VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

PHẠM NHƯ THÀNH

VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

PHẠM NHƯ THÀNH

VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
Hà Nội - 2015


Mục lục
1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach
sinh của chúng
1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Khái niệm về toán tử sinh và một số kết quả bổ trợ .
1.3 Định lý về toán tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . .
1.4 Khái niệm về tán xạ và định lý Lunner-Phillips . . .
1.5 Một số ví dụ khác nhau của nửa nhóm liên tục mạnh
1.5.1 Nửa nhóm liên tục đều . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Nửa nhóm đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Nửa nhóm điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Nửa nhóm nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Bài toán Cauchy đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . .

và toán tử
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2 Tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa trừu tượng và ứng
dụng
2.1 Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Khái niệm họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh và một vài tính chất
nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong
không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Nhiễu tuyến tính của phương trình tiến hoá và họ toán tử tiến
hóa liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Sự tương đương tiệm cận của các họ toán tử tiến hóa . . . . . . .
2.6 Ứng dụng của phương pháp nửa nhóm trong mô hình quần thể
sinh học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Về tính chất nghiệm của bài toán dân số phụ thuộc vào tuổi
2.6.2 Tính chất nghiệm của bài toán dân số có phụ thuộc vào
tuổi và sự phân bố dân cư . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

5
5
9
12
15
17
17

19
19
20
22

26
26
30

37
44
47
53
53
55


Mở Đầu
Trong thời gian gần đây do yêu cầu đòi hỏi từ các mô hình ứng dụng, lý
thuyết định tính của các phương trình vi phân trong không gian Banach được
phát triển mạnh mẽ. Các kết quả nhận được về tính ổn định của phương trình
vi phân trong không gian Banach có thể ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chất
nghiệm của phương trình vi phân hàm. Đồng thời sử dụng trong việc nghiên
cứu của các mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học, mạng nơron
thần kinh, trong vật lý và cơ học. Một trong những vấn đề đầu tiên được nhiều
người quan tâm, nghiên cứu là áp dụng phương pháp nửa nhóm cho các phương
trình tiến hóa trừu tượng, từ đó ứng dụng vào mô hình dân số.
Trong nhiều mô hình ứng dụng, ta thường gặp bài toán phương trình đạo
hàm riêng dạng:
∂v

= A(D)v
∂t
trong đó v là một hàm véc tơ v = (v1 , ..., vm ) phụ thuộc vào t và x,

(1)

Aα Dα ,

A(D) =
|α|≤r

α = (α1 , .., αn ) là một đa chỉ số, |α| = α1 + ... + αn , Dα = D1α1 ...Dnαn , Dk =

i∂
(k =
∂xk

1, 2, ..., n), x = (x1 , ..., xn ) là một điểm trong không gian Rn và hệ số Aα là một

ma trận hằng cấp m × n. Số r được gọi là cấp của hệ.
Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1), v = v(t, x) thỏa mãn điều kiện
v(0, x) = φ(x)

(2)

được gọi là bài toán Cauchy, trong đó hàm vector φ(x) được cho trong toàn bộ
không gian Rn . Đôi khi người ta cũng có thể gọi là bài toán với giá trị ban đầu.
Bài toán với giá trị ban đầu (1) thường được giải bằng phương pháp Fourier.
Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, để mở rộng phạm vi ứng dụng của nó người
ta thường xét phương trình đạo hàm riêng dạng

∂v
= A(D)v + g(t, v).
∂t
2

(3)


Nhờ áp dụng phương pháp nửa nhóm việc nghiên cứu tính chất nghiệm của
phương trình (3) có thể đưa về nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình
vi phân

 du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > t0
dt

u(t )
0

= u0

trong đó −A là một toán tử sinh của C0 − nửa nhóm T (t), t ≥ 0, trong không
gian Banach X và f : [t0 , T ] × X → X là ánh xạ liên tục theo t và thỏa mãn điều
kiện Lipschitz theo u.
Mục đích chính của luận văn là cố gắng tìm hiểu phương pháp nửa nhóm
trong các không gian hàm và lý thuyết nhiễu của nửa nhóm vào việc nghiên cứu
tính chất nghiệm của phương trình vi phân có nhiễu trong không gian Banach,
từ đó đưa ra ứng dụng vào mô hình dân số.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương một trình bày định nghĩa, tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh

một số định lý quan trọng về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, về tán
xạ và một số dạng khác nhau của nửa nhóm liên tục mạnh. Trong chương này,
chúng tôi sử dụng các kiến thức đã được trình bày trong các tài liệu [1], [4], [8],
[9] và chuyên đề cao học của TS. Trần Đức Long.
Chương hai trình bày bài toán nhiễu của nửa nhóm, tính chất của họ toán
tử tiến hóa liên tục mạnh, sự tương đương tiệm cận và các định lý liên quan;
từ đó đưa ra bài toán mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi. Để hoàn thành các
nội dung đó, chúng tôi đã sử dụng các kiến thức cơ bản và tư liệu đã được trình
bày trong các tài liệu [2], [3], [5], [6], [7], [8] và các nội dung trong các chuyên
đề cao học của PGS.TS. Hoàng Quốc Toàn và PGS.TS. Đặng Đình Châu.
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đặng Đình
Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã dành
nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn
thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những
điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn
tới phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ
tục học tập và bảo vệ luận văn.
Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những
3


sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời
gian qua.
Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinh
thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian còn bị hạn chế nên bản luận
văn còn để lại nhiều thiếu sót về lỗi ấn loát và các lỗi khi bỏ qua một số trình
bày chi tiết việc chứng minh lại các kết quả trong chương 1 cũng như trong một
vài ví dụ ứng dụng. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô

và các bạn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Phạm Như Thành

4


Chương 1

Nửa nhóm liên tục mạnh trong
không gian Banach và toán tử sinh
của chúng
1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 1.1. Một họ (T (t))t≥0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên không
gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm ) nếu
nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1. T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s ≥ 0.
2. T (0) = I .
3. lim T (t)x = T (t0 )x với mọi x ∈ X, t ≥ 0.
t→t0

