Chuyên đề bất đẳng thức luyện thi học sinh giỏi phổ thông trung học

TRNG THPT CHUYÊN LÝ T TRNG
 TOÁN − TIN HC
Chuyên 
B
B


T
T




N
N
G
G
T
T
H
H


C
C
Thc hin: Võ Quc Bá Cn
c sinh chuyên Toán, niên khóa 2004 − 2006
TPCT − 2006
1
i nói u
oOo

t ng thc là mt trong nhng vn  hay và khó nht ca chng trình toán
ph thông bi nó có mt trên hu khp các lnh vc ca toán hc và nó òi hi
chúng ta phi có mt vn kin thc tng i vng vàng trên tt c các lnh vc.
i ngi chúng ta, c bit là các bn yêu toán, dù ít dù nhiu thì cng ã tng
au u trc mt bt ng thc khó và cng ã tng có c mt cm giác t hào
khi mà mình chng minh c bt ng thc ó. Nhm “kích hot” nim say mê
t ng thc trong các bn, tôi xin gii thiu vi vi các bn cun sách “chuyên 
t ng thc”.
Sách gm các phng pháp chng minh bt ng thc mi mà hin nay cha c
ph bin cho lm. Ngoài ra, trong sách gm mt s lng ln bt ng thc do tôi
 sáng tác, còn li là do tôi ly  toán trên internet nhng cha có li gii hoc có
i gii nhng là li gii hay, l, p mt. Phn ln các bài tp trong sách u do tôi
 gii nên không th nào tránh khi nhng ng nhn, sai lm, mong các bn thông
m.
Hy vng rng cun sách s giúp cho các bn mt cái nhìn khác v bt ng thc và
mong rng qua vic gii các bài toán trong sách s giúp các bn có th tìm ra
phng pháp ca riêng mình, nâng cao c t duy sáng to. Tôi không bit các
n ngh sao nhng theo quan m ca bn thân tôi thì nu ta hc tt v bt ng
thc thì cng có th hc tt các lnh vc khác ca toán hc vì nhã nói  trên bt
ng thc òi hi chúng ta phi có mt kin thc tng hp tng i vng vàng.
Tôi không nói suông âu, chc hn bn cng bit n anh Phm Kim Hùng, sinh
viên h CNTN khoa toán, trng HKHTN, HQG Hà Ni, ngi ã c tham
 hai k thi IMO và u t kt qu cao nht trong i tuyn VN. Bn bit
không? Trong thi hc ph thông, anh y ch chuyên tâm rèn luyn bt ng thc
thôi. (Các bn lu ý là tôi không khuyn khích bn làm nh tôi và anh y âu nhé!)
2
c dù ã c gng biên son mt cách tht cn thn, nhng do trình  có hn nên
không th tránh khi nhng sai sót, mong các bn thông cm và góp ý cho tôi 
cun sách ngày càng c hoàn thin hn. Chân thành cm n.
i óng góp xin gi v mt trong các a ch sau:

+ Võ Quc Bá Cn, C65 khu dân c Phú An, phng Phú Th, qun
Cái Rng, thành ph Cn Th.
(071.916044
+ Email.
Kính tng các thy ng Bo Hòa, Phan i Nhn, Trn Diu Minh, Hunh Bu
Tính, cô T Thanh Thy Tiên và toàn th các thy cô giáo trong t Toán Tin, thân
ng các bn cùng lp.
3
T S BT NG THC THÔNG DNG
1. Bt ng thc AM-GM.
u
12
, , ,
n
aaa
là các s thc không âm thì
12
1
1
.
n
n
in
i
a aaa
n
=
≥
∑
ng thc xy ra khi và ch khi

12

n
aaa
= ==
.
2. Bt ng thc AM-HM.
u
12
, , ,
n
aaa
là các s thc dng thì
1
1
11
.
11
.
n
i
n
i
i
i
a
n
na
=
=

≥
∑
∑
ng thc xy ra khi và ch khi
12

n
aaa
= ==
.
3. Bt ng thc Bunhiacopxki.
Cho
2
n
s thc
12
, , ,
n
aaa
và
12
, , ,
n
bbb
. Khi ó, ta có
2222222
1 2 1 2 11 22
( )( ) ( )
n n nn
a a a b b b ab ab ab

+ ++ + ++ ≥ + ++
ng thc xy ra khi và ch khi
12
12

n
n
a
aa
bbb
= ==
4. Bt ng thc Minkowski.
Cho
2
n
s thc dng
12
, , ,
n
aaa
và
12
, , ,
n
bbb
. Khi ó vi mi
1,
r
≥
ta có

