Bất đẳng thức ôn thi học sinh giỏi cấp quận, thành phố
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.77 MB, 80 trang )
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
Các bài tập
a
b
1. Chứng minh rằng: 1 1 21 a, b 0
b
a
HD
a a b b
a, b 0, 1 2
, 1 2
b b a a
a b
VT 2
2
2
b a
a
a b
2
1
2
. 2
2 2 2
b a
b
c
2. Chứng minh rằng: 2 2 2 31 a, b, c 0
b
c
a
HD
Với mọi a, b, c>0 ta có:
a 3 a
2 b 3. b
b 3 b
a
b
c
a
b
c
1
2 c 3. c VT 3. 3 b 3. 3 c 3. 3 a 3. 3 3. 3 b 3. 3 c 3. 3 a 3
c 3 c
2 a 3. a
a,b,c 0
3. Cho
abc 1
1
2
1
3
. Chứng minh rằng: a b2 c3
Với a, b, c>0 và abc=1 ta có:
11
6
HD
1
1
11
a b2 c3 6a 3b2 2c3 11
2
3
6
Ta có VT a a a a a a b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 116 a 6b 6c 6 11 (đpcm)
a, b, c 0
4. Cho
abc 4
Chứng minh rằng: (2 + a)(2 + b)(1 + c) 32
HD
Với a, b, c > 0 và abc=1 ta có:
VT=(2 + a)(2 + b)(1 + c) = 4 2b 2a ab 4c 2bc 2ac abc
- Trang | 1 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
VT 8 2b 2a 4c ab 2bc 2ac
8 6 6 2b.2a.4c.ab.2bc.2ac 8 6. 6 26.a 3b3c 3 32
5. Chứng minh rằng: 8a 8b 8c 2a 2b 2c
a b c 0
HD
Đặt 2 x, 2 y, 2 z x, y, z 0
a
b
c
a log 2 x, b log 2 y, c log 2 z
a b c 0 log 2 xyz 0 xyz 1
Như vậy bài toán trở thành chứng minh x3 y 3 z 3 x y z x, y, z 0 | xyz 1 Ta có
x
3
1 1 y 3 1 1 z 3 1 1 3x 3 y 3z
=>x 3 +y3 +z3 3 x y z 6 x y z 2.3 3 xyz 6 x y z
a, b, c 0
6. Cho
a b c 1
. Chứng minh rằng: (a + b)(b + c)(c + a) 2(1 + a + b + c)
HD
(Các bạn tự giải)
7. Cho a, b > 1. Chứng minh rằng:
a2
b2
8
b 1 a 1
a 1 2a 1 b 1 2b 1 8
a
b
b 1 a 1
b 1
a 1
2
2
a,b,c 0
8. Cho
a b c 1
2
2
HD
1
1
1
Chứng minh rằng: 1 1 1 64
a
b
c
HD
Với a, b, c > 0 ta có
1 1 1 a 1 b 1 c 1
1 a 1 b 1 c
abc
abc ab ac a bc b c 1
ab bc ca 2
3
2
1
1 3
1 9 54 64
abc
abc
abc abc
a,b,c 0
9. Cho
a b c 1
1
1
1
Chứng minh rằng: 2 2 2 125
a
b
c
(Các bạn làm tương tự như bài 8)
10. Cho a b > 0; a 2; ab 2. Chứng minh rằng: a b 3
HD
+ Xét b 1 a b 3 luôn đúng với mọi a, b thỏa mãn điều kiện đề bài
+ Xét b 1 1 a 2 a b a
=>ĐPCM
2
2a
1
a2
3 a 2 1 3 3
a
a
a
- Trang | 2 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
11. Cho a > b > c > 0 ; a 3; ab 6 ; abc 6. Chứng minh rằng: a b c 6
(Các bạn chứng minh tương tự như bài 10)
12. Chứng minh rằng:
4a 2 b 2