Ví dụ 1.1. Xét nửa nhóm (T (t))t≥0 trong không gian C0 = C0 (R), xác định bởi
C0 (R) = {f ∈ C(R) : lim f (s) = 0}.
s→±∞

Với chuẩn ||f || = sup |f (s)|. Ta có (C0 , ||.||) là một không gian Banach.
s∈R

∀t ≥ 0, ta định nghĩa:
(Tl (t)f )(s) = f (t + s)

∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R.

(Tr (t))f (s) = f (s − t)

∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R.

và

Khi đó (Tr (t))t≥0 và (Tl (t))t≥0 là các nửa nhóm liên tục mạnh trên C0 , được gọi
tương ứng là nửa nhóm dịch chuyển trái và phải của C0 .
5


Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường
hợp nửa nhóm dịch chuyển phải được chứng minh tương tự.
+) Ta chứng minh (Tl (t)) là một nửa nhóm.
Thật vậy: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0 , s ∈ R, ta có
(Tl (t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl (t)f )(h + s) = (Tl (t)Tl (h))f (s)

suy ra Tl (t + h) = Tl (t)Tl (h).
+) Ta chứng minh (Tl (t))t≥0 liên tục mạnh. Thật vậy, ta cần chỉ ra rằng, ∀f ∈ C0
thì
lim ||Tl (t)f − f || = lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0.

t→0+

t→0+ s∈R

Vì f ∈ C0 suy ra f liên tục trên R và tồn tại các giới hạn lim f (s) = 0, nên f
s→±∞

liên tục đều trên R.
Do đó
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho: ∀s1 , s2 : |s1 − s2 | < δ ⇒ |f (s1 ) − f (s2 )| < .

Khi đó với mọi t : 0 ≤ t < δ thì |t + s − s| < δ , với mọi s ∈ R, ta có
|f (t + s) − f (s)| <

Suy ra

sup |f (t + s) − f (s)| ≤

∀s ∈ R.

với mọi t : 0 ≤ t < δ. Vậy theo định nghĩa giới

s∈R

hạn ta có
lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0.

t→0+ s∈R

Vậy (Tl (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.

Bổ đề 1.1. Giả sử X là một không gian Banach và F là một hàm từ một tập
compact K ⊂ R vào L(X). Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
(a) F là toán tử tôpô liên tục mạnh; tức là, ánh xạ K t → F (t)x ∈ X là liên
tục ∀x ∈ X.
(b) F là bị chặn đều trên K, và ánh xạ K
t → F (t)x ∈ X là liên tục
∀x ∈ D ⊂ X, D trù mật trong X .
(c) F là liên tục đối với tôpô hội tụ đều trên tập con compact của X ; tức là,
ánh xạ K × C (t, x) → F (t)x ∈ X là liên tục đều đối với tập compact C trong
X.
Định lý 1.1. Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X. Khi
đó các tính chất sau là tương đương.
(a) (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.
6


(b) lim+ T (t)x = x ∀x ∈ X.
t→0

(c) Có một số δ > 0, M ≥ 1 và một tập con trù mật D ⊂ X thỏa mãn
i) ||T (t)|| ≤ M ∀t ∈ [0, δ],
ii) lim+ T (t)x = x ∀x ∈ D.
t→0

Chứng minh.
+) Chứng minh (a) ⇒ (c.ii).
Vì (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach, nên
lim T (t)x = T (0)x = x

t→0+

∀x ∈ D (Do D trù mật trong X ).

+) Chứng minh (a) ⇒ (c.i).
Giả sử ngược lại, tức là tồn tại một dãy (δn )n∈N ⊂ R+ hội tụ đến 0 thỏa mãn
||T (δn )|| → ∞ khi n → ∞.

Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn tại x ∈ X thỏa mãn (||T (δn )x||)n∈N không bị
chặn. Điều này mâu thuẫn với T (.)x liên tục tại t = 0 (do (T (t))t≥0 là nửa nhóm
liên tục mạnh).
+) Chứng minh (c) ⇒ (b).
Đặt K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} với mọi dãy bất kì (tn )n∈N ⊂ [0, ∞) hội tụ đến 0. Khi
đó K ⊂ [0, ∞) là compact, T (.)|K x là liên tục ∀x ∈ D.
Do đó áp dụng bổ đề 1.1 (b) ta được T (.)|K x liên tục ∀x ∈ X, tức là:
lim T (tn )x = x

n→∞

∀x ∈ X.

Vì (tn )n∈N được chọn tùy ý nên (b) được chứng minh.
+) Chứng minh (b) ⇒ (a).
Giả sử t0 > 0, và x ∈ X . Khi đó
lim ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 )||.|| lim ||T (h)x − x|| = 0,

h→0+

h→0+

suy ra (T (t))t≥0 liên tục phải. Nếu h < 0

||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x||

dẫn đến tính liên tục trái, trong đó ||T (t)|| bị chặn đều ∀t ∈ [0, t0 ]. Vậy (T (t))t≥0
là nửa nhóm liên tục mạnh.
Định lý 1.2. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Khi đó có một hằng
số w ∈ R và M ≥ 1 thỏa mãn
||T (t)|| ≤ M ewt
7

∀t > 0.

