ĐỀ tài QUÁ TRÌNH PHÂN rã SIÊU hạt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Trần Việt Phú

QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ SIÊU HẠT

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. PHẠM THÚC TUYỀN

Hà Nội-2011


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Phạm
Thúc Tuyền. Cảm ơn thầy đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình
học tập cũng như trong thời gian thực hiện luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong tổ Vật lý lý thyết, các thầy
cô trong khoa Vật lý. Những người đã hết lòng dạy dỗ và tạo điều kiện cho em
trong lúc em làm luận văn cũng như trong thời gian em học tập tại trường.
Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn đến những người thân và bạn bè của
mình. Sự khuyến khích và giúp đỡ của mọi người đã giúp em có điều kiện và niềm
tin để có thể bước đi trên con đường mình đã chọn.

Hà Nội, ngày 17 tháng 12 năm 2011
Học viên: Trần Việt Phú

1


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 4
CHƯƠNG 1: Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu ........................................ 6
1.1 Các trường trong mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu ......................... 6
1.2 Lagrangian trong MSSM ............................................................................... 8
1.3 Phổ vật lý của MSSM .................................................................................. 11
CHƯƠNG 2: Quá trình phân rã trong lý thuyết trường lượng tử ............................ 19
2.1 Biểu diễn tương tác ...................................................................................... 19
2.2 S ma trận và khai triển Dyson ...................................................................... 21
2.3 Áp dụng cho quá trình phân rã C  A  B .................................................. 24
CHƯƠNG 3: Tốc độ phân rã siêu hạt .................................................................... 29
3.1 Sự phân rã của gluino g  uu L ................................................................... 29
3.2 Sự phân rãg  t t 1 ....................................................................................... 34
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 41
PHỤ LỤC............................................................................................................. 44
A. Các quy tắc và kí hiệu của spinor .................................................................. 44
B. Các Quy tắc lấy tổng ..................................................................................... 45

2


i) Quy tắc lấy tổng theo chỉ số màu………………………………………….45

ii) Quy tắc lấy tổng theo spin………………………………………………...46

3


MỞ ĐẦU

Khi thế giới vật chất là siêu đối xứng, ngoài những hạt đã biết sẽ tồn tại
những hạt đồng hành với chúng có spin sai khác 1/2 đơn vị [14]-[15]. Như vậy, nếu
trước đây trong một quá trình phân rã ta có một số giản đồ khả dĩ thì giờ đây số giản
đồ sẽ tăng lên gấp đôi. Điều này kéo theo, vận tốc phân rã sẽ có những thay đổi
đáng kể cả về lượng lẫn về chất. Việc cho đến nay chưa tìm ra một hạt siêu đồng
hành nào, có thể có nguyên nhân là do chúng ta chưa có đánh giá đúng về khối
lượng của chúng và do đó việc tìm kiếm đã không được thực hiện trong vùng năng
lượng chính xác.
Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày tính toán một số quá trình phân rã
của gluino, siêu hạt đồng hành của gluon, thành quark up và quark top và phản hạt
đồng hành của chúng. Những kết quả tính toán như thế, nều được thực hiện đầy đủ,
chúng sẽ góp phần vào việc xác định vùng cần tìm kiếm các siêu hạt đồng hành ở
các máy gia tốc.
Luận văn được trình bày trong ba chương và một phần kết luận. Chương 1
dành để trình bày nội dung chủ yếu của mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu.
Phần siêu đối xứng được coi như đã biết [5]. Cuối chương một số số hạng của khai
triển Lagrangian tương tác cho những siêu trường cần thiết giúp cho việc thực hiện
tính toán trong chương 3 sẽ được viết tường minh [16]. Chương 2 dành để tóm lược
những tiến trình cần thực hiện để tính tốc độ phân rã. Chương 3 được dùng để trình
bày những tính toán cho tốc độ của quá trình phân rã gluino thành quark u và
squark u và gluino thành quark t và squark t .
Những quá trình phân rã trên là sản phẩm của những va chạm năng lượng
cao tại các máy gia tốc LEP, LEP2, trong đó có phản ứng hủy cặp e e sau khi đã

được gia tốc tới vận tốc rất lớn.

