BÀI TẬP MÔN MÔ HÌNH TOÁN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

BÀI TẬP MÔN MÔ HÌNH TOÁN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: Cho bài toán
f(x) = 3x1 – 4x2 + 3x3 + x4 + 8x5 – 4x6 → min
2x1
+ x3
+ 2x5 – 3x6 = 2
x2 – x3 + x4 – 2x5 + x6 = -2
x1 – 2x2
+ 3x4 + 5x5 – x6 = 5
a) Xác định tập phương án và chứng tỏ bài toán không giải được.
b) Khi hàm mục tiêu có dạng:
f(x) = 3x1 – 4x2 + 3x3 + x4 + 11x5 – 6x6 → min
có kết luận gì về bài toán? Đặc điểm của tập phương án.
Giải:
a, Tập PA:
Giải hệ phương trình
+ 3 x 4 + 5 x5 − x 6 = 5
 x1 − 2 x2

x3 +
2 x5 − 3 x6 = 2
2 x1 +

x2 − x3 + x4 − 2 x5 + x6 = −2

1 − 2 0 3 5 − 1 5 
A = 2 0
1 0 2 − 3 2 
0 1 − 1 1 − 2 1 − 2

1 − 2 0


→ 0 4
1
0 1 − 1
1 − 2 0

→0 1 − 1
0 0
5

3
5 −1 5 
− 6 − 8 − 1 − 8 
1 − 2 1 − 2
3
5 −1 5 
1
− 2 1 − 2
− 10 0 − 5 0 

 x1 − 2 x2 = −3x4 − 5 x5 + x6 + 5

⇒  x2 − x3 = − x4 + 2 x5 − x6 − 2

x3 = 2 x4 + x6

 x1 = − x4 − x5 + x6 + 1

⇔  x2 = x4 + 2 x5 − 2


x3 = 2 x4 + x6

f ( x ) = 3(1 − x4 − x5 + x6 ) − 4( − 2 + x4 + 2 x5 ) + 3( 2 x4 + x6 ) + x4 + 8 x5 − 4 x6


= 11 − 3 x5 + 2 x6
Khi x5 → +∞( x6 = 0 ) ⇒ f ( x ) → −∞
Vậy f(x) giảm vô hạn trên tập pa nên bài toán không giải được.

b, f ( x ) = 3 x1 − 4 x2 + 3 x3 + x4 + 11x5 − 6 x6 → min

⇒ f ( x ) = 3(1 − x4 − x5 + x6 ) − 4( − 2 + x4 + 2 x5 ) + 3( 2 x4 + x6 ) + x4 + 11x5 − 6 x6
⇒ f(x) = 11
⇒ mọi phương án đều là PA tối ưu.

Bài 2: Chứng tỏ bài toán sau giải được
f(x) = - x1 + x2 - x3 → min
2x1 - 4x2 + x3 ≥ -20
-3x1 +5x2 - 2x3≥ 20
-x1
+ 2x3 ≤ 20
3x2 - x3 ≤ 18
x1 + x2
≥ -12

Giải:

Hệ ràng buộc của bài toán đã cho tương đương với
4 x2 +
x3 ≥ − 20 (1)

 2 x1 −
 − 3x
−
2 x3 ≥ 20 ( 2 )
1

− 3x1 + 5 x2 − 2 x3 ≥ 20 ( 3)

− 3 x2 − x3 ≥ − 18 ( 4 )

 x1 +
x2
≥ − 12 ( 5)

(1) +(3) ⇒ − x1 + x2 − x3 ≥ 0 ⇒ 0 ≤ f ( x) và bài toán có 1 phương án là (0,5,0)
⇒ bài toán giải được.

Bài 3: Cho bài toán
f(x) = -4x1 + 6x2 - 3x3 → min
2x1 - 4x2 + x3 ≥ -1
-3x1 +5x2 - 2x3≥ 1
x1
+ 2x3 ≤ 1
3x2 - x3 ≤ 4
-x1 + x2
≥ -2
0
Chứng tỏ x = (-1,0, 1) là PACB TƯ
Giải:
Hệ ràng buộc của bài toán đã cho tương đương với:

 2 x1 − 4 x2 +
 − 3x + 5 x −
1
2

−
 − x1

− 3 x2 +

− x1 +
x2
0
Pa x = (-1, 0, 1) thoả mãn chặt ràng buộc
(4), (5).
Các ràng buộc (1), (2), (3) đltt vì:
Xét ma trận

x3
2 x3

≥
≥

2 x3

≥

x3

− 1 (1)
1 ( 2)
− 1 ( 3)

≥ − 4 ( 4)

≥ − 2 ( 5)
(1), (2), (3) thoả mãn lỏng các ràng buộc

0
2  1 0
2 
 1

 

 2 − 4 1  →  0 − 4 − 3
 − 3 5 − 2 0 5
4 

 