(1.1)


Chứng minh. Chọn M ≥ 1 thỏa mãn
||T (s)|| ≤ M

∀0 ≤ s ≤ 1.

Với t ≥ 0 lấy t = s + n, ∀n ∈ N và 0 ≤ s < 1. Khi đó
||T (t)|| = ||T (s + n)|| = ||T (s).T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (n)||
≤ ||T (s)||.||T (1)||n
≤ M n+1 = M en ln M ≤ M ewt

với w = ln M và t ≥ 0.
Định nghĩa 1.2. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 , chúng ta gọi
ω0 là cận tăng trưởng nếu
ω0 = ω0 (T ) = inf{w ∈ R : tồn tại Mw ≥ 1 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ Mw ewt

∀t ≥ 0}.

Xét trong trường hợp đặc biệt.
- Nếu w = 0, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm bị chặn.
- Nếu w = 0 và M = 1, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là là nửa nhóm co.
- Nếu ||T (t)x|| = ||x||, ∀t ≥ 0 và x ∈ X, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa
nhóm đẳng cự.
Ví dụ 1.2. Theo định lý 1.2 ta luôn có ω < +∞ nhưng có thể ω0 = −∞. Chẳng
hạn trong không gian L1[0;1] , ta xét nửa nhóm tịnh tiến trái xác định bởi:
f (t + s) nếu s + t ≤ 1

T (t)f (s) =

nếu s + t > 1

0

Ta có:
T (t) = 0, ∀t > 1.

Với mọi t thỏa mãn
0 ≤ t ≤ 1, ||T (t)|| ≤ 1

do

1

||T (t)f || = ||

T (t)f (s)ds|| ≤ ||f ||.
0

Suy ra

||T (t)|| ≤ 1 Với ω < 0 cố định, chọn M sao cho M ≤ e−ω . Khi đó:
||T (t)|| < 1 ≤ M.eω ≤ M.eωt ,

Vậy ω0 = −∞.
8

∀t ≥ 0.


1.2

Khái niệm về toán tử sinh và một số kết quả bổ trợ

Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết
ta có bổ đề sau.
Bổ đề 1.2. Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh và một phần tử x ∈ X.
Đối với quỹ đạo ánh xạ ξx : t → T (t)x, các tính chất sau là tương đương.
(a) ξx (.) là khả vi trên R+ .
(b) ξx (.) khả vi bên phải tại t = 0.
Định nghĩa 1.3. Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của một nửa nhóm liên tục
mạnh (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X là một toán tử
1
Ax = ξ˙x (0) = lim+ (T (h)x − x)
h→0 h

(1.2)

xác định với mọi x trong miền xác định của nó
D(A) = {x ∈ X : ξx là khả vi trên R+ }.

(1.3)

Theo bổ đề 1.2, ta thấy miền xác định D(A) là tập tất cả các phần tử x ∈ X
mà ξx (.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó
D(A) = {x ∈ X : lim

h→0+

1
(T (h)x − x) tồn tại}.
h

(1.4)

Miền D(A) là một không gian vector và chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nó là
(A, D(A)).

Chúng ta thường chỉ viết A, và coi miền xác định của nó là cho bởi (1.4).
Định lý 1.3. Cho toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 ,
ta có các tính chất sau là đúng.
(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính.
(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và
d
T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x
dt

(iii) ∀t ≥ 0 và x ∈ X, ta có

t

T (s)xds ∈ D(A).
0

9

∀t ≥ 0.

(1.5)


(iv) ∀t ≥ 0, ta có
t

T (t)x − x = A

x ∈ X,

nếu

T (s)xds

(1.6)

0
t

nếu x ∈ D(A).

T (s)Axds

=

(1.7)

0

Định lý 1.4. Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử tuyến tính
đóng, xác định trù mật và xác định một nửa nhóm duy nhất.
Định lý 1.5. Giả sử T (t)t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach
X có toán tử sinh (A, D(A)) và lấy một hằng số w ∈ R, M ≥ 1 thỏa mãn
||T (t)|| ≤ M ewt

∀t ≥ 0.

(1.8)

Khi đó các tính chất sau là đúng.
∞
(i) Nếu λ ∈ C thỏa mãn R(λ)x = 0 e−λs T (s)xds tồn tại ∀x ∈ X , thì λ ∈ ρ(A)
và R(λ, A) = R(λ).
(ii) Nếu Reλ > w thì λ ∈ ρ(A), và giải thức được cho bởi tích phân trong (i).
(iii) ||R(λ, A)|| ≤

M
Reλ − w

với mọi Reλ > w.

Hệ quả 1.1. Đối với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M ewt với mọi t ≥ 0, với Reλ > w và n ∈ N ta
có:
(−1)n−1 dn−1
1
R(λ, A)n x =
R(λ,
A)x
=
(n − 1)! dλn−1
(n − 1)!

+∞

sn−1 e−λs T (s)xds,

∀x ∈ X.

0

(1.9)
Đặc biệt, ta có:
||R(λ, A)n || ≤

M
,
(Reλ − w)n

∀n ∈ N và Reλ > w.

Chứng minh. Đẳng thức (1.9) tương đương với:
dn−1
R(λ, A)x = (−1)n−1 (n − 1)!R(λ, A)n x
n−1
dλ
+∞

sn−1 e−λs T (s)xds.

= (−1)n−1
0

Với mọi λ, µ ∈ ρ(A), ta có (λI − A)R(λ, A) = I . Do vậy, ta suy ra:
[λIR(λ, A) − AR(λ, A)]R(µ, A) = R(µ, A)
10


và
R(λ, A)[µR(µ, A) − AR(µ, A)] = R(λ, A).

