HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (344.14 KB, 25 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------
PHẠM LAN PHƯƠNG
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số:
60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN
Hà Nội – Năm 2015
Mục lục
Mở đầu
3
1
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
9
2
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞ . . . . . . .
1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . .
1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . .
1.2 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) . . . . .
1.2.2 Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) . . . . . . .
1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) . . . . . . .
1.3 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định lý nhúng vào Lp (Ω) . . . . . . . . . . .
1.3.2 Định lý nhúng của không gian W l,p (Ω) . . .
1.4 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Bất đẳng thức Young . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . .
1.5 Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính
1.5.1 Định lý Fredholm trong không gian Banach
1.5.2 Định lý Fredholm trong không gian Hilbert
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet . . . . . . .
2.1.2 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm
suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . .
2.3 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . .
2.3.1 Đánh giá max |u| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ω
2.3.2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
. 10
. 10
. 11
.
.
.
.
.
11
11
14
15
15
Đánh giá |u|α,Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
MỤC LỤC
2.4
2.5
2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω và ||u||W 2,2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder C l,α (Ω) . . . . . . 20
Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian C l,α (Ω) . 21
Kết luận
23
Tài liệu tham khảo
24
2
MỞ ĐẦU
Đối với một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta đã nghiên cứu
tính giải được của bài toán Dirichlet. Đối với phương trình elliptic dạng bảo
toàn, người ta đã đưa được nghiệm suy rộng trong không gian Sobolev W 1,2 (Ω)
và chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán. Đối với các phương trình
elliptic dạng không bảo toàn, người ta đã đưa vào các lớp nghiệm cổ điển trong
không gian Holder C 2,β (Ω) và cũng chứng minh được sự tồn tại và tính trơn của
nghiệm.
Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được
của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang
trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Dưới sự hướng dẫn của
PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả đã hoàn thành luận văn với để tài
"Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai".
Luận văn được chia làm hai chương:
• Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic.
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các không gian Sobolev,
Holder, các định lý Fredholm về tính giải được của phương trình tuyến tính
trong không gian Banach, Hilbert. Chương 2 - nội dung chính của Luận văn,
trình bày bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Với
hệ phương trình dạng bảo toàn, luận văn trình bày khái niệm lớp nghiệm suy
rộng trong không gian Sobolev W 1,2 (Ω), phát biểu và chứng minh tính giải được
Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian này. Đối với lớp hệ phương
trình dạng không bảo toàn, Luận văn trình bày chứng minh đánh giá tiên nghiệm
đối với nghiệm của bài toán, phát biểu tính giải được Fredholm của bài toán
Dirichlet trong không gian Holder C 2,β (Ω).
Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận
3
MỞ ĐẦU
văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp
ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà
Tiến Ngoạn, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu toán
học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập
và hoàn thiện luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học,
Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành
bản luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 25 tháng 07 năm 2015
Tác giả
Phạm Lan Phương
4
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1
Không gian Sobolev
Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞
Định nghĩa 1.1. Lp (Ω) là không gian Banach gồm các hàm đo được u xác định
trên Ω và p - khả tích sao cho
|u(x)|p dx < +∞.
Ω
Chuẩn của Lp (Ω) được định nghĩa bởi
p1
|u(x)|p dx ,
||u||Lp (Ω) =
Ω
trong đó |u(x)| là trị tuyệt đối hoặc mô đun của u(x).
Khi p = +∞, L∞ (Ω) là không gian Banach các hàm bị chặn trên Ω với chuẩn
||u||∞ = sup |u(x)| = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M ; hầu khắp nơi trong Ω}
Ω
Ω
Khi p = 2, L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)L2 (Ω) =
u(x).v(x)dx,
Ω
|u(x)|2 dx.
(u, u) = ||u||2 =
Ω
1.1.2
Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)
Định nghĩa 1.2. Với ∀l ∈ N; 1 ≤ p < +∞, ta có
W l,p (Ω) = {u(x) ∈ Lp (Ω); Dα u(x) ∈ Lp (Ω), ∀α : |α| ≤ l},
5
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
trong đó
α = (α1 , α2 , . . . , αn ); αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · · + αn ;
Dα u = D1α1 D2α2 . . . Dnαn ; Dj =
Khi đó, chuẩn của u(x) ∈
∂
∂xj .
W l,p (Ω)
được định nghĩa bởi
p1
|Dα u|p dx .
||u||W l,p (Ω) =
Ω |α|≤l
1.1.3
Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)
Định nghĩa 1.3. Không gian W0l,p (Ω) với 1 ≤ p < +∞ là bao đóng của C0∞ (Ω)
trong chuẩn của không gian W l,p (Ω).