⇒ Hạng ma trận bằng 3
Vậy x0 = (-1, 0, 1) là PACB không suy biến
f(x0) = -4(-1) -3.1 = 1
Mà: (2) x 2 +(1) ⇒ -4x1 + 6x2 -3x3 ≥ 1
⇒ trên tập pa có f(x) ≥1 mà f(x0) = 1
⇒ x0 là PACB tối ưu

Bài 4: Cho bài toán

f(x) = x1 – x2 - 2x3 + 6x4 → max
2x1 + x2
=9
x1 + x2 - x3 + x4 ≥ 13
x1 – x2
+ 3x4 = -3
-2x1
+ x3 - 5x4 ≤ -15
x2 - 2x3
=7
Hãy chỉ ra 1 PACB và tính chất của nó. Chứng tỏ bài toán không giải được. Tìm lời
giải của bài toán khi f(x) → min.
Giải:
Giải hệ phương trình:
=9
2 x1 + x2

+ 3 x4 = −3
 x1 − x2

x 2 − 2 x3
=7



Do:

 x1 = − x4 + 2


⇔  x2 = 2 x4 + 5
 x = x −1
 3
4
+ x 2 − x3 + x 4
≥ 13
 x1

+ x3 − 5 x 4 ≤ −15
− 2 x1
+ (2 x4 + 5) − ( x4 − 1) + x4
 ( − x 4 + 2)
⇔
+ ( x4 − 1)
− 5 x4
− 2(− x4 + 2)

≥ 13
≤ −15

⇔ x4 ≥ 5
Vậy tập PA của bài toán là:
X = { x = (2-x4, 2x4+5, x4-1, x4) | x4≥ 5}
+ Với x4 = 5, ta có PA x0 = (-3, 15, 4, 5) thoả mãn chặt 5 ràng buộc trong đó có 4 ràng
buộc đltt nên x0 là PACB suy biến.
+ Với mọi PA x, ta có : f( x) = 2 –x4 -2x4 -5 – 2x4 +2 +6x4 = x4 – 1
Khi x4 →+∝ thì f(x) → +∝ nên bài toán đã cho không giải được.
+ Khi f(x) → min , ta có ⇔f(x) ≥ 4 mà f(x0) = 4 nên x0 là PACB tối ưu.
Bài 5: Chứng tỏ bài toán sau giải được.

f(x) = -3x1 - 3x2 + x3 → min
x1 - 2x2 + x3 ≥ 1
-3x1 + x2 - 4x3 = -12
x1
+ 5x3 ≤ 16
2x2 - 9x3 ≤ 3
4x1 - x2 + 3x3 ≥ 7
Giải
+ Bài toán có 1 PA x0 = (0, 0, 3)
+ Hệ ràng buộc của bài toán đã cho tương đương với
x1 - 2x2 + x3 ≥ 1
(1)
-3x1 + x2 - 4x3 = -12
(2)
-x1
- 5x3 ≥ -16
(3)
-2x2 + 9x3 ≥ - 3
(4)
4x1 - x2 + 3x3 ≥ 7
(5)
(1)+(2)+(3)+(4)⇒-3x1 - 3x2 + x3 ≥ -30
Vậy bài toán đã cho giải được.


Giải bài tập buổi 10
Bi 1:

f(x) = -x1 - 14x2 - 2x3 - 3x4 + 8x5 min
9/2x2

+2x4 - 3/2x5 -7
-1/2x1 - 2x2 -1/2 x4 + x5
= -25
-7/2x2
- x4 + 3/2x5 -40
x2 +2 x3
- x5 = 10
xj 0 (j = 1,5 )
a)Giải b.toán bằng p.pháp đơn hình.
b) Tìm các phơng án tối u cực biên của bài toán đã cho.

(1)
(2)
(3)
(4)

Gii
HS

CS

PA

0
-1
0
-2

x6
x1

x7
x3

7
50
40
5

-1 -14
x1
x2
0 -9/2
1
4
0
7/2
0 [1/2]

0
-1
0
-14

f(x)
x6
x1
x7
x2

-60

52
10
5
10

0
0
1
0
0

9
0
0
0
1

0
9
-8
-7
2

2
-2
1
1
0

-5

-3
2
[2]
-1

0
1
0
0
0

0
0
0
1
0 dc

f(x)

-150 0

0

-18

2

4

0

0

x6
x1
x5
x2

119/2
5
5/2
25/2

0
1
0
0

0
0
0
1

-3/2
-1
-7/2
-3/2

-1/2
0

1/2
1/2

0
0
1
0

1
0
0
0

-160 0

0

-4

0

0

0

0
-1
8
-14

f(x)

-2
x3
0
0
0
1

-3
x4
-2
1
1
0

8
x5
3/2
-2
-3/2
-1/2

0
x6
1
0
0
0

a) Bài toán có Pat x* = (5, 25/2, 0, 0, 5/2, 119/2, 0)
-Tập PATƯ của bài toán: X = {x = x* + .z4/ 0 5}.
b) Tập các phơng án tối u không cực biên của bài toán
X = {x = x* + .z4/ 0 < < 5}.
Bài 2:
Cho bài toán: Tìm x = (x1, x2, , x5) sao cho

