1.2)

Dĩ nhiên, đồng nhất thức Jacobi cũng được tổng quát hóa tương thích với quy tắc (1.2):

 B1 , B
2 ,
B3    B2 , B3  ,B1    B3 , B1 , B2   0
 B1 2,B, F   B2 , F , B1    F , B1 , B2   0

(1.3)

B, F   , F   F , F , B   F , B, F   0
1

2

1

2

2

1

F1, F2, F2  
F2 , F3
, F1   F3 , F1, F2   0

Đại số trong đó có cả hai phép toán, giao hoán tử và phản giao hoán tử, thỏa mãn đồng
nhất thưc Jacobi tổng quát như trên được gọi là đại số Lie phân bậc hay siêu đại số Lie.
Mục đích của các lý thuyết siêu đối xứng là đưa ra một mô tả thống nhất cho fermion
và boson, tức là, cho cả trường chất lẫn trường truyền tương tác.
Điểm nổi bật của siêu đối xứng là kết hợp các boson và fermion vào trong cùng
những đa tuyến tối giản hữa hạn. Siêu đối xứng làm phong phú thêm cho vật lý hạt cơ
bản; ngay cả một mô hình siêu đối xứng đơn giản nhất cũng có rất nhiều những hệ quả
lý thú, đặc biệt, chúng hạn chế được rất nhiều loại giản đồ phân kỳ trong lý thuyết
nhiễu loạn.
Siêu đối xứng là đối xứng duy nhất đã biết có thể liên hệ các hạt có spin khác
nhau là boson và fermion, và có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực phát triển của

7


vật lý lý thuyết ở giai đoạn hiện nay, chẳng hạn như lý thuyết dây. Ngoài ra có nhiều
nguyên nhân về mặt hiện tượng luận làm cho SUSY trở nên hấp dẫn. Một là, nó hứa
hẹn giải quyết vấn đề phân bậc tương tác (hierachy) tồn tại trong mô hình tiêu chuẩn.
Hai là, trong SUSY hạt Higgs có thể xuất hiện một cách tự nhiên như hạt vô hướng cơ

bản và nhẹ.
Để diễn đạt SUSY thuận tiện nhất, ta dùng phương tiện là siêu không gian và
siêu trường.

1.2. Siêu không gian và siêu trường
1.2.1.Siêu không gian.
Vi tử sinh spinơ của nhóm siêu đối xứng không thể biểu diễn được chỉ bằng
toán tử vi phân theo tọa độ không thời-gian thông thường. Để khắc phục điều này,
người ta đã mở rộng không-thời gian bằng cách đưa vào tọa độ spinơ phản giao hoán

 , bên cạnh tọa độ vectơ giao hoán x  [5]. Không gian mở rộng được gọi là siêu
không gian, tọa độ phản giao hoán được gọi là tọa độ lẻ, tọa độ giao hoán được gọi là
tọa độ chẵn. Do tọa độ lẻ chỉ là công cụ, chúng không thể có mặt trong biểu thức cuối
cùng của Lagrangian, cho nên, bước tính toán cuối cùng là tích phân theo tất cả tọa độ
lẻ. Tích phân theo tọa độ lẻ được tính như đạo hàm theo tọa độ đó.
Nếu dùng hình thức luận spinơ bốn thành phần tọa độ lẻ là spinơ Majorana  ,
còn nếu dùng hình thức luận spinơ hai thành phần tọa độ lẻ sẽ là cặp hai spinơ Weyl
( , ), trong đó,  là spinơ Weyl loại một hay tay chiêu,  là spinơ Weyl loại hai, hay
tay đăm [6]. Chỉ số của  là không có chấm,      , chỉ số của     *  là có
chấm. Các ma trận Pauli bốn chiều sẽ có một chỉ số có chấm một chỉ số không có
chấm. Tensơ Ricci sẽ có hai chỉ số không chấm hoặc hai chỉ số có chấm. Trong luận
văn này, ta sử dụng hình thức luận spinơ hai thành phần (xem phụ lục A).