Kí hiệu
W0l,p (Ω) = C0∞ (Ω).
Khi đó,
W0l,p (Ω) = {u(x); u(x) ∈ W l,p (Ω), Dα u|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1}.
1.2
Không gian Holder
Cho Ω là một tập mở trong Rn . Ta định nghĩa một số không gian
1.2.1
Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω)
Định nghĩa 1.4.
C(Ω) = {u(x); u(x) liên tục trong Ω},
C l (Ω) = {u(x) ∈ C(Ω) : Dα u ∈ C(Ω); ∀|α| ≤ l},
với l ∈ N.
Trong không gian C l (Ω) xác định chuẩn
Dα u.
|u|l,Ω = sup
Ω
1.2.2
|α|≤l
Định nghĩa không gian C 0,α (Ω)
Định nghĩa 1.5. C 0,α (Ω) là không gian Banach các hàm u(x) liên tục trong Ω
với |u|(α),Ω xác định
C 0,α (Ω) = {u(x) ∈ C 0 (Ω); |u|(α),Ω = sup
x,y∈Ω
x=y
6
|u(x) − u(y)|
< +∞},
|x − y|α
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
với 0 < α ≤ 1.
Chuẩn của C 0,α (Ω) được định nghĩa bởi
|u|α,Ω = max |u| + |u|(α),Ω .
Ω
1.2.3
Định nghĩa không gian C l,α (Ω)
Định nghĩa 1.6.
C l,α (Ω) = {u(x) ∈ C l,α (Ω); Dα u ∈ C 0,α ; ∀|α| = l}.
Chuẩn trong C l,α (Ω)
|D(l) u|(α),Ω .
|u|l,α,Ω = |u|l,Ω +
(l)
1.3
1.3.1
Các định lý nhúng
Định lý nhúng vào Lp (Ω)
Định lý 1.1. Giả sử Ω là miền bị chặn và 1 ≤ p < q < +∞.
Khi đó, Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω) và ánh xạ nhúng
j : Lq (Ω) → Lp (Ω)
là liên tục.
1.3.2
Định lý nhúng của không gian W l,p (Ω)
Định lý 1.2. Cho Ω ⊂ Rn là tập bị chặn.
Khi đó, ta có các khẳng định sau
1. Nếu lp < n và
np
, thì W l,p (Ω) nhúng liên tục vào Lq (Ω),
Với q ≤ n−pl
np
Với q < n−pl
, thì W l,p (Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào Lq (Ω).
2. Nếu lp > n và
l,p
β
Với β ≤ pl−n
p , thì W (Ω) nhúng liên tục vào C (Ω),
l,p
β
Với β < pl−n
p , thì W (Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào C (Ω).
7
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.4
1.4.1
Một số bất đẳng thức
Bất đẳng thức Young
Ta có bất đẳng thức Young
|ab| ≤
|a|p |b|q
+
,
p
q
trong đó p, q ∈ R; p > 0; q > 0 thỏa mãn
1.4.2
+
1
q
= 1.
Bất đẳng thức Holder
Với u ∈ Lp (Ω); v ∈ Lq (Ω) và
1
p
+
1
q
= 1, ta có bất đẳng thức Holder
p1
Ω
Ω
1q
|u|p dx
uvdx ≤
1.4.3
1
p
(1.1)
|u|q dx = ||u||p ||u||q .
Ω
Bất đẳng thức Poincare
Giả sử Ω là miền bị chặn và p ≥ 1. Khi đó, tồn tại số c = c(Ω) > 0 sao cho
n
2
|uxj (x)|2 dx;
|u(x)| dx ≤ c
Ω
Ω
j=1
với mọi hàm u(x) ∈ W01,2 (Ω).
1.5
1.5.1
Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính
Định lý Fredholm trong không gian Banach
Định lý 1.3. Cho V là không gian tuyến tính định chuẩn.
T : V → V là ánh xạ tuyến tính compact.
Khi đó, nếu phương trình
x − Tx = 0
duy nhất nghiệm, thì với mọi y ∈ V , phương trình
x − Tx = y
có nghiệm duy nhất và toán tử (I − T )−1 là toán tử bị chặn.
Định lý 1.4. Cho V là không gian tuyến tính định chuẩn.
T : V → V là ánh xạ tuyến tính compact.
Khi đó, tập hợp các giá trị riêng của nó là đếm được và sẽ không có điểm tụ nào
ngoài λ = 0. Mỗi giá trị riêng khác không đều có bội hữu hạn.
8
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.5.2
Định lý Fredholm trong không gian Hilbert
Định lý 1.5. Cho H là không gian Hilbert và T : H → H là ánh xạ compact.
