CÁC TÍNH CHẤT CỦA CHUẨN ORLICZ TRONGKHÔNG GIAN ORLICZ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THANH THÚY

CÁC TÍNH CHẤT CỦA CHUẨN ORLICZ TRONG
KHÔNG GIAN ORLICZ

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ NHẬT HUY

Hà Nội - 2014


Lời cám ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Vũ Nhật Huy, người thầy vô cùng mẫu mực
đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong khoa
Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
và Khoa sau đại học, đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ tôi
hoàn thành khóa Cao học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên và khuyến
khích tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời
gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong
nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, năm 2015

Nguyễn Thanh Thúy

2


Mục lục
Mở đầu

4

1 KHÔNG GIAN ORLICZ

5

1.1

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Hàm Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Cặp hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Lớp Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5

Không gian Orlicz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6

Chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 CÁC TÍNH CHẤT CHUẨN ORLICZ

12

2.1

Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg . . . . . . . .

14

2.3

Công thức tính chuẩn Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.4

Định lý về hàm dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Kết luận

17

Tài liệu tham khảo

17

3

Mở đầu
Năm 1931, W. Orlicz và Z.W. Birnbaum đã đề xuất một lớp không gian Banach
mà ngay sau đó được chính Orlicz phát triển. Lớp không gian này ngày sau được gọi
là không gian Orlicz.Lớp không gian Orlicz là một mở rộng của lớp không gian Lp và
được xác định qua một hàm Young φ. Lý thuyết về không gian Orlicz có nhiều ứng
dụng trong giải tích hàm, phương trình vi phân đạo hàm riêng, lý thuyết nhúng...
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm hai
chương:
Chương 1: Không gian Orlicz. Chương này trình bày về hàm lồi, hàm Young,
hàm Young liên hợp, đây là các khái niệm cơ bản để ta đi xây dựng lớp Orlicz và không
gian Orlicz, cũng trong chương này luận văn còn trình bày về chuẩn Orlicz và chuẩn
Luxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg là cơ sở xây
dựng chương sau.
Chương 2: Một số tính chất chuẩn Orlicz. Chương này là nội dung cốt lõi của
luận văn, trong chương này luận văn trình bày về tính tương đương của chuẩn Orlicz
và chuẩn Luxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz, cũng trong chương này
luận văn còn trình bày đến bất đẳng thức Kolmogorov-Stein đối với chuẩn Orlicz và
định lý về hàm dịch chuyển.

4


Chương 1
KHÔNG GIAN ORLICZ
Trong chương này chúng tôi trình bày về các khái niệm và các kết quả cơ bản về không
gian Orlicz, các kết quả này được sử dụng để xây dựng và chứng minh các kết quả ở
chương sau (xem [1, 3, 4]).

1.1

Hàm lồi

Định nghĩa 1.1. Hàm φ : R → R được gọi là hàm lồi nếu
φ (λx + (1 − λ) y) ≤ λφ (x) + (1 − λ) φ (y)

∀x, y ∈ R, λ ∈ [0; 1] .

Định lý 1.1. Giả sử hàm φ : (a; b) → R. Khi đó, hàm φ là hàm lồi nếu và chỉ nếu
với mỗi đoạn con đóng [c; d] ⊂ (a; b), ta có
x

ϕ (t) dt với c ≤ x ≤ d,

φ (x) = φ (c) +
c

ở đây, ϕ : R → R là một hàm đơn điệu không giảm và liên tục trái. Ngoài ra, φ còn
có đạo hàm trái và phải tại mỗi điểm thuộc (a; b) và các đạo hàm này chỉ khác nhau
tại không quá đếm được các điểm.
Tiếp theo ta sẽ trình bày bất đẳng thức Jensen.
Định lý 1.2. Cho ∆ là tập đo được thỏa mãn µ (∆) = 1, µ là độ đo Lesbesgue và cho
φ : R → R lồi, f : ∆ → R là đo được,
φ

f dx
∆

∆

f dx và
≤

∆

φ (f ) dx tồn tại thì

φ (f ) dx.
∆

5


1.2

Hàm Young
+

Định nghĩa 1.2. Một hàm lồi φ : R → R được gọi là hàm Young nếu thỏa mãn các
điều kiện
• φ(−x) = φ(x).
• φ(0) = 0.
• lim φ(x) = +∞.
x→∞

Ví dụ 1.1. Cho 1 ≤ p < ∞ và hàm số φ (x) = |x|p ,

x ∈ R. Khi đó hàm φ là hàm

Young liên tục.