1 11
1 11
()
n nn
r rr
r rr
ii ii
i ii
ab ab
= ==
 
+≤+
 
 
∑ ∑∑
5. Bt ng thc AM-GM m rng.
u
12
, , ,
n
aaa
là các s thc không âm và
12
, , ,
n
βββ
là các s thc không âm
có tng bng 1 thì
12
11 22 12

n
nnn
a a a aaa
β
ββ
ββ β+++≥
6. Bt ng thc Chebyshev.
Cho
2
n
s thc
12

n
aaa
≤ ≤≤
và
12
, , ,
n
bbb
. Khi ó
a) Nu
12

n
bbb
≤ ≤≤
thì

1 11
.
n nn
ii ii
i ii
nab ab
= ==

≥


∑ ∑∑
a) Nu
12

n
bbb
≥ ≥≥
thì
1 11
.
n nn
ii ii
i ii
nab ab
= ==

≤



∑ ∑∑
4
ng thc xy ra khi và ch khi
12
12


n
n
aaa
bbb
= ==


= ==

7. Bt ng thc Holder.
Cho
2
n
s thc không âm
12
, , ,
n
aaa
và
12
, , ,
n
bbb

. Khi ó vi mi
,1
pq
>
tha
11
1,
pq
+=
ta có
11
111
nnn
pq
pq
iiii
iii
abab
===

≤


∑∑∑
8. Bt ng thc Schur.
i mi b ba s không âm
,,
abc
và
0,

r
≥
ta luôn có bt ng thc
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0
rrr
aabac bbcba ccacb
−−+−−+−−≥
ng thc xy ra khi và ch khi
abc
==
hoc
,0
a bc
==
và các hoán v.
9. Bt ng thc Jensen.
Gi s
()
fx
là mt hàm li trên
[,]
ab
. Khi ó, vi mi
12
, , , [ , ]
n
x x x ab
∈
và
12

, , , 0
n
αα α≥
tha
12
1
n
αα α+++=
ta có bt ng thc
11
()
nn
ii ii
ii
f x fx
αα
==

≥


∑∑
10. Bt ng thc sp xp li.
Cho 2 dãy n u cùng tng
12

n
aaa
≤ ≤≤
và

12

n
bbb
≤ ≤≤
. Khi ó, vi
12
, , ,
n
iii
là mt hoán v bt kì ca
1,2, ,
n
ta có
11 22
1122 1211

nn
nniiiiiinnn
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
−
+ ++ ≥ + ++ ≥ + ++
11. Bt ng thc Bernulli.
i
1
x
>−
, ta có
+
u

10
rr
≥∨≤
thì (1)1
r
x rx
+ ≥+
+
u
10
r
>>
thì (1)1
r
x rx
+ ≤+
5
T NG THC THUN NHT
1. Mu.
u ht các bt ng thc cn (AM-GM, Bunhiacopxki, Holder, Minkowsky,
Chebyshev ) u là các bt ng thc thun nht. u này hoàn toàn không ngu
nhiên. V logíc, có th nói rng, ch có các i lng cùng bc mi có th so sánh
i nhau mt cách toàn cc c.
Chính vì th, bt ng thc thun nht chim mt t l rt cao trong các bài toán bt
ng thc, c bit là bt ng thc i s (khi các hàm s là hàm i s, có bc
u hn). i vi các hàm gii tích (m, lng giác, logarith), các bt ng thc
ng c coi là thun nht vì các hàm s có bc
∞
(theo công thc Taylor).
Trong bài này, chúng ta s cp ti các phng pháp c bn  chng minh bt

ng thc thun nht, cng nh cách chuyn t mt bt ng thc không thun nht
 mt bt ng thc thun nht. Nm vng và vn dng nhun nhuyn các phng
pháp này, chúng ta có th chng minh c hu ht các bt ng thc s cp.
2. Bt ng thc thun nht.
Hàm s
12
( , , , )
n
fxxx
ca các bin s thc
12
, , ,
n
xxx
c là hàm thun nht bc
α
nu vi mi s thc
t
ta có
1 2 12
(, , , ) (,, ,)
nn
f tx tx tx t f x x x
α
=
t ng thc dng
12
(,, ,)0
n
fxxx

≥
i
f
là mt hàm thun nht c gi là bt ng thc thun nht (bc
α
).
Ví d các bt ng thc AM-GM, bt ng thc Bunhiacopxki, bt ng thc
Chebyshev là các bt ng thc thun nht. Bt ng thc Bernoulli, bt ng thc
sin
xx
<
vi
0
x
>
là các bt ng thc không thun nht.
6
3. Chng minh bt ng thc thun nht.
3.1. Phng pháp dn bin.
c m ca nhiu bt ng thc, c bit là các bt ng thc i s là du bng
y ra khi tt c hoc mt vài bin s bng nhau (xut phát t bt ng thc c bn
2
0
x
≥
!). Phng pháp dn bin da vào c m này  làm gim s bin s ca
t ng thc, a bt ng thc v dng n gin hn có th chng minh trc tip
ng cách kho sát hàm mt bin hoc chng minh bng quy np.
 chng minh bt ng thc
12

( , , , ) 0 (1)
n
fxxx
≥
Ta có th th chng minh
1212
12
( , , , ) , , , (2)
22
nn
xxxx
fxxxfx
++

≥


hoc
( )
1 2 12 12
( , , , ) , , , (3)
nn
f x x x f xx xx x≥
Sau ó chuyn vic chng minh (1) v vic chng minh bt ng thc
113 13
( , , , , ) ( , , , ) 0 (4)
nn
fxxx x gxx x
=≥
c là mt bt ng thc có s bin ít hn. D nhiên, các bt ng thc (2), (3) có

th không úng hoc chúng trong mt su kin nào ó. Vì ta ch thay i 2
bin s nên thông thng thì tính úng n ca bt ng thc này có th kim tra
c d dàng.
Ví d 1.
Cho
,,0
abc
>
. Chng minh bt ng thc
333 222 222
3
a b c abc a b b c c a ab bc ca
+++ ≥+++++
Chng minh.
Xét hàm s
333 222 222
(,,)3()
f a b c a b c abc a b b c c a ab bc ca
=+++ − +++++
Ta có
2
5
(,,) , , ()
224
bcbc a
f abc f a b c b c
++
 