Khi đó, tồn tại một tập đếm được Λ ⊂ R chứa vô hạn các phần tử trừ λ = 0, sao
cho nếu λ = 0, λ ∈
/ Λ thì các phương trình
λx − T x = y, λx − T ∗ x = y
(1.2)
có nghiệm duy nhất xác định x ∈ H với mọi y ∈ H , và các ánh xạ ngược
(λI − T )−1 , (λI − T ∗ )−1 đều bị chặn.
Nếu λ ∈ Λ, không gian rỗng của ánh xạ λI − T, λI − T ∗ có chiều dương xác định
và phương trình (1.2) là giải được khi và chỉ khi y trực giao với không gian rỗng
của λI − T ∗ trong trường hợp thứ nhất và λI − T trong các trường hợp khác.
9
Chương 2
Bài toán Dirichlet cho hệ phương
trình elliptic
2.1
Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet
2.1.1
Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet
a) Hệ phương trình elliptic
Với x ∈ Ω ⊂ Rn , xét hệ phương trình dạng bảo toàn
Lu ≡
∂fi
∂
[aij (x)uxj + Ai (x)u] + Bi (x)uxi + B(x)u =
+ f,
∂xi
∂xi
(2.1)
ở đây, u, fi và f là các hàm vecto N phần tử
aij (x) là hàm vô hướng : aij (x).uxj = aij (x).E.uxj ;
Ai (x), Bi (x), B(x) là các ma trận vuông cấp N.
Giả sử rằng các hệ số aij của hệ (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức
n
n
ξi2
λ
ξi2 ; λ, µ = const > 0,
≤ aij (x)ξi ξj ≤ µ
i,j=1
(2.2)
i=1
với ∀x ∈ Ω; ∀ξi ∈ Rn .
Khi đó hệ (2.1) là hệ phương trình elliptic.
b) Bài toán Dirichlet
Bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình (2.1) là bài toán tìm hàm vecto
u(x) trong Ω của hệ phương trình (2.1) và thỏa mãn điều kiện biên
u|S = ϕ|S ,
(2.3)
im
im
||aim
i , bi ||Lq (Ω) , ||b ||L q (Ω) < µ; q > n.
(2.4)
với ϕ(x) ∈ W 1,2 (Ω).
Ta giả sử thêm điều kiện
2
10
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Với mọi hàm fi (x), f (x) và ϕ(x) thỏa mãn
||fi ||L2 (Ω) ||f ||L
2ˆ
n (Ω)
n
ˆ +2
, ||ϕ||W 1,2 (Ω) < ∞,
(2.5)
ở đây
n
ˆ=
n
2+ε
với n > 2;
với n = 2; ε > 0.
Các giả thiết fi , f, ϕ là cần thiết đối với sự tồn tại của nghiệm suy rộng thuộc
W 1,2 (Ω) của hệ (2.1).
2.1.2
Nghiệm suy rộng
1. Nghiệm suy rộng của hệ phương trình elliptic
Hàm vecto u(x) ∈ W 1,2 (Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của hệ (2.1) nếu với
mọi hàm vecto η(x) ∈ W01,2 (Ω), thỏa mãn đẳng thức tích phân
(aij uxj + Ai u − fi )ηxi − (Bi uxi + Bu − f )η dx = 0.
(2.6)
Ω
2. Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet
Hàm u(x) ∈ W 1,2 (Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet nếu
u(x) là nghiệm suy rộng của hệ phương trình (2.1) và u(x) − ϕ(x) ∈ W01,2 (Ω).
2.2
Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Sự tồn tại và duy nhất
của nghiệm suy rộng
2.2.1
Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất
Xét bài toán (2.1), (2.3) thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.4), (2.5). Do hàm
vecto u(x) ∈ W 1,2 (Ω) là nghiệm suy rộng của hệ (2.1), nên
L(u, η) ≡
aij uxj + Ai u ηxi − (Bi uxi + Bu) η dx =
Ω
(fi ηxi − f η) dx,
Ω
hay,
L(u, η) = (fi , ηxi ) − (f, η),
với η(x) ∈ W01,2 (Ω) và thỏa mãn u(x) − ϕ(x) ∈ W01,2 (Ω).
Đặt
v(x) = u(x) − ϕ(x).
11
(2.7)
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Với hàm này, từ đẳng thức (2.7) ta thu được
L(v, η) = −L(ϕ, η) + (fi , ηxi ) − (f, η),
(2.8)
v|S = 0,
(2.9)
và từ (2.3) ta có
với v ∈ W01,2 (Ω). Đến đây, thay vì xét hàm u, ta tìm hàm v ∈ W01,2 (Ω) thỏa mãn
đẳng thức (2.8). Từ đó, ta cũng suy ra được hàm u = v + ϕ là nghiệm suy rộng
của bài toán (2.1), (2.3).