a 2 b2 2
a 2 b2
3 a, b 0
b2 a 2
HD
VT
2 2
4
4
4
4
4
4
2a b
a b
a b
a b
33
3
4
4
2 2
2 2
a b
2a b
2a b
2a 2 b 2
a,b,c 0
13. Cho
ab bc ca 1
Chứng minh rằng:
Với a, b, c > 0 ta có
a3
b3
c3
1
bc ca ab 2
HD
a3
ab ac a 2 b3
ba bc b 2 c3
ca cb c 2
;
;
bc
4
2 ac
4
2 ab
4
2
VT
ab bc ac a 2 b 2 c 2
2
2
VT
a 2 b2 c2 1 1
2
2 2
1
a
14. Cho a,b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c 6 (abc 1)
Với a, b, c > 0 ta có
HD
1 1 a c b
b c c b a
1 1 1 a c b
1 1 1 a c b
(abc 1) bc ca ab
a b c c b a
a b c c b a
2a 2b 2c
1 1 1
3
a b c 3 3 abc 3
abc6
a b c
abc
1
1 3bc ca ab
1
15. Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 3 3
a
Với a, b, c > 0 ta có
11
được
12
b
c
2 a
b
c
HD
a3 a
a
a 3 b3 b3 c 3 c 3
4
, , , , ta được 6 BĐT phụ cộng vế với vế ta
tương
văn
tự
như
vậy
cho
b
b3 b
c 3 a 3 c 3 a 3 b3
a 3 a 3 b3 b3 c 3 c 3
a a b b c c
3 3 3 3 3 3
3
b
c
a
c
a
b
b c a c a b
9 VT VP VP
3 a a b b c c
co 'VP 9
2 b c a c a b
VT VP
ĐPCM
- Trang | 3 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
16. Cho a1 , a2 ,..., an 0 for 3 n. Chứng minh rằng:
a12 a2 a3
a 2 a3 a1
a 2 an a1
a 2 a1 a2
2
... n 1
n
n
a1 (a2 a3 ) a2 (a3 a1 )
an 1 (an a1 ) an (a1 a2 )
HD
Với a1 , a2 ,..., an 0 ta có
a12 a2 a3
a 2 a3 a1
a 2 an a1
a 2 a1a2
2
... n 1
n
a1 (a2 a3 ) a2 (a3 a1 )
an 1 (an a1 ) an (a1 a2 )
an2
a2 a3
a12
a1a2
....
.....
a1 (a2 a3 )
an (a1 a2 ) a1 (a2 a3 )
an (a1 a2 )
a1 ... an 2
2 a1a2 a2 a3 .... an a1
2a1a2
1 2a2 a3
.....
2 a1 (a2 a3 )
an (a1 a2 )
n n
n
2 2
a1 a2 a3 a4 a5
5
17. Cho a1 , a2 , a3 , a4 , a5 > 0. Chứng minh rằng:
5
a1a2a3a4a5
a1 a2
a1 a2 a3 a4 a5
5
5
a1a2 a3 a4 a5
5 a1a2 a3 a4 a5
a1 a2
2
a2 a3
2
a3 a4
2
a4 a5
2
a5 a1
2
20
HD
2
a2 a3
2
a3 a4
2
a4 a5
2
a5 a1
2
20
2 a1 a2 a3 a4 a5 2
a1a2 a2 a3 a3 a4 a4 a5 a5 a1
20
2 a1 a2 a3 a4 a5 10 5 a1a2 a3 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5
a1a2 a2 a3 a3a4 a4 a5 a5 a1
a1 a2 a3 a4 a5 a1a2 a2 a3 a3 a4 a4 a5 a5 a1 10 5 a1a2 a3a4 a5
Luôn đúng với mọi a1 , a2 , a3 , a4 , a5 > 0 => ĐPCM
- Trang | 4 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
Hƣớng dẫn giải một số bài tập (Các điều kiện về dấu “=” xảy ra các bản tự xét)
II. KĨ THUẬT TÁCH CÁC PHẦN TỬ NGHỊCH ĐẢO
a, b 0
4. Cho
a b 4
6 10
a b