8


Do tính phản giao hoán của tọa độ spinơ:





,   

   0

(1.4)

Từ đó suy ra, bình phương của các biến tọa độ lẻ bằng không, tức là biến lũy linh. Biến
lũy linh còn được gọi là biến Grassmann. Biến tọa độ lẻ phải có thứ nguyên bằng
1 / 2 .
Khi đó, vi tử sinh Q, Q của siêu đối xứng sẽ được biểu diễn bằng toán tử vi
phân theo các tọa độ như sau:

Q 




 i  




 
Q    i      
 

x

    i     






 
    i
      
x

(1.5)

Phép biến đổi siêu đối xứng và đạo hàm không giao hoán nhau, nghĩa là, hàm
trường và đạo hàm của nó không biến đổi như nhau. Để có được đạo hàm giao hoán
với vi tử sinh phản giao hoán, ta đưa vào đạo hàm hiệp biến sau đây:











 i   


 i   
 x

x

D   i   
   
(1.6)

 

D  



     i     

Đạo hàm hiệp biến có thứ nguyên 1/2.
1.2.2. Siêu trường
Siêu trường là một hàm trường trên siêu không gian. Chúng có thể là vô hướng,
vectơ hay spinơ. Do tính lũy linh, khai triển của siêu trường theo lũy thừa của tọa độ lẻ
sẽ hữu hạn. Ví dụ, khai triển siêu trường vô hướng ( x, , ) theo lũy thừa của  và

 sẽ có dạng:

9


( x, , )  A( x)   ( x)    ( x)   M ( x)    N ( x)


 V ( x)    ( x)    ( x)    F ( x).

(1.7)

trong đó, hệ số lũy thừa khác nhau của  sẽ được gọi là trường thành phần. Tập hợp
các trường thành phần được gọi là một siêu đa tuyến. Siêu đa tuyến tương ứng với siêu
trường (1.7) sẽ gồm:
- 8 trạng thái boson, diễn tả bằng 4 trường vô hướng phức:
A x , M  x  , N  x  , F  x 
- 16 trạng thái fermion diễn tả bằng 4 trường spinơ Weyl:

  ( x),   ( x),   ( x),  ( x)
- 8 trạng thái boson diễn tả bằng 1 trường vectơ phức:

V ( x)
Siêu trường thỏa mãn những tính chất cơ bản sau đây:
- Tổ hợp tuyến tính của các siêu trường cũng là siêu trường .
-Tích các siêu trường cũng là siêu trường.
Từ quy tắc biến đổi của siêu trường ta suy ra quy tắc biến đổi của trường thành
phần. Quy tắc biến đổi cho các siêu trường được định nghĩa:

   ( x , ,  )    A( x )     ( x )      ( x )
N ( x )  
  M ( x )  

( x
) V

m

      ( x )    ( x )    F ( x )


(1.8)

 

Trong đó,  là tham số biến đổi. Tham số biến đổi cũng phải là spinơ và có thứ
nguyên 1 / 2 . Bằng cách so sánh lũy thừa theo  ở cả hai vế, và với vi tử sinh được
cho như trong (1.5), ta có thể thu được phép biến đổi cho trường thành phần:

10




Như vậy, các siêu trường tạo thành các biểu diễn tuyến tính của đại số SUSY. Ta có
thể xây dựng siêu trường tương ứng với bất cứ siêu đa tuyến thành phần nào, bằng cách
bắt nguồn từ một trong các thành phần và áp dụng liên tiếp phép biến đổi (1.5) cho đến
khi đa tuyến là đóng.
1.2.3.Siêu trường vô hướng thuận tay (siêu trường chiral)
Siêu trường vô hướng thỏa mãn điều kiện [7]:

D   0

(1.10)

được gọi là siêu trường thuận tay trái, hay tay chiêu (left-handed superfield). Trong
(1.10), D là toán tử đạo hàm hiệp biến, chứ không phải là đạo hàm thường. Nó không

chứa nội dung động lực học như đạo hàm hiệp biến trong lý thuyết trường chuẩn mà
chỉ là công cụ toán học để giản lược số trường thành phần trong một siêu đa tuyến. Đặt
:

y   x   i 



(1.11)

suy ra:


 2i m
D 


.