Xét
l(η) = −L(ϕ, η) + (fi , ηxi ) − (f, η)
(2.10)
là phiếm hàm tuyến tính trên W 1,2 (Ω).
Bước 1 Đánh giá |l(η)|.
Ta có
|l(η)| ≤ |L(ϕ, η)| +
(fi , ηxi ) + |(f, η)|
i
Qua quá trình đánh giá ta được
|l(η)| ≤ {µ[(1+c(q, Ω))(1+ˆ
c(q, Ω))]||ϕ||W 1,2 (Ω) +||f ||L2 (Ω) +ˆ
c(ˆ
n, Ω)||f ||L
2ˆ
n (Ω)
n
ˆ +2
≡ c(q, Ω, ϕ, f, f )||∇η||L2 (Ω) .
}||∇η||L2 (Ω)
(2.11)
Bước 2 Chứng minh bất đẳng thức cơ bản thứ nhất với các toán tử elliptic.
Với hàm v(x) ∈ W01,2 (Ω) bất kì, ta có bất đẳng thức
||v||2L
2q
q−2
(Ω)
n
n
n
≤ c2 (q) ε ||∇v||2L2 (Ω) + ε− q−n (1 − )||v||2L2 (Ω) ,
q
q
trong đó ε > 0 bất kỳ.
Xét hệ số B(x) có dạng
B(x) = B + (x) − B − (x),
với
B + (x) = max{B(x) − B0 ; 0};
B − (x) = −B0 + max{−B(x) + B0 ; 0};
và
B0 =
1
mes Ω
B(x)dx.
Ω
12
(2.12)
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Ta định nghĩa
M = max
n
(Bi − Ai )2
; ||B + ||L q (Ω)
2
i=1
L q (Ω)
(2.13)
2
Trước hết, ta đi xét bổ đề sau
Bổ đề 2.1. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4) thỏa mãn. Khi đó, với hàm
v ∈ W01,2 (Ω) bất kỳ thì
4
4
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) + c1 (q)||v||2L2 (Ω) ,
λ
λ
(2.14)
Ω
ở đây c1 (q) =
M (2λ+1)n 2
2c (q)
λ2 q
q
q−n
q−n
n .
Ta cần sử dụng bất đẳng thức (2.14) để đánh giá nghiệm suy rộng của bài toán
Dirichlet (2.1), (2.3).
Từ (2.8), (2.9), (2.10) ta có
L(v, v) = L(ϕ, v) + (fi , vxi ) − (f, v) ≡ l(v),
với v = u − ϕ.
Khi đó, (2.14) trở thành
1
4
8
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ 2 c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) + c1 (q)||v||2L2 (Ω) .
2
λ
λ
(2.15)
Ω
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (2.15) với 2, ta được
8
16
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ 2 c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) + 2c1 (q)||v||2L2 (Ω) .
λ
λ
(2.16)
Ω
Đến đây, ta có thể triệt tiêu được phần tử ||v||2L2 (Ω) ở vế phải bất đẳng thức
(2.16).
a) Thật vậy, vì v ∈ W01,2 (Ω) nên
1
||v||L2 (Ω) ≤ c0 mes n (Ω)||v||2L2 (Ω)
(2.17)
Suy ra
|∇v|2 dx ≤
16
c2 (q, Ω, ϕ, f, f ).
(1 − δ)λ2
Ω
13
(2.18)
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
b) Trường hợp ϕ ≡ 0, thì v ≡ u là nghiệm của (2.1).
2
16
|∇v| dx ≤
||f ||L2 (Ω) + c(n, Ω)||f ||L 2n (Ω)
(1 − δ)v 2
n+2
2
.
(2.19)
Ω
c) Trường hợp ϕ = 0.
|∇u|2 dx ≤
32
c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) + 2
(1 − η)λ2
Ω
|∇ϕ|2 dx
Ω
≡ c2 (q, Ω, ϕ, f, f ).
(2.20)
d) Tiếp theo ta chỉ ra rằng với n ≥ 3, trường hợp q = n vẫn giữ lại một số dạng
cơ bản của bài toán Dirichlet.
Thật vậy, giả sử điều kiện (2.2) được thỏa mãn và
n
n
a2i ,
i=1
b2i , a
i=1
≤ µ; n ≥ 3.
(2.21)
L n (Ω)
2
(1−δ1 )
2
2 |∇v|
Ta thu được bất đẳng thức
+ λ2 B − v 2 dx ≤
Ω
≤
2
2(λ + 1)
2
c
(q,
Ω,
ϕ,
f,
f
)
+
Mε ||v||2L2 (Ω) .