4




Biện luận về các kết quả thu được sẽ được trình bày trong phần kết luận.
Phần phụ lục sẽ trình bày kỹ năng tính toán đối với spinơ hai thành phần, cần
thiết cho việc tính toán thực hiện trong chương 3.
Cuối cùng là sách tham khảo và tài liệu dẫn.

5


CHƯƠNG 1:

MÔ HÌNH TIÊU CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG
TỐI THIỂU
1.1 Các trường trong mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu
Để thu được lý thuyết mở rộng siêu đối xứng tối thiểu cho mô hình tiêu
chuẩn (Minimal Supersymmetric Standard Model - MSSM) ta cần mở rộng thành
phần trường của lý thuyết bằng cách thêm vào các siêu đồng hành vô hướng và
fermion thích hợp cho các trường vật chất và trường chuẩn ban đầu. Với lepton ta
có các hạt vô hướng siêu đồng hành là slepton, với quark ta có các hạt vô hướng
siêu đồng hành là squark. Với các hạt chuẩn (gauge) như W, Z, photon, gluon ta có
các hạt fermion siêu đồng hành được gọi là gaugino. Photon có photino, W có wino,
Z có zino, gluon có gluino. Hạt Higgs sẽ có hạt fermion siêu đồng hành là higgsino.
Nếu dùng ngôn ngữ siêu không gian và siêu trường [17], mỗi thế hệ của
MSSM được mô tả bởi năm siêu trường thuận tay trái, tay chiêu (left-handed), còn

các trường chuẩn sẽ được miêu tả bởi các siêu trường vector tương ứng.
Về trường Higgs, trong SM ta chỉ cần một lưỡng tuyến Higgs để có thể tính
toán khối lượng cho fermion thông qua tương tác Yukawa. Khi chuyển sang
MSSM, nếu chỉ dùng một lưỡng tuyến Higgs sẽ không đủ để tính khối lượng của tất
cả các quark và các lepton vì các số hạng tương tác Yukawa trong các lý thuyết
chuẩn siêu đối xứng xuất phát từ siêu thế, nên chỉ chứa các siêu trường chiral chứ
không chứa liên hợp hermitic của các siêu trường này. Điều này dẫn đến không thể
đưa vào các số hạng bất biến U(1)Y mà có thể sinh khối cho cả quark up lẫn quark
down nếu chỉ dùng một lưỡng tuyến Higgs. Vì vậy trong MSSM ta cần ít nhất hai
lưỡng tuyến Higgs [18]-[19]. Các trường thành phần trong MSSM được mô tả trong
các bảng sau:

6


Spin 1

Hệ số liên

SU 3C  SU  2 L  U 1Y

Spin 1/2

kết

U 1 em

(coupling)

B

B

i

1

1

0

g1

0

i

1

3

0

g2

0 1

a

8

1

0

g3

W

W
a

G

G

0

Bảng 1.1 Các đa tuyến của nhóm chuẩn SU(3)× SU(2)×U(1)

Spin 0

I

 ν 
L =  -I
 eL 
I

I

SU 3C  SU  2 L  U 1Y

Spin 1/2

I

ν
I
ψ L =  -I 
e  L

1

C

ψ =  eL 

+I

I
R

R = eR

I

 u 
I
Q =  I

 
 dL 

-I

I

u
I
ψQ =  I 
d  L

7

2

U 1 em

1

0
 
1


1

1

2

1

3

2

1/ 3

2

3 
1 
-3 


 I*
D = dR

I

C

ψ =  dL 

I

I
D

I

C

ψ =  uL 

I*

I
U

U = uR

1

I

3

1

2/3

3

1

4 / 3

1

 H1 
H =  
1 
 H2 

 ψ H1 
ψ H =  1 
 ψ H2 

1

1

1

2

2

 H1 
H =  2 
 H2 

 ψ H1 
ψ H =  2 
 ψ H2 

2

1

2

2

2

1
3

 23

0

1

1

0

-1

1

Bảng 1.2 Các đa tuyến vật chất.
1.2 Lagrangian trong MSSM
Việc xây dựng Lagrangian trong MSSM cũng tương tự như trong SM. Ta sẽ
chia Lagrangian ra các phần như sau:

l = l kinetic  l interaction  l Yukawa  l

soft

(1.1)
V

Trong đó, các thành phần cụ thể như sau:
1.