− =+−−
 

 
7
Do ó, nu
min{ , , }
a abc
=
(u này luôn có th gi s) thì ta có
(,,) ,,
22
bcbc
f abc f a
++

≥


Nh vy,  chng minh bt ng thc u bài, ta ch cn chng minh
(,,)0
f abb
≥
Nhng bt ng thc này tng ng vi
33 2222323
322
2
2 3 ( )0
20
( )0
a b ab ab ab ba b ba b
a ab ab
aab

++ − +++++≥
⇔+−≥
⇔ −≥
Ví d 2. (Vietnam TST 1996)
Cho
,,
abc
là các s thc bt k. Chng minh rng
4 4 4 444
4
(,,)( ) ( ) ( ) .( )0
7
Fabc ab bc ca abc
=+++++− ++≥
i gii.
Ta có
4 4 4 444
44
44
4
4
4 4 44
33 3 222
(,,) , ,
22
4
( )( )( ) .( )
7
4
2 ().2

2 72
4()
( )( )2 .
2 78
(4 4 ( ) ) 3 (2 2 (
bcbc
Fabc Fa
ab bc ca abc
bc bc
a bca
bc bc
ab ca a bc
ab c bc a b c bc
++

−=


=+++++− ++−

++
  
−+ −+++

  

  


++


=+ ++ − + + −−




= + −+ + + −+
4
2 44
22 2 222
2 222
3 ()
))
78
3
3()()3() ()(7710)
56
3
3( )() ()(7710)
56
bc
bc
abcbc abc bc b c bc
aabcbc bc b c bc

+
+ +−


= + −+ −+ − ++

= ++ −+ − ++
8
 hng
222
3
( )(7 7 10)
56
b c b c bc
− ++ luôn không âm. Nu
,,
abc
cùng du thì bt
ng thc cn chng minh là hin nhiên. Nu
,,
abc
không cùng du thì phi có ít
nht 1 trong ba s
,,
abc
cùng du vi
abc
++
. Không mt tính tng quát, gi s
ó là
a
.
 ng thc trên suy ra
(,,) , ,
22
bcbc

Fabc Fa
++

≥


. Nh vy ta ch còn cn
chng minh
4 4 44
(,,)0,
4
2( ) (2 ) .( 2 ) 0 ,
7
Fabb ab
a b b a b ab
≥∀∈
⇔ ++ − + ≥∀∈
R
R
u
0
b
=
thì bt ng thc là hin nhiên. Nu
0
b
≠
, chia hai v ca bt ng thc
cho
4

b
ri t
a
x
b
=
thì ta c bt ng thc tng ng
44
4
2( 1) 16 .( 2) 0
7
xx
+ +− +≥
t ng thc cui cùng có th chng minh nh sau
Xét
44
4
( ) 2( 1) 16 .( 2)
7
fxxx
=++−+
Ta có
/ 33
/
3
16
()8(1).
7
2
( ) 0 1 . 2.9294

7
( 2.9294) 0.4924 0
min
fxxx
fx x xx
ff
= +−
= ⇔ + = ⇔ =−
=−=>
(Các phn tính toán cui c tính vi  chính xác ti 4 ch s sau du phy. Do
min
f
tính c là 0.4924 nên nu tính c sai s tuyt i thì giá tr chính xác ca
min
f
vn là mt s dng. Vì ây là mt bt ng thc rt cht nên không th tránh
9
c các tính toán vi s l trên ây. Chng hn nu thay
4
7
bng
16
27

3
min
x
=−
thì
*

min
f
có giá tr âm! ây
* 44
4
( ) 2( 1) 16 .( 2)
7
fxxx
=++−+
.)
3.2. Phng pháp chun hóa.
ng thng gp ca bt ng thc thun nht là
12 12
( , , , ) ( , , , )
nn
fxxxgxxx
≥
trong ó
f
và
g
là hai hàm thun nht cùng bc.
Do tính cht ca hàm thun nht, ta có th chuyn vic chng minh bt ng thc
trên v vic chng minh bt ng thc
12
( , , , )
n
fxxxA
≥
vi mi

12
, , ,
n
xxx
tha
mãn u kin
12
( , , , )
n
gxxxA
=
. Chun hóa mt cách thích hp, ta có th làm n
gin các biu thc ca bt ng thc cn chng minh, tn dng c mt s tính
cht c bit ca các hng s.
Ví d 3. (Bt ng thc v trung bình ly tha)
Cho b
n
s thc dng
12
()(,, ,)
n
xxxx
=
. Vi mi s thc
r
ta t
1
12

()

rrr
r
n
r
xxx
Mx
n

+ ++
=


Chng minh rng vi mi
0
rs
>>
ta có
() ().
rs
Mx Mx
≥
i gii.
Vì
( ) ()
rr
M tx tM x
=
vi mi
0
t