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 2a 3b
HD
6 10 3
6 5
10 1
a b a b 6 10 2 18
a b 2
a 2
b 2
a2
b2
5. Cho a,b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S
b 1 a 1
Với a, b 0 , S 2a 3b
Với a, b 1 , S
HD
a 1 2a 1 b 1 2b 1 8
a
b
b 1 a 1
b 1
a 1
2
2
2
2
6. Cho a,b,c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a b 2 c 3 1
abc
HD
a 2bc ab3c abc 4 1
Với a, b, c 0 , a b2 c3 1
4
abc
abc
7. Cho a, b, c 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P4
a 4 b 4 c bc ca ab
bc
ca
ab
a
b
c
HD
Với a, b, c 0
1 bc 4 b
1
2 P 4 a 4 a 4
4 b 4
bc
ac
a ac
8
8
bc
ac
b
1 ab
1 b c
ac
ab
4 c 4 c 4
2 4
ab
c
a
b
c
8
8
ab
3
3
3
4 4 4 2 2 4 8 3. 2
2
2
2
3
P 4 3 2
2
ĐIỂM RƠI CỐ ĐỊNH
- Trang | 5 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
a, b, c 0
1. Cho
2
2
2
a b c 1
Bất đẳng thức Cô - si
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T a b c 1
abc
HD
Với a, b, c 0 , ta có
1
1
1
1
4
T a b c 1 3 3 abc
3 3 abc
abc
3abc
abc
3abc
3abc
2. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 1
3
4
1
8
abc 3
4 3
2a 2b 2c 2d
1
1
1
3b 3c 3d 3a
HD
Với a, b, c 0 , ta có
S
3b 2a 3c 2b 3d 2c 3a 2d
34 abcd
5 5 a 2 b 3 5 5 b 2 c 3 5 5 c 2 d 3 5 5 d 2 a 3 54
4
34 abcd
3
a,b,c 0
1
1
1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a 2 2 b 2 2 c 2 2
3
abc
b
c
a
2
4. Cho
HD
Với a, b, c 0 , ta có
S a2
1717
1
1
1
1
1
1
...
b2
...
c2
...
2
2
2
2
2
16b
16b
16c
16c
16a
16a 2
1
a2
a2
a2
17
17
17
17
3. 17 17 8 5 5 5
16 32
16 32
16 32
16 b
16 b
16 b
16 a b c
3 17
217 2a.2b.2c
1
2
5
5
3
3 17
15
2a 2b 2c
217
3
7. Cho a ; b ; c
3 17
2
1
1
1
11
9
. Chứng minh rằng: T a b c
4
2a 1 3 3b 5 4 4c 11
1
5
11
Với a ; b ; c
2
3
4
2a 1
1
1
1 3 1
2
2
2 2a 1 2 2 a 1 2 2 2
3b 5
1
1
1
5
3
3
3
3
3
3 3b 5 3 3b 5 3 3b 5 3
HD
4c 11
1
1
1
1
11
4
4
4
4
4
4
4 4c 11 4 4c 11 4 4c 11 4 4c 11 4
Cộng các vế lại với nhau ta được điều chứng minh.
- Trang | 6 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
KĨ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNG
1. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a 2 bc b 2 ca c 2 ab , a, b, c 0
HD
Cách 1
a , b, c 0
a 3 a 3 a 3 a 3 b3 c 3 6a 2 bc
b3 b3 b3 b3 a 3 c 3 6b 2 ac
c3 c3 c3 c3 b3 a 3 6c 2 ab
Cộng các vế lại với nhau ta được đpcm.