λ2 (1 − δ1 )
λ2
(2.22)
Vậy (2.22) chính là bất đẳng thức cơ bản thứ nhất đối với nghiệm suy rộng của
hệ phương trình (2.1) trong W01,2 (Ω).
Hệ quả 2.1. Nếu ϕ ≡ 0 thì v ≡ u là nghiệm của phương trình (2.1).
Khi đó
Giữ lại một số thành phần của (2.1) với Ω1 ⊂ Ω, từ (??) ta được
|∇v|2 dx ≤
2
||f ||L2 (Ω) + c(n, Ω)||f ||L 2n (Ω)
2
δ2 λ (1 − δ1 )
n+2
2
,
(2.23)
Ω1
với v là nghiệm suy rộng của (2.1) trong W01,2 (Ω).
2.2.2
Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng
Từ bất đẳng thức cơ bản thứ nhất đối với nghiệm suy rộng của hệ (2.1), áp
dụng các phương pháp như của phần một phương trình, ta có các định lý kiểu
Fredholm về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng.
14
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Định lý 2.1. Cho hệ (2.1) thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.4) và (2.5) trên
miền Ω bị chặn. Khi đó có hai khả năng
i) Hoặc hệ phương trình (2.1) với f ≡ 0, fi ≡ 0 (i = 1, . . . , n), và điều kiện biên
ϕ ≡ 0 có nghiệm không tầm thường u = 0.
ii) Hoặc hệ phương trình (2.1) với f ≡ 0, fi ≡ 0 (i = 1, . . . , n), và điều kiện biên
ϕ ≡ 0 chỉ có duy nhất nghiệm tầm thường u ≡ 0. Khi đó, với mọi hàm f, fi , ϕ
trong W 1,2 (Ω), tồn tại duy nhất nghiệm u(x) ∈ W 1,2 (Ω) của bài toán (2.1),
(2.3).
Định lý 2.2. Tồn tại một số đếm được các giá trị λ = λ1 , . . . , trong mặt phẳng
phức λ sao cho bài toán
∂
(aij uxj + Ai u) + Bi uxi + Bu = λu, u|S = 0,
∂xi
có nghiệm khác không trong W 1,2 (Ω). Tập hợp tất cả các giá trị riêng {λk } tạo
thành phổ của bài toán (2.1), (2.3). Mỗi giá trị λ có bội hữu hạn và |λk | → ∞
khi k → ∞.
2.3
Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng
2.3.1
Đánh giá max |u|
Ω
Trong phần này, ta sẽ đánh giá max |u|. Muốn thế, giả sử rằng các điều kiện
Ω
(2.2), (2.4) và
||fi ||Lq (Ω) , ||f ||L q (Ω) ≤ µ < ∞, q > n,
(2.24)
2
được thỏa mãn.
Ngoài ra, ta giả thiết rằng ϕ(x) ≡ 0, khi đó
(2.25)
u|S = 0.
Ta cần chỉ ra rằng nếu u(x) ∈ W 1,2 (Ω) là nghiệm suy rộng của (2.1) thì tích phân
|u|4 dx,
Ω
|u|2 |∇u|2 dx,
Ω
là hữu hạn.
Do đó,
|∇u|2 φ(r) + |∇φ(r) |2 + |φ(r) |2
dx ≤ c1
Ω
2
|u|2 dx +
Ω
15
n
||fi ||4L
i=1
4q (Ω)
q+2
+ ||f ||4L
4q (Ω)
q+6
,
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
với c1 là biểu thức phụ thuộc vào r.
Cho r → ∞, φ(r) = |u|2 , tích phân trên trở thành
|u|2 |∇u|2 + |∇|u|2 |2 + |u|4 dx ≤ c1
Ω
n
||fi ||4L
||u||4L2 (Ω) dx +
i=1
Ω
W 1,2 (Ω)
Tích phân này với nghiệm suy rộng u ∈
hạn.
Khi đó, ta sẽ đánh giá max |u| qua định lý sau
4q (Ω)
q+2
+ ||f ||4L
4q (Ω)
q+6
(2.26)
của bài toán Dirichlet là hữu
Ω
Định lý 2.3. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4), (2.24) được thỏa mãn. Giả
sử, nghiệm suy rộng u(x) ∈ W 1,2 (Ω) có các tích phân
|u|4 dx,
Ω
|u|2 |∇u|2 dx,
(2.27)
Ω
hữu hạn. Khi đó max |u(x)| bị chặn bởi một hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ và µ
Ω
trong (2.2), (2.4), (2.24), phụ thuộc vào ||u||Lq (Ω) và khoảng cách từ Ω đến S.