l kinetic

chỉ số hạng động năng của các trường và có dạng:

- Các boson chuẩn:
μν

iμν

- 41 Bμν B - 41 Aμνi A - 41 g μνa g aμν
Trong đó:

8

(1.2)


Bμν =  μ Bν -  ν Bμ
ikl

(1.3)

Aμνi =  μ Aνi -  ν Aμi - gε Aμk Aνl
g μν =μ ν νgμ -  μgνc- gC g g
a

a

a

abc b

- Các fermion gồm có các gaugino, lepton, quark và Higgsino:

 i  





(1.4)

- Các boson vô hướng gồm có slepton, squark và Higgs:

   
*

2.

linteraction



(1.5)

chỉ các số hạng tương tác gồm có:

- Số hạng tự tương tác của các đa tuyến chuẩn: tương tác đỉnh ba và bốn
của các gauge boson cộng thêm tương tác của các trường gaugino và trường gauge:


igfabc   Vc
a

b

(1.6)

- Tương tác của các đa tuyến chuẩn với các đa tuyến vật chất:


 gTijaVa (i   +iA
 Aj ),

j i*

a a *
a
A
ig 2Tij (

j i  Ai 
j ),

(1.7)

b *

a

g 2 (T T b )ijVaV Ai j A
3. Siêu thế vô hướng

V:
V

1
2

a

*

D Da  Fi i F

(1.8)

Ở đây:
Fi  Wi / A
D a  gA Tij A

*a

9

(1.9)


4.

l Yukawa

để chỉ số hạng tương tác Yukawa:

  2W    2
W
 1 
   i j     i j
A
A 
2 
 Ai j   Ai j 

*

(1.10)

Ở các biểu thức trên ta đã dùng kí hiệu W để chỉ siêu thế. Đó là một hàm của
siêu trường chỉ phụ thuộc vào các trường vô hướng Ai mà không phụ thuộc vào A*i .
Dạng tổng quát của siêu thế không vi phạm bất biến chuẩn và các định luật bảo toàn
trong SM là:

W  ij H i H j +Yl H i L j R +Yd H i Q j D +Yu H i Q IU J 
1 2

5.

l soft

IJ 1 I J

IJ 1 I J

IJ 2

(1.11)

là số hạng phá vỡ siêu đối xứng mềm. Số hạng này được đưa vào để

phù hợp với các số liệu thực nghiệm là việc các hạt trong cùng một đa tuyến có khối
lượng khác nhau, nhưng không làm mất đi tính chất quan trọng của lý thuyết là sự
vắng mặt của các phân kỳ bậc hai. Nó có dạng tổng quát:

m1R A + m2T A + y  A + H.c. + m3  λ λ + H.c.
2

2

3

aa

(1.12)

A2 và A3 để chỉ tất cả các tổ hợp của các trường vô hướng bất biến chuẩn. Số
hạng trên có thể chia ra các lớp:
- Số hạng khối lượng cho các trường vô hướng:
i 
H m
 mH H i H
H i i H L i(m
i )R2L)L
RR(m
J
2 1* 1
1

2 2* 2

2 IJ I* J

IJ I*

2

(1.13)

D )DUU(m
 (m ) Q Q D (m ) U2
J
2 IJ I* J

Q i i

2 IJ I* J

IJ I*

- Số hạng khối lượng cho các gaugino:
1

i

a

λ λ3 G Ga + H.c.
M 12 B B +λ21λ M 2 AλAiλ+ 21 M

10

(1.14)


- Liên kết tam tuyến của các trường vô hướng tương ứng với số hạng
Yukawa trong siêu thế:

m122 ij i

j

H H +  A H L RU+  IJH.c.
A 2H Q

D+AHQ
(1.15)