Cách 2
a , b, c 0
a 2 bc
b 2 ac
3
a2
3
b2
c 2 ab
3
c2
abc
abc
abc
3
a3
3
b3
a abc
2
b abc
2
c3 abc
2
c3
a 3 b3 c 3
4a 3 b3 c 3
3
2
6
b3 a 3 c 3
4b3 a 3 c 3
3
2
6
b3 a 3 c 3
4c3 a 3 c 3
3
2
6
a 2 bc b 2 ac c 2 ab a 3 b3 c 3
2. Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
b c a 3 c a b 3 c a b 3 a b c 3 a b c 3 b c a 3
( a b c )5
(b c a)5
(c a b)5
abc
HD
Đặt x a b c; y b c a; z a c b x, y, z 0
Khi đó bài toán trở thành cho x, y, z>0
y 3 z 3 z 3 x3 x3 y 3
5 5 x y z
x5
y
z
- Trang | 7 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
Có
y 3 z 3 z 3 x3
y 3 z 6 x3
z3
2
2
xy
x5
y5
x5 y 5
z 3 x3 x3 y 3
x3 x3 y 3 y 3 z 3
y3
2
;
2
yz z 5
xz
y5
z5
x5
x2 y 2 z 2
z 3 y 3 x3 z 4
y 4 x4
2VT 2 2
2
3xyz
xy xz yz xyz xyz xyz
x
VT
2
y2 z2
2
3 xyz
2
1 x y z
3
x y z =>ĐPCM
3 x y z 3
3
4
3. Chứng minh rằng: a4 b4 c4 a3b b3 c c3 a a, b, c 0
HD
a, b, c 0 ta có
a 4 a 4 a 4 b 4 4 a 3b
b 4 b 4 b 4 c 4 4b3c
c 4 c 4 c 4 a 4 4c3 a
4 a 4 b 4 c 4 4 a 3b b3c c 3 a dpcm
4. Chứng minh rằng: a5 b5 c5 a3b2 b3 c2 c3 a2 a,b,c 0
HD
a,b,c 0 ta có
a5 a5 a5 b5 b5 5a3b2
Tương tự với b, c
Cộng các vế lại với nhau ta được đpcm
5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
bc ca ab
a7
b7
c7
1
abc
2 2 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
a
b
c
b c
c a
a b
a b c
HD
a,b,c 0 ta có
bc ca ab
a7
b7
c7
1
abc
2 2 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
a
b
c
bc
c a
ab
abc
b3c3 c3a3 a 3b3 a 3b3c3 a 9 b9 c 9 1
3 b3c3 c3 a3 a3b3 a 3b3c3 3 a 9 b9 c9 1
Ta có
- Trang | 8 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
a 9 b9 1 3a 3b3
b9 c 9 1 3c 3b3
c 9 a 9 1 3a 3c 3
a 9 b9 c 9 3a 3b3c 3
=>Cộng các vế lại với nhau ta được ĐPCM.
6. Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
4
pa
p b
pc
bc
pa
ca
pb
ab
pc
HD
Đang update……….
7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a 61
b61
c61
1
b61c 61 c61 a 61 a 61b61
182 182 a 61b61c61
b 20 c 20 c 20 a 20 a 20 b 20 a 20 b 20 c 20
a182
b
c
HD
Các bạn làm tương tự như bài số 5
8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 4 3 (a3 b3 )(b3 c3 )(c3 a3 )
a
b
c
HD
Đang update…………
9. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
5
5
5
13 a b b c c a 16 ab a b 4a 2 4b 2 4ab c 2
bc b c 4b2 4c 2 4bc a 2 ca c a 4c 2 4a 2 4ca b 2
HD
Đang update……
ĐỒNG BẬC BẤT ĐẲNG THỨC
1. Chứng minh rằng:
a4
b4
c4
1 a b c a, b, c 0
2
2
2
4
b bc
c ca
a ab
a, b, c 0
HD
b b c b c
a4
a
2
4
8
8
b b c
c c a c a
b4
b
2
4
8
8
c c a
- Trang | 9 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
a a b a b
c4
c
2
4
8
8
a a b
Cộng vế với vế => ĐPCM
2. Chứng minh rằng:
a5
b5
c5
1 a b c , a, b, c 0
a b 4 b c 4 c a 4 16
HD
a, b, c 0
a b a b a b a b 5a
a5
4
32
32
32
32
16
a b
Tương tự cho các hoán vị và cộng vế với vế ta được ĐPCM.