>
nên ta ch cn chng minh bt ng thc úng
cho các s thc dng
12
, , ,
n
xxx
tho mãn u kin
()1
s
Mx
=
, tc là cn chng
minh
()1
r
Mx
≥
vi mi
12
, , ,
n
xxx
tho mãn u kin
()1
s
Mx
=
. u này có th
vit n gin li là

Chng minh
12

rrr
n
xx xn
+++≥
vi
12

sss
n
xx xn
+++=
.
 chng minh bt ng thc cui cùng, ta áp dng bt ng thc Bernoulli
( ) (1 ( 1)) 1 .( 1) 1,
rr
rsss
ss
iiii
r
xx x x in
s
= = + − ≥ + − ∀=
ng các bt ng thc trên li, ta c u phi chng minh.
10
Ví d 4. (VMO 2002)
Chng minh rng vi
,,

xyz
là các s thc bt k ta có bt ng thc
3
222 222
2
6( )( ) 27 10( )
xyzxyz xyz xyz
++ ++ ≤ + ++
i gii.
t ng thc này rt cng knh. Nu thc hin phép bin i trc tip s rt khó
khn (ví d th bình phng  kh cn). Ta thc hin phép chun hóa n gin
hóa bt ng thc ã cho. Nu
222
0
xyz
++=
, thì
0
xyz
===
, bt ng thc tr
thành ng thc. Nu
222
0
xyz
++>
, do bt ng thc ã cho là thun nht, ta có
th gi s
222
9

xyz
++=
. Ta cn chng minh
2( ) 10
x y z xyz
++≤+
vi u kin
222
9
xyz
++=
.  chng minh u này, ta ch cn chng minh
2
[2( ) ] 100
x y z xyz++−≤
Không mt tính tng quát, có th gi s
xyz
≤≤
. Áp dng bt ng thc
Bunhiacopxky, ta có
( )
22
222
22
22 33
2
[2 ] [2( ) (2 )]
[( ) ][4 (2 ) ]
(9 2 )(8 4 )
72 20 2

100 ( 2) (2 7)
x y z xyz x y z xy
x y z xy
xy xy x y
xy xy xy
xy xy
++− = ++−
≤ + + +−
=+ −+
=−++
=++−

2 22
3 2 6,
xyz z xyxy
≤≤⇒≥⇒ ≤+≤
tc là
2
( 2) (2 7) 0
xy xy
+ −≤
. Tây,
t hp vi ánh giá trên ây ta c u cn chng minh.
u bng xy ra khi và ch khi
22
20
xyz
xy
xy
+


=

−


+=

.
ây gii ra c
1,2,2
x yz
=−==
.
 thut chun hóa cho phép chúng ta bin mt bt ng thc phc tp thành mt
t ng thc có dng n gin hn. u này giúp ta có th áp dng các bin i
i s mt cách d dàng hn, thay vì phi làm vic vi các biu thc cng knh ban
11
u. c bit, sau khi chun hóa xong, ta vn có th áp dng phng pháp dn bin
 gii. Ta a ra li gii th hai cho bài toán trên
t (,,)2()
f x y z x y z xyz
= ++−
.
Ta cn chng minh
( , , ) 10
f xyz
≤
vi
222

9
xyz
++=
.
Xét
(
)
22 22 2
22
2
22
()
, , (,,)22()
222
2
()
2
2()
yz yz xyz
fx fxyz y z yz
x
yz
y z yz

++−
 − = + −−−





=−−

+ ++

+ Nu
,,0
xyz
>
, ta xét hai trng hp
*
1
xyz
≤≤≤
. Khi ó
222
2( ) 2 3( ) 1 6 3 1 10
x y z xyz x y z
+ + − ≤ + + −= −<
*
01
x
<≤
. Khi ó
222
2( ) 2 2 2( ) 2 2 2(9 ) ( )
x y z xyz x y z x x gx
++−≤+ +=+ −=
Ta có
(
)

2
/
2
292
()0
9
xx
gx
x
−−
=>
−
, suy ra
( ) (1) 10
gxg
≤=
.
+ Nu trong 3 s
,,
xyz
có mt s âm, không mt tính tng quát, ta có th gi s là
0
x
<
. Khi ó
22 22
, , (,,)
22
yz yz
f x f xyz


++

≥


, nên ta ch cn chng minh
22 22
2
2
32
, , 10
22
(9)
2 2 2(9 ) 10
2
( ) 5 4 2(9 ) 20
yz yz
fx
xx
xx
hxxxx

++

≤


−
⇔+−−≤

⇔ =−+ −≤
Ta có
/2
2
42
()35
9
x
hxx
x
= −−
−
.
12
Gii phng trình
/
()0
hx
=
(vi
0
x
<
), ta c
1
x
=−
. ây là m cc i ca
h
, do ó

( ) ( 1) 20
hxh
≤−=
.
ng cách chun hóa, ta có tha mt bài toán bt ng thc v bài toán tìm giá
tr ln nht hay nh nht ca mt hàm s trên mt min (chng hn trên hình cu
222
9
xyz
++=
nh ví d 4). u này cho phép chúng ta vn dng c mt s
 thut tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht (ví d nh bt ng thc Jensen, hàm
i, ).
Ví d 5.
Cho
,,
abc
là các s thc dng. Chng minh rng
222
222222
()()()3
5
() () ()
bca cab abc
a bc b ca c ab
+− +− +−
++≥
++ ++ ++
i gii.
Ta ch cn chng minh bt ng thc cho các s dng