Do A và R(λ, A) giao hoán với nhau nên trừ từng vế hai phương trình trên, ta
được:
R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).

Suy ra:
R(λ, A) − R(µ, A)
= −R(λ, A)R(µ, A)
λ−µ

với µ = λ.

Cho µ → λ, ta có:
d
R(λ, A) = −R(λ, A)2 .
dλ

Mặt khác, ta cũng có:
+∞

d
d
R(λ, A) =
dλ
dλ

+∞

e−λs T (s)xds = −
0

se−λs T (s)xds.
0

Vậy (1.9) đúng với n = 2. Trường hợp tổng quát ta suy ra bằng quy nạp. Thật
vậy giả sử (1.9) đúng với n, tức là:
dn−1 R(λ, A)
= (−1)n−1 (n − 1)!(R(λ, A))n .
n−1
dλ

Ta chứng minh cho trường hợp n + 1. Ta có:
dn R(λ, A)
d
= (−1)n−1 (n − 1)! (R(λ, A))n
n
dλ
dλ
d
= (−1)n−1 n!R(λ, A)n−1 R(λ, A)
dλ
n
n+1
= (−1) n!R(λ, A) .

tức là đẳng thức thứ nhất trong (1.9) đúng với n + 1. Mặt khác từ đẳng thức:
+∞

dn−1
R(λ, A)x = (−1)n−1
n−1
dλ

sn−1 e−λs T (s)xds
0

⇒

dn R(λ, A)
= (−1)n
dλn

+∞

sn e−λs T (s)xds.
0

Vậy (1.9) đúng cho n + 1.

11


1.3

Định lý về toán tử sinh của nửa nhóm

Định lý 1.6. Định lý toán tử sinh ( Hille-Yosida)
Cho (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đó
các tính chất sau là tương đương.
(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh.
(b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và
||λR(λ, A)|| ≤ 1.

(1.10)

(c) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi ∀λ ∈ C mà Reλ > 0, ta có
λ ∈ ρ(A) và
||R(λ, A)|| ≤

1
.

Reλ

(1.11)

Chứng minh.
+) (a) ⇒ (c) đúng (theo định lý 1.4 và định lý 1.5)
+) (c) ⇒ (b) hiển nhiên.
+) Chứng minh (b) ⇒ (a).
Chúng ta định nghĩa xấp xỉ Yosida sau:
An = nAR(n, A) = n2 R(n, A) − nI

n ∈ N,

(1.12)

là các toán tử bị chặn, giao hoán với mỗi n ∈ N.
Xét nửa nhóm liên tục đều cho bởi:
Tn (t) = etAn

t ≥ 0.

(1.13)

An hội tụ đến A theo từng điểm trên D(A). Khi đó ta có các tính chất sau:

(i) T (t)x = lim Tn (t)x tồn tại với mỗi x ∈ X.
n→∞

(ii) (T (t))t≥0 là nửa nhóm co liên tục mạnh trên X.
(iii) Nửa nhóm này có toán tử sinh (A, D(A)).

Ta chứng minh các tính chất này là đúng. Thật vậy:
(i) Mỗi (Tn (t))t≥0 là một nửa nhóm co vì:
2

||Tn (t)|| ≤ e−nt e||n

R(n,A)||t

≤ e−nt ent = 1

t ≥ 0.

Áp dụng định lý cơ bản của tích phân đối với hàm
s → Tm (t − s)Tn (s)x

0 ≤ s ≤ t, x ∈ D(A) và m, n ∈ N.

12


Ta có:
t

d
(Tm (t − s)Tn (s)x)ds
ds

Tn (t)x − Tm (t)x =
0
t

Tm (t − s)Tn (s)(An x − Am x)ds.

=
0

Khi đó
||Tn (t)x − Tm (t)x|| ≤ t||An x − Am x||.

(1.14)

Vì (An (x))n∈N là dãy Cauchy đối với mỗi x ∈ D(A) nên (Tn (t)x)n∈N hội tụ đều
với mỗi x ∈ D(A) trên khoảng [0, t0 ].
(ii) Vì (Tn (t))t≥0 (n = 1, 2, ...) là các nửa nhóm nên (T (t))t≥0 là nửa nhóm.
Hơn nữa
||Tn (t)x|| ≤ ||x|| ⇒ ||T (t)x|| ≤ ||x||

∀x ∈ X,

suy ra
||T (t)|| ≤ 1

∀t ≥ 0.

Do đó (T (t))t≥0 là nửa nhóm co.
Mặt khác, với mỗi x ∈ D(A), ánh xạ
ξ : t → T (t)x

0 ≤ t ≤ t0 ,

là giới hạn đều của các hàm liên tục, nên
T (t)x → x khi t → 0.

Suy ra nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh (do (1.14)).
(iii) Ký hiệu (B, D(B)) là toán tử sinh của (T (t))t≥0 và cố đinh x ∈ D(A). Trên
mỗi khoảng compact [0, t0 ] hàm
ξn : t → Tn (t)x

hội tụ đều đến ξ(.) do (1.14), và hàm
ξ˙n : t → Tn (t)An x

hội tụ đều đến η : t → T (t)Ax.
˙
Suy ra ξ là hàm khả vi với ξ(0)
= η(0); Tức là
D(A) ⊂ D(B) và Ax = Bx với x ∈ D(A).

