ĐỊNH LÝ BÉZOUT VÀ CHIỀU NGƯỢC LẠI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------

Phạm Kế Quang

ĐỊNH LÝ BÉZOUT VÀ CHIỀU NGƯỢC LẠI
Chuyên ngành: Hình học và tôpô
Mã số: 60460105

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Người hướng dẫn: TS.Phó Đức Tài

Hà Nội - 2015


1


Mục lục
Chương 1. Đường cong đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.Đường cong phức trong C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.Đường cong xạ ảnh phức trong P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Không gian xạ ảnh phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Đường cong xạ ảnh phức trong P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
7

Chương 2. Định lý Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.Kết thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.Bội giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3.Định lý Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 3. Chiều ngược lại của định lý Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.1.Bội giao của hai đường cong tại một điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.2.Một số trường hợp riêng của bài toán ngược lại . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.3.Chiều ngược lại cho một số trường hợp cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.3.1. Hai đường cong bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Một đường cong bậc hai và một đường cong bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Hai đường cong bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

17
17
19


LỜI MỞ ĐẦU
Hình học đại số là một chuyên ngành của toán học sử dụng công cụ đại số để
nghiên cứu các bài toán hình học. Đối tượng chính là những đường cong, mặt cong,
hay tổng quát là các siêu mặt đại số, chúng được định nghĩa bởi các đa thức. Trong
hình học đại số, lý thuyết giao nghiên cứu phần giao của hai hay nhiều siêu mặt đại
số. Tìm phần giao của hai siêu mặt đại số tương đương với việc giải hệ phương trình
gồm hai phương trình đa thức. Khởi đầu bởi một định lý rất cổ điển, đó là định lý
Bézout (1779) phát biểu rằng tổng số giao điểm (đếm cả bội) của hai đường cong xạ
ảnh phức bằng tích của hai bậc. Số bội này về sau được cụ thể hóa bằng khái niệm

số bội giao (hay nói gọn hơn, bội giao). Trường hợp riêng của định lý Bézout đối với
hai đường cong y = f (x) (với f (x) là một đa thức bậc m) và y = 0 (đa thức bậc 1)
chính là Định lý cơ bản của Đại số học.
Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu vấn đề các giao điểm của hai đường
cong trong mặt phẳng xạ ảnh phức, cụ thể là về số giao điểm, số bội giao. Trọng tâm
của luận văn là Định lý Bezout và chiều ngược lại: Cho trước hai số nguyên dương m và
n. Với một bộ k số nguyên dương bất kì [s1 , s2 , . . . , sk ] sao cho s1 +s2 +· · ·+sk = m·n.,
liệu có tồn tại hay không hai đường cong xạ ảnh bậc m và n trong P2 sao cho chúng
giao nhau tại k điểm với số bội giao tương ứng là s1 , s2 , . . . , sk .
Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:
• Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt về lý thuyết đường cong đại số trong
C2 và trong không gian xạ ảnh phức P2 .
• Chương 2 tìm hiểu về kết thức, bội giao, các tính chất của kết thức và sử dụng
những tính chất đó để chứng minh định lý Bézout.
• Chương 3 tìm hiểu chiều ngược lại của định lý Bézout. Chứng minh một số
trường hợp riêng cho chiều ngược lại (mục 3.2), đưa ra một số ví dụ minh họa
(cụ thể là các trường hợp của hai đường cong bậc hai và đường cong bậc hai
với đường cong bậc ba được trình bày chi tiết trong mục 3.3).

Hà Nội, ngày 23 tháng 12 năm 2015
Học viên

Phạm Kế Quang

3


Chương 1
Đường cong đại số
Cho f (x, y) là một đa thức hai biến hệ số thực. Khi đó tập {(x,y)∈ R2 | f (x, y) =

0} được gọi là một đường cong đại số thực. Bậc của đa thức f là bậc của đường cong
đại số đó.
Bài toán đặt ra là tìm số giao điểm của hai đường cong đại số. Do R không phải là
trường đóng đại số nên lời giải của bài toán tìm giao điểm có thể không đây đủ.
Do đó trong khóa luận này ta xét các đường cong đại số trên trường số phức C.

1.1.