,,
abc
tho
1
abc
++=
.
Khi ó bt ng thc có th vit li thành
222
222
222
(12) (12) (12) 3
52 2 12 2 12 2 1
1 1 1 27
5
2 2 12 2 12 2 1
27
( ) ( ) ( ) (5.1)
5
abc
aabbcc
aa bb cc
fa fb fc
−−−
++≥
−+ −+ −+
⇔ ++≤
−+ −+ −+
⇔++≤
Trong ó

2
1
()
2 21
fx
xx
=
−+
 ý rng
271
3
53
f

=


, ta thy (5.1) có dng bt ng thc Jensen. Tuy nhiên, tính
o hàm cp hai ca
()
fx
, ta có
2
//
23
4(6 6 1)
()
(2 2 1)
xx
fx

xx
−+
=
−+
13
hàm ch li trên khong
3333
,
66

−+


nên không th áp dng bt ng thc
Jensen mt cách trc tip. Ta chng minh
27
()()()
5
fa fb fc++≤ bng các nhn
xét b sung sau
1
2
2
max
ff

==


()

fx
tng trên
1
0,
2



và gim trên
1
,1
2



3 3 3 3 12
6 67
ff

−+
==


u có ít nht 2 trong 3 s
,,
abc
nm trong khong
3333
,
66


−+


, chng hn là
a, b thì áp dng bt ng thc Jensen ta có
2
14
()()22
22
1
abc
fafbff
c
+−
  
+≤ ==
  
+
  
Nh vy trong trng hp này, ta ch cn chng minh
22
1 4 27
5
2211
ccc
+≤
−++
Quy ng mu s và rút gn ta c bt ng thc tng ng
4 32

22
27 27 18 7 1 0
(3 1) (3 1) 0
(ñuùng)
c c cc
c cc
− + − +≥
⇔ − −+≥
Nh vy, ta ch còn cn xét trng hp có ít nht hai s nm ngoài khong
3333
,
66

−+


. Nu chng hn
33
6
a
+
≥ thì rõ ràng
33
,
6
bc
−
≤ và nh vy,
do nhn xét trên
36 27

()()()
75
fa fb fc++≤<.
Ta ch còn duy nht mt trng hp cn xét là có hai s, chng hn
33
,
6
ab
−
≤ .
14
Lúc này, do
3
1
3
ab+ ≤− nên
31
32
c
≥>
.
Theo các nhn xét trên, ta có
3 3 3 24 15 6 3 27
()()()2 .
6 37135
fa fb fc f f
 
−+
++≤ + =+ <
 

 
Ghi chú.
Bài toán trên có mt cách gii ngn gn và c áo hn nh sau
t ng thc có th vit li thành
222222
() () ()6
5
() () ()
ab c bc a ca b
a bc b ca c ab
+++
++≤
++ ++ ++
Không mt tính tng quát, có th gi s
1
abc
++=
. Khi ó, bt ng thc vit li
thành
222
(1 ) (1 ) (1 ) 6
5
2 212 212 21
aabbcc
aabbcc
−−−
++≤
−+ −+ −+
Ta có
2

( 1)
2(1)
4
a
aa
+
−≤ . Do ó
2
2
(1) (1)(3)
1221
44
a aa
aa
+ −+
−+≥−= . Tó
2
(1) (1)4
(1 )(3 )
32 21
4
aaaaa
aa
a
aa
−−
≤=
−+
+
−+

ng t
2
2
(1)4
3
2 21
(1)4
.
3
2 21
bbb
b
bb
ccc
c
cc
−
≤
+
−+
−
≤
+
−+
Và  chng minh bt ng thc u bài, ta ch cn chng minh
4 4 46
3335
abc
abc
++≤

+++
t ng thc cui cùng này tng ng vi
1 1 19
3 3 3 10
abc
++≥
+++
là hin
nhiên (Áp dng BT AM-GM).
15
Chun hóa là mt k thut c bn. Tuy nhiên, k thut ó cng òi hi nhng kinh
nghim và  tinh t nht nh. Trong ví d trên, ti sao ta li chun hóa
222
9
xyz
++=
mà không phi là
222
1
xyz
++=
(t nhiên hn)? Và ta có t
c nhng hiu qu mong mun không nu nh chun hóa
1
xyz
++=
? ó là
nhng vn  mà chúng ta phi suy ngh trc khi thc hin bc chun hóa.
3.3. Phng pháp trng s.
t ng thc AM-GM và bt ng thc Bunhiacopxki là nhng bt ng thc

thun nht. Vì th, chúng rt hu hiu trong vic chng minh các bt ng thc
thun nht. Tuy nhiên, do u kin xy ra du bng ca các bt ng thc này rt
nghiêm ngt nên vic áp dng mt cách trc tip và máy móc ôi khi khó em li
t qu.  áp dng tt các bt ng thc này, chúng ta phi nghiên cu ku
kin xy ra du bng và áp dng phng pháp trng s.
Ví d 6.
Chng minh rng nu
,,
xyz
là các s thc không âm thì
3
222 222
2
6( )( ) 27 10( )
xyzxyz xyz xyz
−++ ++ + ≤ ++
i gii.
 dng nguyên lý c bn
«
u bng xy ra khi mt cp bin s nào ó bng nhau
»
,
ta có th tìm ta c du bng ca bt ng thc trên xy ra khi
2
yzx
==
. u
này cho phép chúng ta mnh dn ánh giá nh sau
3
222 222