.



D 

.





Nghiệm tổng quát của (1.10) là:

11

.

y m

;
(1.12)


  A( y )  2 ( y )   F ( y)
1


 A( x)  i   A( x)      A( x)
4
i

 2 ( x) 
2

(1.13)

Như vậy, một siêu trường vô hướng tay chiêu chỉ chứa ba trường thành phần: một
trường vô hướng A , một trường spinơ  tay chiêu và một trường phụ trợ F . Trong đa

tuyến của siêu trường vô hướng (1.13), trường vô hướng A , trường spinơ  lẫn đạo
hàm của chúng đều có mặt, vì vậy, Lagrangian của chúng có thể được tạo nên từ lũy
thừa của siêu trường tay chiêu. Siêu trường tay chiêu có thể coi là dạng siêu đối xứng
hóa trường chất cổ điển. Trong đa tuyến chất sẽ có trường spinơ tay chiêu  , trường
vô hướng A và trường phụ trợ F . Trường vô hướng A xuất hiện trong đa tuyến của
trường chất  , cho nên, nó được gọi là vô hướng siêu đồng hành của  .
Tương tự, siêu trường thỏa mãn điều kiện:


D   0

(1.14)

sẽ được gọi là siêu trường thuận tay phải, hay siêu trường tay đăm. Đặt:

y    x   i 



(1.15)

Khi đó:

D 



;
 



D    2i  m


.

.

.

m

Nghiệm tổng quát của (1.10) sẽ có dạng tương ứng là:

12

;

(1.16)


  A* ( y  )  2 ( y)   F * ( y  )
1
m
 A* ( x)  i Am* ( x)  
m A
* 
( x)
4
i

m
 2 ( x) 
2

m

(1.17)

Tích các siêu trường chiral cùng loại sẽ là các siêu trường cùng loại. Ví dụ, tích
các siêu trường tay đăm:

 i j  A (i y) Aj ( y)
i ( y) Aj ( y)  A ( y) j ( y)
  2i 
i A ( y)Fi j ( y)  Aj ( y)F ( y)  i ( y) j ( y)

(1.18)

 i j k  A ( y) iAj ( y) Ak ( y) 2 i i Ai j 
Ak  j Ak A  k A Aj 

(1.19)

 [Fi Aj Ak 
Fi j Aki A i Fk Ai Aj   j Ak   j Ak   j Ak ]
i

cũng có khai triển của siêu trường tay đăm.
Tích của một siêu trường có tính thuận tay khác nhau sẽ không còn là siêu
trường thuận tay. Ví dụ, với hai siêu trường tay chiêu  i ,  j , tích  i j sẽ có khai

triển sau đây:

13






 i j  Ai* ( x) Aj ( x)  2 j ( x) Ai* ( x)
 2 i ( x) Aj ( x)  i A* ( x)F
j ( x)   F ( x) Aj ( x)
i




.

 



   i   A*  Aj    A j   2 iAj 
*

i



*

2
  i

   2



      Aj     Aj   2F  j 

* 1* 1
1 *
*
Ai Aj 
Fi 
  F
j
i j
 AAAi j
 4
4
2
i  i


   i j 
i    j 
2
2



(1.20a)



 A

Rõ ràng, nó không phải là đa tuyến tay chiêu hay tay đăm.


Nếu có một siêu đa tuyến tay chiêu  , biểu thức   được gọi là dạng Kähler
của siêu trường  . Dạng Kähler có khai triển sau đây:

   A x  2 ( x) A* ( x)  2 ( x) A( x)   A* ( x) F ( x)
2



 F * ( x) A( x)     i   A* 




*

i
 
2




 
2

A 





A AA  2


.




i

 A*  A 



2

2

1 



*

2  

(1.20b)

A

Nếu lấy tích phân theo tất cả các tọa độ lẻ, chỉ có số hạng thuộc dòng cuối cùng của
dạng Kähler (1.20b) là khác không. Điều này nghĩa là, trong dạng Kähler ta chỉ giữ lại
hệ số của  . Đó cũng là động năng của trường vô hướng A và trường spinơ  .