0
x7
0
0
1
0

3/2
-1
1/2 dc
1/2
-2


f(x) = -2x1 + x2 + 3 x3 + 3x4 - x5 max
2

2x1 - 3x2 - x3 - 2x4 + 6x5 = -12

(1)

-5x1 + 7 x2

(2)

2

- 2x4 + 4x5 76
xj 0 (j = 1,5 )

8x1 - x2
Giải b.toán bằng p.pháp đơn hình.
HS

CS

PA

+3x4 - 5x5 22

(3)

Giải

0
1
0

x3
xg2
x7

12

22
76

-2
X1
-2
-5
8

1
x2
[3]
7/2
-1

3/2
x3
1
0
0

3
x4
2
3
-2

-1
x5
-6

-5
4

0
x6
0
-1
0

0
x7
0
0
1

0
1
0

P
x2
xg2
x7

22
4
8
80

-5

7/2
-2/3 1
-8/3 0
22/3 0

0
1/3
-7/6
1/3

3
2/3
2/3
-4/3

-5
-2
[2]
2

-1
0
-1
0

0
0
0
1

0
0 dc
1
0

1
-1
0

P
x2
x5
x7

8
12
4
72

-8/3
-10/3
-4/3
10

-7/6 2/3
-5/6 [4/3]
-7/12 1/3
3/2
-2

2
0
1
0

-1
-1
-1/2
1

0
0
0
1

0

3
-1
0

f(x)
x4
x5
x7

8
9
1
90

0
0
-5/2 3/4
-1/2 -1/4
5
3/2

-7/4
-5/8
-3/8
1/4

-2
1
0
0

0
0
1
0

-1/2
-3/4
-1/4
-1/2

0
0

0
1

f(x)

26

-5

-3

0

0

-2

0

0
1
0
0

3/2

1
xg2
0
1

0

dc

dc

Từ bảng đơn hình thứ 4, ta có 6 = -2 < 0 mà xj6 0 (jJ) nên bài toán không
giải đợc.

Bài 3:
Cho bài toán: Tìm x = (x1, x2, , x6) sao cho

f(x) = 9x2 + x3 + 8x4 - 8x5 + 6x6 min
x1 - 2x2 + 2x3 - x4 - 3x5
= 1

(1)


x1
+ 3x3 - 2x4 - x5 - x6 12
2x1 + 3x2 + 6x3
- 7x5 + 3x6 = 4
xj 0 (j = 1,6 )

(2)
(3)

a)C/m x0 = (7, 0, 3, 0, 4, 0) là pacb của bài toán đã cho.
b) sử dụng x0 giải bài toán đã cho bằng p. pháp đ.hình.

Giải:
a)Vectơ x0 thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán nên x0 là Pa, PA x0 thoả mãn
chặt các ràng buộc (1), (2), (3) và 3 ràng buộc dấu, các ràng buộc này đltt nên x0
là PACB không suy biến của bài toán.
b) Lợi dụng x0, giải bài toán đã cho bằng phơng pháp đơn hình:
1
A = 1

2


1

0


0

2
0
3

2
3
6

2 2
2 1
7
2

1 6 0
0 2 1

0 3 0
1 51 / 5
0 16 / 5
0 3 / 5
HS

CS

1
2
0

3
1
7

0
1
3

0
1
0

1
12

4


1 3 0 0 1
1 2 1 1 11
2 1 3 0 2


1 7 2 2 21
1 2 1 1
11
4 5 5 2 20

0 23 / 5 0 5 4 / 5 7
1 3 / 5 0 1 1 / 5 3
0 4 / 5 1 1 2 / 5 4

PA

0
1
-8

x1
x3
x5

7
3

4

0
6
-8

f(x)
x1
x6
x5

-29
22
3
7

0
9
x1
x2
1 -51/5
0 16/5
0 -3/5

1
x3
0
1
0

8
x4
-23/5
3/5
-4/5

-8
x5
0
0
1

6
x6
-5
[1]
-1

0
1
0
0

0
5
1
1

-1
-8/5

3/5
-1/5

0
0
0
1

3
0
1
0

0

0

-1
29/5
16/5
13/5

f(x) -38 0 -53/5
-3
-14/5
Bài toán có Pat duy nhất x* = (22, 0, 0, 0, 7, 3).