13


Chọn λ > 0, khi đó λ − A là một song ánh từ D(A) vào X (vì λ ∈ ρ(A)).
Mặt khác, B là toán tử sinh của nửa nhóm co (T (t))t≥0 , nên λ ∈ ρ(B) (do định
lý 1.5), suy ra λ − B cũng là song ánh từ D(B) vào X .
Vậy
D(A) = D(B) và A = B.

Hệ quả 1.2. Giả sử w ∈ R, (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không
gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương.
(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn
||T (t)|| ≤ ewt

t ≥ 0.

(1.15)

(b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > w ta có λ ∈ ρ(A) và
||(λ − w)R(λ, A)|| ≤ 1.

(1.16)

(c) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi λ ∈ C mà Reλ > w, ta có
λ ∈ ρ(A) và
||R(λ, A)|| ≤

1
.
Reλ − w

(1.17)

Nửa nhóm thỏa mãn (1.15) được gọi là nửa nhóm tựa co.
Chứng minh. Xét nửa nhóm điều chỉnh S(t) = e−wt T (t), toán tử sinh của nhóm
này là B = A − w. Ta có:
||S(t)|| = ||e−wt T (t)|| ≤ e−wt ||T (t)|| ≤ e−wt ewt = 1

∀t ≥ 0.

Suy ra (S(t))t≥0 là nửa nhóm co liên tục mạnh. Áp dụng định lý 1.6 cho nửa
nhóm co (S(t))t≥0 ta được điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.1. Qua các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

ta thấy:
- Đối với nửa nhóm liên tục mạnh có thể điều chỉnh để thành nửa nhóm bị
chặn.
- Đối với nửa nhóm bị chặn có thể tìm một chuẩn tương đương để đối với
chuẩn này nửa nhóm trở thành nửa nhóm co.

14


1.4

Khái niệm về tán xạ và định lý Lunner-Phillips

Định nghĩa 1.4. Toán tử tuyến tính (A, D(A)) trên không gian Banach X gọi
là tán xạ nếu
||(λI − A)x|| λ.||x||, ∀λ > 0, ∀x ∈ D(A).
(1.18)
Định lý 1.7. Đối với tán xạ (A, D(A)) ta có các tính chất sau:
(a) λI − A là đơn ánh với mọi λ > 0 và ta có:
||(λI − A)−1 x||

1
.||x||, ∀x ∈ R(λI − A).
λ

(1.19)

(b) λI − A là toàn ánh với λ > 0 nào đó khi và chỉ khi nó là toàn ánh với mỗi
λ > 0. Trong trường hợp này ta có (0, +∞) ⊂ ρ(A).
(c) Toán tử A là đóng khi và chỉ khi miền giá trị R(λI − A) là đóng với λ > 0

nào đó (và do đó với mọi λ > 0).
(d) Nếu R(A) ⊂ D(A), chẳng hạn nếu A là xác định trù mật thì toán tử A có
thể mở rộng thành toán tử đóng. Bao đóng A của nó lại là tán xạ thỏa mãn:
R(λI − A) = R(λI − A), ∀λ > 0.

Định lý 1.8. (Lunner-Phillips) Đối với tán xạ xác định trù mật (A, D(A)) trên
không gian Banach X các mệnh đề sau tương đương:
(a) Bao đóng A của A sinh ra nửa nhóm co.
(b) R(λI − A) trù mật trong X với một λ > 0 nào đó (và do đó với mọi λ > 0).
Chứng minh. +) (a) ⇒ (b). Do A sinh ra một nửa nhóm co nên theo định lý
1.6, với mọi λ > 0 thì λ ∈ ρ(A). Do đó R(λI − A) = X . Theo định lý 1.7 thì
R(λI − A) = R(λI − A). Vậy ta có điều phải chứng minh.
+) (b) ⇒ (a). Vì R(λI − A) = R(λI − A) = X (theo giả thiết (b)), theo định lý
1.7 thì (0, +∞) ⊂ ρ(A). Do A là tán xạ nên A là tán xạ. Ta có ||λR(λ, A)|| 1
nên theo định lý 1.6, A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh.
Hệ quả 1.3. Giả sử (A, D(A)) là toán tử xác định trù mật trên không gian
Banach X. Nếu cả A và toán tử liên hợp A∗ tán xạ thì bao đóng A của A sinh
ra một nửa nhóm co trên X.
Chứng minh. Theo định lý Lunmer-Phillips, ta chỉ cần chứng minh R(λI − A) =
X . Thật vậy giả sử ngược lại R(λI − A) = X . Theo định lý Hahn-Banach tồn
tại x∗ ∈ X ∗ , x∗ = 0 sao cho:< (I − A)x, x∗ >= 0 với mọi x ∈ D(A). Từ đó, ta suy
ra x∗ ∈ D(A∗ ). Do D(A) = X nên < x, (I ∗ − A∗ )x∗ >= 0 với mọi x ∈ X . Suy ra
15


(I ∗ − A∗ )x∗ = 0. Điều này mâu thuẫn với tính chất (I ∗ − A∗ ) đơn ánh do A∗ là

tán xạ (theo định lý 1.7)
Giả sử X là không gian Banach, X ∗ là không gian liên hợp của X. Theo định
lý Hahn-Banach với mỗi x ∈ X , tồn tại f ∈ X ∗ sao cho

< x, f >= ||x||, ||f || = 1.

Đặt x∗ = ||x||.f . Khi đó, ta có:
||x∗ || = ||x|| và < x, x∗ >= ||x||2 = ||x∗ ||2 .