Chứng minh. Hiển nhiên φ(−x) = φ(x) và φ (0) = 0. Do 1 ≤ p nên
lim φ(x) = lim |x|p = +∞.

x→∞

x→∞

Do đó hàm φ là hàm Young. Dễ thấy ∀x0 ∈ R thì
lim φ (x) = φ (x0 ) .

x→x0

Vậy φ là hàm Young liên tục trên R. Chứng minh được hoàn thành.
Ví dụ 1.2. Cho 1 ≤ p < ∞ và hàm số

φ (x) =




 0,

với 0 ≤ |x| ≤ a < ∞

φ (x) = |x − a|p , với a < |x| < b

1


 +∞,

với |x| ≥ b,

trong đó 0 < a < b < +∞. Khi đó φ là hàm Young.
Chứng minh. Hiển nhiên φ1 (x) là hàm lồi liên tục trên đoạn [a; b], do đó hàm φ cũng
là hàm lồi trên R. Rõ ràng φ (x) = 0 với x = 0, φ(−x) = φ(x) và lim φ (x) = +∞ nên
x→∞

φ là hàm Young.
Hơn nữa φ (x) < ∞ và là hàm liên tục trên (0; b), do đó φ là hàm Young liên tục trên
(0; b), nhảy tới +∞ tại b > 0. Chứng minh được hoàn thành.
Tiếp theo chứng ta xét đến một lớp hàm Young đặc biệt.

6


Định nghĩa 1.3. Hàm φ được gọi là một N - hàm nếu φ là hàm Young liên tục thỏa
mãn.
• φ(x) = 0 nếu và chỉ nếu x = 0,
φ(x)
x = 0,
φ(x)
• lim x = +∞,
x→∞
• φ (R) ⊂ R+ .

• lim

x→0

Ví dụ 1.3. Cho 1 ≤ p < ∞ và hàm số

φ (x) =




 0,

với 0 ≤ |x| ≤ a < ∞

φ (x) = |x − a|p , với a < |x| < b

1


 +∞,

với |x| ≥ b,

trong đó 0 < a < b < +∞ Khi đó φ là hàm Young nhưng không phải một N - hàm.
Chứng minh. Trong ví dụ 1.2 ta đã chỉ ra hàm φ đã cho là một hàm Young. Ta có với
∀x ∈ (0; a) thì φ (x) = 0 do đó hàm Young đã cho vi phạm điều kiện thứ nhất nên nó
không phải là một N - hàm. Chứng minh được hoàn thành.

1.3

Cặp hàm liên hợp

Mệnh đề 1.1. Giả sử φ : R → R

+

là hàm Young. Khi đó, φ có thể được biểu diễn

như sau

|x|

φ (x) =

ϕ (t) dt

(1.1)

0

ở đó, ϕ (0) = 0, ϕ : R+ → R

+

là liên tục trái không giảm và nếu ϕ (x) = +∞ với

x ≥ a thì φ (x) = +∞ với x ≥ a > 0.
Xét hàm η là hàm ngược mở rộng của hàm đơn điệu ϕ được xác định như sau
η (x) = inf {t : ϕ (t) > x} ,

x ≥ 0.

(1.2)

Khi đó η (0) = 0, η tăng và được xác định duy nhất. Từ tính liên tục trái của ϕ, tập
{t : ϕ (t) > x} là nửa đoạn mở trái. Vì ϕ là hàm Borel nên η cũng vậy. Bây giờ ta định
nghĩa
|y|

ψ (y) =

η (u) du.
0

7

(1.3)


Khi đó, ψ được gọi là hàm Young liên hợp của φ. Khi đó ψ (0) = 0, ψ là lồi. Ta chứng
minh cặp (φ, ψ) là thỏa mãn bất đẳng thức Young rồi từ đó suy ra ψ là hàm Young
liên hợp của φ.
+

Mệnh đề 1.2. Giả sử φ : R → R là hàm Young, ψ là hàm được xác định ở các công
thức (1.2) và (1.3) bởi φ. Khi đó, (φ, ψ) thỏa mãn bất đẳng thức Young
xy ≤ φ (x) + ψ (y)

(1.4)

với x ≥ 0, y ≥ 0, đẳng thức xảy ra khi y = ϕ (x) hoặc x = η (y) với x ≥ 0, y ≥ 0.
Ví dụ 1.4. Cho 1 < p < ∞ và hàm φ(x) =

xp
p

là hàm Young, xác định hàm liên hợp

ψ của hàm Young φ.
Chứng minh. Với φ(x) =

xp
p ,1

< p < ∞ thì đạo hàm của φ là
ϕ (x) = xp−1

và
1

η (x) = inf {t : ϕ (t) > x} = inf t : tp−1 > x = x p−1 .
Khi đó theo công thức (1.3) ta có
y
p

ψ (y) =

1

η (t) dt = y p−1 = y q
0

trong đó

1
p

+

1
q

= 1.