0
x7
4/5

1/5
2/5
-3
9/5
1/5 *
3/5
-18/5





Cho bài toán: Tìm x = (x1, x2, , x5) sao cho
f(x) = -2x1 + 6x2 + c3x3 + x4 + c5x5 min
2x1 - 3x2 + 4x3
- x5 -4
3x2 + x3 + x4 - 3x5 8
x1 + x2 - 2x3
+ x5 = 3
xj 0 (j =1,5 )
0
a)Tìm điều kiện của c3 và c5 để x = (1, 2, 0, 2, 0) là phơng án tối u duy nhất.
b) Khi c3= -3 và c5 = -3, hãy tìm tập phơng án tối u của cặp bài toán đối ngẫu.
Đáp án câu hỏi
a) x0 thoả mãn tất cả các ràng buộc của bài toán nên x0 là PA, PA x0 thoả mãn chặt 5
ràng buộc độc lập tuyến tính nên x0 là PACB, đa bài toán về dạng chính tắc ta có
PACB tơng ứng x 0 = (1, 2, 0, 2, 0, 0, 0) cơ sở J0 = {1, 2, 4}.
2 3 4 0 1 1 0 4 0 5 8 0 3 1 0 10
0 3 1 1 3 0 1 8 0 3 1 1 3 0 1 8
3

1 1 2 0 1 0 0 3 1 1 2 0 1 0 0


0 1 8 / 5 0 3 / 5 1 / 5 0 2
0 0 29 / 5 1 24 / 5 3 / 5 1 2
1 / 5 0 1
1 0 2 / 5 0 2 / 5
cJ

J

xJ

-2
x1
0
0
1

6
x2
1
0
0

-3
c3
x3
-8/5
29/5

-2/5

1
x4
0
1
0

-3
c5
x5
3/5
-24/5
[2/5]

0
x6
-1/5
3/5
1/5

0
x7
0
-1
0

6
1
-2

x2
x4
x1

2
2
1

6
1
-3

f(x)
x2
x4
x5

12
1/2
14
5/2

0
-3/2
12
5/2

0
1

0
0

0
-3-c3
-1
[1]
-1

0
0
1
0

1
-2-c5
0
0
1

-1
-1/2
3
1/2

-1
0
-1
0 *

6
-3
-3

f(x)
x2
x3
x5

19/2 -5/2
29/2 21/2
14 12
33/2 29/2

0
1
0
0

1
0
1
0

0
1
1
1

0

0
0
1

-3/2
5/2
3
7/2

-1
-1
-1 *
-1

f(x)

-9/2 -29/2

0

0

-1
0
-9/2
0
3 c3 < 0
c > 3
a)Để x0 là PATƯ duy nhất của bài toán thì thì
3

2 c5 < 0
c 5 > 2
b)Khi c3= -3 và c5 = -3 thì 3 = 0, 5 = 1, tiếp tục biến đổi qua 2 bảng đơn hình ta đợc
bài toán gốc có Pat x* = (0, 29/2, 14, 0, 33/2, 0, 0), f* = -9/2
-Tập PATƯ của bài toán gốc:
X = {(0, 29/2 + , 14 + , 0, 33/2 + , 0, ) / 0}
- Tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: Y = {y* = (-9/2, 0, -15/2)}


Trình độ: Đại học
Tính chất: Bài tập
Chơng: Mô hình tối u tuyến tính
Mức độ: Dễ
Đánh giá: Thi kết thúc học phần
Hình thức: Viết (tự luận)
Phần 1: Nội dung câu hỏi
Cho bài toán: Tìm x = (x1, x2, , x4) sao cho
f(x) = -2x1 + x2 + 3x3 + 5x4 min
x1 + 2x2 - 3x3 + x4 37
- x1 - x2 + x3 + 3x4 = 1
-2x1 - 3x2 + x3 + x4 -23
xj 0 (j = 1,4 )
a)Chứng tỏ x0 = (14, 0, 0, 5) là phơng án cực biên của bài toán. Tìm tập phơng án tối u
của cặp bài toán đối ngẫu.
b)Tìm tập phơng án tối u của cặp bài toán đối ngẫu khi c3 < 5/2.
Phần 2: Đáp án câu hỏi
Vectơ x0 thoả mãn tất cả các ràng buộc của bài toán nên x0 là PA, PA x0 thoả mãn chặt
4 ràng buộc độc lập tuyến tính nên x0 là PACB.
Đa bài toán về dạng chính tắc:
f(x) = -2x1 + x2 + 3x3 + 5x4 min

x1 + 2x2 - 3x3 + x4 + x5
= 37
- x1 - x2 + x3 + 3x4
= 1
-2x1 - 3x2 + x3 + x4
+ x6 = -23
xj 0 (j = 1,6 )


x 0 = (14,0,0,5,18,0), cơ sở J0 = {1, 4, 5}.
1 2 3 1 1 0 37 3 5 4 0 1 1 60
1 1 1 3 0 0 1 5 8 2 0 0 3 70
2 3 1 1 0 1 23 2 3 1 1 0 1 23
0 1 / 5 14 / 5 0 1 4 / 5 18
1 8 / 5 2 / 5 0 0 3 / 5 14
0 1 / 5 1 / 5 1 0 1 / 5 5

cJ
0
-2
5
0
-2
5

J

xJ
x5
x1

x4
f(x)
x6
x1
x4

18
14
5
-3
45/2
55/2
19/2

-2
1
3
x1
x2
x3
0
1/5 -14/5
1
8/5 -2/5
0
1/5
1/5
0 -16/5 -6/5
0
1/4 -7/2

1
7/4 -5/2
0
1/4 -1/2

5
x4
0
0
1
0
0
0
1

0
0
x5
x6
1
[4/5]
0
-3/5
0 -1/5
0
1/5
5/4
1 *
3/4
0

1/4
0

f(x)
-15/2 0 -13/4 -1/2
0
-1/4
0
a) Bài toán gốc có PATƯ duy nhất x* = (55/2,0,0 ,19/2,0,45/2), f* = -15/2.
Bài toán đối ngẫu có PATƯ duy nhất: y* = (-1/4,7/4,0)
b)Khi c3 < 5/2, từ bảng đơn hình thứ 2 ta có 3 = 5/2-c3 > 0 mà xj3 0 nên bài toán gốc
không giải đợc, do đó bài toán đối ngẫu cũng không giải đợc.