1 2
IJ 1 I J
IJ 1 I J
ij l i j
ij d i j
ij u i jI
J

- Liên kết tam tuyến của các trường vô hướng khác với số hạng Yukawa
trong siêu thế (còn được gọi là “các số hạng không giải tích” vì chúng chứa liên hợp
điện tích của trường Higgs):

Al

i j

'IJ 2* I J
d i j

2* I J 'IJ 1*
H L R'IJu+A
+A H Q
i jIH
U JQDH.c.
(1.16)

1.3 Phổ vật lý của MSSM

Để thu được phổ vật lý của các hạt trong MSSM ta cần thực hiện quy trình
tiêu chuẩn của việc phá vỡ đối xứng chuẩn thông qua các giá trị trung bình chân
không (vacuum expectation value-VEV) của các trường Higgs trung hòa và tìm các
trạng thái riêng của các ma trận khối lượng cho tất cả các trường. VEV của trường
Higgs thỏa mãn phương trình ( θ để chỉ góc Weinberg, sW = sinθ , cW = cosθ ,

e = g2 sW = gc
1 W ):
H=

1  v1 
2
 H=
2 0

 e2
c 2 2
 8sW W



1

 e2 2
   c 22
 8sW W

2
1 2 2H 1

v  v2

+m+μv


v v +m
1 2

2

10

2  v2 

H2 2



1

22
12 2

=mv
 (1.18)

+ μ 2 v2 =  (1.19)
m122 v1


Các tham số của phương trình trên bị ràng buộc bởi điều kiện là v1 và v2
phải dẫn đến các giá trị thích hợp của khối lượng các boson chuẩn.
Các trường vật lý của MSSM có thể được xác định như sau:

11

(1.17)


1. Các boson chuẩn. Tám gluon g μa và photon Fμ không khối lượng, còn các
boson Wμ± và Z μ có khối lượng:
e
MZ =
v1
2sW Wc
e

MW =

2sW



2



2

1

2
2

+v



v1 2v+2

(1.20)
1

(1.21)

2

2. Các Higgs vô hướng tích điện. Có bốn Higgs vô hướng tích điện tồn tại,
trong đó có hai hạt có khối lượng còn hai hạt không có khối lượng.
M H2 ± =1 M W

2
H2 1

+m
+ mH2 2 + 2 μ

2

(1.22)

Khi có trường chuẩn, các hạt H 2± (  G ± ) bị ăn bởi các W boson và biến mất
khỏi Lagrangian. Các trường H 1+ và H 2+ liên hệ với các trường Higgs ban đầu bởi
ma trận quay Z H :
 H 2  1+ H

  =Z H
2
2
 H1   H+ 
1*

ZH =  v + v
2
1



2 2
2

1

(1.23)

 v2 -v1 

 1v v2 

(1.24)

3. Các Higgs vô hướng trung hòa. Để thuận tiện, ta chia các Higgs trung hòa
ra hai lớp:
i) Các hạt vô hướng H i0 với i = 1,2, được định nghĩa:
i

ij 0

(không lấy tổng theo i)

2R H i =Z
R jHiv+

12

(1.25)


Ma trận ZR và các khối lượng của H i0 có thể thu được bằng cách chéo hóa
mà trận M R2
2
2
 2 v2
e v12
2
e v1v2
+ 2 m 12- 2
 -m12
c
v1 W4s
W2 c

4sW W2
T
ZR
2
22

v e v2 
e v1v2
2
-m
2
2 122 1 +
 m12 4sW W2
c
v2 W W2  4s c



  MH0 0  1

 Z R= 

 0 M H2 0 2 


(1.26)

ii) Các hạt giả vô hướng Ai0 , i=1,2:
i ij
2T H i =Z

H j0A

(1.27)
2

0

A10 ( A ) có khối lượng M A2 = mH2 1

1

+ 02m(
H2 G 0 ) là hạt boson
+2μ,A

Goldstone không khối lượng và sẽ biến mất khi dùng chuẩn unitary. Ma trận ZH
tương tự trường hợp boson Higgs tích điện.
4. Các fermion vật chất (quark và lepton) có khối lượng (chú ý rằng Yl I ,YdI
được định nghĩa là âm):

mν =0

m
vY I

I

md = - 1 d

2

I

e

mu = 2 u
2

vY
2

I

=-

vY

5C.ácharginoBốsptàhần

I 1 lI

I

(1.28)