Mặt khác, nếu u(x) ∈ W 1,2 (Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.25) thì
max |u(x)| bị chặn trên bởi một hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ, µ trong (2.2),
Ω
(2.4), (2.24), và ||u||L2 (Ω) .
Chứng minh.
Bước 1
Giả sử Ω ⊂⊂ Ω.
Đánh giá max |u| mà không sử dụng giả thiết u|S = 0 trên S với tích phân (2.27)
Ω
hữu hạn.
Đặt φ(x) = max{2[v(x) − k]ζ 2 (x), 0},
với k ≥ 0 và ζ(x) là hàm trơn không âm thỏa mãn 0 < ζ(x) < 1 khi x ∈ Kρ ⊂ Ω
và bằng 0 khi x ∈
/ Kρ ⊂ Ω.
Khi đó,
|∇v|2 ζ 2 dx ≤ γ
Ak,ρ
2
(v − k)2 |∇ζ|2 dx + k 2 mes1− q Ak,ρ .
(2.28)
Ak,ρ
Trong bất đẳng thức này, k ≥ 1, hằng số ρ thỏa mãn bất đẳng thức (??), và tập
Kρ ⊂ Ω. γ là hằng số được xác định bởi n, N, q(q > n), γ, mu trong (2.2), (2.4) và
(2.24) với q >n.
Theo Định lí 5.3, chương 2, [1], từ bất đẳng thức (2.28) ta có thể đánh giá
16
.
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
max |u(x)| trong miền Ω bất kỳ bị chặn trên bởi một hằng số phụ thuộc vào
Ω
n, N, q, λ và µ trong (2.2), (2.4), (2.24), và ||u||L2 (Ω) .
Bước 2
Đánh giá max |u(x)| với u(x) ∈ W 1,2 (Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet.
Ω
Đặt φ(x) = max{2[v(x) − k], 0}, và v = |u|2 , k > 0.
Chứng minh tương tự như bước 1 ta thu được kết quả
|∇v|2 dx ≤ γ
Ak
2
(v − k)2 dx + k 2 mes1− q Ak ,
(2.29)
Ak
với k>1.
Ở đây, Ak = {x ∈ Ω; v(x) > k}.
Theo Định lí 5.1, chương 2, [1], từ (2.29) ta đánh giá được max |u(x)| bị chặn
Ω
trên bởi một hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ và µ trong (2.2), (2.4), (2.24), và
||u||L2 (Ω) .
2.3.2
Đánh giá |u|α,Ω
Ta có định lý sau
Định lý 2.4. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4), (2.24) thỏa mãn hệ phương
trình (2.1). Khi đó, nghiệm suy rộng u(x) ∈ W 1,2 (Ω) bất kì của hệ (2.1) cũng
đánh giá được trên không gian C 0,α (Ω) với α > 0. Ở đây, |u|α,Ω được đánh giá
bằng một hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ và µ trong (2.2), (2.4), (2.24), trên
M = ess max |u|, và khoảng cách từ Ω đến S.
Ω
Chứng minh. Muốn đánh giá |u|α,Ω , ta cần chỉ ra rằng nghiệm suy rộng
¯ ...).
u(x) ∈ W 1,2 (Ω) của hệ (2.1) thuộc lớp hàm B(Ω,
Khi đó, theo Định lí 8.1, Chương 2, [1], ta đánh giá được |u|α,Ω với Ω ⊂ Ω bằng
một hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ và µ trong (2.2), (2.4), (2.24), phụ thuộc
vào M max |u| và khoảng cách từ Ω tới S. Vậy, định lí được chứng minh xong.
Ω
2.3.3
Đánh giá |u|1,α,Ω và ||u||W 2,2 (Ω)
Để đánh giá |u|1,α,Ω trong Ω ⊂ Ω bất kỳ, ta giả thiết rằng nghiệm suy rộng
u ∈ W 1,2 (Ω) của hệ (2.1) có đạo hàm suy rộng cấp hai và tích phân
n
4
2
u2xi xj dx
|∇u| + (1 + |∇u| )
i,j=1
Ω
17
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
i
là hữu hạn. Giả sử rằng các hệ số aij , ami
i , và fi là các hàm khả vi thỏa mãn bất
đẳng thức
∂f i
∂aij ∂aim
, i , i
∂xk ∂xk ∂xk
≤ µ, q > n.
(2.30)
Lq (Ω)
Ta cũng giả sử điều kiện elliptic (2.2) thỏa mãn và
im i i
aim
i , bi , fi , f
Lq (Ω)
≤ µ, q > n.