Học viện ngân hàng
Khoa: HTTT-KT

Học phần: Mô hình toán kinh tế
Câu hỏi số: 14

Trình độ: Đại học
Tính chất: Bài tập
Chơng: Mô hình tối u tuyến tính
Mức độ: khó
Đánh giá: Thi kết thúc học phần
Hình thức: Viết (tự luận)
Phần 1: Nội dung câu hỏi
Cho bài toán: Tìm x = (x1, x2, x3) sao cho
f(x) = 3x1 + 44x2 + 18x3 max
2x1 - 3x2 + x3

4
x1 - 4/3x2 + 2x3 2
x3 2
3x1 - x2 - 2x3 -1
-2x1 + 5x2 + 3x3 3
x1 0, x2 0
a)Tìm tập phơng án tối u của cặp bài toán đối ngẫu.
b)Tìm các phơng án tối u không cực biên của bài toán đối ngẫu và một phơng án tối u
có thành phần y5 = 10.
Phần 2: Đáp án câu hỏi
f(x) = 3x1 + 44x2 + 18x3 max
2x1 - 3x2 + x3 4
-x1 + 4/3x2 - 2x3 -2
x3 2
3x1 - x2 - 2x3 -1
-2x1 + 5x2 + 3x3 3
x1 0, x2 0
Bài toán đối ngẫu:


~
f ( y ) = 4y1 - 2y2 + 2y3 - y4 + 3y5 min
2y1 - y2
+3y4 - 2y5 3
-3y1 + 4/3y2
- y4 + 5y5 44
y1 - 2y2 + y3 - 2y4 + 3y5 = 18
yi 0 (i = 1,5 )
Giải bài toán đối ngẫu bằng phơng pháp đơn hình:

cJ

J

xJ

0
1
0

y6
yg2
y3

3
44
18

4
y1
2
-3
1

-2
y2
-1
4/3
-2

0
1
0

P
y6
yg2
y5

44
15
14
6

-3
8/3
-14/3
1/3

4/3
0
-1
-7/3 2/3 5/3
[14/3] -5/3 7/3
-2/3 1/3 -2/3

5
0
0
1

0
1
0
0

-1
0
-1
0

0
-2
3

P
y6
y2
y5

14
22
3
8

-14/3 14/3 -5/3 7/3
1/3
0
-1/6 17/6
-1

1
-5/14 1/2
-1/3
0
2/21 -1/3

0
0
0
1

0
1
0
0

-1
-1/2
-3/14
-1/7

~
f ( y)

18

-3

0

0

0

0

2
y3
0
0
1

-1

-1
y4
3
-1
-2

-1

3
y5
-2
5
[3]

0
y6

1
0
0

0
y7
0
-1
0

1
yg2
0
1
0
0
0
1
0 *
0
*

a)Bài toán đối ngẫu có PATƯ y* = (0,3,0,0,8,22,0), z7 = (0,3/14,0,0,1/7,1/2,1).
-Tập PATƯ của bài toán đối ngẫu:
Y = {(0,3+3/14,0,0,8+1/7, 22+1/2,) / 0}.
-Xác định tập PATƯ của bài toán gốc: ta có hệ p.trình
x1 = 0
x1 = 0

x1 + 4 / 3x2 2 x3 = 2 x2 = 0
2 x1 + 5 x2 + 3x3 = 3
x3 = 1

Vậy tập PATƯ của bài toán gốc: X = {x* = (0, 0, 1)}.
b)Tập phơng án tối u không cực biên của bài toán đối ngẫu:
{(0,3+3/14,0,0,8+1/7, 22+1/2,) / > 0}.
y5 = 10 = 14
Vậy PATƯ cần tìm y = (0,6,0,0,10,29,14)


Học viện ngân hàng
Khoa: HTTT-KT

Học phần: Mô hình toán kinh tế
Câu hỏi số: 15

Trình độ: Đại học
Tính chất: Bài tập
Chơng: Mô hình tối u tuyến tính
Mức độ: Trung bình
Đánh giá: Thi kết thúc học phần
Hình thức: Viết (tự luận)
Phần 1: Nội dung câu hỏi
Cho bài toán: Tìm x = (x1, x2, , x5) sao cho
f(x) = -x1 + c2x2 - 2x3 - 3x4 + c5x5 min
-9/2x2
- 2x4 + 3/2x5 7
x1 + 4x2