Đường cong phức trong C2

Giả sử f (x, y) là một đa thức hai biến, khác hằng số, với các hệ số phức. Ta nói
f (x, y) không có thành phần bội nếu không tồn tại khai triển:
f (x, y) = g 2 (x, y)h(x, y),
trong đó g(x, y),h(x, y) là các đa thức và g(x, y) khác hằng số.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f (x, y) là một đa thức hai biến, khác hằng số, với các hệ
số phức và không có thành phần bội. Khi đó đường cong đại số phức C trong C2 (hay
còn gọi là đường cong affine) định nghĩa bởi f (x, y) là
C = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0}.
Định nghĩa 1.1.2. Cho f (x, y) là đa thức hai biến
cij xi y j .

f (x, y) =
i,j

Bậc d của đường cong C = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0} chính là bậc của đa thức
f (x, y). Tức là:
d = max{i + j | cij = 0}.
4

Định nghĩa 1.1.3. Cho f (x, y) là đa thức hai biến. C = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0}.
Một điểm (a, b) ∈ Cđược gọi là một điểm kì dị của C nếu
∂f
∂f
(a, b) =
(a, b) = 0.
∂x
∂y
Tập hợp các điểm kì dị của C được kí hiệu bởi Sing(C). C được gọi là không có kì dị
nếu Sing(C) = ∅.
Định nghĩa 1.1.4. Một đường cong định nghĩa bởi một phương trình tuyến tính:
ax + by + c = 0,
trong đó a, b, c là các số phức, a và b không đồng thời bằng không, được gọi là một
đường thẳng.
Định nghĩa 1.1.5. Một đa thức n biến, khác không f (x1 , x2 , . . . , xn ) được gọi là đa
thức thuần nhất bậc d nếu với mọi λ ∈ C thì
f (λx1 , λx2 , . . . , λxn ) = λn f (x1 , x2 , . . . , xn ).
Một cách tương đương, f có dạng
cr1 ,r2 ,...,rn · xr11 xr22 . . . xrnn ,

f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
r1 +r2 +···+rn =d

với cr1 ,r2 ,...,rn là các số phức.
Mệnh đề sau đây khá đơn giản nhưng lại rất quan trọng, được dùng đến khá nhiều
trong chương 2.
Mệnh đề 1.1.1. ([3], Bổ đề 2.8, trang 31). Giả sử f (x, y) là một đa thức hai biến,
khác không, thuần nhất bậc d với hệ số phức thì nó có phân tích thành tích các đa
thức tuyến tính
n

(αi x − βi y),

f (x, y) =
i=1

với α, β ∈ C.
Định nghĩa 1.1.6. Cho đường cong C định nghĩa bởi f (x, y) = 0. Khi đó số bội tại
(a, b) ∈ C là số nguyên dương m bé nhất sao cho:
∂ mf
(a, b) = 0,
∂xi ∂y j
với i ≥ 0, j ≥ 0 và i + j = m. (a, b) được gọi là điểm bội m.
Khi đó đa thức :
h(x, y) =

∂ mf
(x − a)i (y − b)j
(a,
b)
∂xi ∂y j
i!j!
i+j=m
5

(1.1.1)


là đa thức thuần nhất bâc m.
Theo mệnh đề 1.1.1 h(x, y) có phân tích thành tích của m đa thức tuyến tính có dạng

t(x, y) = α(x − a) + β(y − b),
với (α, β) ∈ C2 \{(0, 0)}. Các đường thẳng t(x, y) = 0 này được gọi là các tiếp tuyến
của C tại (a, b).
Định nghĩa 1.1.7. Một đường cong C định nghĩa bởi đa thức f (x, y) được gọi là bất
khả qui nếu f là bất khả qui, tức là f (x, y) chỉ có các nhân tử là hằng số và bội vô
hướng của chính nó. Nếu
f (x, y) = f1 (x, y)f2 (x, y) . . . fk (x, y)
thì các đường cong định nghĩa bởi f1 (x, y), f2 (x, y), . . . , fk (x, y) được gọi là các thành
phần bất khả qui của C.

1.2.

Đường cong xạ ảnh phức trong P2

Một đường cong C trong C2 không bao giờ compact, nhưng chúng ta có thể
compact hóa nó bằng cách thêm vào "các điểm tại vô cùng" để thu được một số kết
quả mong muốn.
Chẳng hạn như việc xét giao điểm của hai đường cong
y 2 − x2 = −1, y = cx

với c là số phức.

Khi c = ±1 hai đường cong này cắt nhau tại hai điểm.
Khi c = ±1 hai đường cong này không cắt nhau nhưng tiệm cận nhau khi x, y tiến
ra vô cùng.
Ta thêm các điểm tại vô cùng của C2 để y 2 − x2 = −1 và y = ±x cắt nhau tại vô
cùng.
Để thực hiện điều này ta cần đến khái niệm không gian xạ ảnh.

1.2.1.