(2.31)
Ta đi xét định lý sau
Định lý 2.5. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.31) và (??) thỏa mãn. Cho
u(x) ∈ W 2,2 (Ω) là nghiệm suy rộng của hệ (2.1) với tích phân sau
n
4
2
u2xi xj dx,
|∇u| + (1 + |∇u| )
i,j=1
Ω
là hữu hạn.
Khi đó, |u|l,α,Ω với α > 0, Ω ⊂ Ω bất kì, bị chặn trên bởi một hằng số phụ thuộc
vào n, N, M, q, λ, và µ trong (2.2), (2.31) và (??), phụ thuộc vào đại lượng
|∇u|4 dx,
Ω
và theo khoảng cách từ Ω đến S.
Chứng minh. Ta cần tìm các đánh giá đối với ||u||W 2,2 (Ω) và ||∇u||L4 (Ω) , giả
thiết rằng điều kiện elliptic (2.2)thỏa mãn và các hệ số của hệ (2.1) bị chặn. Khi
đó
∂aij im im
≤ µ, q > n,
∂xk ; ai ; bi
Lq (Ω)
im
∂ai
im
≤ µ,
bi ; ∂xi L q (Ω)
(2.32)
2
∂fi
≤ µ, q = max(q, 4).
i ∂xi , f
L2 (Ω)
Để đơn giản, ta giả thiết điều kiện biên
u|S = 0.
(2.33)
Bước 1
Đánh giá ||u||W 2,2 (Ω) .
Ta coi hệ (2.1) là tập hợp các phương trình có dạng
∂
aij (x)ukxj = F l (x), l = 1, . . . , N,
∂xi
18
(2.34)
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
ở đây,
F (x) = −
∂
(Ai u − fi ) − Bi uxi − Bu + f,
∂xi
F = (F 1 , . . . , F N ).
Theo Bổ đề 8.1 Chương 3, [1], trong từng phương trình (2.34), hàm ul , l = 1, . . . , N
khả vi liên tục thì
||ul ||2W 2,2 (Ω) ≤ c ||Lul ||2L2 (Ω) + ||ul ||2L2 (Ω) .
Lấy tổng tất cả các bất đẳng thức này theo l = 1, . . . , N ta có
||u||2W 2,2 (Ω) ≤ c ||u||2L2 (Ω) + ||F ||2L2 (Ω) ,
(2.35)
với c là hằng số phụ thuộc vào hàm cong trơn từng mảnh S, phụ thuộc vào các
hằng số λ, µ trong (2.2) và đại lượng
∂aij
∂xk
ở đây q > n.
Ta có
,
Lq (Ω)
n
||u||W22 (Ω) ≤ c ||u||L2 (Ω) +
i=1
∂fi
∂xi
+ ||f ||L2 (Ω) ,
(2.36)
L2 (Ω)
với c là hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ, µ trong (2.2) và (2.29) trên S.
Bước 2
Đánh giá |∇u|4 dx.
Ω
Theo (2.34) ta có
∂
aij (x)ulxj = F l (x).
∂xi
Nhân hai vế của phương trình trên với −ul |∇u|2 ta được
∂
aij (x)ulxj
∂xi
−ul |∇u|2 = F l (x) −ul |∇u|2 .
Lấy tổng hai vế với l = 1, . . . , n ta được
−
∂
aij (x)uxj u|∇u|2 = −F (x)u|∇u|2 .
∂xi
(2.37)
Lấy tích phân hai vế (2.37) trên Ω ta được
∂
aij (x)uxj (u|∇u|2 )dx = −
∂xi
−
Ω
F (x)u|∇u|2 dx.
Ω
19
(2.38)
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Tích phân từng phần vế trái đẳng thức (2.38), ta có
aij uxj uxi |∇u|2 + 2aij uuxj (uxk uxk xl ) dx = −
Ω
F (x)u|∇u|2 dx.
(2.39)
Ω
Theo điều kiện (2.2), từ (2.39) ta rút ra
ε|∇u|4 + c |u|2
|∇u|4 dx ≤
λ
Ω
ε
Ω
k,l
c
u2xk xl + ε|∇u|4 + |u|2 |F |2 dx,
ε
với ε > 0.
Đặt ε = λ4 , thì
|∇u|4 dx ≤ cM 2 ||u||2L2 (Ω) +
i=1
Ω
2
n
∂fi
∂xi
+ ||f ||2L2 (Ω) ,
(2.40)
L2 (Ω)
với c là hằng số phụ thuộc vào n, N, λ, µ, q trong (2.2), (2.32) trên S.