Với mỗi x ∈ X , tập sau đây gọi là đối ngẫu của x:
F(x) = {x∗ ∈ X ∗ : < x, x∗ >= ||x||2 = ||x∗ ||2 }.
Theo trên F(x) = ∅. Các tập này cho ta một đặc trưng của tán xạ. Ta có kết
quả sau đây:
Định lý 1.9. Toán tử (A, D(A)) là tán xạ khi và chỉ khi với mọi x ∈ D(A), tồn
tại j(x) ∈ F(x) sao cho Re < Ax, j(x) >≤ 0 (∗). Nếu A là toán tử sinh của nửa
nhóm co liên tục mạnh thì (∗) đúng với mọi x ∈ D(A) và x∗ tùy ý thuộc F(x).
Cho đến nay những kết quả về toán tử sinh đều nhấn mạnh đến tính trù mật
của miền xác định như là một giả thiết cơ bản. Dưới đây, ta chỉ ra rằng ta sẽ
dùng tán xạ để khắc phục giả thiết này như thế nào. Tuy nhiên dựa trên các
phát biểu của định lý 1.7, tán xạ A∗ có tính chất (λI − A) là toàn ánh với λ > 0
nào đó, vì vậy (0, +∞) ⊂ ρ(A).
Định lý 1.10. Giả sử (A, D(A)) là tán xạ trên không gian Banach X sao cho
(λI − A) là toàn ánh với λ > 0 nào đó. Khi đó phần A| của A trong không gian
con X0 = D(A) là xác định trù mật và sinh ra nửa nhóm co trong X0 .
Chứng minh. Ta có
A|x = Ax với mọi x ∈ D(A|) = {x ∈ D(A) : Ax ∈ X0 } = R(λ, A)X0 .

Do R(λ, A) tồn tại với λ > 0, điều đó kéo theo R(λ, A)| = R(λ, A|). Do vậy
(0, +∞) ⊂ ρ(A). Theo định lý Hille-Yoshida, ta chỉ cần chứng minh D(A|) trù
mật trong X0 . Lấy x ∈ D(A) và đặt xn = nR(n, A)x. Khi đó xn ∈ D(A) và
lim nR(n, A)x = x

n→+∞

do ||R(n, A)|| ≤ n1 (theo định lý 1.8). Do vậy các toán tử nR(n, A) hội tụ mạnh
trên D(A) đến toán tử I . Do ||nR(n, A)|| ≤ 1 với mọi n, ta có yn = nR(n, A)y → y
với mọi y ∈ X0 . Do yn ∈ D(A|) nên ta suy ra D(A|) trù mật trong X0 .
16


Ví dụ 1.3. Sau đây ta nêu ra ví dụ về một tán xạ có miền xác định không trù
mật.
Giả sử X = C[0,1] , xét toán tử Af = −f với miền xác định D(A) được xác
định như sau:
1
D(A) = {f ∈ C[0,1]
: f (0) = 0}.

A là toán tử đóng. Thật vậy, giả sử fn → f, Afn = −fn → g , theo định lý về
1 , f ∈ D(A) và Af = g . Suy ra A đóng.
lấy đạo hàm của dãy hàm ta có f ∈ C[0,1]
D(A) = X vì nếu f ∈ D(A) thì f (0) = 0. Giả sử R(λ, A) là giải thức của A. Khi đó
1
với mọi f ∈ C[0,1]
từ hệ thức (λI − A)(λI − A)−1 f = f , ta suy ra u(t) = R(λ, A)f (t)
là nghiệm của phương trình λu + u = f, u(0) = 0 (do u ∈ D(A)). Đây là phương
trình vi phân tuyến tính cấp 1. Nghiệm của nó là:
t

e−λ(t−s) f (s)ds, t ∈ [0, 1], f ∈ C[0,1] .

u(t) = R(λ, A)f (t) =
0

Với mọi λ > 0, ta có:
t

e−λ(t−s) ||f ||ds, ∀f ∈ C[0,1] .

||R(λ, A)||
0

Suy ra:
t

e−λ(t−s) ds =

||R(λ, A)||
0

1 −λ(t−s)
e
λ

t

=
0

1
1
(1 − e−λt ) < .
λ
λ

Do vậy ta có:
||x|| = ||R(λ, A)(λI − A)x||

||R(λ, A)||||(λI − A)x||

1
||(λI − A)x||
λ

hay
||(λI − A)x||

λ||x||, ∀λ > 0.

Vậy A là tán xạ.

1.5
1.5.1

Một số ví dụ khác nhau của nửa nhóm liên tục mạnh
Nửa nhóm liên tục đều

Định nghĩa 1.5. Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục đều trong
L(X) nếu ánh xạ R+ t → T (t) ∈ L(X) liên tục đối với tô pô chuẩn (tô pô đều)
trong L(X), tức là:
lim ||T (t + h) − T (t)|| = 0,

h→0+

17

∀t ≥ 0. (∗)


Rõ ràng nửa nhóm liên tục đều là liên tục mạnh. Vì thế điều kiện (∗) tương
đương với điều kiện sau
lim ||T (h) − I|| = 0.

h→0+

Ví dụ 1.4. . Cho không gian Banach X và toán tử A ∈ L(X). Xét chuỗi
∞

(tA)n
, t ≥ 0.
n!

n=0
∞

||(tA)n ||

n=0

n!

Ta có chuỗi

hội tụ. Thật vậy:

||(tA)n ||
tn ||A||n
≤
n!
n!

và
lim

n→∞
∞

||(tA)n ||

n=0

n!

Từ đó suy ra
Đặt

T (t) =

tn+1 ||A||n+1
(n + 1)!

eAt

tn ||A||n
n!

:

=
n→∞

t||A||
= 0.
n+1

hội tụ trong L(X).

∞

(tA)n
. Ta có T (0) = I .
=
n=0 n!