Không gian xạ ảnh phức

Định nghĩa 1.2.1. Một không gian xạ ảnh phức n chiều Pn là tập hợp các không
gian con phức môt chiều của không gian vector Cn+1 .
Khi n = 1 thì ta có đường thẳng xạ ảnh phức và khi n = 2 ta có mặt phẳng xạ ảnh
phức.

6


Chú ý 1.2.1. Nếu V là không gian vector trên trường K bất kì thì không gian xạ ảnh
tương ứng P(V ) là tập hợp các không gian con một chiều của V.
Trong định nghĩa trên thì K = C, V = Cn+1 và cho đơn giản ta thường viết Pn thay
cho P(Cn+1 ).
Định nghĩa 1.2.2. Một vector bất kỳ (x0 , . . . , xn ) ∈ Cn+1 biểu thị cho một phần tử
x của Pn , ta gọi (x0 , . . . , xn ) là tọa độ thuần nhất cho x và viết x = [x0 , . . . , xn ].
Do đó:
P n = {[x0 , . . . , xn ] |(x0 , . . . , xn ) ∈ Cn+1 \{0}}
và [x0 , . . . , xn ] = [y0 , . . . , yn ] khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ C sao cho xi = λyi với mọi i.
Định nghĩa 1.2.3. Một phép biến đổi xạ ảnh của Pn là một song ánh f : Pn −→ Pn
sao cho với đẳng cấu tuyến tính α : Cn+1 −→ Cn+1 nào đó, ta có:
f [x0 , . . . , xn ] = [y0 , . . . , yn ],
trong đó (y0 , . . . , yn ) = α(x0 , . . . , xn ), tức là:
f ◦ Π = Π ◦ α.
Ở đây Π : Cn+1 \{0} −→ Pn định nghĩa bởi:
Π(x0 , . . . , xn ) = [x0 , . . . , xn ].

1.2.2.

Đường cong xạ ảnh phức trong P2

Mặt phẳng xạ ảnh P2 là không gian con một chiều phức của C3 .
P2 = {[x, y, z] | (x, y, z) ∈ C3 \{0}}
và [x, y, z] = [u, v, w] khi và chỉ khi tồn tại λ nào đó thuộc C\{0} sao cho
x = λu, y = λv, z = λw.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử f (x, y, z) là đa thức thuần nhất ba biến x, y, z, khác hằng
số, với các hệ số phức. Giả sử f (x, y, z) không có thừa số bội. Khi đó đường cong xạ
ảnh C định nghĩa bởi f (x, y, z) là
C = {[x, y, z] ∈ P2 | f (x, y, z) = 0}.
Định nghĩa 1.2.5. Bậc của một đường cong xạ ảnh C trong P2 định nghĩa bởi đa
thức thuần nhất f (x, y, z) chính là bậc của đa thức thuần nhất f (x, y, z) đó.

7


Định nghĩa 1.2.6. Đường cong C được gọi là bất khả qui nếu f (x, y, z) bất khả qui,
tức là f (x, y, z) chỉ có các nhân tử là hằng số và bội vô hướng của chính nó.
Một đường cong xạ ảnh D định nghĩa bởi một đa thức thuần nhất g(x, y, z) được gọi
là một thành phần bất khả qui của C nếu f (x, y, z) = g(x, y, z)h(x, y, z) với h là đa
thức thuần nhất khác hằng số.
Định nghĩa 1.2.7. Cho đường cong xạ ảnh C trong P2 định nghĩa bởi một đa thức
thuần nhất f (x, y, z). Điểm [a, b, c] của C được gọi là điểm kì dị nếu:
∂f
∂f
∂f
(a, b, c) =
(a, b, c) =
(a, b, c) = 0.
∂x

∂y
∂z
Tập hợp các điểm kì dị của C được kí hiệu bởi Sing(C). Đường cong C được gọi là
không có kì dị(trơn) nếu Sing(C) = ∅.
Định nghĩa 1.2.8. Một đường cong xạ ảnh định nghĩa bởi một phương trình tuyến
tính
αx + βy + γz = 0,
trong đó α, β, γ ∈ C\{0} được gọi là một đường thẳng xạ ảnh.
Đường tiếp tuyến tại một điểm không kì dị [a, b, c] của một đường cong C = {[x, y, z] ∈
P2 | f (x, y, z) = 0} là đường thẳng
∂f
∂f
∂f
(a, b, c)x +
(a, b, c)y +
(a, b, c)z = 0.
∂x
∂y
∂z

8


Chương 2
Định lý Bézout
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm về kết thức, bội giao và
một tính chất của chúng, qua đó chứng minh được định lý Bézout.

2.1.