+ x4 - 2x5 = 50
-7/2x2
- x4 + 3/2x5 -40
1/2x2 + x3
- 1/2 x5 = 5
xj 0 (j = 1,5 )
a)Giải bài toán đã cho bằng phơng pháp đơn hình khi c2 = 1 và c5 =2.
b)Tìm tập phơng án tối u của cặp bài toán đối ngẫu khi c2 = -14 và c5 = 8.
Phần 2: Đáp án câu hỏi
cJ

J

xJ

0
-1
0
-2

x6
x1
x7
x3

7
50
40
5

-14
-1
1
x1
x2
0 -9/2
1
4
0
7/2
0
1/2

0
-1

f(x)
x6
x1

-70
87
10

0
0
1

-6
5/2

1/2

-2
x3
0
0
0
1

-3
x4
-2
1
[1]
0

8
2
x5
3/2
-2
-3/2
-1/2

0
x6
1
0
0
0

0
x7
0
0
1
0

0
0
0

2
0
0

1
-3/2
-1/2

0
1
0

0
2
-1


-3

-2

x4
x3

40
5

0
0

7/2
[1/2]

0
1

1
0

-3/2
-1/2

0
0

1 *
0

0

-1
-3
-14

f(x)
f(x)
x6
x1
x4
x2

-140
-140
62
5
5
10

0
0
0
1
0
0

-13
2
0
0
0

1

0
0
-5
-1
-7
2

0
0
0
0
1
0

4
-2
1
0
2
-1

0
0
1
0
0
0

-2
-2
2
-1
1
0 *

0

-2

f(x) -160 0
0
-4
0
0
a) Khi c2 = 1 và c5 = 2, bài toán đã cho không giải đợc.

b) Khi c2 = -14 và c5 = 8, bài toán gốc có Pat x* = (5, 10, 0, 5, 0, 62, 0)
-Tập PATƯ của bài toán gốc: X = {x = x* + .z5/ 0 5/2}.
-Tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: Y = {y* = (0, -1, 2, -6)}


Học viện ngân hàng
Khoa: HTTT-KT

Học phần: Mô hình toán kinh tế
Câu hỏi số: 16

Trình độ: Đại học

Tính chất: Bài tập
Chơng: Mô hình tối u tuyến tính
Mức độ: Trung bình
Đánh giá: Thi kết thúc học phần
Hình thức: Viết (tự luận)
Phần 1: Nội dung câu hỏi
Cho bài toán: Tìm x = (x1, x2, , x7) sao cho
f(x) = 2x1 + 6x2 + 2x3 + 7/2x4 + x5 5x6 x7 min
x1 -3x2 - x3 + x4
- 3/2 x6 + 4x7 = - 48
-4x1 + 3x2
-2x4
+ 3x6 6x7 = 24
x1 - 3x2
+ x5 - 7x6 + 5x7 = 5
-6x1 + 6x2
- 3x4
+ 4x6 8x7 = 72
xj 0 (j = 1,7 )
a)Tìm tập phơng án tối u của cặp bài toán đối ngẫu và một phơng án tối u của bài toán
gốc có thành phần x7 = 8.
b)Khi c6 = -7, hãy tìm tập phơng án tối u của bài toán đối ngẫu.
Phần 2: Đáp án câu hỏi
cJ

J

xJ

0

1
0
1

x3
xg2
x5
xg4

48
24
5
72

2
x1
-1
-4
1
-6

6
x2
3
[3]
-3
6

2
x3

1
0
0
0

7/2
x4
-1
-2
0
-3

1
x5
0
0
1
0

-5
-1
x6 x7
3/2 -4
3
-6
-7
5
4
8

0
0
0
1

P
x3
x2
x5
xg4

96
24
8
29
24

-10
3
4/3
-3
2

9
0
1
0
0

0

1
0
0
0

-5
1
-2/3
-2
1

0
0
0
1
0

7
-3/2
1
-4
-2

-14
2
-2
-1
[4]

2

6
1
-1

P
x3
x2
x5
x7

24
12
20
35
6

2
0
2
0
-1/3 1
-5/2 0
1/2 0

0
1
0
0
0

1
1/2
-1/6
7/4
1/4

0
0
0
1
0

-2
-1/2
0
-9/2
-1/2

4
0
0
0
1

1

x2
0
1
0

0
g

0

x

1

g
4

0
0
0
1
0
0
0*
0
1
0

*


f(x)

173 -3

0

0

-11/2

0

0

0

a) Bài toán gốc có PATƯ x* = (0, 20, 12, 0, 35, 0, 6) với f* = 173
- Tập PATƯ của bài toán gốc:
X = {(0, 20, 12+1/2, 0, 35+9/2, , 6+1/2)/ 0}
x7 = 8 6 + 1/2 = 8 = 4. PATƯ có x7 = 8:
x = (0, 20, 14, 0, 53, 4, 8)
- Xác định tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: ta có hệ p.trình

y1 = 2
y3 = 1
y 2 = 3
y4 = 2

Vậy tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: Y = {y* = (-2, -3, 1, 2)}
b) Khi c6 =-7 , từ bảng đơn hình thứ 3 ta có: 6 = 2 > 0 mà xj6 0 nên bài toán đối
ngẫu không giải đợc.