4
4
4
3. Chứng minh rằng: a b c 1 a2 c b2 a c2 b a, b, c 0
ab
bc
ca
2
HD
a, b, c 0
a 4 c 2 a b 2a 2 c
ab
b 4 a 2 b c 2b 2 a
bc
c 4 b 2 c a 2c 2b
ca
Cộng vế với vế ta được ĐPCM.
4. Chứng minh rằng:
b2 c
c2 a
a2b
11 1 1
a, b, c 0
3
3
3
a b c b c a c a b 2 a b c
HD
a, b, c 0
b2c
bc 1
3
3
a b c 4bc 2b 2b
Tương tự cho các hoán vị và cộng vế với vế ta được ĐPCM.
5. [Greece MO 2007] Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
b c a 4 c a b 4 a b c 4
ab bc ca
a a b c b b c a c c a b
HD
a, b, c 0
- Trang | 11 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
b c a 4
2
a a b c 2 b c a
a a b c
c a b 4
4
b b c a 2 c a b
b b c a
a b c4
2
c c a b 2a b c
c c a b
Cộng các vế lại với nhau kết hợp a 2 b 2 c 2 ab bc ca
Ta có ĐPCM.
a, b, c 0
6. Cho
a b c 3
. Chứng minh rằng:
a3
b3
c3
1
2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b 3
HD
a, b, c 0
Với
ta có đề bài trở thành:
a b c 3
a3
b3
c3
CM:
abc
2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b
9
Thật vậy, ta có:
2 a b 2a c a
a3
2a b 2a c 27 27 3
2b c 2b a b
b3
2b c 2b a 27 27 3
2c a 2c b c
c3
2c a 2c b 27 27 3
Cộng từng vế ta được ĐPCM
a, b, c 0
7. Cho
ab bc ca 1
. Chứng minh rằng:
a3 b3 c3 1
b 2c c 2a a 2b 3
HD
a, b, c 0
3
3
3
Với
. Đề bài trở thành, chứng minh rằng: a b c ab bc ca
b 2c c 2a a 2b
3
ab bc ca 1
Ta có:
ab 2ac 2a 2
a4
ab 2ac
9
3
bc 2ab 2b 2
b4
bc 2ab
9
3
ca 2cb 2c 2
c4
ca 2cb
9
3
Cộng vế với vế ta được
- Trang | 12-
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
3
3
a3
2
2
b c
ab bc ca a 2 b 2 c 2 ab bc ca
3
b 2c c 2a a 2b
3
3
3
3
a3
b c
ab bc ca
3
b 2c c 2a a 2b
=>ĐPCM
8. [IMO Shortlist 1998] Cho a, b, c 0 thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng:
a3
b3
c3
3
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4
Với a, b, c 0 , ta có:
1 b 1 c 3
a3
a
1 b 1 c
8
8
4
1 c 1 a 3
b3
b
1 c 1 a
8
8
4
1 a 1 b 3
c3
c
1 a 1 b
8
8
4
3 1
a3
b3
c3
a b c 3 a b c
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4 4
4
3
a3
b3
c3
1 a b c
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 2
4
3 3
a3
b3
c3
3
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 2 4 4
9. [IMO 1995] Cho a, b, c 0 thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng:
1
1
a b c b 3 c a
3
1
3
c a b 2
3
HD
Với a, b, c 0 ta có:
bc 1
bc
a b c 4bc a
2
ca 1
ca
b c a 4ca b
2
ab
c a b
2
ab 1
4ab c
11 1 1 1 1 1
1
3 1
3 1
a b c b c a c a b 2 a b c a b c
3
1
1
1
a b c b 3 c a c 3 a b
3
11 1 1 3
2 a b c 2
=>ĐPCM