Kết thức

Định nghĩa 2.1.1. Cho K là một trường đóng đại số (C). Hai đa thức f, g ∈ C[X]:
f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an

với a0 = 0,

g(x) = b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm

với b0 = 0.

Một ma trận Sylvester(Syl) của f và g theo biến x là ma trận cỡ (m + n) × (m + n)
được cho bởi:
m+n



a0 a1

a0




Syl(f, g, X) = 


 b0 b1



b0




. . . . . . an
a1 . . . . . . an
......................
a0 a1 . . . . . .
. . . . . . bm
b1 . . . . . . b m
......................
b0 b1 . . . . . .







an 








bm

với các vị trí trống trong ma trận có giá trị bằng 0.
Khi đó kết thức của f và g chính là định thức của ma trận Sylvester
Res(f, g, x) = det(Syl(f, g, x)).

9







m



,





n





Nếu
f (z, y, z) = a0 (x, y)z n + a1 (x, y)z n−1 + · · · + an (x, y),
g(z, y, z) = b0 (x, y)z m + b1 (x, y)z m−1 + · · · + bm (x, y),
là hai đa thức ba biến thì kết thức Res(f, g, z) của f và g theo biến z được định nghĩa
một cách tương tự, bằng cách thay ai (x, y) và bj (x, y) tương ứng cho ai và bj với
1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Mệnh đề 2.1.1. ([3], Bổ đề 3.3, trang 53). Giả sử f (x) và g(x) là các đa thức theo
biến x. Khi đó f (x) và g(x) có nhân tử chung khác hằng số khi và chỉ khi
Res(f, g, x) = 0.
Mệnh đề 2.1.2. ([3], Bổ đề 3.4, trang 53). Giả sử f (x, y, z) và g(x, y, z) là các đa
thức thuần nhất khác hằng số với biến x, y, z,ngoài ra
f (1, 0, 0) = 0 = g(1, 0, 0).
Khi đó f (x, y, z) và g(x, y, z) có nhân tử chung là đa thức thuần nhất khác hằng số
khi và chỉ khi
Res(f, g, x) = 0.
Bổ đề 2.1.1. Giả sử h(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ K[x1 , x2 , . . . , xn ] là một đa thức n biến.
Nếu h = 0 khi thay x1 cho x2 và giữ nguyên tất cả các xi khác (i = 2). Khi đó
h(x1 , x2 , . . . , xn ) chia hết cho x1 − x2 .
Mệnh đề 2.1.3. ([3], Bổ đề 3.7, trang 54). Giả sử f (x, y, z) và g(x, y, z) là các đa
thức thuần nhất bậc n và m với biến x, y, z. Khi đó kết thức Res(f, g, z) là một đa
thức thuần nhất, bậc n · m, hai biến x và y.
Mệnh đề 2.1.4. ([3], Bổ đề 3.6, trang 53). Giả sử :
f (x) = (x − α1 )(x − α2 ) . . . (x − αn ),
g(x) = (x − β1 )(x − β2 ) . . . (x − βm ),
trong đó α1 , α2 , . . . , αn , β1 , β2 , . . . , βm là các số phức thì:
(βj − αi ).

Res(f, g, x) =

1≤i≤n,1≤j≤m

Hơn nữa, nếu f, g1 , g2 là các đa thức ba biến x, y, z thì
Res(f, g1 g2 , x) = Res(f, g1 , x)Res(f, g2 , x).
10


2.2.

Bội giao

Chúng ta sẽ định nghĩa bội giao Ip (C, D) tại điểm p = [a, b, c] của hai đường cong
C và D trong P2 thông qua kết thức của hai đa thức xác định hai đường cong đó
trong một hệ tọa độ thích hợp.
Hệ tọa độ xạ ảnh đó được chọn sao cho các điều kiện:
1. [1, 0, 0] không thuộc C ∪ D,
2. [1, 0, 0] không nằm trên đường thẳng nào nối hai điểm phân biệt, bất kỳ của
C ∩ D,
3. [1, 0, 0] không nằm trên đường tiếp tuyến của C hay D tại bất kỳ điểm nào của
C ∩ D,
được thỏa mãn.
Định nghĩa 2.2.1. Cho C và D là hai đường cong trong P2 , p = [a, b, c]. Khi đó:
• Nếu p nằm trên một thành phần chung của C và D thì Ip (C ∩ D) = ∞.
• Nếu p không nằm trên C ∩ D thì Ip (C, D) = 0.
• Nếu p nằm trên C ∩ D nhưng không nằm trên thành phần chung nào của C và
D. f (x, y, z) và g(x, y, z) là hai đa thức xác định hai đường cong C và D khi
đã bỏ đi các thành phần chung (nếu có). Chọn hệ tọa độ sao cho các điều kiện
1 đến 3 được thỏa mãn. Nếu p = [a, b, c] trong hệ tọa độ này thì Ip (C, D) là số
nguyên lớn nhất k sao cho (bz − cy)k chia hết Res(f, g, x).
Mệnh đề 2.2.1. ([3], Định lý 3.18, trang 59). Cho hai đường cong xạ ảnh C và D
trong P2 , Khi đó:

(i) Ip (C, D) = Ip (D, C).
(ii) Ip (C, D) = ∞ nếu p nằm trên một thành phần chung của C và D, còn ngược lại
thì nó là một số nguyên không âm.
(iii) Ip (C, D) = 0 khi và chỉ khi p ∈
/ C ∩ D.
(iv) Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại một điểm duy nhất, tại đó số giao bằng
một.
(v) Nếu C1 và C2 định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất f1 (x, y, z) và f2 (x, y, z) và
C xác định bởi f (x, y, z) = f1 (x, y, z)f2 (x, y, z) thì
Ip (C, D) = Ip (C1 , D) + Ip (C2 , D).
11


(vi) Nếu C và D định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất f (x, y, z) và g(x, y, z) bậc n
và m, và E định nghĩa bởi f (x, y, z)r(x, y, z) + g(x, y, z) trong đó r(x, y, z) là
đa thức thuần nhất bấc m − n thì
Ip (C, D) = Ip (C, E).

2.3.

Định lý Bézout

Định lý 2.3.1. ([3], Định lý 3.8, trang 54). Hai đường cong xạ ảnh C và D bất kỳ
trong P2 giao nhau ít nhất tại một điểm.
Định lý 2.3.2. ([3], Định lý 3.9, trang 54).(Dạng yếu của định lý Bézout). Nếu hai
đường cong xạ ảnh C và D trong P2 bậc tương ứng là n và m, không có thành phần
chung thì chúng giao nhau tại nhiều nhất m · n điểm.
Hệ quả 2.3.1. ([3], Hệ quả 3.10, trang 55).
(a) . Mỗi đường cong xạ ảnh trơn C trong P2 luôn bất khả qui.
(b) . Mỗi đường cong xạ ảnh C bất khả qui trong P2 đếu có hữu hạn điểm kì dị.

Mệnh đề 2.3.1. ([3], Mệnh đề 3.14, trang 56). Giả sử hai đường cong xạ ảnh C và
D bậc n trong P2 giao nhau tại đúng n2 điểm và có đúng nm điểm trong số các điểm
này nằm trên một đường cong bất khả qui E có bậc m < n, khi đó n(n − m) điểm còn
lại nằm trên một đường cong bậc ít nhất bằng n − m.
Hệ quả 2.3.2. ([3], Mệnh đề 3.15, trang 57). Các cặp cạnh đối của một hình lục
giác nội tiếp trong một conic trong P2 cắt nhau tại ba điểm cộng tuyến.
Định lý 2.3.3. ([3], Định lý 3.1, trang 52).(Định lý Bézout). Giả sử C và D là hai
đường cong xạ ảnh trong P2 có bậc bằng m và n. Nếu C và D không có thành phần
chung thì chúng có chính xác m · n giao điểm tính cả bội. Tức là
Ip (C, D) = m · n.
p∈C∩D

Chứng minh. Chọn hệ tọa độ thỏa mãn các điều kiện từ 1 đến 3 giống trong định nghĩa
(2.2.1). Giả sử C và D định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất f (x, y, z) và g(x, y, z)
trong hệ tọa độ này. Theo các mệnh đề (2.1.3) và (2.1.2) kết thức Res(f, g, x) là một
đa thức thuần nhất bậc m · n với hai biến y và z, không đồng nhất bằng không, vì
vậy theo mệnh đề (1.1.1) nó có thể phân tích thành tích của m · n thừa số tuyến tính,
chẳng hạn như
k

(bi z − ci y)si

Res(f, g, x) =
i=1

12


trong đó si là một số nguyên s1 + s2 + · · · + sk = m · n và với i = j thì (bi , ci ) = (bj , cj ).
Ta có

Res(f (x, bi , ci ), g(x, bi , ci ), x) = 0
do đó tồn tại ai để f (ai , bi , ci ) = g(ai , bi , ci ) hay tồn tại duy nhất các số phức ai sao
cho
C ∩ D = {pi |1 ≤ i ≤ k}
với pi = [ai , bi , ci ]. Theo định nghĩa về bội giao thì
Ipi (C, D) = si .
Do đó ta có điều phải chứng minh.