1 2 1

,λ,ψ,ψ

hai fermion Dirac bốn thành phần χ1 , χ 2 tương ứng với hai chargino vật lý. Các ma

trận pha trộn chargino Z+ và Z- được định nghĩa bằng điều kiện:

T

 Z -  


 M2
ev1


 2sW

ev2 
2sW 
μ

13

 M χ1 0 
Z+ = 


 0 M χ 2 



(1.29)

Các ma trận Z+ và Z- không được xác định một cách duy nhất. Vì vậy ta có
thể lựa chon để M χ i xác định dương và M χ 2

Mi được liên hệ với
. Các trường> 

1χ

các spinor ban đầu như sau:
2i
ψ H2 = Z+κi+
1

1

 κ+ 
χi =  - 

2i -

ψ H = Z - κi
2

1

λA± 

i

(1.30)

κi 

λA iλA
1i
= iZ ± i±κ
2

6. Neutralino. Bốn spinor hai thành phần

λ

, λA , ψ H1 , ψ H2  kết hợp thành bốn
3 1

B

fermion Mojorana i0 , i = 1,…,4, gọi là neutralino. Công thức cho các ma trận pha
trộn và khối lượng được cho:


0
 M1


 0 M2
Z NT 
 -ev1 ev1

2sW

 2cW
 ev2 -ev2

 2cW 2sW

-ev1
2cW

ev2 
2cW  

ev1 -ev2 
0
 Mχ



2sW 2sW 
Z N = 
(1.31)


0 -μ 
0
Mχ 




-μ 0 


10

0

4

1i

λB =NiZ
i0 κ
3

2i

λA =NiZ
i0 κ
1

3i 0

ψH=Z κ

0

χ = 0 

1

 κ0 

i

 κi 



ψNH 2 = Z N i0κ
i
i
2

4i

7. Các gaugino SU(3) không pha trộn. Khi sử dụng kí hiệu spinor bốn thành
phần ta có tám gluino g a với khối lượng M3 .

14

(1.32)


a

 -iλG 
g =  
 iλG a

a

(1.33)

8. Ba trường phức vô hướng LI1 tạo thành ba sneutrino với khối lượng có
được bằng cách chéo hóa ma trận M ν2 :

LI1 = Z νIJ ν J
0
 M ν2


Z ν† M
ν 2 Z ν = 

0
M2  ν


1

(1.34)

3

e  v1 22 -v
M = 2 2 1+ mL2ˆ
8sWcW
2 2

2
ν

Sneutrino là các vô hướng phức trung hòa.
9. Các trường LI2 và RI pha trộn tạo thành sáu slectron tích điện Li, i=1,…,6:
I

Ii*

L2 =Z
L i-L

 

 M L2
†
ZL †
2
L M
LR

LL



M

2

I+3i +

R = Z L

M  
M   
L2

LR

L RR2




=-

M

L RR

M

L LR

2

2 2
e2  v12 - v22 
ˆm
v1R2l Y
1+
+

2
4cW
2

= 1 v2Yl μ -l*A
1l +
v A
2

10. Các trường Q1I và UI trở thành sáu squark up Ui:

15

Li

(1.35)

0
 M L21


Z L = 
(1.36)
2 
0
M

 L6

2 2

e2  v12 - v22 1 - 2cW2 
Y
ˆ
v
1l
=
+  mL2 
2 1+
c
2
8sW W2

L LL

2

I

T

(1.37)


  

 MU M
T
ZU †

 LRMM2 U

  

M
M
M

2
U

2
U

2
U

(1.38)

U i-

0
 M U21


LR 
ZU* = 
(1.39)