14


Số hạng F

2

sẽ bị khử nhờ phương trình chuyển động. Số hạng cuối cùng chỉ là đạo

hàm toàn phần và do đó nó có thể được bỏ qua.
1.2.4. Siêu trường vectơ
Siêu trường thỏa mãn điều kiện thực [7]:

V ( x, , )  V  ( x, , )

(1.21)

sẽ có biểu thức khai triển:

i
V (x, , )  C(x)  i(x)  i (x)    M ( x)  iN(x)
2
i 
i



 2  M ( x)  iN ( x)   V(x)  i  (x)
(x)
 2

i 

i

1



2 2

(1.22)



1 
D(x)


 ( x)

2

Tuy V là vô hướng nhưng do trong khai triển của nó có chứa trường thành phần vectơ
V cho nên nó được gọi là siêu trường vectơ. Từ điều kiện thực suy ra:
- Các trường thành phần C, D, M , N và V là thực. Đó là 8 thành phần boson
của siêu đa tuyến.
- Các trường  ,  là hai spinơ tay chiêu Weyl. Đó là 8 thành phần fermion
của siêu đa tuyến.
Nếu có một siêu trường tay chiêu  , tổng     sẽ là một siêu trường vectơ.
Khi đó, xét phép biến đổi tác động lên siêu trường V như sau:

V  V   V      
trong đó,  là siêu trường tay chiêu. Trường thành phần của V sẽ biến đổi theo quy
luật:

15

(1.23)


C  C  2Re A,     i 2
M (x)  iN( x)  M (x)  iN (x)  2iF

(1.24)

V V  2 Im A,

  , D  D
Như vậy, giống như trường chuẩn cổ điển, thành phần vectơ của siêu trường vectơ
cũng được cộng thêm građiên 2 lẫn phần ảo của A . Siêu trường vectơ có thể coi là
dạng siêu đối xứng hóa của trường chuẩn, và do đó nó còn được gọi là siêu trường
chuẩn. Nếu chọn thành phần của siêu trường tay chiêu  một cách thích hợp, ta có thể
khử các trường C ,  , M , N và siêu trường chuẩn chỉ còn lại một trường vectơ, một
trường vô hướng và một siêu trường spinơ V ,  và D :

1
V  V     V( x)  i ( x)  i ( x)   D( x)
2

(1.25)

Siêu trường tay chiêu  thỏa mãn tính chất trên được gọi là chuẩn Wess-Zumino. Siêu
trường chuẩn trong chuẩn Wess-Zumino chỉ gồm một trường chuẩn vectơ thực V ,
trường spinơ  và trường vô hướng phụ trợ D . Trường spinơ  xuất hiện trong đa
tuyến của trường chuẩn V , cho nên, nó là trường siêu đồng hành của V .
Khác với siêu trường chất, trong khai triển (1.25) của siêu trường chuẩn, không
có đạo hàm trường chuẩn. Mặt khác, để V có thứ nguyên bằng 1, siêu trường V phải
có thứ nguyên bằng 0. Vì vậy, để có cường độ trường chuẩn, ta phải lấy đạo hàm hiệp
biến siêu trường vectơ. Xét siêu trường spinơ sau đây:

1
1
W   DDDV , W 
 DDDV

4
4

(1.26)

Siêu trường spinơ W là tay chiêu vì DDDDV chứa tích của ba đạo hàm D cho nên
nó sẽ bằng không. Tương tự, W sẽ là siêu trường tay đăm. Các siêu trường này có thứ

16




nguyên 3/2 . W W , WW  là tích hai siêu trường thuận tay nên chúng cũng thuận tay.
Vì lẻ đó, ta chỉ giữ lại hệ số của lũy thừa  ,  của chúng. Các hệ số này có thứ
nguyên bằng 4, đúng như yêu cầu của Lagrangian của trường chuẩn. Tính toán trực
tiếp, ta có:


W iDy y 

       y 





i 
F  
2 

(y)



i


W  i  y      D y         F2 ( y  )

(1.27)

      y  


F   V V
Và do đó:

WW
 


 WW 

 2i  


1
2



i
4

F F 

 

(1.28)

Số hạng thứ hai cho Lagrangian trường chuẩn cổ điển, số hạng thứ nhất cho động năng
của trường spinơ siêu đồng hành, số hạng thứ tư sẽ gây nên dị thường dòng trục khi
lượng tử hóa.
Với nhóm chuẩn non-Abel, siêu trường vectơ V sẽ không được chọn là siêu
trường chuẩn. Thay vào đó, ta sẽ chọn là expV . Nếu khai triển hàm mũ, ta chỉ có đến
số hạng thứ ba là khác không:

expV  1  V  V12
2
1.3. Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng
1.3.1. Lý thuyết trường chuẩn Abel

17

(1.28)


Giả sử ta có một siêu trường tay chiêu  mô tả chất. Xét phép biến đổi chuẩn
U 1 tác động lên  :

    e  i,       ei



(1.26a)

trong đó  là một siêu trường vô hướng không thứ nguyên. Để bảo toàn tính tay chiêu
của  , siêu trường  phải thỏa mãn điều kiện:

D   D   0

(1.26b)

nghĩa là  cũng phải là siêu trường tay chiêu và   phải là một siêu trường tay đăm.
Tuy nhiên, dạng Kähler lại không bất biến chuẩn:

    e





i  





(1.27a)

bởi vì  không phải là siêu trường thực (vectơ).
Để khôi phục tính bất biến chuẩn cho dạng Kähler, ta đưa vào siêu trường vectơ
V , với quy tắc biến đổi (1.23):

V  V   V  i     

(1.27b)

và thay cho dạng Kähler ban đầu ta dùng:

K    eV 

(1.28)

Có thể thấy rằng, dạng Kähler (1.28) là bất biến chuẩn.
Các siêu trường spinơ W , W cũng bất biến chuẩn. Thực vậy:

1
1
 
DDD V  i 
   
W   DDD
 V  
4
4
i
i
W DDD

 W  DDD
 
  
4
4
Mặt khác, có thể kiểm tra trực tiếp:

18

(1.29a)


D , D   2i











(1.29b)



Và do  là siêu trường tay chiêu, số hạng cuối của (1,29a) sẽ bằng không:
 D

DDD    D
 D





  D DD  D , D  

2i
  0
 

   D   D D
Và như vậy, W W
 


(1.29c)





 WW 



là bất biến chuẩn.

Với các kết quả trên, ta sẽ chọn Lagrangian cho lý thuyết trường chuẩn U 1
siêu đối xứng như sau:

1 W W
4

L    eV  |   



 WW 





(1.30)

Ta có thể xét nhiều siêu trường tay chiêu cho chất  l với quy tắc biến đổi:

 'l  el  igl , l '  eig  



l

l

D   0,D   0

(1.31)

.

Khi đó, Lagrangian của lý thuyết chuẩn siêu đối xứng sẽ là (1.30) cộng thêm số hạng
siêu thế:

L   l l eV|  

1 W W
 
   WW
4


h.c
 1mik  i k1 gikl i 
k  l  
 2
3
 

(1.32)

Trong đó, để siêu thế là bất biến U 1 , ta phải yêu cầu mik  0 hoặc gikl  0 bất cứ khi
nào gi  g k hoặc gi  g k  gl khác không. Để làm sáng tỏ nội dung hạt của
Lagrangian (1.32), ta có thể khai triển dạng Kähler của (1.28) trong chuẩn WessZumino:

19

 eV   A* A  i    FF *



1
i

 gV   


 A A
2
2

i
1 12 

g  A  A*    gD  g VV  
2
2 2 

(1.33)