13


Chương 3
Chiều ngược lại của định lý Bézout
Định lý Bézout được xem là một trong những định lý lâu đời của hình học đại số
nhưng cho đến nay bài toán ngược lại của nó vẫn chỉ dừng lại ở những phỏng đoán
mà vẫn chưa có lời giải, chứng minh cụ thể nào. Trong luận văn này cũng vậy, chúng
tôi chứng minh chiều ngược lại cho một số trường hợp riêng và đưa ra một số ví dụ
cụ thể đó là các trường hợp mà chiều ngược lại đúng, gồm trường hợp hai đường bậc
hai và trường hơp một đường bậc hai và một đường bậc ba.
Bài toán ngược lại của định lý bezout được phát biểu như sau:
Cho trước hai số nguyên dương m và n. Với một bộ k số nguyên dương bất kì
[s1 , s2 , . . . , sk ] sao cho s1 + s2 + · · · + sk = m · n. Liệu có tồn tại hay không hai đường
cong xạ ảnh bậc m và n trong P2 sao cho chúng giao nhau tại k điểm với số bội giao
tương ứng là s1 , s2 , . . . , sk .
Kết quả chính của chương này là mệnh đề 3.2.1. Để đơn giản ta xét các đường cong
trong C2 .

3.1.

Bội giao của hai đường cong tại một điểm

Trong mục này chúng tôi tìm hiểu số giao của hai đường cong bậc m và bậc n
tại một điểm. Bổ đề dưới đây cho chúng ta một cách tính số giao một cách hiệu quả
trong trường hợp một đường cong có thể tham số hóa được bằng đa thức.

Bổ đề 3.1.1. Cho hai đường cong C và D định nghĩa bởi f (x, y) = 0 và g(x, y) = 0.
f (x, y) có phương trình tham số là

x = φ(t)
y = ψ(t),

14


với φ(t), ψ(t) ∈ C[t]. Khi đó
I(0,0) (C, D) = ldegt g φ(t), ψ(t) ,
trong đó ldegt g φ(t), ψ(t) là kí hiệu bậc nhỏ nhất của đơn thức trong g φ(t), ψ(t)
theo t.
Từ bổ đề trên ta có kết quả sau.
Mệnh đề 3.1.1. Cho 0 ≤ p ≤ m · n. Luôn tồn tại hai đường cong bậc m và n sao
chúng giao nhau tại O(0, 0) với bội giao là p.

3.2.

Một số trường hợp riêng của bài toán ngược
lại

Mệnh đề 3.2.1. Cho một bộ k số nguyên dương [s1 , s2 , . . . , sk ] bất kì, có tổng s1 +
s2 + · · · + sk = m · n(n ≤ m) và
m·n<

(m + 1)(m + 2)
.
2

Khi đó luôn tồn tại hai đường cong bậc n và m sao cho chúng giao nhau tại k điểm
với số bội giao tương ứng là s1 , s2 , . . . , sk .
Chứng minh. Chọn C là đường cong bậc n định nghĩa bởi f (x, y) = y − xn . Bài toán
đặt ra bây giờ là chỉ ra sự tồn tại của đường cong D bậc m sao cho D giao C tại k
điểm và tại mỗi điểm bội giao tương ứng là s1 , s2 , . . . , sk .
D là đường cong bậc m định nghĩa bởi
aij xi y j ,

g(x, y) =

∃aij = 0(i + j = m).

i+j≤m

−−→
Xét điểm M = (b, bn ) ∈ C tùy ý. Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo OM

x = X + b
y = Y + bn .
Khi đó
f → f1 = Y + bn − (X + b)n
aij (X + b)i (Y + bn )j .

g → g1 =
i+j≤m

15


Trong hệ tọa độ mới f1 có phương trình tham số

X = t
= φ(t)
Y = (t + b)n − bn = ψ(t).
Khi đó
aij (t + b)i (t + b)nj =

g1 φ(t), ψ(t)) =
i+j≤m

i+j≤m

Cij0 aij +

=

aij (t + b)i+nj

i+j≤m

Cij1 aij t + · · · +
i+j≤m

Cijnm aij tnm ,
i+j≤m

trong đó
Cijk aij
i+j≤m

là một tổ hợp tuyến tính nào đó của aij . Theo bổ đề (3.1.1) để C ∩ D tại M (b, bn )
với số bội giao là sb (s1 ≤ sb ≤ sk ) thì
I(0,0) (C, D) = ldegt g1 (φ(t), ψ(t)) = sb .
Khi đó
Cije aij = 0.

với mọi e, 0 ≤ e ≤ sb − 1.