2
1
2 22 2 22
2
11
222 222 222
22
2 22
222
10( ) 6( )( )
( ) 10( ) 6( )
10
().()(122)6()
3
10
( ).(22)6()
3
( )(28 2 2 )
(6
3
xyz xyzxyz
xyz xyz xyz
xyz xyz xyz
x y z x y z xyz
xyz xyz
++ −−++ ++ =

= ++ ++ −−++





= + + + + + + −−++




≥ + + + + −−++


++ ++
=
.1)
16
Áp dng bt ng thc AM-GM, ta có
44
2 2 2 2 2 88
22222
9
9
8
7 87
99
4499
4 4 44
4
28 2 2 7.4 2 2 9 (4 ) (2 )(2 ) 9 4
y z y z xyz
xyzxx
xyz xyz x yz xyz

  
++=+ + ≥ =
  
  
++= ++≥ =
Nhân hai bt ng thc trên v theo v, ta c
288
2 2 2 87
9
9
8
( )(28 2 2 ) 9 .9 4 81 (6.2)
4
xyz
x y z x y z x yz xyz++++≥=
 (6.1) và (6.2) ta suy ra bt ng thc cn chng minh.
Trong ví d trên, chúng ta ã s dng c bt ng thc Bunhiacopxki và bt ng
thc AM-GM có trng s. Li gii rt hiu qu và n tng. Tuy nhiên, s thành
công ca li gii trên nm  hai dòng ngn ngi u. Không có c
«
oán
»
ó, khó có th thu c kt qu mong mun. Di ây ta s xét mt ví d v vic
chn các trng s thích hp bng phng pháp h s bt nh  các u kin xy
ra du bng c tho mãn.
Ví d 7.
Chng minh rng nu
0
xy
≤≤

thì ta có bt ng thc
11
22 222
22
13 ( ) 9 ( ) 16
xyx xyx y
−+ +≤
i gii.
Ta s áp dng bt ng thc AM-GM cho các tích  v trái. Tuy nhiên, nu áp dng
t cách trc tip thì ta c
222 222
22
13( ) 9( )
9 11 (7.1)
22
xyx xyx
VT xy
+− ++
≤ + =+
ây không phi là u mà ta cn (Tây ch có th suy ra
2
20
VTy
≤ ). S d ta
không thu c ánh giá cn thit là vì du bng không thng thi xy ra  hai
n áp dng bt ng thc AM-GM. u chnh, ta a vào các h s dng
,
ab
nh sau
17

11
22 22
22
2222 2222
13( )( ) 9( )( )
13( ) 9( )
(7.2)
22
ax y x by y x
VT
ab
axyx bxyx
ab
−+
=+
+− ++
≤+
ánh giá trên úng vi mi
,0
ab
>
(chng hn vi
1
ab
==
ta c (7.1)) và ta s
phi chn
,
ab
sao cho

a) V phi không ph thuc vào
x
b) Du bng có thng thi xy ra  hai bt ng thc
Yêu cu này tng ng vi h
22
22 22
22 22
13( 1) 9( 1)
0
22
,:
ab
ab
ax yx
xy
bxyx

−+
+=




=−


∃


=+




c là có h
22
22
13( 1) 9( 1)
0
22
11
ab
ab
ab

−+
+=



+=−

.
Gii h ra, ta c
1
2
3
2
a
b


=




=


. Thay hai giá tr này vào (7.2) ta c
22
22 222
9
13 3 16
44
xx
VT yx yxy

≤ +− + ++ =


Ghi chú.
Trong ví d trên, thc cht ta ã cnh y và tìm giá tr ln nht ca v trái khi
x
thay i trong n
[0,]
y
.
4. Bt ng thc thun nht i xng.
Khi gp các bt ng thc dng a thc thun nht i xng, ngoài các phng
pháp trên, ta còn có th s dng phng pháp khai trin trc tip và dng nh lý v

nhóm các s hng. Phng pháp này cng knh, không tht p nhng ôi lúc t ra
18
khá hiu qu. Khi s dng bng phng pháp này, chúng ta thng dùng các ký
hiu quy c sau n gin hóa cách vit
1 2 (1) (2) ( )
( , , , ) ( , , , )
nn
sym
QxxxQxxx
σσσ
σ
=
∑∑
trong ó,
σ
chy qua tt c các hoán v ca
{1,2, , }
n
.
Ví d vi
3
n
=
và ba bin s
,,
xyz
thì
3 333
222
sym

xxyz
=++
∑
2222222
6
sym
sym
xy xy yz zx xz zy yx
xyz xyz
=+++++
=
∑
∑
i vi các biu thc không hoàn toàn i xng, ta có th s dng ký hiu hoán v
vòng quanh nh sau
22 22
cyc
xy xy yz zx
=++
∑
Phng pháp này c xây dng da trên tính so sánh c ca mt s tng i
ng cùng bc - nh lý v nhóm các s hng (h qu ca bt ng thc Karamata)
mà chúng ta s phát biu và chng minh di ây. Trong trng hp 3 bin, ta còn
có ng thc Schur.
u
12
( , , , )
n
ssss
=

và
12
( , , , )
n
tttt
=
là hai dãy s không tng. Ta nói rng
s
là
tri ca
t
nu
1 2 12
1 2 12