Định nghĩa 1.4. Hàm Young φ : R → R+ được gọi là thỏa mãn điều kiện ∆2 ( toàn
cục ) ký hiệu φ ∈ ∆2 (φ ∈ ∆2 ( toàn cục ))nếu
φ (2x) ≤ Kφ (x)
trong đó x ≥ x0 ≥ 0, (x0 = 0) K > 0 là hằng số nào đó.
Ví dụ 1.5. Cho 1 ≤ p < ∞ và hàm φ (x) = |x|p . Khi đó hàm φ thỏa mãn điều kiện
∆2 .

8


Chứng minh. Trong ví dụ 1.1 ta đã chỉ ra hàm φ(x) = |x|p là hàm Young. Chọn K > 2p
khi đó ta thu được
φ (2x) = |2x|p = 2p |x|p ,
do 2p |x|p ≤ K|x|p nên
φ (2x) ≤ Kφ (x)
và vì thế φ ∈ ∆2 . Chứng minh được hoàn thành.
Định nghĩa 1.5. Hàm Young φ : R → R+ được gọi là thỏa mãn điều kiện ∇2 (toàn
cục), ký hiệu φ ∈ ∇2 (φ ∈ ∇2 (toàn cục)) nếu
φ (x) ≤

1
φ (lx)
2l

trong đó x ≥ x0 ≥ 0, (x0 = 0) K > 0 và l > 1 nào đó.
Định lý 1.3. Giả sử φ là một N - hàm với liên hợp ψ. Nếu ϕ, η là các đạo hàm (trái)
của φ, ψ như thông thường thì các điều kiện sau là tương đương
(i) φ ∈ ∆2 ;
(ii) ∃1 < α < ∞ và x0

0 sao cho

(iii) ∃1 < β < ∞ và y0

0 sao cho

xϕ(x)
φ(x)
yη(y)
ψ(y)

< α, x

x0 ;

> β, y

y0 ;

(iv) ψ ∈ ∇2 ;
(v)∃δ > 0, x0
(vi) lim sup
x→0

0 sao cho φ ((1 + δ) x)

φ−1 (x)
φ−1 (2x)

2φ (x), x

x0 ;

< 1.

Định lý 1.4. Giả sử φ là một N - hàm với liên hợp ψ. Nếu ϕ, η là các đạo hàm (trái)
của φ, ψ như thông thường thì các điều kiện sau là tương đương
(i) φ ∈ ∇2 .
(ii)Tồn tại δ > 0, x0 > 0 sao cho φ (2x)
(iii)Tồn tại 0 < λ < 1, x1
φ−1 (x)
(iv)lim inf φ−1 (2x)
x→∞

>

(2 + δ) φ (x) , x

0 sao cho φ ((2 − λ) x)

x0 .

2φ (x) , x

x1 .

1
2.

Ví dụ 1.6. Xét φ (x) = (1 + |x|) log (1 + |x|) − |x| thì hàm liên hợp ψ của nó cho bởi
ψ (y) = e|y| − |y| − 1
ta dễ thấy rằng φ ∈ ∆2 (và không thuộc ∇2 ), ψ ∈ ∇2 (và không thuộc ∆2 ).
9


1.4

Lớp Orlicz

Định nghĩa 1.6. Ký hiệu Lφ (R) ( hoặc Lφ ) là tập các hàm f : R → R đo được sao
cho
φ(|f |)dx < +∞,
R

trong đó φ là hàm Young như đã định nghĩa ở mục trước. Ta gọi Lφ là lớp Orlicz ứng
với φ.
Định lý 1.5. (i) Không gian Lφ là lồi tuyệt đối, nghĩa là nếu f, g ∈ Lφ và α, β thỏa
mãn |α| + |β| ≤ 1 thì αf + βg ∈ Lφ .Ngoài ra, nếu h ∈ Lφ , |f | ≤ |h| và hàm f đo được
thì f ∈ Lφ . Từ đây, ta có αf + βg ∈ Lφ .