Học viện ngân hàng

Khoa: HTTT-KT

Học phần: Mô hình toán kinh tế
Câu hỏi số: 17

Trình độ: Đại học
Tính chất: Bài tập
Chơng: Mô hình tối u tuyến tính
Mức độ: Trung bình
Đánh giá: Thi kết thúc học phần
Hình thức: Viết (tự luận)
Phần 1: Nội dung câu hỏi
Cho bài toán: Tìm x = (x1, x2, , x5) sao cho
3
f(x) = -2x1 + x2 + x3 + 3x4 - x5 min
2
2x1 - 3x2 - x3 - 2x4 + 6x5 = -12
7
5x1 - x2
-3x4 + 5x5 -22
2
8x1 - x2
- 2x4 + 4x5 76
xj 0 (j = 1,5 )
a)Tìm tập phơng án tối u của cặp bài toán đối ngẫu và một phơng án tối u của bài toán
gốc có thành phần x2 = 22.
b)Khi f(x) max, tìm tập phơng án tối u của bài toán đối ngẫu.
Phần 2: Đáp án câu hỏi
cJ

J

xJ

0
1
0

x3
xg2
x7

12
22
76

-2
x1
-2
-5
8

1
x2
[3]
7/2
-1

3/2
x3

1
0
0

3
x4
2
3
-2

-1
x5
-6
-5
4

0
x6
0
-1
0

0
x7
0
0
1

0
1

0

P
x2
xg2
x7

22
4
8
80

-5
7/2
-2/3 1
-8/3 0
22/3 0

0
1/3
-7/6
1/3

3
2/3
2/3
-4/3

-5
-2

[2]
2

-1
0
-1
0

0
0
0
1

0
0 *
1
0

1
-1
0

P
x2
x5
x7

8
12
4

72

-8/3
-10/3
-4/3
10

-7/6 2/3
-5/6 [4/3]
-7/12 1/3
3/2
-2

2
0
1
0

-1
-1
-1/2
1

0
0
0
1

0

3

f(x)
x4

8
9

0
0
-5/2 3/4

-7/4
-5/8

0
0

-1/2
-3/4

0
0

0
1
0
0

-2

1

1
xg 2
0
1
0

*

*


-1
0

x5
x7

1
90

-1/2 -1/4
5
3/2

-3/8
1/4

0

0

1
0

-1/4
-1/2

0
1

f(x)

26

-5

-3

0

0

-2

0

3/2

a)Bài toán gốc có PATƯ x* = (0,12,0,0,4,0,72) với f* = 8, z1 = (1, 10/3, 0, 0, 4/3, 0,

-10)
-Tập PATƯ của bài toán gốc: X = {(, 12+10/3, 0, 0, 4+4/3) / 0 7,2}.
PATƯ có x2 = 22: x1 = (3, 22, 0, 0, 8)
- Xác định tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: ta có hệ p.trình
1

y
=
1

4
y3 = 0


1


3 y1 7 / 2 y2 y3 = 1 y2 =
2
6 y1 + 5 y2 + 4 y3 = 1

y3 = 0

Vậy tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: Y = {y* = (1/4, -1/2, 0)}
b) Khi f(x) max, từ bảng đơn hình thứ 3, ta tiếp tục biến đổi qua 1 bảng đơn hình ta
đợc 6 = -2 < 0 mà xj6 0 (jJ) nên bài toán gốc không giải đợc, do đó bài toán đối
ngẫu cũng không giải đợc.


Học viện ngân hàng

Khoa: HTTT-KT

Học phần: Mô hình toán kinh tế
Câu hỏi số: 18

Trình độ: Đại học
Tính chất: Bài tập
Chơng: Mô hình tối u tuyến tính
Mức độ: Trung bình
Đánh giá: Thi kết thúc học phần
Hình thức: Viết (tự luận)
Phần 1: Nội dung câu hỏi
Cho bài toán: Tìm x = (x1, x2, , x6) sao cho
f(x) = 9x2 + x3 + 8x4 - 8x5 + 6x6 min
x1 - 2x2 + 2x3 - x4 - 3x5
= 1
(1)
x1
+ 3x3 - 2x4 - x5 - x6 12
(2)
2x1 + 3x2 + 6x3
- 7x5 + 3x6 = 4
(3)
xj 0 (j = 1,6 )
0
a)Phân tích các tính chất của vectơ x = (7, 0, 3, 0, 4, 0) đối với bài toán đã cho.
b)Tìm tập phơng án tối u của cặp bài toán đối ngẫu.
Phần 2: Đáp án câu hỏi
a)Vectơ x0 thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán nên x0 là Pa, PA x0 thoả mãn chặt các
ràng buộc (1), (2), (3) và 3 ràng buộc dấu, các ràng buộc này đltt nên x0 là PACB