i+j≤m

Khi e chạy từ 0 đến sb − 1 thì ta nhận được một hệ sb phương trình tuyến tính thuần
nhất với biến aij . Do đó tại k điểm của C ∩ D ta nhận được một hệ s1 + s2 + · · · + sk =
m · n phương trình tuyến tính thuần nhất với biến aij .
Tập hợp H = {aij |i + j ≤ m} gồm (m+1)(m+2)
phần tử. Vì
2
(m + 1)(m + 2)
2
nên hệ phương trình thu được là một hệ tuyến tính thuần nhất có số phương trình ít
hơn số ẩn. Ta có thể chọn một nghiệm sao cho aij = 0, với i + j = m, như vậy tồn tại
đường cong D bậc m sao cho D giao C tại k điểm và tại mỗi điểm có bội giao tương
ứng là s1 , s2 , . . . , sk . Từ dó ta có điều phải chứng minh.
m·n<

Mệnh đề 3.2.2. Luôn tồn tại hai đường cong với bậc tương ứng là m và n sao cho:

• Chúng giao nhau tại m · n điểm với bội giao đều bằng một.
• Chúng giao nhau tại một điểm với bội giao là m · n.
Mệnh đề 3.2.3. Luôn tồn tại hai đường cong bậc m và n(n ≤ m) sao cho chúng
giao nhau tại hai điểm với bội giao là [1, mn − 1], hoặc [2, mn − 2], hoặc, . . . , hoặc
[n − 1, mn − n + 1].
Mệnh đề 3.2.4. Luôn tồn tại hai đường cong bậc m và n (n ≤ m) sao cho chúng giao
nhau tại k điểm với bội giao tương ứng là m.i1 , m.i2 , . . . , m.ik với i1 + i2 + · · · + ik = n.
16


3.3.

Chiều ngược lại cho một số trường hợp cụ thể

Ta kí hiệu [s1 , s2 , . . . , sk ] là bộ số bội giao của hai đường cong tại k điểm.

3.3.1.

Hai đường cong bậc hai

Hai đường cong bậc hai C và D giao nhau tại bốn điểm tính cả bội với các trường
hợp là [1, 1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 3], [2, 2], [4].
Chọn C là đường cong định nghĩa bởi f (x, y) = y − x2 .
• Trường hợp 1: [1,1,1,1].
Cho D định nghĩa bởi g(x, y) = x2 − y 2 + 2xy − 2x.
• Trường hợp 2: [1,1,2].
Cho D định nghĩa bởi g(x, y) = x2 + y 2 − 2y.
• Trường hợp 3: [1,3].
Cho D định nghĩa bởi g(x, y) = x2 + y 2 − xy − y.
• Trường hợp 4: [2,2].

Cho D định nghĩa bởi g(x, y) = 2x2 + y 2 − 2xy − y.
• Trường hợp 5: [4].
Cho D định nghĩa bởi g(x, y) = x2 + y 2 − y.

3.3.2.

Một đường cong bậc hai và một đường cong bậc ba

Tương tự như hai đường cong bậc hai. Với f (x, y) = y − x2 , ta có 11 trường hợp
sau
• Trường hợp 1: [1,1,1,1,1,1].
Với g = x2 − y 3 + 6y 2 − 7y + 1.
Khi đó
Res(f, g, x) = (y − 1)2 (y 2 − 5y + 1)2 ,
Res(f, g, y) = −(x − 1)(x + 1)(x4 − 5x2 + 1).
• Trường hợp 2: [1,1,1,1,2].
Với g = x2 − y 3 + 6y 2 − 7y.
Khi đó
Res(f, g, x) = y 2 (6 + y 2 − 6y)2 ,
Res(f, g, y) = −x2 (6 − 6x2 + x4 ).
17


• Trường hợp 3: [1,1,1,3].
Với g = y 3 − xy − x3 .
Khi đó
Res(f, g, x) = −y 3 (−4 + y 3 ),
Res(f, g, y) = x3 (−2 + x3 ).
• Trường hợp 4: [1,1,4].
Với g = y 3 + x3 − xy − 2y 2 .