Số hạng thuộc dòng thứ nhất vế trái là động năng trường chất vô hướng A và trường
spinơ siêu đồng hành  . Số hạng thuộc dòng thứ hai là tương tác chuẩn (dòng x thế)
của hai trường nói trên. Số hạng thuộc dòng thứ ba là Lagrangian tương tác bậc cao
giữa trường chất (kể cả siêu đồng hành) với trường chuẩn vectơ và siêu đồng hành
spinơ của nó.
1.3.2. Lý thuyết trường chuẩn non-Abel

Ta có thể tổng quát hóa kết quả trên cho nhóm chuẩn non-Abel. Khi đó, trường
chất sẽ biến đổi theo quy luật:

 '  ei
 '   ei



(1.34)

trong đó, pha là siêu trường xác định trong biểu diễn phó của nhóm chuẩn:

 ij  gTija  a

(1.35a)

với T a là vi tử sinh của biểu diễn phó, thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa và điều kiện giao
hoán như sau:

Sp T T b   k ab , k  0
a

T a ,
T b itabcT c

Để Lagrangian (1.30) bất biến dưới phép biến đổi chuẩn non-Abel (1.34), ta sử yêu
cầu siêu trường chuẩn biến đổi theo quy luật:

20

(1.35b)


eV '  e  ie eiV


(1.36)

trong đó, V  T Va . Khi đó, tensơ cường độ trường chuẩn sẽ được định nghĩa bằng:
a

1 V
W   DDe
 eVD
4

(1.37a)

Khác với trường hợp của nhóm chuẩn Abel, tensơ cường độ không bất biến chuẩn mà
biến đổi theo quy luật:

W  W   e  i W ei

(1.37b)

Tuy nhiên, nếu lấy vết của tích tensơ cường độ trường, ta vẫn được biểu thức bất biến
chuẩn để đóng vai trò Lagrangian của lý thuyết siêu chuẩn đơn giản nhất sẽ là:

L



1
Sp

W
W   W W
16kg 2

 

.

   e   

.

V

(
1
.
3
8
)

Nếu thay V  2 gV , và nếu vẫn dùng chuẩn Wess-Zumino, Lagrangian (1.38) sẽ có

1 a a a
L   F



biểu thức khai triển:

i  D  a  D
A D A  i  D

 D Da  F F  i 2 g 
F
4
aD A T A
1a 

a
2

A T a
 a   aT A
(1.39)

a a

Trong đó, các đạo hàm hiệp biến cho từng trường và tensơ cường độ trường sẽ được
định nghĩa như thường lệ:

21


D A   A aigV

TA

a

D     igVaT a
D a    a  gt Vb c

abc

(1.40)

F  V   V cgt V V
a

a

a

abc b

Lagrangian siêu đối xứng (1.39) chứa động năng của trường chuẩn V , trường spinơ
siêu đồng hành  , trường chất vô hướng A , trường siêu đồng hành  , các thế của
trường phụ trợ D a , F và Lagrangian tương tác.

1.3.3. Vi phạm siêu đối xứng
Để lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng diễn tả thế giới tự nhiên một cách thực
tế, cả đối xứng chuẩn lẫn siêu đối xứng đều phải bị vi phạm. Sự vi phạm có thể là tự
phát, là vi phạm mềm hoặc cả hai. Trong SM, sự vi phạm tự phát được diễn tả thông
qua một lưỡng tuyến trường Higgs. Trong MSSM, ta cần phải có hai lưỡng tuyến
trường Higgs. Trong tám bậc tự do Higgs, ba đã bị trường chuẩn Yang-Mills “ăn thịt”,

năm thành phần còn lại sẽ tạo thành năm hạt Higgs, hai hạt tích điện, một hạt vô hướng
thực sự và hai hạt giả vô hướng. Sau đó, chúng lại pha trộn với hạt gauge tích điện và
trung hòa, tạo thành các hạt chargino (tích tử) và neutralino (trung tử).
Sự vi phạm tự phát trong SM khác với trong MSSM [7]. Từ hệ thức phản giao
hoán của vi tử sinh lẻ (hệ thức thứ 4 của (1.1a) suy ra Hamiltonian:

H

1
Q1Q1  QQ11 Q2Q2  Q2Q2 
4

(1.41)