(ii) Không gian Lφ là tuyến tính nếu φ ∈ ∆2 toàn cục. Đảo lại, điều kiện ∆2 toàn cục
là cần để không gian Lφ là tuyến tính.

1.5

Không gian Orlicz

Định nghĩa 1.7. Giả sử Lφ là lớp Orlicz ứng với hàm Young φ. Khi đó không gian
Lφ (R) hoặc đơn giản hơn là Lφ nếu không có nhầm lẫn xảy ra là tất cả các hàm đo
được f : R → R sao cho αf ∈ Lφ với α > 0 nào đó.
Ta gọi Lφ (R) (hay Lφ ) là không gian Orlicz. Khi đó
Lφ (R) = Lφ = {f : R → R đo được |

R

φ(αf )dx < +∞ với α > 0 nào đó }.

Mệnh đề 1.3. Tập Lφ là một không gian vecto. Hơn nữa, với mỗi f ∈ Lφ tồn tại
α > 0 sao cho
αf ∈ Bφ =

g ∈ Lφ :

φ (g) dx ≤ 1 .

(1.5)

R

Ví dụ 1.7. Cho 1 ≤ p < ∞, φ(x) = xp thì không gian Lφ là tập hợp các hàm f thỏa

mãn
|f |p dx < ∞.
R

1.6

Chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg
+

Một hàm lồi φ : R → R là hàm Young nếu thỏa mãn các điều kiện sau
φ(−x) = φ(x),

φ(0) = 0
10


và
lim φ(x) = +∞.

x→∞

+

Với mỗi hàm Young như vậy, ta có thể xác định được một hàm Young ψ : R → R
có tính chất như vậy và xác định bởi
ψ(y) = sup{x |y| − φ(x) : x ≥ 0},

y ∈ R.

Định nghĩa 1.8. Giả sử f : R → R là hàm đo được và (φ, ψ) là cặp liên hợp các hàm

Young. Khi đó ta định nghĩa chuẩn Orlicz như sau
f

φ

|f g| dx :

= sup

ψ (|g|) dx ≤ 1 .

R

R

Định nghĩa 1.9. Cho φ là hàm Young, ta xác định phiếm hàm chuẩn Luxemburg trên
Lφ như sau
1
f ∈ Bφ
k
f
k>0:
φ
dx ≤ 1
k
R

Nφ (f ) = inf k > 0 :
= inf
Ví dụ 1.8. Cho φ(x) =

|x|p
p

với mọi f ∈ Lφ .

và cho f ∈ Lφ . Khi đó chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg

được tính như sau
|f |p dx

Nφ (f ) = p

1/p

R

f

φ

|f |p dx

=

1/p

.

R

Định lý 1.6. (Lφ , Nφ ) là một không gian tuyến tính định chuẩn nếu ta đồng nhất các
hàm tương đương như thông thường. Hơn nữa Nφ (f ) ≤ 1 nếu và chỉ nếu
φ(f )dx ≤ 1.
R
φ
φ
Định lý 1.7. Giả sử {fn }∞
n=1 ⊂ L thỏa mãn fn → f h.k.n với f ∈ L và φ (x) = 0

nếu và chỉ nếu x = 0. Khi đó,Nφ (f )
nửa liên tục dưới trên Lφ .

lim inf Nφ (fn ), nghĩa là, chuẩn Luxemburg là
n→∞

Mệnh đề 1.4. Nếu f ∈ Lφ , g ∈ Lψ với (φ, ψ) là cặp liên hợp các hàm Young thì
|f g| dx ≤ 2Nφ (f ) Nψ (g) .
R

11

(1.6)


Chương 2
CÁC TÍNH CHẤT CHUẨN
ORLICZ
Trong chương này chúng tôi trình bày về bất đẳng thức Kolmogorov-Stein, tính tương
đương giữa chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg, công thức tính chuẩn Orlicz và cuối

cùng là định lý về hàm dịch chuyển (xem [1, 2, 5, 6]).