1,
nn
ii
ss s tt t
ss stt tin
+ ++ =+++



+ + + ≥ + + + ∀=


.
nh lý Muirhead. (
«

Nhóm
»
)
u s và t là các dãy s thc không âm sao cho
s
là tri ca
t
thì
1 2 12
12 12

nn
st
ss tt
nn
sym sym
xxx xxx
≥
∑∑
Chng minh.
19
u tiên ta chng minh rng nu
s
là tri ca
t
thì tn ti các hng s không âm
k
σ
, vi
σ

chy qua tp hp tt c các hoán v ca
{1,2, , }
n
, có tng bng 1 sao
cho
(1) (2) ( ) 1 2
( , , , ) ( , , , )
nn
kss s ttt
σσσσ
σ
=
∑
Sau ó, áp dng bt ng thc AM-GM nh sau
(1) (2) () ((1)) ((2)) (()) (1) (2) ()
12 1 2 12
,

n nn
sss ss s ttt
n nn
xxx kxx x xxx
σ σ σ στ στ στ σ σ σ
τ
σστσ
=≥
∑∑∑
Ví d, vi
(5,2,1)
s

=
và
(3,3,2)
t
=
, ta có
3311
(3,3,2) .(5,2,1) . .(2,1,5) .(1,2,5)
8888
=+++
Và ta có ánh giá
52 25 2 5 25
332
33
8
xyz xyz xyz xyz
xyz
+ ++
≥
ng bt ng thc trên và các bt ng thc tng t, ta thu c bt ng thc
52 332
sym sym
xyz xyz
≥
∑∑
Ví d 8.
Chng minh rng vi mi s thc dng
,,
abc
ta có

33 33 33
1111
abc
a b abc b c abc c a abc
++≤
++ ++ ++
i gii.
Quy ng mu s và nhân hai v cho 2, ta có
33 33
33 33 33
7 44 522 333
333 63 44 5 22 7
63 522
()()
2( )( )( )
(34)
(232)
(2 2 )0
sym
sym
sym
sym
a b abc b c abc abc
a b abc b c abc c a abc
abc abc abc abc
abc ab abc bc abc
ab abc
++++≤
≤ ++ ++ ++
⇔ ++ +≤

≤ ++++
⇔ −≥
∑
∑
∑
∑
t ng thc này úng theo nh lý nhóm.
20
Trong ví d trên, chúng ta ã gp may vì sau khi thc hin các phép bin i i s,
ta thu c mt bt ng thc tng i n gin, có th áp dng trc tip nh lý
nhóm. Tuy nhiên, không phi trng hp nào nh lý này cng  gii quyt vn
. Trong trng hp 3 bin s, ta có mt kt qu rt p khác là nh lý Schur.
nh lý. (Schur)
Cho
,,
xyz
là các s thc không âm. Khi ó vi mi
0
r
>
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0
rrr
xxyxz yyzyx zzxzy
− −+ − −+ − −≥
u bng xy ra khi và ch khi
xyz
==
hay khi hai trong ba s
,,
xyz

bng nhau
còn s th ba bng 0.
Chng minh.
Vì bt ng thc hoàn toàn i xng i vi ba bin s, không mt tính tng quát,
ta có th gi s
xyz
≥≥
. Khi ó bt ng thc có th vit li di dng
( )( ( ) ( )) ( )( ) 0
rrr
x yxxz yyz zxzyz
− −− − + − −≥
và mi mt tha s v trái u hin nhiên không âm.
Trng hp hay c s dng nht ca bt ng thc Schur là khi
1
r
=
. Bt ng
thc này có th vit li di dng
22
( 2 )0
sym
x x y xyz
− +≥
∑
ây chính là bt ng thc  ví d 1.
Ví d 9.
Cho
,,
abc

là các s dng. Chng minh rng
222
1 1 19
()
4
()()()
ab bc ca
ab bc ca

++ ++≥

+++

i gii.
Quy ng mu s, khai trin và rút gn, ta c
5 42 33 4 32 222
(4 3 2 ) 0 (9.1)
sym
ab ab ab abc abc abc−−+−+≥
∑
Dùng bt ng thc Schur
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0
xxyxz yyzyx zzxzy
− −+ − −+ − −≥
21
Nhân hai v vi
2
xyz
ri cng li, ta c
4 32 222

( 2 ) 0 (9.2)
sym
abc abc abc−+≥
∑
Ngoài ra, áp dng nh lý nhóm (hay nói cách khác − bt ng thc AM-GM có
trng s) ta có
54233
(4 3 ) 0 (9.3)
sym
ab ab ab−−≥
∑
 (9.2), (9.3) suy ra (9.1) và ó chính là u phi chng minh.
Nói n bt ng thc thun nht i xng, không th không nói n các hàm s
i xng c bn. ó là các biu thc
1 2 12
11
, , ,
n
i ijnn
i i jn
S xS xx S xxx
= ≤<≤
===
∑∑
.
i các bt ng thc liên quan n các hàm i xng này, có mt th thut rt hu
hiu c gi là
«
th thut gim bin s bng nh lý Rolle
»