0
M 2  U6




RR 


2
U

LL

I+3i*

I

U = Z U

Q1I = ZUIiU i+

2
U

2 2
e 2 v21 22 -v1 - 4cW2 
ˆ
v
2u
=+  KmQ2 K † Y
21+
2

e  v1

LL

2 2
22

24sW cW
2
Y
ˆ v2 u 2 2

-v
2

=

T

(1.40)

1+ + mU2
6cW
2
=- v11 
Yu μ + Au* 
+ v2 Au
2




RR

LR

11. Cuối cùng ta có sáu squark down Di từ các trường Q I2 và DI:

Q2I =Z
D i-D
Ii*

 

 M D2
†
ZD †  M 2


M
M
M

2

2

LL



D RR

2
D LR


M 
D

D LR

D LL



M D2 




DI+3=
Z D
i

I

(1.41)

Di+

 M D2 1



LR 
Z
D
=

0
M
2 


RR 

e2  v1 - v2 1+ 2cW 
Y
=1+ +  mˆQ2v1 d 2 2
2
24sW W2c

0


(1.42)
2 

D6

2 2

e2  v12 - v22 

T

2

ˆ v1 d 2 Y2
=1+ + mD2
12cW
2
1  Y μ - A + v A
v2 d d* 1 d 
=
2
2

Bây giờ ta có thể định nghĩa tất cả các trường vật lý có trong MSSM:
Photon

Aμ

16

(1.43)


Gauge boson

Z μ ,W
μ±

Gluon

g μa

a=1…8

Gluino

g a

a=1…8

Chargino

χi

i=1,2

Neutralino

χi0

i=1…4

(spinor Majorana)

Neutrino

νI

I=1…3

(spinor Dirac)

Electron
Quark

0

eI
uI, dI

I=1…3
I=1…3

(spinor Dirac)

ν I

I=1…3

Selectron

L±i

i=1…6

±

(spinor Dirac)

(spinor Dirac)

Sneutrino

Squark

(spinor Majorana)

Ui , D

i=1…6

Các hạt Higgs
tích điện

H 1±   H ± 

vô hướng trung hòa

0
H 1 20, H H, h

giả vô hướng trung hòa

A10  A0 

Trong chương ba ta sẽ tính đến một số quá trình rã mà sản phẩm là các siêu
hạt. Để làm việc đó ta cần viết Lagrangian theo các trường thành phần và từ đó suy
ra Lagrangian tương tác giữa chúng. Tuy nhiên, do khi tính toán, ta chỉ dùng một số
trong số đó, cho nên, để kết thúc chương này, ta sẽ dẫn ra một số Lagrangian tương

17


tác trong chuẩn ’t Hooft-Feynman. Trong chuẩn ’t Hooft-Feynman, trường ma sẽ có
Lagrangian rất đơn giản và dễ sử lý. Tuy nhiên, trường không vật lý là trường
Goldstone lại không bị khử hoàn toàn ở cơ chế Higgs như trong chuẩn unitary. Do
khi tính bổ chính bậc cao, việc sử lý số hạng liên quan đến trường Goldstone dễ hơn
việc sử lý trường ma cho nên, ta sẽ dùng chuẩn ’t Hooft-Feynman thay cho chuẩn
unitary quen thuộc.

LGF  

2
2
1
a2

  G   21



 


A

  Z   21 1   W    W
2

mZ H04   Z 2  im2W  H   W  H   W 

(1.44)

1
2
2 
  mZ2  H 40    mW 2 2 H H
2
trong đó, trường chuẩn của tương tác điện - yếu là:
A  cos B  sin WW

3

Z    sin B  cosW3
Dòng thứ nhất của (1.44) là chuẩn ’t Hooft-Feynman quen thuộc trong SM,
dòng thứ hai sẽ khử những yếu tố ngoài đường chéo của điỉnh tương tác gaugeHiggs sau khi đã vận hành cơ chế Higgs, dòng cuối cùng sẽ tạo khối cho hạt
Goldstone.