2.4
Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder C l,α (Ω)
Ta xét hệ phương trình tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn
Lu ≡ aij (x)uxi xj + Bj uxj + B(x)u = f (x),
(2.41)
ở đây u, f là các hàm vecto N phần tử;
aij (x) là các hàm vô hướng aij (x)uxi xj = aij (x).E.uxi xj ;
Bj (x), B(x) là các ma trận vuông cấp N.
Ta cũng giả thiết rằng các hệ số aij (x) của hệ (2.41) cũng thỏa mãn điều kiện
elliptic (2.2)
n
n
ε2i
λ
≤ aij (x)εi εj ≤ µ
i,j=1
; λ, µ = const > 0,
i,j=1
với mọi x ∈ Ω; εi ∈ Rn .
Đối với hệ (2.41) ta giả thiết thêm điều kiện
∂aij
km
, aij , bkm
i ,b
∂xi
≤ µ.
(2.42)
l−2,β,Ω
Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian Holder C l,α (Ω) với
l ≥ 2 của hệ (2.41), được chứng minh tương tự như trong phần một phương
trình.
Ta đưa ra đánh giá tiên nghiệm cho |u|l,β,Ω của hệ (2.41).
20
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Định lý 2.6. Giả sử hệ (2.41) thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2). Khi đó, với
¯ 1 ≥ 2 ta có đánh giá
u ∈ C l,α (Ω),
|u|l,β,Ω ≤ c(l) |fi |l−1,β,Ω + |f |l−2,β,Ω + |u|l,β,S + max |u| , l ≥ 2,
Ω
(2.43)
trong đó, c(l) được xác định bởi l và λ trong (2.2) và các hệ số của hệ (2.41),
giá trị của µ trong bất đẳng thức (2.42) và cũng xác định bởi biên S trong không
gian C l,β .
Chứng minh. Do điều kiện (2.42), ta viết hệ (2.41) dưới dạng bảo toàn
∂
∂
(aij ukxj ) = f k − B(x)uk − Bi (x)ukxi +
aij (x)uk ,
∂xi
∂xi
hay
∂
(aij ukxj ) = f˜k , k = 1, . . . , N,
∂xi
(2.44)
Với mỗi uk ∈ C l,α (Ω) của phương trình (2.44) ta có
|uk |l,β,Ω ≤ c(l) |f˜k |l−2,β,Ω + max |uk | + |uk |l,β,S .
Ω
(2.45)
Lấy tổng các kết quả trên với k = 1, . . . , N và chọn ε đủ nhỏ, ta thu được
|u|l,β,Ω ≤ c (l) |f |l−2,β,Ω + |u|l,β,S + max |u| .
Ω
2.5
Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian
C l,α (Ω)
Trong phần này, ta vẫn giả sử rằng các hệ số của hệ (2.41) thỏa mãn bất
đẳng thức (2.42)
Định lý 2.7. Giả sử biên S ∈ C l,β , l ≥ 2, và thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.42).
Khi đó ta có hai khả năng sau
i) Hoặc hệ phương trình (2.41) với f ≡ 0 và điều kiện biên ϕ ≡ 0 có nghiệm
không tầm thường u = 0.
ii) Hoặc hệ phương trình (2.41) với f ≡ 0 và điều kiện biên ϕ ≡ 0 chỉ có nghiệm
duy nhất nghiệm tầm thường u ≡ 0. Khi đó với mọi
f ∈ C l−2,β (Ω), ϕ ∈ C l,β (S),
tồn tại duy nhất nghiệm u(x) ∈ C l,α (Ω) của bài toán (2.1), (2.3).
21
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Định lý 2.8. Tồn tại một số đếm được các giá trị λ = λ1 , λ2 , . . . trên mặt phẳng
phức λ, sao cho bài toán
aij uxi xj + Bi uxj + Bu = λu, u|S = 0
có nghiệm khác không trong C l,β (Ω). Tập hợp các giá trị {λk } tạo thành phổ của
bài toán (2.1), (2.3). Mỗi λk có bội hữu hạn và |λk | → ∞ khi k → ∞.
22
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày các vấn đề chính sau đây
- Các không gian Sobolev, Holder, định lý nhúng, định lý Fredholm về tính
giải được của phương trình tuyến tính trong không gian Banach và không gian
Hilbert.
- Khái niệm nghiệm suy rộng đối với hệ phương trình elliptic cấp hai dạng bảo
toàn, tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet và các tính chất định tính
về độ trơn của nó.
- Đối với lớp hệ phương trình không bảo toàn, trình bày lớp nghiệm cổ điển trong
không gian Holder, các đánh giá tiên nghiệm, phát biểu và chứng minh định lý
về tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian Holder.
23
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] O. Ladyzhenskaya, N. Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic
equations, Univerrsity of Southern California.
[2] D.Gillarg, N. Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of
second order, Springer .
24