. Chúng ta trình bày ý
ng ca th thut này thông qua ví d sau
Ví d 10.
Cho
,,,
abcd
là các s thc dng. Chng minh rng
11
23
64
ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd
+++++ +++
 
≥
 
 
i gii.
t
23
,
S ab ac ad bc bd cd S abc abd acd bcd
=+++++ =+++
. Xét a thc
4 32
23
( ) ( )( )( )( ) ( )
P x x a x b x c x d x a b c d x S x S x abcd
=− − − −=−+++ + −+
()
Px

có 4 nghim thc
,,,
abcd
(nu có các nghim trùng nhau thì ó là nghim
i). Theo nh lý Rolle,
/
()
Px
cng có 3 nghim (u dng)
,,
uvw
. Do
/
()
Px
có h s cao nht bng 4 nên
/ 32
( ) 4( )( )( ) 4 4( ) 4( ) 4
Px xuxvxw x uvwx uvvwwux uvw
=−−−=−+++++−
t khác
/32
23
()43()
Px x abcdx SxS
=−+++ +−
22
suy ra
23
2( ), 4

S uv vw wu S uvw
=++=
và bt ng thc cn chng minh u bài
có th vit li theo ngôn ng
,,
uvw
là
1
1
2
3
()
3
uv vw wu
uvw
++

≥


t ng thc này hin nhiên úng theo bt ng thc AM-GM.
5. Thun nht hóa bt ng thc không thun nht.
Trong các phn trên, chúng ta ã trình bày các phng pháp c bn  chng minh
t bt ng thc thun nht. ó không phi là tt c các phng pháp (và d nhiên
không bao gi có th tìm c tt c!), tuy vy có th giúp chúng ta nh hng tt
khi gp các bt ng thc thun nht. Nhng nu gp bt ng thc không thun
nht thì sao nh? Có th bng cách nào ó a các bt ng thc không thun
nht v các bt ng thc thun nht và áp dng các phng pháp nói trên c
không? Câu tr li là có. Trong hu ht các trng hp, các bt ng thc không
thun nht có tha v bt ng thc thun nht bng mt quá trình mà ta gi là

thun nht hóa. Chúng ta không th “chng minh” mt “nh lý” c phát biu
kiu nh th, nhng có hai lý do  tin vào nó: th nht, thc ra ch có các i
ng cùng bc mi có th so sánh c, còn các i lng khác bc ch so sánh
c trong các ràng buc nào ó. Th hai, nhiu bt ng thc không thun nht ã
c “to ra” bng cách chun hóa hoc thay các bin s bng các hng s. Ch cn
chúng ta i ngc li quá trình trên là s tìm c nguyên dng ban u.
t ví d rt n gin cho lý lun nêu trên là t bt ng thc thun nht
3332 22
x y z xy yz zx
++≥++, bng cách cho
1
z
=
, ta c bt ng thc không
thun nht
33 22
1
xy xyyx
++≥ ++
Ví d 11. (England 1999)
Cho
,,
pqr
là các s thc dng thou kin
1
pqr
++=
. Chng minh
7( )29
p q r pqr

++ ≤+
23
Ví d 12. (IMO 2000)
Cho
,,
abc
là các s thc dng tho mãn u kin
1
abc
=
. Chng minh
111
1 1 11
abc
bca
   
−+ −+ −+ ≤
   
   
ng dn.
t
,,
xyz
abc
yzx
===
!
Ví d 13. (IMO, 1983)
Chng minh rng nu
,,

abc
là ba cnh ca mt tam giác thì
2 22
( ) ( ) ( )0
aba b bcb c cac a
−+ −+ −≥
ng dn.
t ,,
ayzbzxcxy
=+=+=+
!
24
Bài tp
Bài 1
.
Cho
,,0
xyz
>
. Chng minh rng
333333222
333333 222
xyzxzyxyzyzzxxy
yz zx xy
yzxzyx xyz
+++++≥+++++
Bài 2
.
Chng minh bt ng thc sau vi mi s thc dng
,,

xyz
92
4( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
xyz
xyz xyxz yzyx zxzy xyz
≥++≥
++ + + + + + + ++
Bài 3.
Cho
,,
xyz
là các s thc dng tho mãn u kin
2472
x y z xyz
++=
. Tìm giá
tr nh nht ca biu thc
Pxyz
=++
Bài 4.
Cho
,,
abc
là các s thc dng tho
222
4
abcabc
+++=
. Chng minh rng
3

abc
++≤
Bài 5. (IMO 1984)
Cho
,,
xyz
là các s thc không âm tho mãn u kin
1
xyz
++=
. Chng minh
ng
7
02
27
xy yz zx xyz≤++−≤
Bài 6
. (Iran, 1996)
Cho
,,0
abc
>
. Chng minh rng
222
1 1 19
()
4
()()()
ab bc ca
ab bc ca


++ ++≥

+++