10. [IMO Shortlist 1996] Cho a, b, c 0 thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng:
ab
5 bc5
5 ca5
1
5
a b ab b c bc c a ca
5
- Trang | 13 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
HD
Ta có
a, b 0 : a 5 b 5 a 3b 2 b 3 a 2 a 2b 2 a b
ab
ab
1
abc
c
2 2
5
a b ab a b a b ab ab a b 1 ab a b abc a b c
5
TT :
bc
a
5
a
bc
b c bc
5
ca
b
5
c a ca a b c
5
ab
bc
ca
5
1
5
5
5
a b ab b c bc c a 5 ca
5
- Trang | 7 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức Cô - si
- si (Phần 04) thuộc khóa học Bồi
vn. Để sử dụng hiệu quả, bạn
CỘNG THÊM HẰNG SỐ
a,b,c 0
1. Cho
a b c 3abc
. Chứng minh rằng:
1
1
1
7 7 3
7
a
b
c
HD
a, b, c 0
1
1
7
7 11111
7
ab
a
b
1
1
7
7 11111
7
bc
b
c
1
1
7
7 11111
7
ca
c
a
1
1
1
2 7 7 7
b
c
a
1
1
1
7 7 7
b
c
a
1
1
1
21
15 7
ab
bc
ca
3
2. Cho a, b, c 0 thỏa mãn a 3 b 3 c 3 3 . Chứng minh rằng a 5 b 5 c 5 3
HD
a, b, c 0
a 5 a 5 a 5 1 1 5a 3
b 5 b 5 b 5 1 1 5b 3
c 5 c 5 c 5 1 1 5c 3
3 a 5 b 5 c 5 6 5 a 3 b 3 c 3 15
a5 b5 c5 3
3. Cho a, b, c 0 thỏa mãn a 3b 3 b 3 c 3 c 3 a 3 1 . Chứng minh rằng: a 7 b 7 c 7 61
3
HD
a, b, c 0
a7 a7 a7 b7 b7 b7
1
3
6
7
7 3 3
ab
3
6
- Trang | 1 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức
b7 b7 b7 c7 c7 c7
a7 a7 a7 c7 c7 c7
1
3
6
1
7
3
6
7
Bất đẳng thức Cô - si
7
6
3
b 3c 3
7 3 3
c a
3
6
7
7
6 a 7 b 7 c 7 63 6 a 3b 3 b 3c 3 c 3a 3 6
3 3
3
3
a 7 b 7 c 7
1
3
6
4. Cho a, b, c 0 thỏa mãn a 2 b 2 c 2 3 . Chứng minh rằng:
a5 b5 c5
3
b2 c2 a2
HD
Với a, b, c 0 ta có
a5 a5
2 b 2 b 2 1 5a 2
2
b
b
b5 b5
c 2 c 2 1 5b 2
c2 c2
c5 c5
2 a 2 a 2 1 5c 2
2
a
a
a5 b5 c5
2 2 2 2 2 a2 b2 c2 3 5 a2 b2 c2
c
a
b
a5 b5 c5 3 2
3
2 2 a b2 c2 3
2
2
2
b
c
a
6
6
6
2
2
2
5. Cho a, b, c 0 thỏa mãn a b b c c a 3 . Chứng minh rằng: a 3 b 3 c 3 3
c
a
b
b
c
a
HD
Với a, b, c 0 ta có
2
a6 a6 b6 b6 1 1 6 a b
c
b3 b3 c3 c3
2
b6 b6 c6 c6 1 1 6 b c
a
c3 c3 a3 a3
2
c6 c6 a6 a6 1 1 6 c a
b
a3 a3 b3 b3
6
6
2
2
6
2
4 a 3 b 3 c 3 6 6 a b b c c a 18
a
b
c
a
b
c
6
6
6
a3 b3 c 3 3
b
c
a
6. Cho a, b, c 0 thỏa mãn a b c 1 . Chứng minh rằng:
a6
b6
c6
1
2 2
2 2
2 2
3
b c
c a
a b
- Trang | 2 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức –
Bất đẳng thức Cô - si
HD
Với a, b, c 0 ta có
a6
b 2 c 2 3a 2
2 2
b c
b6
c 2 a 2 3b 2
c 2a 2
c6
a 2 b 2 3c 2
2 2
a b
a6
b6
c6
2 a2 b2 c2 3 a2 b2 c2
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
a b c 1
a6
b6
c6
2 2 2 2 2 2 a2 b2 c2
3
3
b c
c a
a b
2
7. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác thỏa mãn a 2 b 2 c 2 1 .