Dùng quy tắc nhân Cauchy về chuỗi lũy thừa, ta có
∞
tA

sA

T (t).T (s) = e .e

=
k=0
∞

tk Ak
k!
n

=

n=0

k=0

sk A k
k!

tn−k .An−k

sk Ak
(n − k)!
k!

n=0 k=0
∞

=

∞

.

(t + s)n .An

= e(t+s)A = T (t + s).
n!

Suy ra T (t) = etA là nửa nhóm trong không gian Banach X .
+ Ta chứng minh nửa nhóm này liên tục đều. Thật vậy
∞

T (t) − I =
n=1

Suy ra

∞

||T (t) − I|| ≤
n=1

(tA)n
.
n!

tn ||A||n
= et||A|| − 1.
n!

Khi đó
lim ||T (t) − I|| = 0.

t→0+

18


Vậy (T (t))t≥0 = (etA )t≥0 là nửa nhóm liên tục đều.
Định lý 1.11. Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục đều
khi và chỉ khi nó là toán tử bị chặn ( A ∈ L(X)).
Định lý 1.12. Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên một không gian
Banach X với toán tử sinh (A, D(A)). Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
(a) Toán tử sinh A là bị chặn; Tức là, tồn tại M > 0 thỏa mãn
||Ax|| ≤ M ||x||

∀x ∈ D(A).

(b) Miền D(A) là tất cả các phần tử của X.
(c) Miền D(A)đóng trong X.
(d) Nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục đều.
Trong mỗi trường hợp nửa nhóm được cho bởi
∞

T (t) = e

tA

=
n=0

1.5.2

tn An
n!

t ≥ 0.

Nửa nhóm đồng dạng

Giả sử V là phép đẳng cự từ không gian Y lên không gian X và (S(t))t≥0 là
nửa nhóm liên tục mạnh trên Y cho bởi
S(t) = V −1 T (t)V,

trong đó (T (t))t≤0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X .
Khi đó toán tử sinh của nửa nhóm (S(t))t≥0 là B = V −1 AV với miền xác định
D(B) = {y ∈ Y : V y ∈ D(A)},

trong đó (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm (T (t))t≤0 .
Ta có σ(A) = σ(B) và giải thức của B là: R(λ, B) = V −1 R(λ, A)V với λ ∈ ρ(A).
1.5.3

Nửa nhóm điều chỉnh

Nửa nhóm điều chỉnh (eµt T (αt))t≥0 , µ ∈ C, α > 0 có toán tử sinh là B =
αA + µI với miền xác định D(B) = D(A). Thật vậy, ta có:
Bx = lim

t→+

eµt T (αt)x − x
= lim
t
t→0+

eµt α

T (αt)x − x eµt x − x
+
αt
t

với mọi x ∈ D(A).
Suy ra
D(B) = D(A) và B = αA + µI.
19

= αAx + µIx


Hơn nữa,
σ(B) = α.σ(A) + µ và R(λ, B) =

do
1
α
1.5.4

−1

λ−µ
I −A
α

(λI − B) =

1
R
α

λ−µ
,A ,
α

λ−µ
α

−1

λ ∈ ρ(A),

λ−µ
I −A
α

= I.

Nửa nhóm nhân

Ta bắt đầu với việc xét không gian Banach (với chuẩn sup)
Kí hiệu:
C0 (Ω) := {f ∈ C(ω) : ∀ ε > 0 tồn tại tập compact Kε ⊂ Ω

sao cho |f (s)| < ε ∀ s ∈ Ω\Kε }.
đây là không gian các hàm phức, liên tục trên không gian compact địa phương

Ω, triệt tiêu tại vô cùng. Với hàm liên tục bất kì q : Ω → C ta liên kết một toán
tử tuyến tính Mq định nghĩa trên miền xác định tối đại của nó D(Mq ) trong
C0 (Ω) .
Định nghĩa 1.6. Toán tử nhân Mq ∈ C0 (Ω) với q : Ω → C liên tục định nghĩa
bởi:
Mq f = q.f ∀f ∈ C0 (Ω) với miền xác định
D(Mq ) = {f ∈ C0 (Ω) : q.f ∈ C0 (Ω)}.

Với hàm liên tục bất kì q : Ω → C ta xác lập hàm mũ
etq : s → etq(s) với s ∈ Ω, t ≥ 0.

Khi đó toán tử nhân tương ứng
Tq (t)f := etq f,

f ∈ C0 (Ω)

thỏa mãn luật nhóm T (t + s) = T (t)T (s), T (0) = I .
Để thu được một nửa nhóm tham số trên C0 (Ω), ta cần các toán tử nhân Tq (t)
này là bị chặn trên C0 (Ω), điều này xảy ra khi và chỉ khi
t supReq(s)

sup|etq(s) | = sup e|tReq(s)| = e s∈Ω
s∈Ω

s∈Ω

20

< +∞.

Định nghĩa 1.7. Giả sử q : Ω → C là hàm liên tục thỏa mãn:
supReq(s) < +∞.
s∈Ω

Khi đó nửa nhóm (Tq (t))t

0

cho bởi:
Tq (t)f = etq f,

với t 0, f ∈ C0 (Ω) được gọi là nửa nhóm nhân sinh bởi toán tử nhân Mq (hoặc
hàm q) trên C0 (Ω).
Định lý 1.13. Nửa nhóm nhân (Tq (t))t
và chỉ nếu q bị chặn.