Ta thấy ngay rằng, Hamiltonian xác định dương, nghĩa là với mọi trạng thái vật lý  ,
ta đều có  H   0 . Như vậy, trạng thái cơ bản với năng lượng bằng không sẽ

22


không bị vi phạm siêu đối xứng, Q 0  Q 0  0 . Để có sự vi phạm tự phát, trạng thái
cơ bản phải có năng lượng khác không.
Với nhóm chuẩn G  SU 3  SU  2 U 1 , ta sẽ có các trường nguyên thủy sau
đây cho MSSM [8]:
1. Ba siêu đa tuyến trường chuẩn:
Wi , Wi , i  1, 2,3 cho tương tác yếu
B , B cho tương tác điện từ
G a , Ga , a  1, 2,...,8 cho tương tác mạnh

2. Siêu đa tuyến tay chiêu cho trường chất: Vì nội dung hạt ở ba thế hệ là giống

nhau, cho nên, ta chỉ nêu cho một thế hệ:
 
  ,
 eL 

  c

   , eL
 eL 

  , e



R

cho lepton và slepton (electron)

 u  c c
*
, d *
d , uR R cho quark
  , uL , L
và squark (quark up và down)
 d L

u
d L ,

Siêu tích yếu của các trường chất được suy ra từ hệ thức Gell-Mann và Nishijima.

3. Trường Higgs sẽ bao gồm hai lưỡng tuyến:
 H1   H1   H1   H1 
    , H 2    cho Higgs và Higgsino
 H 2  1  H 2 

, H
H   1 ,2H

H2   H2 

1

2

1

Siêu tích của lưỡng tuyến thứ nhất bằng 1, của lưỡng tuyến thứ hai bằng 1. Như
vậy, H 21 có điện tích 1, H12 có điện tích 1 hai thành phần còn lại trung hòa điện.
Tương tự như vậy cho Higgsino.
Siêu thế bất biến chuẩn tổng quát nhất giữ nguyên được các kết quả của SM là:

W  h ij H i H 2   ijl H i L j R J   ij d H i Q j D J   iju H i Q IU J 
1

IJ

I

IJ

1

I

1 IJ 2

23

(1.42)


trong đó, L, Q, U , D được hiểu là lưỡng tuyến lepton, quark va đơn tuyên quark kiểu
up ( u, c, t ) và quark kiểu down ( d , s, b ) và I , J là chỉ só thế hệ. Còn một số biểu
thức bất biến gauge nhưng vi phạm các định luật bảo toàn số lepton, số baryon cho nên
không thể chấp nhận được (chúng sẽ bị loại trừ nhở quy tắc bất biến R  chẵn lẻ).
Những số hạng vi phạm mềm được tách thành nhiều loại:
a) Số hạng khối lượng cho trường vô hướng

mH2 H i1*H i1  mH2 H i2*H i2   mL2  LiI *LJi
1

IJ

2

 mR2  Ri iJ  R mQ2  Qi iJ Q
IJ

IJ

I*

I*

 mD2  D D J   mU2  U U J
IJ

I*

IJ

(1.43)

I*

trong đó, tổng được lấy cho chỉ số thể hệ I , J .
b) Số hạng khối lượng của gaugino:

m1 G Ga  h.c  m2 G Gi  h.c  m1  B B  h.c
a

i

(1.44)

c) Số hạng kiểu Yukawa:

hS ij i j2   ij S i j
1

IJ
ij S i j

I
ij S i jI

U J   h.c H H
IJ

1

I

1 IJ 2

l H L RJ   d H Q DJ   u H Q

(1.45)

1.3.4. Trường vật lý của MSSM
Từ biểu thức siêu thế (1.42) và các số hạng vi phạm mềm (1.43)-(1.45), bằng
cách chéo hóa các ma trận khối lượng l IJ , u IJ , d IJ , chọn giá trị trung bình chân không
của trường Higgs dưới dạng:
H1 

1 1  1  0 
, H2 
 2  2 
2 
 0

(1.46)

và chọn chuẩn ’t Hooft-Feynman, ta sẽ thu được các trường vật lý. Chúng gồm:

24