Khi đó
Res(f, g, x) = −y 4 (y − 2)2 ,
Res(f, g, y) = x4 (−2 + x2 ).
• Trường hợp 5: [1,5].
Với g = x3 − y 2 x + y 3 − xy.
Khi đó
Res(f, g, x) = −y 5 (−1 + y),
Res(f, g, y) = x5 (−1 + x).
• Trường hợp 6: [1,1,2,2].
Với g = x3 − yx2 + 5y 3 − 7y 2 x + x2 + y 2 .
Khi đó
Res(f, g, x) = −y 2 (25y 2 + y + 1)(−1 + y)2 ,
Res(f, g, y) = x2 (5x2 + 3x + 1)(−1 + x)2 .
• Trường hợp 7, [1,2,3].
Với g = −2x3 − y 3 + 3y 2 .
Khi đó
Res(f, g, x) = −y 3 (y − 4)(−1 + y)2 ,
Res(f, g, y) = −x3 (x + 2)(−1 + x)2 .
• Trường hợp 8: [2,2,2].
Với g = x3 + 2y 3 − 4y 2 + 2x2 − xy.
Khi đó
Res(f, g, x) = −4y 2 (−1 + y)4 ,
Res(f, g, y) = 2x2 (−1 + x)2 (x + 1)2 .

18


• Trường hợp 9: [2,4].
Với g = x3 + 2y 3 − 4y 2 x + 2y 2 − xy.
Khi đó

Res(f, g, x) = −4y 4 (−1 + y)2 ,
Res(f, g, y) = 2x4 (−1 + x)2 .
• Trường hợp 10: [3,3].
Với g = x3 − y 3 + 3y 2 x + yx2 − 4y 2 .
Khi đó
Res(f, g, x) = −y 3 (−1 + y)3 ,
Res(f, g, y) = −x3 (−1 + x)3 .
• Trường hợp 11: [6].
Với g = x3 + y 3 − xy.
Khi đó
Res(f, g, x) = −y 6 ,
Res(f, g, y) = x6 .

3.3.3.

Hai đường cong bậc bốn

Hai đường cong này không thỏa mãn mệnh đề 3.2.1. Nhưng ta vẫn có thể tìm
được hai đường cong bậc bốn thỏa mãn một số trường hợp sau:
• [1, 1, . . . , 1] và [16] đã nói trong mệnh đề 3.2.2.
• [1, 15] như đã nói ở mệnh đề 3.2.3, với C định nghĩa bởi g(x, y) = y(y − x3 ).
D định nghĩa bởi h(x, y) = y 4 + y.x − y − x4 + x3 .
Khi đó Res(f, g, x) = y 16 , Res(f, g, y) = −x15 (x − 1).
• [4, 4, 4, 4]. Ta có thể chọn hai đường cong như đã nói ở mệnh đề 3.2.4 hoặc chọn
khác đi.
C định nghĩa bởi f (x, y) = x4 + y 4 − 1. D định nghĩa bởi
g(x, y) = (x + 1)(x − 1)(y + 1)(y − 1) + x4 + y 4 − 1.
Khi đó
Res(f, g, x) = y 4 (y − 1)4 y 4 (y + 1)4 ,
Res(f, g, y) = (x − 1)4 x4 (x + 1)4 x4 .

Tương tự ta có các trường hợp
19


• [4, 4, 8] với C định nghĩa bởi f (x, y) = x4 + y 4 − 1 và D định nghĩa bởi g(x, y) =
(x + 1)(x − 1)(y + 1)2 + x4 + y 4 − 1.
• [8, 8] với C định nghĩa bởi f (x, y) = x4 + y 4 − 1 và D định nghĩa bởi g(x, y) =
(x + 1)2 (y + 1)2 + x4 + y 4 − 1.
• [4, 12] với C định nghĩa bởi h = y − (x − 1)(x + 1)3 và D định nghĩa bởi
g(x, y) = y 4 − h(x, y).
Nhận xét 3.2.1 Trong trường hợp hai đường cong bậc bốn, chúng tôi có thể đưa
được tất cả các trường hợp tuy nhiên để đưa được hết vào luận văn thì quá dài nên
không trình bày tất cả. Từ những ví dụ trên ta có thể hi vọng tồn tại toàn bộ các
trường hợp của bài toán ngược định lý Bézout.

20


KẾT LUẬN
Đóng góp chính của luận văn bao gồm:
1 Đọc hiểu và trình bày lại các kết quả về kết thức, định lý Bézout.
2 Chứng minh chiều ngược lại của định lý Bézout cho một số trường hợp riêng.
Ngoài ra, luận văn còn cho nhiều ví dụ minh họa cho chiều ngược lại.
Tuy nhiên do thời gian thực hiện luận văn không nhiều còn có những sai sót chúng
tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.

21


Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội
(2000).
[2] David Cox, John Little & Donal O’Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms - 3rd
edition, Springer(2006).
[3] Frances C.Kirwan, Complex Algebraic Curves, Cambridge University Press
(1992).
[4] Serge Lang, Algebra - 3rd edition, Springer(2002).

22