0

sinh bởi q : Ω → C là liên tục đều nếu

Chứng minh. +)Điều kiện cần. Giả sử Mq bị chặn. Dễ dàng nhận thấy Tq (t) =
etMq ⇒ Tq (t) bị chặn đều.
+)Điều kiện đủ. Giả sử q không bị chặn, ta chứng minh (Tq (t))t 0 không liên tục
đều. Thật vậy, lấy {sn }n∈N ⊂ Ω thỏa mãn: |q(sn )| → ∞, n → ∞. Khi đó ta có:
tn =

1
→ 0.
|q(sn )|

Từ ez = 1 với mọi |z| = 1, do đó tồn tại δ > 0 sao cho:
|1 − etn q(sn ) | ≥ δ

với mọi n ∈ (N ) (Do |tn .q(sn )| = 1).
Với fn ⊂ C0 (Ω) thỏa mãn ||fn || = 1 = fn (sn ), ta có:
||Tq (0) = Tq (tn )|| ≥ ||fn − etn q fn ||
≥ |1 − etn q(sn ) | ≥ δ > 0

với mọi n ∈ (N ), tức là (Tq (t))t

0

không liên tục đều.

Bổ đề 1.3. Toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm nhân liên tục mạnh (T (t))t≥0
trên X := C0 (Ω) định nghĩa bởi
Tq (t)f := etq .f với f ∈ X và t ≥ 0,

được cho bởi toán tử nhân
Af = Mq f := q.f

với miền xác định D(A) = D(Mq ) := {f ∈ X : qf ∈ X}.

21


Chứng minh. Lấy f ∈ D(A). Khi đó
etq(s) f (s) − f (s)
etq f − f

s = lim
= q(s)f (s)
lim
t
t
t↓0
t↓0

tồn tại với mọi s ∈ Ω, và ta có qf ∈ C0 (Ω). Điều đó cho thấy D(A) ⊆ D(Mq ) và
Af = Mq f . Từ định lý 1.5.(ii) và bổ đề I.4.2.(iv)(xem [8], trang 25-26), tương
ứng A − λ và Mq − λ là khả nghịch với λ đủ lớn. Từ đó A = Mq .

1.6

Bài toán Cauchy đặt chỉnh

Xét bài toán Cauchy trừu tượng với giá trị ban đầu:
(ACP)

u(t)
˙
= Au(t)

∀t ≥ 0,

u(0) = x.

trong đó t là biến độc lập biểu diễn thời gian, u(.) là hàm nhận giá trị trong
không gian Banach X , A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính, x ∈ X là giá
trị ban đầu.

Định nghĩa 1.8. Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm (cổ điển) của bài toán
Cauchy trừu tượng (ACP) nếu u khả vi liên tục, u(t) ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và
thỏa mãn (ACP ).
Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 thì từ định lý
1.3(ii) suy ra nửa nhóm cho ta nghiệm của bài toán Cauchy tương ứng với A.
Cụ thể ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1. Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0 . Khi đó, với mọi x ∈ D(A), hàm u : t → u(t) = T (t)x là nghiệm (cổ
điển) duy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng.
Định nghĩa 1.9. Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán
t
Cauchy trừu tượng nếu 0 u(s)ds ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và
t

u(t) = A

u(s)ds + x.
0

Mệnh đề 1.2. Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0 .Khi đó, với mọi x ∈ X , ánh xạ quỹ đạo
u : t → T (t)x

là nghiệm suy rộng duy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng.
22


Chứng minh. Theo định lý 1.3 ta có
t

T (t)xds ∈ D(A) với mọi x ∈ X
0

và

t

T (t)x − x = A

T (s)xds với mọi x ∈ X.
0

Suy ra, u(t) = T (t)x là nghiệm suy rộng của (ACP).
Ta chứng minh tính duy nhất nghiệm 0 ứng với giá trị ban đầu x = 0. Giả sử u
là nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy trừu tượng với x = 0, t > 0. Khi đó với
mỗi s ∈ (0, t), ta có:
d
(T (t − s)
ds

s

s

u(r)dr) = T (t − s)u(s) − T (t − s)A
0

u(r)dr = 0.
0

Lấy tích phân từ 0 đến t ta được:
s

u(r)dr|s=t
s=0 = 0.

T (t − s)
0
t

Từ đó suy ra 0 u(r)dr = 0. Lấy đạo hàm theo t ta được u(t) = 0 với mọi t > 0.
Mà u(0) = 0 nên u(t) = 0 với mọi t ≥ 0.
Định lý 1.14. Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đóng. Khi đó, các tính chất
sau là tương đương.
(i) A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh.
(ii) Với mọi x ∈ D(A) tồn tại duy nhất nghiệm u(., x) của (ACP) và ρ(A) = ∅.
(iii) Với mọi x ∈ D(A) tồn tại duy nhất nghiệm u(., x) của (ACP), D(A) trù
mật trong X và với mọi dãy {xn }∞
n=1 ⊂ D(A) : lim xn = 0, tồn tại nghiệm u(t, xn )
n→∞

sao cho: lim u(t, xn ) = 0 đều trên [0, t0 ].
n→∞

Chứng minh. +) (i) ⇒ (ii) (theo mệnh đề 1.1).
+) (ii) ⇒ (iii).
Đầu tiên ta chỉ ra với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng của (ACP).
Vì ρ(A) = ∅ nên tồn tại λ ∈ ρ(A). Đặt y = R(λ, A)x suy ra y ∈ D(A). Theo giả
thiết, tồn tại nghiệm u(., y) với giá trị ban đầu u(0) = y . Đặt
v(t) = (λ − A)u(t, y) ∈ D(A).

Suy ra v(t) là nghiệm suy rộng của (ACP) với giá trị ban đầu x = (λ − A)y .
Chứng minh tính duy nhất nghiệm.
23