2.1

Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein

A. N. Kolmogorov đã đưa ra kết quả sau trong không gian L∞ (R)
Cho f (x), f (x), ..., f (n) (x) là những hàm liên tục bị chặn trên R. Khi đó ta có bất
đẳng thức sau
f (k)

n
∞

trong đó 0 < k < n,
Ck,n =
ở đây
4
Ki =
π

∞

j=0

và
4
Ki =
π

n−k
∞

Ck,n f

n
Kn−k
(n−k)

(2j + 1)i+1

j=0

k

,
∞

,

Kn

(−1)j

∞

f (n)

,

1
(2j + 1)i+1

12

với i chẵn

với i lẻ .


Kết quả này được E. M Stein phát triển trên không gian Lp (R) với 1 ≤ p < ∞ như
sau
f (k)

n

Ck,n f

p

n−k
p

f (n)

k

.
p

Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein và các dạng của nó là vấn đề được rất nhiều nhà toán
học quan tâm và có rất nhiều ứng dụng.
Trong muc 2.1 này, ta chứng minh bất đẳng thức này cho chuẩn Orlicz tùy ý.
Định lý 2.1. Cho φ(t) là hàm Young tùy ý, f (x) và đạo hàm cấp n của nó f (n) (x)
thuộc không gian Lφ (R). Khi đó f (k) (x) ∈ Lφ (R) với mọi 0 < k < n và
f (k)

n
φ

≤ Ck,n f

n−k
φ

f (n)

k

.

(2.1)

φ

Để chứng minh định lý trên, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức tích chập cho chuẩn
Orlicz. Dưới đây, ta đưa ra khái niệm tích chập của hai hàm xác định trên R.
Định nghĩa 2.1. Cho f, g là các hàm khả tích địa phương trên R. Nếu tích phân
f (x − y) g (y)dy
R

xác định với hầu hết x ∈ R (nghĩa là tập các giá trị x ∈ R để tích phân trên không
tồn tại là tập có độ đo không) và hàm khả tích địa phương trên R biến x thành
R

f (x − y) g (y)dy được gọi là tích chập của hàm f và hàm g, ký hiệu là f ∗ g. Như

vậy
(f ∗ g) (x) =

f (x − y) g (y)dy =
R

f (y) g (x − y)dy.
R

Ta gọi f ∗ g là tích chập của hàm f và hàm g. Rõ ràng trong trường hợp này tích
chập của hàm f và hàm g, và tích chập của hàm g và hàm f là như nhau. Điều này có
nghĩa là tích chập có tính giao hoán f ∗ g = g ∗ f .
Cho 1 ≤ p ≤ ∞ và các hàm f ∈ Lp (R) , g ∈ L1 (R). Khi đó tích chập của hàm g
và hàm f là f ∗ g tồn tại và tích chập f ∗ g ∈ Lp (R), đồng thời ta có bất đẳng thức
f ∗g

p

≤ f

p

g 1.

Giờ, ta sẽ mở rộng bất đẳng thức tích chập trên cho chuẩn Orlicz như sau:

13


Bổ đề 2.1. Cho φ là một hàm Young và f ∈ Lφ (R), g ∈ L1 (R). Khi đó tích chập
của hàm g và hàm f là f ∗ g tồn tại và tích chập f ∗ g ∈ Lφ (R), đồng thời ta có bất
đẳng thức
f ∗g

2.2

φ

≤ f

g 1.

φ

Tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn
Luxemburg

Chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg là hai chuẩn tương đương, trước khi đến với định
lý chứng minh điều này ta xét mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1. Nếu f ∈ Lφ , f = 0 thì
f
f

φ
R

dx ≤ 1.
φ

Định lý 2.2. Với mọi f ∈ Lφ với φ là hàm Young, ta có
Nφ (f )

2.3

f

2Nφ (f ) .

φ

(2.2)

Công thức tính chuẩn Orlicz

Mệnh đề 2.2. Cho (φ, ψ) là cặp liên hợp các N-hàm và f ∈ Lφ . Giả sử tồn tại số
dương k0 > 0 thỏa mãn ρψ (ϕ (k0 |f |)) = 1, trong đó ρψ (g) =

R

ψ (g) dx, ϕ là đạo hàm

trái của φ như thông thường. Khi đó ta có công thức sau
f

φ

ϕ (k0 |f |) |f | dx.

=

(2.3)

R

Ta kí hiệu
Nφ = f ∈ Lφ : Nφ (f ) = 0 ,
tập này không thay đổi nếu ta thay Nφ (.) bởi .

φ.