9
3
3
3
Chứng minh rằng: S 2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c 1
3
Đang update………….
8. [Iran MO 1997] Cho a, b, c, d 0 thỏa mãn abcd 1 . Chứng minh rằng:
a 3 b3 c 3 d 3 max a b c d ; 1 1 1 1
a b c d
Đang update………….
2
a b c
9. [UKMO 2005] Chứng minh rằng: a b c 1 1 1
a b c
b c a
a, b, c > 0
Đang update………….
- Trang | 3 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức –
Bất đẳng thức Cô - si
BÀI TẬP PHƢƠNG PHÁP CÂN BẰNG HỆ SỐ
1. Cho 2 x2 4 y 2 5z 2 88 . Tìm Max của S xy yz
zx
.
2
HD
Dự đoán điểm rơi x= 4, y=3, z=2. Các bạn làm tương tự như trong bài giảng:
Đưa thêm tham số a, b, c
ax 2 by 2 2 ab xy
2
2
2 a x cz 2 2 a c xz
4 b y 2 5 c z 2 2 4 b 5 c yz
Đẳng thức xảy ra khi x 4, y 3, z 2
3
a
2
ax 2 by 2
16a 9b
8
2
2
2 a 16 4c
b
2 a x cz
3
4 b y 2 5 c z 2
4 b 9 5 c 4 c 2
2 x 2 4 y 2 5 z 2 88
88
3 2 8 2 1 2
4
x y x 2 z 2 y 2 3z 2
2
3
2
3
1 3 2 8 2 1 1 2
1 4 2
1
1
x . y
x 2z2
y 3z 2 | xy | | zx | | yz | xy yz zx S
2 2 3
2 2
2 3
2
2
S 88 MaxS 88, " " x 4, y 3, z 2
a,b,c 0
2. Cho
2
2
2
a 2b 3c 1
. Tìm giá Min của biểu thức: S 2a 3 3b 3 4c 3
HD
Xét các tham số x, y, z >0
a 3 a 3 x 3 3a 2 x
3b 3 3b 3
9
y 3 3 yb 2 . 3
2
2
4
- Trang | 1 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức –
Bất đẳng thức Cô - si
2c 3 2c 3 z 3 3c 2 z 2 . 3 4
S x 3 y 3 z 3 3a 2 x 3 yb 2 . 3
9
3c 2 z. 3 4
4
a x
a x
3b 3
2
3
Dấu “=” xảy ra khi: 2 y b 3 3 y
3
3
3
2c z
2c z
Ta sẽ chọn các tham số sao cho:
1
9 1 3
x y. 3 c. 4
2
4 3
1
2
x 2 4 x 2 9 x 2 1 x
,y
14
14
2
81
2
c 2 . 3 16 1
x y .3
16
3
4
3
,z
9
14
3
1
4
3
1 16 9 3 1
1
S 3
a 2 2b 2 3c 2 1
14
7
81
14
16
3
1 3 16 9 3 1
1
S 1
14
7 81 14 16
3
1 16 9 3 1
1
MinS 1 3
14
7 81 14 16
Dấu “=” xảy ra các bạn tự làm
3. Cho a, b, c, m, n 0 thỏa mãn ab bc ca 1 . Tìm Min S ma2 nb2 c2 theo tham số m, n
HD
Xét các tham số x, y, z >0 thoả mãn: m x, n y,1 z 0
S ma 2 nb 2 c 2 xa 2 yb 2 m x a 2 zc 2 n y b 2 1 z c 2
xa 2 yb 2 2 xyab
m x a 2 zc 2 2 m x zac
n y b2 1 z c 2 2 n y 1 z bc
S 2 xyab 2
m x zac 2 n y 1 z bc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
xa 2
xa 2
2
b2
b
y
y
xa 2 yb 2
2
2
m x a
m x a
2
2
2
c2
m
x
a
zc
c
z
z
2
2
2
2
n y b 1 z c
n y xz y 1 z m x
m
x
a
xa
1 z
n y
y
z
Ta sẽ chọn x, y, z sao cho
xy
m x z n y 1 z k
- Trang | 2 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức –
Bất đẳng thức Cô - si
xy m x z n y 1 z k 2
n y xz y 1 z m x k 3
mn x m x y n y z 1 z
xy x n y m x y m x n y z 1 z
xy m x zn n y 1 z m n y xz y 1 z m x
k 2 k 2 m k 2 n 2k 3
mn k 2 1 m n 2k 3
Xét hàm f t 2t 3 t 2 m n 1 mn
f ' t 6t 2 2 m n 1 t 0t 0
=> hàm f(t) là hàm đồng biến trên khoảng (0; + )
=> f k0 0 thì k0 là nghiệm duy nhất.