18

(1.45)


CHƯƠNG 2:

QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ TRONG LÝ THUYẾT

TRƯỜNG LƯỢNG TỬ
2.1 Biểu diễn tương tác
Khi xây dựng các lý thuyết hiện đại để mô tả bản chất vật lý của các hiện
tượng, ta gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải các phương trình, xử lý toán học
các biểu thức… Để chuyển những khó khăn này sang các mảng khác trong trường
hợp cụ thể, ta dùng các lý thuyết biểu diễn và đỏi hỏi tất cả các lý thuyết biểu diễn
chỉ là phương pháp mà không được phép làm thay đổi một số đại lượng vật lý quan
sát đo đạc được như: trị riêng của toán tử, phần chéo hóa của yếu tố ma trận…
Có ba bức tranh diễn tả cơ học lượng tử nói riêng và lý thuyết lượng tử nói
chung mà ta quen gọi là ba biểu diễn [6]: biểu diễn Schroedinger, biểu diễn
Heisenberg và biểu diễn tương tác. Trong lý thuyết trường lượng tử, khi xét hệ gồm
các hạt tương tác thì lựa chọn thuận tiện nhất là sử dụng biểu diễn tương tác. Khi đó
ta có thể giảm bớt sự phức tạp của Hamintonian phần tương tác sang cả hàm sóng
và toán tử.
Hamintonian trong biểu diễn tương tác được chia làm 2 phần:
H=H0 + H’

(2.1)

Trong đó: H0 là phần mô tả các hạt tự do.
H’ là phần mô tả tương tác giữa các hạt.
Tương ứng với toán tử Aˆ không phụ thuộc thời gian trong biểu diễn
Schroedinger, ta định nghĩa toán tử trong biểu diễn tương tác:
ˆ

ˆ -iH t
AIˆ (t)= iHˆ
e tAe
0

19

0

(2.2)


Từ đây ta có phương trình cho toán tử:

dAˆ I (t)
 Aˆ
I (t),Hˆ 0
= -i 
dt

(2.3)

Trong biểu diễn Heisenberg, toán tử trường liên hợp chính tắc của ˆ(x,t) là:
ˆ ˆ= (x,t)
π(x,t)

(2.4)

Và ta chấp nhận biểu thức giao hoán tử tại cùng thời điểm:
ˆ(x,t), π(y,t)
ˆ = iδ (x 3- y)



(2.5)

ˆ vàˆ π(x,t) theo toán tử sinh hủy:
Với biểu thức khai triển của (x,t)
ˆ (x) = 

ˆ =
π(x)

3

dk
-
3
(2π) 2ω


3

dk
-
 (2π)
2ω3


-ikx
ˆ
a(k)e
+ aˆ † (k)e
ikx


(2.6)

-ikx
ˆ
a(k)e
- aˆ † (k)e
(-iω) 
ikx
(2.7)



Ở đây kx = ωt  kx và ω = k + m2 .
Từ (2.5), (2.6), (2.7) ta thu được biểu thức giao hoán tử của toán tử sinh hủy:
33
ˆ 
aˆ† (k)
 a(k),
= (2π) δ (k - k)

(2.8)

Tương tự, trong biểu diễn tương tác ta cũng có:
3
ˆI (x,t),
Iˆπ (y,t) = iδ (x - y)


(2.9)

Tức là trong biểu diễn tương tác, các trường ˆ I (x,t) và πˆI(y,t) tuân theo biểu
thức giao hoán tử như các trường tự do. Vì vậy, các trường trong biểu diễn tương
tác tuân theo các phương trình động và các biểu thức giao hoán như của các toán tử

20


trường tự do. Do đó, biểu thức khai triển (2.6) và giao hoán tử (2.8) cũng có thể
dùng cho các toán tử trong biểu diễn tương tác.
Bây giờ ta xem xét véc tơ trạng thái trong biểu diễn tương tác. Sử dụng véc
tơ trạng thái trong biểu diễn Schroedinger ψ(t) ta định nghĩa:
ˆ
iH0t

ψ(t) I = e ψ(t)

(2.10)