Trong trường hợp này, f ∈ Nφ khi

và chỉ khi f = 0 h.k.n. Vậy không gian thương
Lφ = Lφ /Nφ ,
với các phần tử là [f ] =

g ∈ Lφ : f − g ∈ Nφ

và chuẩn N φ ([f ]) = Nφ (f ) là hoàn

toàn xác định.Để đơn giản chúng ta coi các phần tử của Lφ là các hàm thay cho lớp
14

tương đương. Hơn nữa ngoại trừ các trường hợp đặc biệt, từ nay về sau ta không phân
biệt Lφ với Lφ .
Định lý 2.3. Giả sử (φ, ψ) là cặp liên hợp các N hàm và f ∈ Lφ . Khi đó chuẩn Orlicz
của f có thể biểu diễn chỉ liên quan đến φ qua công thức
f

φ

1
k

= inf

1+

φ (kf ) dx

:k>0 .

R

Để kết thúc sự so sánh giữa chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg ta có kết quả sau.
Định lý 2.4. Nếu (φ, ψ) là cặp liên hợp các N-hàm và f ∈ Lφ thì f

φ

= Nφ (f ) nếu

và chỉ nếu f = 0 h.k.n.

Định lý 2.5. Giả sử (φ, ψ) là cặp Young liên tục và Lφ (µ), Lψ (µ) là các không gian
Orlicz tương ứng. Giả sử 0 = f ∈ Lφ , 0 = g ∈ Lψ . Khi đó ta có
|f g| dx = Nφ (f ) g

ψ

R

nếu và chỉ nếu
(i)

R

φ

f
Nφ (f )

dx = 1.

và
(ii) Tồn tại hằng số 0 < k ∗ < ∞, sao cho
|f |
Nφ (f )

k ∗ |g|
g ψ

=φ

f
Nφ (f )

+ψ

k∗g
g ψ

, h.k.n.

φ
Định nghĩa 2.2. Dãy {fn }∞
n=1 ⊂ L được gọi là hội tụ trung bình (hay môdula) đến

f ∈ Lφ nếu ρφ (fn − f ) → 0 khi n → ∞. Dãy {fn } trên được gọi là hội tụ mạnh
(hay theo chuẩn) đến f nếu Nφ (fn − f ) → 0 khi n → ∞ (điều này tương đương với
fn − f

φ

→ 0).

φ
φ
Định lý 2.6. Giả sử {fn }∞
n=1 ⊂ L và f ∈ L . Khi đó các khẳng định sau là đúng:

Hội tụ trung bình suy ra từ hội tụ theo chuẩn (hoặc hội tụ manh) của dãy {fn } đến f .
φ
Chiều đảo lại cũng đúng nếu {fn }∞

n=1 ⊂ L và φ thỏa mãn điều kiện ∆2 .

15


2.4

Định lý về hàm dịch chuyển

Định lý 2.7. Cho hàm φ là hàm Young thỏa mãn điều kiện ∆2 toàn cục và f ∈ Lφ (R).
Khi đó ta có giới hạn sau
lim f (. + t) − f

t→0

φ

= 0,

16

t ∈ R.


Kết luận
Luận văn đã trình bày những tính chất cơ bản về không gian Orlicz và các kết quả
thu được khi nghiên cứu tính chất của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg. Nội dung
chính của luận văn bao gồm:
• Hàm Young, hàm Young liên hợp, không gian Orlicz và các tính chất cơ bản của
không gian Orlicz.

• Bất đẳng thức Kolmogorov - Stein cho chuẩn Orlicz.
• Công thức tính chuẩn Orlicz trong không gian Orlicz.
• Tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg.
• Định lý về hàm dịch chuyển.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

17


Tài liệu tham khảo
[1] Hà Huy Bảng, (2003), Lý thuyết không gian Orlicz, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội.
[2] Mai Thị Thu (2006), Một số bất đẳng thức đạo hàm trong không gian Orlicz và
Lorentz, Luận án.
[3] Phạm Kỳ Anh - Trần Đức Long, (2001), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội.
[4] Christian Léonard, (2007), Orlicz Spaces, Work in progress.
[5] Hà Huy Bảng (1996), A remark on the Kolmogorov - Stein inequality, Journal of
Mathematical Analysis and Applications, Vol. 203, pp. 861-867.
[6] Trương Văn Thương (2000), Some collections of functions dense in an Orlicz
space., Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 25 (2), pp.195 - 208.

18