không suy biến của bài toán.
Bài toán đối ngẫu:
~
f ( y ) = y1 + 12 y2 + 4y3 max
y1 + y2 + 2y3 0
(1)
-2y1
+ 3y3 9
(2)
2y1 + 3y2 + 6y3 1
(3)
-y1 - 2y2
8
(4)
-3y1 - y2 - 7y3 -8
(5)
- y2 + 3y3 6
(6)
y2 0
Vectơ x0 thoả mãn lỏng 3 ràng buộc dấu. Giả sử x0 là PATƯ của bài toán thì mọi
PATƯ y của bài toán đối ngẫu phải thoả mãn:
y1 + y2 + 2 y3 = 0

2 y1 + 3 y2 + 6 y3 = 1 y 0 = ( 1,3,2)
3 y1 y2 7 y3 = 8
0
Thay y vào ràng buộc (6) không thoả mãn nên x0 không là PATƯ của bài toán.
b) Lợi dụng x0, giải bài toán đã cho bằng phơng pháp đơn hình:

1 2 2
1 0 3
2 3 6
1 6 0
0 2 1
0 3 0
cJ

1 3 0 0 1
1 2 2 1 3 0 0 1
2 1 1 1 12 0 2 1 1 2 1 1 11
0 7 3 0 4
0 7 2 2 1 3 0 2
1 7 2 2 21 1 51 / 5 0 23 / 5 0 5 4 / 5 7
1 2 1 1 11 0 16 / 5 1 3 / 5 0 1 1 / 5 3
4 5 5 2 20 0 3 / 5 0 4 / 5 1 1 2 / 5 4

J

xJ

0
1
-8

x1
x3
x5

7

3
4

0
6
-8

f(x)
x1
x6
x5

-29
22
3
7

0
9
x1
x2
1 -51/5
0 16/5
0 -3/5

1
x3
0
1
0

8
x4
-23/5
3/5
-4/5

-8
x5
0
0
1

6
x6
-5
[1]
-1

0
1
0
0

0
5
1
1

-1

-8/5
3/5
-1/5

0
0
0
1

3
0
1
0

-1
29/5
16/5
13/5

0
x7
4/5
1/5
2/5
-3
9/5
1/5 *
3/5

f(x) -38 0 -53/5

-3
-14/5 0
0
-18/5
Bài toán gốc có Pat duy nhất x* = (22, 0, 0, 0, 7,3).
- Xác định tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: ta có hệ p.trình

y1 = 2
y1 + y2 + 2 y3 = 0

18

3 y1 y2 7 y3 = 8 y2 =
5
y2 + 3 y3 = 6

y3 = 4

5
Vậy tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: Y = {y* = (2, -18/5, 4/5)}


Học viện ngân hàng
Khoa: HTTT-KT

Học phần: Mô hình toán kinh tế
Câu hỏi số: 19

Trình độ: Đại học
Tính chất: Bài tập

Chơng: Mô hình tối u tuyến tính
Mức độ: Khó
Đánh giá: Thi kết thúc học phần
Hình thức: Viết (tự luận)
Phần 1: Nội dung câu hỏi
Cho bài toán: Tìm x = (x1, x2, , x4) sao cho
f(x) = 40x1 + 6x2 + 30x3 + 4x4 max
-2x1 - x2 - 3x3 + 2x4 1
(1)
-2x2 - 4x3 + x4 -2
(2)
-x1
- 2x3 + 2x4 2
(3)
3x1 - x2 - 2x3 + 3/2x4 5
(4)
x1 0, x4 0
a)Viết bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho và chỉ rõ các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b)Tìm tập phơng án tối u của cặp bài toán đối ngẫu.
c)Tìm tập phơng án tối u của bài toán khi thêm ràng buộc:
5x1 + x3 1/2x4 5 (5)
Phần 2: Đáp án câu hỏi
a) Bài toán đối ngẫu:
~
f ( y ) = - y1 - 2 y2 + 2y3 + 5y4 min
2y1
- y3 + 3y4 40
(1)
y1 - 2y2
- y4 = 6

(2)
3y1 - 4y2 - 2y3 - 2y4 = 30
(3)
-2y1 + y2 + 2y3 + 3/2y4 4
(4)
yi 0 (i =1,4 )
b) Giải bài toán đối ngẫu bằng phơng pháp đơn hình
cJ

J

xJ

0
1
1
0

y5
yg2
yg3
y6

40
6
30
4

-1
y1

2
1
3
-2

0
0

P
y5
y1

36
28
6

4
0
1

-2
y2
0
-2
-4
1

2
y3
-1

0
-2
2

5
y4
3
-1
-2
3/2

0
y5
1
0
0
0

0
y6
0
0
0
1

1
yg2
0
1
0

0

1
yg3
0
0
1
0

-6
4
-2

-2
-1
0

-3
5
-1

0
1
0

0
0
0

0

0
0
0