=> S ma2 nb2 c2 2k ab bc ca 2k0 MinS 2k0
4. Cho a > 0 và x, y, z thỏa mãn x 2 y 2 z 2 9 xy a 2 . Tìm Max: S xy yz zx
16
HD
2
2
2
9
Để tìm Max ta cần đánh tìm được hằng số m sao cho: m x y z 16 xy xy yz xz
Ta sẽ trèn thêm các tham số k>0
kx 2 ky 2 2kxy
1 k x 2
z2
2 1 k xz
2
1 k y 2
z2
2 1 k yz
2
x 2 y 2 z 2
19
19
xy 2k xy 2 1 k xz 2 1 k yz
6
6
Ta sẽ chọn k sao cho
2k
19
4 55 27
2 1 k k
16
32
Như vậy ta có: x 2 y 2 z 2
19
19
55 2
xy 2k xy yz xz
xy yz xz
6
6
4
55 2
xy yz xz
4
a2
xy yz xz
MaxS=
4a 2
55 2
4a 2
55 2
Dấu “=” xảy ra các bạn tự xét
a,b,c 0
5. Cho
a b c 3
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = 4ab 8bc 6ca
HD
- Trang | 3 -
Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức –
Bất đẳng thức Cô - si
Ta sẽ biến đổi biểu thức S về dạng tổng bình phương
4ab 8bc 6ca a b c 3b a c 5c a b
a 3 a 3b 3 b 5c 3 c
3a a 2 3 3b b 2 5 3c c 2
2
2
2
3
3
3 81
a 3 b 5 c
2
2
2 4
S
81
3
3
3
x 2 3 y 2 5 z 2 ; a x, b y , c z
4
2
2
2
a b c 3 x y z a
3
3
3 3
b c
2
2
2 2
Như vậy bài toán trở thành tìm Max
81
3
x 2 3 y 2 5z 2 , x y z
4
2
S
9.15 135
y2 z2 x y z
x 3 y 5z x
1
1
1 1
4.23
92
1
3
5
3 5
2
2
2
S
2
2
81 135 432
4 92
23
432
12 27 30
, ,
23 23 23
a, b, c
=> MaxS 23 ,
6. [IMO 2006] Cho a, b, c sao cho a2 b2 c2 1 . Tìm Max P a b a c b c a b c
HD
Với tham số x, y, z>0 ta có
2
3 a 2 b 2 c 2 y a c b c x a b 2 z a b c 2
2
2
2
4. y a c b c x a b z a b c
4. y a c b c 2 x a b . z a b c
8. y. xz a b a c b c a b c
3 a 2 b 2 c 2
P a b a c b c a b c
8. y. xz
2
Ta sẽ đi tìm các hệ số x, y z.
) y a c b c x a b z a b c
2
2
y ab bc ac c 2 x a 2 b 2 2ab z a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca
x z a 2 x z b2 y z c 2 y 2 x 2 z ab y 2z bc y 2z ac
3 a 2 b2 c 2
x z y z 3
x y 2, z 1
y 2x 2z y 2z 0
- Trang | 4 -