Từ đó ta có phương trình động cho ψ(t) I :

d

iHˆ t  d
ˆ +i ψ(t) 
i ψ(t) I = e -H0 ψ(t)
dt

dt 
0



ˆ t
= eiH -Hˆ
ψ(t)
+(H +ˆ0Hˆ ) ψ(t)
0
0



(2.11)

= e Hˆ  ψ(t)
iHˆ 0t

-iHˆ t
= eiHˆHˆt e
ψ(t)
0

Hay:

Với:

dt

i

d

0

ψ(t) I = Hˆ I (t) ψ(t)

Hˆ I = eiHˆHˆt e-iH t
0

I

I

(2.12)

ˆ

0

(2.13)

Là Hamiltonian tương tác trong biểu diễn tương tác.
2.2 S ma trận và khai triển Dyson
Giả sử các trạng thái đầu và trạng thái cuối của hệ tại các thời điểm t  
và t   lần lượt được diễn tả bởi các véc tơ trạng thái () I  i

và

() I  f . Và tại các thời điểm này Hˆ I  0 . Khi đó ta định nghĩa toán tử Sˆ :
() I  SˆI ()
Sˆ i

21

(2.14)


Một phần tử nào đó của ma trận S chính là biên độ xác suất để tìm thấy hạt
với trạng thái cuối là f nào đó trong () I :

ˆ
f () I  f S i  Sfi

(2.15)

Vì vậy ta có thể viết:

() I 

 f f ()
f

I



S

fi

f

f

(2.16)

Ta cần tính được các các phần tử Sfi của S-ma trận và từ đó có xác suất
chuyển dời Sfi .

2

Tuy nhiên, trước hết ta lưu ý một tính chất quan trọng của Sˆ . Giả sử ()

I

và i đều được chuẩn hóa, ta có:
†

1  I () () I  i S S i  i i

(2.17)

Từ đó suy ra Sˆ là toán tử unitary: Sˆ †Sˆ  ˆI , hay:

S

*
kf

Ski fi

(2.18)

k

Thay i = f trong (2.18) ta có



2

k Ski  1, điều này cho thấy các hệ số trong

khai triển (2.16) tuân theo điều kiện tổng tất cả xác suất bằng 1.
Bây giờ ta sử dụng phương pháp của lý thuyết nhiễu loạn để tính Sˆ . Lấy tích
phân (2.12) với thời điểm ban đầu là t   ta được:
t

ψ(t) I = i --i Hˆ I(t)
I dtψ(t)
Nghiệm của phương trình tích phân (2.19) có thể viết dưới dạng dãy số theo

Hˆ I dạng:

22

(2.19)


(0)

ψ(t) I  ψ(t)

(1)

I

I

(2)

I

 ...

(2.20)

Với các gần đúng:
(0)
I

t

ψ(t)
(2)

(t ))dt

-

I

t

(2.22)

t1

I

-

-

……………………………………………
Cho t   ta có chuỗi nhiễu loạn của toán tử Sˆ :




t1

(2.24)





n


n=0





dtn H (t1 )H (t2 ) ... H (tn ) (2.25)

Ta biết rằng:
3

(2.26)

Vì vậy ta có thể viết lại số hạng thứ hai của (2.25):



4 4
t1>t2

(2.27)

Sử dụng T-tích ta có thể viết lại (2.27):
1
2

Trong đó:

 d

4

4

(2.28)


23

 ψ(t)

 ψ(t)

ψ(t) = i
(1)

ψ(t) =

ˆ
S = 1+
S=

=

 (-iHˆ

  dtdt

2 1 I1

I2

(2.21)

I1

i

(-iHˆ
(t
)) i  (t ))(-iHˆ
(2.23)

 (-iHˆ (t ))dt  dt (-iHˆ
 dt (t ))(-iHˆ
))+(t
...
I1



 t1

1

1

2

n-1

(-i)  dt  dt ... 

ˆ

1

1

2

I1

ˆI

I2

ˆI

Hˆ I (t)=  Hˆ I(x,t)d x

d x1 d2 x(-iHˆ I(x1 ))(-iHˆ (x
I 2 ))

(x
x1 d2Tx (-iHˆ I(x1 ))(-iHˆ I 2 ))

ˆI